Оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом инфляционного риска Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом инфляционного

риска Дата: 25/12/2008 Номер: (16) УЭкС, 4/2008

Аннотация: В работе построена модель финансового инвестирования в непрерывном времени, на основе которой исследуются оптимальные стратегии инвестирования и текущего потребления с учетом стохастической (в том числе немарковской) динамики цен рисковых активов, стохастической эволюции параметров инвестиционной среды и неопределенности инфляции. В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля.

Abstract: In work the model of financial investment in continuous time is constructed, on which basis optimum strategy of investment and current consumption taking into account stochastic dynamics of the prices of brave actives, stochastic evolution of parametres of the investment environment and uncertainty of inflation are investigated. In an obvious analytical kind components of an optimum portfolio are received.

Ключевые слова: инвестирование, стратегия, риск, портфель

Keywords: investment, strategy, risk, portfolio

Наталуха Инна Г еннадьевна к.псих.н., доцент

Кисловодский институт экономики и права

[email protected]

Выходные данные статьи: Наталуха И.Г. Оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом инфляционного риска // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2008. - № 4 (16). - № рег. статьи 0060. -Режим доступа к журн.: http://uecs.mcnip.ru.

Сложность оперативного управления портфелем финансовых инвестиций определяет необходимость широкого использования в этом процессе современных количественных методов финансовой математики и финансового инжиниринга. В последнее время теория и практика выбора оптимального финансового портфеля столкнулась с отличительной чертой современных финансовых рынков: стохастичностью эволюции инвестиционной среды - краткосрочной процентной ставки, цен рисковых активов, ожидаемых ставок доходности, вариационноковариационной матрицы доходностей по рисковым активам, ожидаемой скорости изменения дохода инвестора вне финансового рынка, а также корреляции между перечисленными переменными. Отмеченные особенности существенно влияют на оптимальный портфельный выбор инвестора, который может существенно отличаться от определяемого классической портфельной теорией Марковица - Тобина - Шарпа

[1-3]. Кроме того, инвестирование неотделимо от текущего потребления (инвесторы, как правило, извлекают полезность не только из конечного капитала на инвестиционном горизонте, но и из текущего потребления в различные моменты времени), а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастических и кризисных явлений различной природы, что также не может быть учтено в рамках классической теории.

В процессе финансового инвестирования и управления портфелем инвесторы заинтересованы в реальных доходностях активов. Инфляция является одним из источников неопределенности реальных доходностей финансовых инвестиций. Хеджирование инфляционного риска является нетривиальной задачей, поскольку на большинстве финансовых рынков предлагаются только номинальные облигации (лишь на нескольких биржах США и Великобритании продаются индексируемые с учетом инфляции облигации). Аналогично, по краткосрочным депозитам выплачивается номинальная процентная ставка. В силу стохастических изменений цен потребительских товаров номинальные облигации и депозиты характеризуются рисковой доходностью в реальном выражении. Поэтому в условиях инфляционной экономики модели финансового инвестирования должны учитывать инфляционный риск.

В работе построена модель финансового инвестирования в непрерывном времени, на основе которой исследуются оптимальные стратегии инвестирования и текущего потребления с учетом стохастической (в том числе немарковской) динамики цен рисковых активов, стохастической эволюции параметров инвестиционной среды и неопределенности инфляции. В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля.

Агенты финансового рынка имеют возможность инвестировать в Я+1 финансовых активов, один из которых является мгновенно номинально безрисковым активом

(банковским счетом), номинальная цена которого ^ удовлетворяет уравнению

? где л - непрерывно начисляемая краткосрочная номинальная процентная ставка. Инфляция в экономике моделируется следующим образом. Динамика

номинальной цены единицы потребительского товара ^ описывается следующим стохастическим процессом

(«,<#+

(1)

причем ^А1» есть реализуемый уровень инфляции в следующий момент времени,

- л-мерное стандартное броуновское движение, есть ожидаемый уровень

инфляции, а - волатильность (мгновенное среднее квадратическое отклонение) уровня инфляции (индекс Т означает транспонирование). Заметим, что мгновенно номинально безрисковый актив не является безрисковым в реальном выражении,

поскольку реальная цена содержит диффузионный член. Остальные и активов

являются номинально рисковыми с номинальными ценами, определяемыми вектором

Ц удовлетворяющим следующему стохастическому дифференциальному

уравнению

¿Рг=(Яе^Рі%ЯгІ+0р^)ік+ОрІ?Ьг\

(2)

где - матрица размерности яж* с элементами по главной диагонали и

нулями вне главной диагонали, I - "-мерный вектор из единиц, арг - ях"-мерный стохастический процесс, определяющий волатильности цен активов и корреляционноковариационную структуру финансового рынка, А*) _ л-мерный

стохастический процесс номинальных рисковых премий, ^ - и- мерный вектор ожидаемых доходностей по рисковым активам.

Инвестор ставит задачу максимизации своей ожидаемой полезности в течение инвестиционного периода, выбирая соответствующие стратегии инвестирования и потребления. Инвестиционная стратегия описывается я - мерным стохастическим

процессом х_(х1=’ где ** обозначают доли капитала, инвестируемые в *-ый

рисковый актив в момент *. Доля капитала, инвестируемая в банковский счет,

поэтому составляет гОг 1 ^1 Реальная стратегия потребления описывается стохастическим процессом с - ^ (которому соответствует номинальное потребление Сг_сг11г) При стратегии инвестирования х и номинальной стратегии потребления с

Вг^'*г

номинальный капитал инвестора * эволюционирует согласно стохастическому дифференциальному уравнению

(3)

Поскольку построенная модель учитывает инфляционный риск, можно рассматривать

задачу выбора агентом непосредственно реального процесса потребления с - ^ и реального конечного капитала ^ . При данном реальном процессе потребления с и

процессе инвестирования А динамика реального капитала инвестора описывается следующим уравнением

+ »г11 °п

Проблема максимизации ожидаемой полезности инвестора формулируется следующим образом [4-7]

и\{с,г)=£Х<г^^— ^>0

Функции полезности (4) при интерпретируются как предельный случай

(4)

логарифмической полезности. Неотрицательные константы 1 и 2 определяют различные веса промежуточного и конечного потребления, включая ситуации, когда

инвестор извлекает полезность только из промежуточного потребления или

только из конечного капитала

(*1 = 0)

Оптимальная стратегия потребления и оптимальная инвестиционная стратегия инвестора с постоянным относительным неприятием риска в реальном выражении определяется соотношением

(5)

Оптимальные стратегии потребления и инвестирования выражены через стохастический процесс (&), определяемый следующим образом

(6)

где дефлятор ** определяется процессом м, = еч»|-¡гхЛ-¡2^ -IЛ|л,||2л|

(7)

Как видно из (5), оптимальное инвестиционное решение представляет собой сумму

трех составляющих, первая из которых ' есть спекулятивная часть портфеля

(«близорукий» спрос инвестора, основанный на анализе математического ожидания и дисперсии доходности актива), т.е. размещение капитала в активы инвестором, игнорирующим изменения инвестиционных возможностей. Спекулятивная позиция

инвестора существенно зависит от стохастической ожидаемой доходности активов . Например, если ожидаемая избыточная доходность идеально отрицательно коррелированна с ценой актива, спекулятивная стратегия состоит в сокращении позиции по активу после роста их цен увеличении позиции в случае падения цены актива. Следующие две составляющих (5) описывают, как инвестор оптимально хеджирует изменения инвестиционных возможностей, которые включают изменения темпов инфляции (второй член в (5)) и изменения параметров финансового рынка (краткосрочной процентной ставки и рисковой премии) в реальном выражении. Заметим, что оптимальный портфель (5) позволяет сделать вывод о том, какие риски следует хеджировать инвестору. А именно, кроме инфляционного риска, оптимально инвестору следует хеджировать только те сдвиги в инвестиционной среде, которые влияют на ядро ценообразования в реальном выражении, т.е. при условии полноты финансового рынка следует хеджировать только изменения реальной краткосрочной процентной ставки и реальной рыночной цены риска. Кроме того, составляющая

г Р*) а& ^ описывающая хеджирование, определяется волатильностью отношения капитал/потребление инвестора.

Из решения (5) видно, что оптимальное потребление составляет зависящую от времени и состояния инвестиционной среды часть капитала инвестора. При постоянных реальных инвестиционных возможностях, т.е. при постоянной

краткосрочной процентной ставке в реальном выражении г* и постоянной реальной

рыночной цене риска ~ имеем

;-?+ВНЛ]

(8)

Целесообразно рассмотреть два важных частных случая: инвестора с логарифмической полезностью (характеризующегося нейтральным отношением к

риску при и инвестора с бесконечным коэффициентом относительного неприятия риска при (формально результаты для инвестора с бесконечным

неприятием риска определяются как предельный случай стратегий (5) при ) дЛя

инвестора с логарифмической полезностью получаем " и

°, так что инвестор с логарифмической функцией полезности вообще не хеджирует ни изменения инвестиционных возможностей, ни инфляционный риск, а его оптимальная норма потребления является нестационарной, но детерминированной частью капитала. Инвестор с бесконечным коэффициентом относительного неприятия риска вообще не имеет спекулятивного спроса на рисковые ценные бумаги (первое слагаемое в (5) исчезает при Если такой инвестор извлекает полезность и из

промежуточного потребления, и из конечного капитала, процесс принимает вид

Поэтому портфелем хеджирования будет реальная рентная облигация с непрерывным

купоном в одну единицу потребления в интервале и единовременной выплатой с момент Т одной единицы потребления. В случае, если инвестор извлекает полезность

только из конечного капитала, т.е. з портфелем хеджирования будет реальная облигация с нулевым купоном со сроком погашения на инвестиционном горизонте.

Определены оптимальные стратегии хеджирования против стохастических процентных ставок реальными облигациями. Доказано, что если реальная

краткосрочная процентная ставка г* описывается гауссовским процессом и процесс

рисковых премий в реальном выражении ^ является детерминированным, то оптимальная инвестиционная стратегия определяется выражением

+^1-^№Л + а1ь)|

(9)

где - вектор волатильности номинальной цены реальной облигации,

выплачивающей непрерывный реальный купон согласно соотношению

05,£і<

т

(10)

и характеризующейся конечной выплатой в момент 1 в размере

ф).

Этот результат дает явное представление оптимальной инвестиционной стратегии с учетом инфляции и весьма общей, в том числе немарковской, многофакторной

динамике процентных ставок. Оптимальный портфель включает долю капитала

размещаемую в спекулятивную часть портфеля, и часть капитала вкладываемую в предлагаемую реальную купонную облигацию, хеджирующую против изменений инвестиционных возможностей. В случае отсутствия промежуточного потребления соответствующей облигацией является реальная облигация с нулевым купоном с погашением в конце инвестиционного горизонта.

Литература

1. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. - М.: «Дело», 1995.

2. Четыркин Е.М. Финансовая математика. - М.: «Дело», 2002.

3. Шарп У., Александер Г., Бейли Д. Инвестиции. Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 2003.

4. Наталуха И.Г. Оптимальные стратегии инвестирования и потребления в стохастических условиях // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 11, выпуск 4. - С. 886-887. - 0,1 п.л.

5. Наталуха И.Г. Моделирование оптимальных стратегий инвестирования и потребления в стохастической инвестиционной среде // Вестник Иркутского государственного технического университета. - 2005. - № 1. - С. 82-86. - 0,3 п.л.

6. Наталуха И.Г. Оптимальное инвестирование и потребление с учетом привычного уровня потребления // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 12, выпуск 2. - С. 450-455. - 0,4 п.л.

7. Наталуха И.Г. Оптимальное хеджирование стохастических процентных ставок с учетом промежуточного потребления // Вестник Иркутского государственного технического университета. - 2005. - № 3. - С. 141-147. - 0,4 п.л.

№ рег. статьи 0060

Это статья Управление экономическими системами: электронный научный журнал

http ://uecs.mcnip.ru

URL этой статьи: http://uecs.mcnip.ru/modules.php?name=News&file=article&sid=123