CC BY
65
Моделирование и оптимизация портфельных инвестиций в стохастических
нестационарных условиях Дата: 13/08/2010 Номер: (23) УЭкС, 3/2010
Аннотация: Построена оптимальная стратегия динамического размещения фондовых активов инвестором, характеризующимся степенной функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска. В явном аналитическом виде получены характеристики оптимального портфеля (спекулятивный спрос на рисковые активы и портфель хеджирования) в зависимости от рисковых премий, стохастических инвестиционных возможностей и функции полезности инвестора.
Ключевые слова: рисковые активы, финансовые инвестиции, стохастическая оптимизация
Abstract: Optimal investment strategy of dynamic asset allocation by a financial investor with power utility and constant degree of risk aversion. We derive an explicit analytical characterization of the optimal portfolio (speculative demand for risky assets and a hedge portfolio) in terms of risk premiums, stochastically evolving investment opportunities and investor’s utility function.
Keywords: risky assets, financial investments, stochastic optimization
Никонович Наталья Николаевна
аспирант
Кисловодский институт экономики и права
in63@mail.ru
Выходные данные статьи: Никонович Н.Н. Моделирование и оптимизация
портфельных инвестиций в стохастических нестационарных условиях // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2010. - № 3 (23). - № гос. рег. статьи 0421000034/0050. - Режим доступа к журн.: http://uecs.mcnip.ru.
Введение
Финансовые рынки в условиях глобализации современной экономики характеризуются различного рода нестационарными, кризисными и катастрофическими явлениями [1-3].В таких условиях классические модели и методы финансовой математики [4,5] часто оказываются неадекватными. Так, в рамках классической портфельной теории невозможно разрешить такие проблемы несоответствия популярных рекомендаций фондовых консультантов теоретическим предсказанием, как парадоксы Самуэльсона [6] и Кеннера-Мэнкью-Вейла [7]. Парадокс Самуэльсона состоит в том, что, согласно советам фондовых консультантов, долгосрочные инвесторы должны размещать большую часть капитала в акции, чем краткосрочные, а классическая теория не связывает оптимальное размещение активов с длиной инвестиционного горизонта. Кроме того, отношение долей капитала,
размещаемого в облигации и акции, должно, согласно практическим рекомендациям, увеличиваться с ростом неприятия риска инвестором, что находится в противоречии с предсказанием теории об одном и том же отношении капитала, инвестированного в облигации и акции, для всех инвесторов (парадокс Кеннера-Менкью-Вейла).
В настоящей работе предложена непрерывная по времени динамическая стохастическая модель размещения рисковых активов (акций и облигаций), которая разрешает одновременно оба указанных парадокса и находится в согласии с практическими рекомендациями финансовых аналитиков.
Экономико-математическая модель
Инвестор выбирает динамическую портфельную стратегию, максимизирующую ожидаемую полезность своего капитала ^ на горизонте - :
3 = шах Е[и{№т )]
(1)
Функция полезности инвестора характеризуется постоянным относительным неприятием риска
где
- коэффициент относительного неприятия риска. При У ^
имеем особый предельный случай логарифмической полезности )— ^1 ^
Цены рисковых активов с учетом реинвестирования дивидендов эволюционируют согласно стохастическому дифференциальному уравнению
аГ&
= + хі }іі + ОгСІЖи
(2)
Г, Х+
где г - краткосрочная номинальная процентная ставка, т
доходность по акциям,
волатильность цен активов,
1 .
ожидаемая избыточная
винеровский случайный
процесс. Избыточная доходность по акциям описывается уравнением Орнштейна Уленбека
= а(х - хг)с^ - сгхс11Р'1(. ^
где Х - долгосрочная рисковая премия, а - параметр релаксации к
установивишемуся значению, СТдг - волатильность избыточной доходности. Предполагаем, что цена актива и рисковая премия идеально отрицательно коррелированы.
Динамика номинальной процентной ставки описывается процессом Орнштейна -Уленбека
где ^ - среднее значение процентной ставки на большом временном интервале, - -скорость релаксации, ~Г?‘ - волатильность процентной ставки. Предполагаем, что два
№ И?7
основных винеровских процесса 1 и 1, генерирующих динамику цен рисковых
и
активов, коррелированы с постоянным коэффициентом корреляции .
Динамика цены облигации * описывается стохастическим дифференциальным уравнением
с1Вт
~в7
= (г? + лв )а +
2f
(5)
дВ 1
где п т - а - п - т~ V »- л, а эластичность цены облигации
относительно краткосрочной процентной ставки, которая называется модифицированной дюрацией и является индикатором процентного риска облигаций. Итак, финансовый агент имеет возможность инвестировать капитал в три вида активов: безрисковый актив (банковский счет), акции и облигации. Вариационноковариационная матрица имеет вид
Инфляция в экономике моделируется следующим образом. Номинальная цена
реального потребительского товара в экономике в момент Г составляет ^. Реальная
цена любого актива в экономике поэтому определяется дефляцией индекса цен ^.
Реальная цена акций, например, равна Динамика номинальной цены
потребительского товара определяется следующей системой стохастических дифференциальных уравнений
<іщ
= я/# + ач,сП¥3і
» .(7)
<іяі = /3 (я - яі Ук + сгя<11¥Лі
где
я,
і .
ожидаемая ставка инфляции, Я описывает долгосрочную среднюю скорость
инфляции,
скорость релаксации
Я.
к своему среднему значению,
волатильность инфляционной процентной ставки, ^ - волатильность индекса цен
(фактически ^ определяет темп краткосрочной инфляции в экономике). Изменения номинального индекса цен и инфляционной ставки коррелированы с доходностью акций и процентными ставками. Например, ковариация между доходностью акций и
уровнем цен равна
'У, ковариация между доходностью акций и
скоростью инфляции равна Т5Я ^ 14 ,тз'тдг ? и х д
Решение задачи оптимизации портфельных инвестиций
В предположении, что неявная функция полезности дважды непрерывно дифференцируема, запишем уравнение Беллмана, соответствующее задаче максимизации ожидаемой полезности (1)
неявная функция полезности )
причем
должна удовлетворять граничному условию
при ^ = Т : ^)— ) Вектор портфельных весов ^ (штрих
означает транспонирование) представляет собой доли капитала, инвестированного в акции и номинальные облигации, соответственно. Оставшаяся часть капитала
=1- е'м? = 1 - -м?
г ~ “ " “ "5 где & — , инвестируется в банковский счет. Условие
первого порядка задачи (9) дает следующее распределение оптимальных пропорций размещения капитала в рисковые активы:
-Л
Ш7„
№
\УХ
-1
(к л
J
н?г
-1
Лт л
ж/.
5?*
3
У?Я
Ш7,
Е-1
г
<о
(
УМ?
\?Вя)
л
V
ж/.
»№ J
X"1
Первое слагаемое в (10) представляет собой спекулятивную часть портфеля («близорукий» спрос), который оптимален для инвестора с логарифмической полезностью. Следующие четыре слагаемых в (10) описывают, как инвестор оптимально хеджирует изменения инвестиционных возможностей, которые в рассматриваемом контексте включают изменения ожидаемых избыточных доходностей (второе слагаемое в (10)), номинальных процентных ставок (третье слагаемое), а также изменения будущих темпов инфляции (четвертое слагаемое) и краткосрочной инфляции (пятое слагаемое). Заметим, однако, что хотя пятое слагаемое в (10) исчезает для инвестора с логарифмической полезностью, он будет в общем случае отличен от нуля при спекулятивном спросе инвестора с нелогарифмической полезностью. Поэтому, строго говоря, пятое слагаемое не является составляющей межвременного спроса на хеджирование, а есть часть оптимального близорукого портфеля инвестора. Как и в рамках статического подхода, основанного на математическом ожидании и дисперсии, «близорукий» инвестор комбинирует портфель рисковых активов, выбираемый инвестором с логарифмической полезностью, с другим портфелем на статической границе эффективности. Фактически пятое слагаемое в (10) может быть отождествлен с портфелем минимальной дисперсии при условии, что доходности вычисляются в реальном выражении; это
2
непосредственно устанавливается минимизацией выражения для ' ™ в (9) относительно портфельных весов .
Второе слагаемое в выражении (10) описывает хеджирование против изменений будущих ожидаемых доходностей акций. Используя соотношение
преобразуем эту часть портфеля следующим образом
Оптимальное хеджирование против изменений ожидаемой избыточной доходности акций полностью достигается, таким образом, инвестированием только в акции; облигации для этой цели вообще не используются. Этот результат имеет место благодаря предположению об идеальной отрицательной корреляции между
динамическим процессами, определяющими эволюцию цен акций ^ и избыточной
ДОХОДНОСТИ ' ‘ .
Аналогично, третье слагаемое в (10), описывающее хеджирование номинальной процентной ставки, с использованием соотношения
против
переписывается следующим образом
3.
И’Г
-1
Гп-
\УВг)
1
_ И'Г
О
Го>
Следовательно, оптимальное хеджирование против изменений процентной ставки достигается инвестированием целиком в облигации (доходность по которым идеально отрицательно коррелирована с краткосрочной процентной ставкой).
Оптимальное размещение активов инвестора, характеризующегося постоянным
относительным неприятием риска с коэффициентом / — 1 устанавливается следующим Утверждением.
Утверждение.
1. Неявная функция полезности ^, являющаяся решением уравнения (9), имеет вид
а(с)
где ^ г есть решение обыкновенного дифференциального уравнения с условием а(0)= О
и
1 -У Оъв<Ув я
(7ВС7
5 Я
-а
5В
у а, О
7
5Я
2. Вектор оптимального размещения рисковых активов в момент ^ определяется выражением
(12)
^ И> =1- е'у\? = 1 -У\? — ^ .
Оставшаяся часть капитала 7 за инвестируется в банковский
счет.
Доказательство. Подставляя пробное решение в неопределенной форме вида (11) в уравнение, определяющее портфельный выбор (10), получаем условие (12). Подстановка оптимального условия размещения активов (12) в уравнение Беллмана (9) приводит к уравнению, которое линейно по Г и Я и квадратично по ; его пять коэффициентов должны равняться нулю, что дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
Ь'(т) = 1-кЬ(т) Ь(о) = 0 сг(т) = 1— /?с(т) с(0) = 0
1’(т)=10 +1{е(т) + 12(1(т$ 1(0) = 0
а[,(г)= ^ + У(г)|^(г)+д[0 -Ь + с{2Ь(т)1(т)+ й?4с(т)£(-г) ^(0)=0
для каждого из коэффициентов при ^, ■я’, х и ■*’, а также обыкновенное дифференциальное уравнение для \ следующее из условия равенства нулю суммы
I. Решения для функций
d(т)
и
1( г)
как следует из
. Нетрудно показать, что
остальных членов этого уравнения. Предложения, существуют лишь при условии
у> 1
это неравенство эквивалентно условию Спекулятивная позиция инвестора, описываемая первым слагаемым в выражении (12),
X
зависит от нестационарной ожидаемой избыточной доходности акций *, и это вводит время в спекулятивную стратегию. В частности, поскольку ожидаемая избыточная доходность идеально отрицательно коррелирована с ценой акций, спекулятивная стратегия состоит в сокращении позиции по акциям после роста их цен и в увеличении
позиции в случае падения цен акций. Спекулятивная (близорукая) стратегия соответствует игнорированию инвестором изменений инвестиционных возможностей.
'-г- ^
г, * и ^ равными нулю:
Это ясно видно, если положить волатильности х , " тогда набор инвестиционных возможностей постоянен, и составляющие в оптимальном размещении, соответствующие хеджированию, исчезают.
Вторая и четвертая составляющие в выражении (12) оправдывают популярные рекомендации инвесторам с большим инвестиционным горизонтом размещать большую часть капитала в рисковые акции. На более формальном уровне, точное влияние инвестиционного горизонта на размещение акций в рассматриваемой постановке описывается производной по времени от оптимального размещения а
акции в (12). Пусть ^= * обозначает остающийся временной горизонт для
инвестора в момент 1. Дифференцируя выражение для г в (12) по временному горизонту получаем
(13)
Первое слагаемое в соотношении (13) соответствует влиянию инвестиционного горизонта, связанному с релаксацией ожидаемой избыточной доходности акций к долгосрочной рисковой премии согласно стохастическому процессу (3). Второе слагаемое в (13) описывает эффект инвестиционного горизонта, связанный с использованием акций для хеджирования инфляционного риска долгосрочными инвесторами. В случае, если первая производная в (13) положительна, это означает, что долгосрочные инвесторы должны оптимально инвестировать большую часть капитала в акции, чем краткосрочные инвесторы, что находится в согласии с популярными рекомендациями финансовых аналитиков [7].
Знак первого слагаемого в (13) зависит от знаков производных по времени
а"(г)
и
у >1
( * , поскольку ' ). При отсутствии неопределенности процентных
1 с1'(т) /’(г)
ставок и инфляции нетрудно показать, что производные ' ' и \ ' положительны, т.е. первое слагаемое положителен для всех значений параметров при положительных значениях переменной избыточной доходности %. В общем случае анализ существенно усложняется в связи с неопределенностью процентных ставок, скорости инфляции и возможности инвестирования в облигации. Однако, непосредственное
дифференцирование выражения для
/(г)
показывает, что производная * положительна. Поэтому при достаточно большой ожидаемой избыточной доходности весь первый член (13) будет положителен. Это означает, что долгосрочные инвесторы должны инвестировать больше в акции, чем краткосрочные.
Поскольку производная полностью определяется
с’( г)
положительна, знак второго слагаемого в (13)
знаком выражения
Поэтому
инфляционный риск вызывает большее размещение капитала в акции для
случае относительно высокая корреляция между ценой акций и темпом инфляции делает акции подходящим инструментом для хеджирования долгосрочного инфляционного риска (сравнительно с номинальными облигациями) в том смысле, что если имеют место высокие темпы инфляции, угрожающие привести к низким реальным доходностям в инвестиционный период, и поэтому динамика акций в этом случае приближается к поведению долгосрочной реальной облигации. Заметим, что
помимо параметров, влияющих на знак второго слагаемого в (13), параметр ^ определяет различие между размещением акций для близорукого и долгосрочного инвесторов с одинаковым относительным неприятием риска, а также “скорость” этого
эффекта, связанного с длиной инвестиционного горизонта. Поэтому, если ^ мало, изменения ожидаемых темпов инфляции близки к постоянным, и влияние инвестиционного горизонта на размещение в акции может быть существенным для долгосрочных инвесторов по сравнению с краткосрочными и даже среднесрочными
г - Р ..
инвесторами. С другой стороны, если г велико, изменения ожидаемой нормы
инфляции весьма непостоянны, и эффекты инвестиционного горизонта, связанные с неопределенностью инфляции могут быть малыми и одинаковой величины для размещения в акции для среднесрочных и долгосрочных инвесторов.
В целом, является ли размещение в акции возрастающей функцией длины
инвестиционного горизонта, зависит от знаков и величин двух составляющих в правой части (13). Первая составляющая, как правило, положительна и, следовательно, приводит к большему размещению в акции для инвесторов с более длинным горизонтом. Влияние второй составляющей зависит от способности акций хеджировать долгосрочный инфляционный риск.
Для прогнозирования зависимости оптимального размещения капитала в акции от инвестиционного горизонта и коэффициента относительного неприятия риска построенная модель была калибрована к фондовому рынку США, представленному индексом S&P 500. Использовались данные по доходности индекса S&P 500 в период с марта 1951 по январь 2007 г. [8]. На рис. 1 показаны оптимальные доли капитала, инвестированного в индекс S&P 500 в зависимости от коэффициента относительного неприятия риска инвестора и длины инвестиционного горизонта. Нетрудно видеть, что размещение в акции растет с ростом инвестиционного горизонта и с уменьшением коэффициента относительного неприятия риска, что находится в полном соответствии с рекомендациями финансовых аналитиков.
долгосрочных инвесторов тогда и только тогда, когда
. В этом
Рис. 1. Оптимальное размещение капитала в акции как функция инвестиционного горизонта и относительного неприятия риска инвестора:
1 - У =8,7; 2 - У =4,2; 3 - У =2,2
Заключение
Итак, в работе предложена непрерывная по времени динамическая стохастическая модель размещения рисковых фондовый активов инвестором, характеризующимся степенной функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска, на основе которой определена оптимальная стратегия портфельного инвестирования. Инвестиционный набор включает три вида активов различной рисковости: акции, облигации и банковский счет. Динамика цен акций и облигаций описывается стохастическими дифференциальными уравнениями, а динамика номинальной процентной ставки и темпов инфляции определяется стохастическими процессами Орнштейна-Уленбека с релаксацией. Показано, что оптимальное размещение рисковых активов в стохастической инвестиционной среде может быть представлено в виде спекулятивного портфеля, пропорционального рисковой премии, и портфеля хеджирования рисков, который показывает, как инвестор должен оптимально хеджировать изменения инвестиционных возможностей. Дана экономическая интерпретация оптимальной стратегии инвестирования. Показано, что предложенная модель может объяснить известные парадоксы Самуэльсона и Кеннера-Мэнкью-Вейла, состоящие в несоответствии теоретических результатов классической портфельной теории рекомендациям профессиональных инвесторов.
Библиографический список
1. Cochrane J.H. Asset pricing. - Princeton: Princeton University Press, 2001.
2. Sornette D. Why stock markets crash. - Princeton: Princeton University Press, 2002.
3. Данилов Ю. Новая роль фондового рынка в России // Вопросы экономики. -2003, №7. С. 44-56.
4. Четыркин Е.М. Финансовая математика. - М.: Дело, 2002.
5. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. - СПб.: Питер, 2000.
6. Samuelson P.A. The long-tern case for equities and how it can be oversold // Journal of Portfolio Management. - 1994. - V. 21. - P. 15-24.
7. Cаnner N., Mankiw N.G., Weil D.N. An asset allocation puzzle // American Economic Review. - 1997. - V. 87. - P. 181-191.
8. Shiller R.J. Irrational exuberance. - Princeton: Princeton University Press, 2008.
* Выражение (11) формально определено только при . Случай получается из (11) предельным переходом .
№ гос. рег. статьи 0421000034/0050
Это статья Журнал ВАК :: Управление экономическими системами: электронный научный
журнал http ://uecs.mcnip.ru
URL этой статьи: http://uecs.mcnip.ru/modules.php?name=News&file=article&sid=186
