Научная статья на тему 'Оптимальное управление фондовыми инвестициями в стохастических условиях с учетом инфляции'

Оптимальное управление фондовыми инвестициями в стохастических условиях с учетом инфляции Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

CC BY
92
25
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ИНВЕСТИРОВАНИЕ / ПОТРЕБЛЕНИЕ / ФИНАНСОВЫЙ РЫНОК / ОПТИМАЛЬНЫЙ ПОРТФЕЛЬ / INVESTMENT / CONSUMPTION / FINANCIAL MARKET / OPTIMAL PORTFOLIO

Аннотация научной статьи по экономике и бизнесу, автор научной работы — Кошелев Игорь Викторович, Наталуха Игорь Анатольевич

Исследованы оптимальные стратегии инвестирования и потребления агента финансового рынка, извлекающего полезность из промежуточного потребления и/или конечного капитала. В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос на рисковые активы и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, стохастически эволюционирующих параметров инвестиционной среды и характеристик функции полезности инвестора. Показано, какие риски следует оптимально хеджировать и как финансировать желаемый реальный (с учетом инфляции) процесс потребления инвестициями в номинальные активы.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

STOCK INVESTMENTS OPTIMAL MANAGEMENT UNDER STOCHASTIC CONDITIONS TAKING INTO ACCOUNT INFLATION

The authors study optimal investment and consumption strategies of an agent of a financial market benefiting from the intermediate consumption and /or the final capital. In an evident analytical form they obtained components of an optimal portfolio (speculative demand for risk assets and a hedging portfolio) as functions of risk bonuses, stochastically evolving parameters of investment environment and characteristics of the function of investor's usefulness. The authors demonstrate what risks should be hedged optimally and how to finance desired realistic consumption process with investments into nominal assets (taking into account inflation).

Текст научной работы на тему «Оптимальное управление фондовыми инвестициями в стохастических условиях с учетом инфляции»

остается иных способов повышения конкурентоспособности. В российской экономике существует проблема недостатка конкуренции. Таким образом, развитие инновационного потенциала прямо связано с развитием конкурентной среды МСБ, то есть с расширением малого и среднего предпринимательства.

Библиографический список

1. Andrew J.P. Measuring innovation 2007: A BCG Senior Management Survey [Electronic resource] / J. P.Andrew, H.L.Sirkin, K.Haanaes, D.C.Michael. - The Boston Consulting Group, August, 2007. Режим доступа: http://www.bcg.com.

2. Asheim B. Regional innovation Policy for Small-medium Enterprises [Electronic resource] etc. 2003. - Режим доступа: http://books.google.com/

3. Bound J. Who does R&D and who patents? in R&D, Patents, and Productivity / J.Bound, C.Cummins, Z.Griliches, B.Hall, A.Jaffe. - Chicago, 1984. - Pp.21-54.

4. Kramer M.R. Measuring innovation: Evaluation in the Field of Social Entrepreneurship [Electronic resource] - Foundation Startegy Group, April. - Режим доступа: http//www.skollfoundation.org/media/skoll_docs/Measuring innovation (Skoll and SG Report).pdf.

5. Milbergs E. innovation Metrics: Measurement to insight [Electronic resource] / Center for Accelerating innovation, 2004. - Режим доступа: http://www.innovationtools.com/pdf/innovation-Metrics-Nii.pdf.

6. Scherer F. innovation and Growth: Schumpeterian Perspectives / Cambridge, 1984. Ch11.

7. Беляева Е.С. Инновационный потенциал как фактор роста. Механизмы повышения эффективности инновационной деятельности в регионе: сборник научных докладов

международной научно-практической конференции, Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2005.

8. Российская промышленность на перепутье: что мешает нашим фирмам стать конкурентоспособными? / Гончар К. [и др.] // Вопросы экономики. 2007. №3. С.4-34.

9. Друкер П.Ф. Бизнес и инновации. М.: ООО «И.Д. Виль-ямс», 2007. 432 с.

10. Индикаторы инновационной деятельности: 2007. Статистический сборник. М.: ГУ-ВШЭ, 2007. 400 с.

11. Инновационная экономика / под ред. А.А. Дынкина, Н.И. Ивановой. М.: Наука, 2001. 294 с.

12. Исследование инновационного потенциала Иркутской области с целью создания и развития центров трансфера технологий. Научный отчет. Иркутск, ИрГТУ.

13. Козлов К.К., Соколов Д.Г., Юдаева К.В. Инновационная активность российских фирм // Экономический журнал ВШЭ. 2004. № 3. С. 399.

14. Кристенсен К. Дилемма инноватора. М.: Альпина бизнес букс, 2004. 239 с.

15. Миляева Л.Г. Экспресс-оценка инновационного потенциала промышленных предприятий (на примере г. Бийска Алтайского края) (грант № 2006-079). Препринт. 2007.

16. Портер М. Конкурентное преимущество: как достичь высокого результата и обеспечить его устойчивость. М.: Альпина бизнес букс, 2005. 715 с.

17. Розанова Н.М. Структура рынка и стимулы к инновациям: уроки для России [Электронный ресурс] // Проблемы прогнозирования. 2002. № 3. С. 93-108. Режим доступа: http://economics.boom.ru/Rozanova/Rozanova1.htm

18. Скрипников С. Бизнес-рецепты от вальдорфского аптекаря [Электронный ресурс] // Эксперт. 2007. №5 (549). http://www.expert.ru

19. Шумпетер Й. Капитализм, социализм и демократия. М., 1995. 864 с.

УДК 336.075

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ФОНДОВЫМИ ИНВЕСТИЦИЯМИ В СТОХАСТИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ С УЧЕТОМ ИНФЛЯЦИИ

И.В.Кошелев1, И.А.Наталуха2

пятигорский филиал Российского государственного торгово-экономического университета, 357500, г. Пятигорск, ул. Кучуры, 8. 2Кисловодский институт экономики и права, 357700, г. Кисловодск, ул. Р. Люксембург, 42.

Исследованы оптимальные стратегии инвестирования и потребления агента финансового рынка, извлекающего полезность из промежуточного потребления и/или конечного капитала. В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос на рисковые активы и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, стохастически эволюционирующих параметров инвестиционной среды и характеристик функции полезности инвестора. Показано, какие риски следует оптимально хеджировать и как финансировать желаемый реальный (с учетом инфляции) процесс потребления инвестициями в номинальные активы. Библиогр. 10 назв.

Ключевые слова: инвестирование; потребление; финансовый рынок; оптимальный портфель.

1Кошелев Игорь Викторович, кандидат экономических наук, старший преподаватель кафедры информатики и математики, email: tatess@mail.ru

Koshelev Igor Victorovich, a candidate of economical sciences, a senior lecturer of the Chair of Informatics and Mathematics, e-mail: tatess@mail.ru

2Наталуха Игорь Анатольевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой экономико-математического моделирования, тел.: (87937) 48164, e-mail: in63@mail.ru

Nataluha Igor Anatoljevich, a doctor of physical and mathematical sciences, a professor, the head of the Chair of Economical and Mathematical Modeling. Tel. (87937) 48164, e-mail: in63@mail.ru

STOCK INVESTMENTS OPTIMAL MANAGEMENT UNDER STOCHASTIC CONDITIONS TAKING INTO ACCOUNT INFLATION

I.V.Koshelev, I.A. Nataluha

Pyatigorsk branch of Russian state commercial and economical university 8 Kuchura St., Pyatigorsk, 357500 Kislovodsk Institute of Economics and Law 42 R.Luksemburg St., Kislovodsk, 357700

The authors study optimal investment and consumption strategies of an agent of a financial market benefiting from the intermediate consumption and /or the final capital. In an evident analytical form they obtained components of an optimal portfolio (speculative demand for risk assets and a hedging portfolio) as functions of risk bonuses, stochastically evolving parameters of investment environment and characteristics of the function of investor's usefulness. The authors demonstrate what risks should be hedged optimally and how to finance desired realistic consumption process with investments into nominal assets (taking into account inflation). 10 sources.

Key words: investment; consumption; financial market; optimal portfolio.

В последние годы в России наблюдается рост финансовых операций, связанных с акциями, облигациями и вторичными ценными бумагами. Это приводит к расширению финансовых рынков и усложнению используемых на этих рынках финансовых инструментов. Современное финансовое инвестирование непосредственно связано с формированием финансового портфеля. Главной целью формирования финансового портфеля является обеспечение реализации основных направлений финансового инвестирования капитала фирмы путем подбора наиболее доходных и безопасных финансовых инструментов [1,2]. Несмотря на большое количество теоретических и прикладных исследований в области анализа финансовых рынков и оптимизации финансового портфеля, многие проблемы далеки от разрешения. Основная задача участников финансовых рынков состоит в определении цен финансовых инструментов и построении (оптимальных) хеджирующих стратегий. При этом изменение цен акций, процентных ставок и доходностей на рынках носит стохастический характер.

Надежные количественные результаты, касающиеся построения оптимальных стратегий финансового инвестирования с использованием высокодоходных рисковых финансовых инструментов, позволяющих агенту финансового рынка осуществлять оперативное управление портфелем ценных бумаг, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей финансового инвестирования в непрерывном времени с учетом функций полезности инвестора [37].

В условиях инфляционной экономики модели финансового инвестирования должны учитывать инфляционный риск (заметим, что в работах [3-7] инфляция не учитывается). Инфляционный риск в моделях оптимального портфельного выбора исследовался ранее лишь в наиболее простых частных случаях, соответствующих очень простой динамике номинальных процентных ставок [7]. Инфляция является одним из источников неопределенности реальных доходностей финансовых инвестиций. Хеджирование инфляционного риска (т.е. защита инвестиционного портфеля от инфляции) является нетривиальной задачей, поскольку на финансовых рынках предлагаются только номи-

нальные облигации, которые наряду с депозитами имеют рисковые реальные доходности.

В данной работе предложена непрерывная по времени динамическая модель размещения рисковых активов с учетом стохастической динамики цен рисковых активов (акций и облигаций), стохастической эволюции параметров инвестиционной среды и неопределенности инфляции. Модель позволяет оптимально хеджировать риски, связанные с указанными неопределенностями, и объяснять зависимость оптимального спроса инвестора на рисковые активы от длины инвестиционного горизонта и относительного неприятия риска инвестора.

Рассматривается задача выбора динамической портфельной стратегии инвестором, максимизирующим ожидаемую полезность своего капитала Ж на

временном горизонте Т:

3 = тах Е[и (ЖТ)] (1)

путем инвестирования в банковский счет, номинальные облигации и акции. Функция полезности инвесторов характеризуется постоянным относительным неприятием риска [6-8]

U (W) =

W

1-7

1-Y

(2)

где коэффициент относительного неприятия риска

и"(Ж )Ш

Эрроу - Пратта ЯЯЛ =---—-— = у. При у = 1

и '(Ж)

имеем предельный случай логарифмической полезности и = 1п Ж .

Динамика номинальной процентной ставки описывается процессом Орншейна - Уленбека [9]

Сг1 = к(7 - г )ск - <Угйхи , (3) где г - среднее значение г1 на большем временном интервале, к - скорость релаксации г\ к установившемуся значению, аг - волатильность процентной ставки, - винеровский случайный процесс. Облигация представляет собой требование на зависимые от номинальной процентной ставки будущие потоки платежей и поэтому, согласно лемме Ито, динамика цены облигации Б, описывается стохастическим дифференциальным уравнением следующего вида:

dBt = Bt [(rt + AB (rt, t ))dt + +aB (r,t )dzlt ]

(4)

где Лв = Л1ав , а Л1=аг 1(л1 - г,) - рисковая премия, индуцированная экзогенным возмущающим процессом , л - ожидаемая норма доходности, ав = аг В (г,,) - волатильность цены облигации,

дВ 1 к В =---- эластичность цены облигации относи-

дг В

тельно краткосрочной процентной ставки (называемая обычно дюрацией). Динамика цены акции (индекса акций) с учетом реинвестирования дивидендов эволюционирует согласно стохастическому дифференциальному уравнению

СБ, = Б, \(г, + и/а „ )Л +

' ' ' ^ Б (5)

+PBS°SdZl, W1 -PBS2 °sdz2,

Здесь рВБ - корреляция между доходностями рынка облигаций и рынка акций, - волатильность цены акции, и - число Шарпа для акции, которое предлагается постоянным, 22 - винеровский случайный процесс. В целом динамика номинальных цен активов может быть записана следующим образом:

' св.} (В. 0 ^ ( I \(п

dS,) у 0

Ч (r, t)

v pbs°s f°B (r, t)t

S.

0

pIs

)dt + (6)

+

0

r-

где

у pbs&s

л2 = (¥~pbs\)i41 -pbs2 . 'Л

pbs

dzt dz2

Обозначим через

71,,

доли номинального капитала, инвестируе-

мого в облигацию и акцию (пв +лБ < 1, а оставшаяся часть капитала 1 -пв -лБ инвестируется в банковский счет). Тогда уравнение эволюции номинального капитала будет иметь вид

dWt = Wt [(rt +я?1а, )dt + n,Tv,

dzb dz2

(7)

(верхний индекс Т здесь и далее означает транспонирование), где

(ав (г,,,) 0 ^

у pbs°s

г-

pIs

л =

Номинальную цену реального потребительского товара в экономике в момент , обозначим I,. Тогда реальная цена любого актива в экономике определяется дефлированием на индекс цен I,. Например, реальная цена акции составляет Б, /1,. Динамика номинальной цены потребительского товара опреде-

ляется следующей системой стохастических дифференциальных уравнений:

dI, 1,

L = idt + °I1dzi, + 2dZ2t + 3dZ3t >

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

dit = в(i - i,)dt + a1ldzlt +

2dz2t +°i3dz3, + 4dz4t ,

(8)

где - ожидаемый темп инфляции, 1 - долгосрочное среднее значение темпа инфляции, р - скорость релаксации 1г к 1 постоянными.

Волатильности аЛ и aik полагаются

Положим,

2 2 2 2 а1 =а11 + °12 +а13

и

2 2 2 2 2 С =С +С2 + Сз + С .

Мгновенные дисперсии индекса цен и ожидаемого темпа инфляции тогда будут а212 и а"] соответственно. Изменения номинального индекса цен и темпа инфляции коррелированы с доходностью индекса акций и процентными ставками. Обозначим коэффициент корреляции между доходностью индекса акций и

уровнем цен аш = а5 (ра +а,^ -р2ю), коэффициент ковариации между доходностью индекса акций и ожидаемым темпом инфляции

аБ1 =аБ (рВ8ай 1 - р2ю), коэффициент ковариа-

ции между доходностью облигации и уровнем цен аВ1 = Свап , коэффициент ковариации между доходностью облигации и темпом инфляции ат = авап , коэффициент ковариации между уровнем цен и темпом инфляции ап = апаа +а12ап + а13а3 .

Реальный капитал инвестора в момент составляет = /1,. Применяя лемму Ито, получаем динамику реального капитала в следующем виде:

1 Ж 1 Ж

с= уСЩ --±С1, - — СЖ,С1, + (С1.)2 =

= wt[(r,t -i,+tf + -

<y,

<y,

)dt + (9)

T f dzit

+nt at I

У dz2t

Переменные (

f dz, Л

dz2t dz

V" 3t)

W r i t)

составляют марков-

скую систему и обеспечивают достаточную информацию для принятия решений инвестором. Запишем уравнение Беллмана, соответствующее задаче максимизации ожидаемой полезности инвестора

J (w, r, i, t)

sup {HwWJw + k(r - r)Jr + - i)J, +

n = (nB ,nS )

1

1

1

+—с w2J +—tf J +-a2J.. +a wJ + (10)

A w ww A r rr A i ii wr wr \ f

J

+a wJ . +a J . +--} = 0 ,

wi wi ri ri ■

dt

в котором

Л =

Ш = г + лто11-1, +а2, -П

а, = п а,а, п + - 2п

дующий вид:

а,,.

ав

а = -аг(пвав -ап) , аш = п \а~ I-а

Граничное условие имеет вид 3(,,г,г,Т) = м>г~г/(1 -у). Если уравнение (10) имеет решение 3(м>,г,г,,), при котором стратегия п является допустимой , то из теоремы верификации (см. [8]) следует, что эта стратегия действительно является оптимальной инвестиционной стратегией. Условие первого порядка задачи максимизации (10) имеет вид

(

,3,

а,Л -

-,3„а,а„

В1 ,,

\

(

+ , 3,

а

\

В1 ,,

+ ,3,

(11)

= 0.

Выражая п из уравнения (11), получаем оптимальное размещение капитала в рисковые активы в следующем виде:

Л - 3,

п

3,

аг

м>3.

ав У 0

,, в

,3, 1

-(аТ )-1Л +

1 + -

3,

,3,

(12)

<(а,аТ )-1

3,

,3...

<а,аТ )-1

Выражение (12) определяет оптимальные доли капитала, размещаемого в акции и облигации в постановке (1)-(5). Первый член в (12) представляет собой спекулятивную часть портфеля или «близорукий» спрос инвестора, соответствующий игнорированию инвестором изменения инвестиционных возможностей. Остальные три члена в выражении (12) описывают оптимальное хеджирование инвестором изменения инвестиционных возможностей. Второй член определяет хеджирование против номинальной процентной ставки. Третий и четвертый члены в (12) описывают оптимальное хеджирование против краткосрочной инфляции и изменений будущих темпов инфляции соответственно.

Непосредственной проверкой нетрудно установить, что если функция полезности инвесторов характеризуется постоянным относительным неприятием риска (2), то неявная функция полезности 3 является однородной степени 1 -у по капиталу и имеет сле-

Стратегия п должна

удовлетворять

Т

пт ш й <ж с вероятностью единица и

условиям

2

Па\ й < ж

0 0 с вероятностью единица и быть прогрессивно измеримым процессом относительно фильтрации, генерируемой вине-ровским случайным процессом.

1

3 (,, г, г,,) =-g (г, г,,)г,

1 -г

Гъ 1-?

(13)

Подставляя функцию (13) в уравнение Беллмана и учитывая аффинную динамику г и г, получаем следующее выражение для функции g(г,¿,():

g(г,г,,) = ехр[А1 (Т -,) + А2(Т -,)г + А*(Т -,)!],

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

А2(т) = ^Ь(т) = -е"кт),

у у к

А(т) = - ^АКт) = - 1(1 - е-вт) у у р

(функция А1 также может быть определена в явном

виде, однако это несущественно для оптимального портфельного выбора). Подставляя соответствующие производные в выражение (12), находим вектор оптимальных размещений капитала в рисковые активы в момент :

,0,

(14)

1 И (__Т )-1

п=1а )-1л+\ 1 -г

г

(ааТ )-

11 агЬ(Т -

г) ав

аВ1 Л + ( а Вг

а,1

А* (Т -,)

Выражение (14) показывает, что оптимальные портфельные веса для инвесторов, характеризующихся функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска, являются линейными комбинациями спекулятивного спроса на рисковые активы и различных спросов на хеджирование. В частности, для инвесторов с одинаковым инвестиционным горизонтом Т оптимальные портфели являются линейными комбинациями спекулятивного портфеля и единственного портфеля хеджирования. При этом терпимость по отношению к риску 1/ у определяет веса спекулятивного портфеля и портфеля хеджирования в оптимальном портфеле.

Второй член в соотношении (14) описывает хеджирование против изменений номинальной процентной ставки и целиком состоит из позиции по облигации. Нетрудно показать, что такое хеджирование приводит к тому, что отношение долей капитала, вложенных в облигации и акции, увеличивается с ростом коэффициента относительного неприятия риска инвестора, что находится в соответствии с популярными рекомендациями финансовых аналитиков. С другой стороны, последний член в (14) описывает хеджирование против инфляции и предполагает использование акций.

Непосредственная проверка показывает, что инфляционный риск вызывает большее оптимальное размещение капитала в акции долгосрочными инвесторами (т.е. приводит к росту спроса на акции) только в том случае, когда аа. >аХгап. / а1. В этом случае

относительно высокая корреляция между ценой акций и темпом инфляции делает акции более подходящим инструментом для хеджирования долгосрочного инфляционного риска сравнительно с номинальными

облигациями в том смысле, что если имеют место высокие темпы инфляции, угрожающие привести к низким доходностям в инвестиционный период, это компенсируется относительно высокими доходностя-ми по акциям в этот период и поэтому динамика акций в этом случае приближается к поведению долгосрочной реальной облигации.

IS 1,0 -

s

S 0,8 -

ä 3

Инвестиционный горизонт (в годах)

Оптимальное размещение капитала в акции как функция инвестиционного горизонта и относительного неприятия риска инвестора: 1 - у =8,7; 2 - у =4,2; 3 - у =2,2

Дифференцируя выражение для размещения капитала в акции из (14) по инвестиционному горизонту, приходим к выводу, что долгосрочные инвесторы должны оптимально инвестировать большую часть капитала в акции, чем краткосрочные, что также находится в согласии с практическими рекомендациями.

Для прогнозирования зависимости оптимального размещения капитала в акции от инвестиционного горизонта и коэффициента относительного неприятия риска построенная модель была калибрована к фондовому рынку США, представленному индексом £&P500 . Использовались данные по доходности индекса £ & Р 500 за период с марта 1951 г. по январь 2000 г. [10]. На рисунке показаны оптимальные доли капитала, инвестируемого в индекс £ & Р 500 в зависимости от коэффициента относительного непри-

ятия риска инвестора и длины инвестиционного горизонта. Нетрудно заметить, что размещение капитала в акции растет с ростом инвестиционного горизонта и с уменьшением относительного неприятия риска инвестора.

Итак, в работе построена динамическая модель размещения капитала в рисковые активы с учетом стохастической динамики их цен, стохастической эволюции параметров инвестиционной среды и неопределенности инфляции. В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос на рисковые активы и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, параметров инвестиционной среды и характеристик функции полезности инвестора. Найденные стратегии позволяют оптимально хеджировать риски, связанные с указанными неопределенностями, и объяснять зависимость оптимального спроса инвестора на рисковые активы от длины инвестиционного горизонта и относительного неприятия риска инвестора.

Библиографический список

1. Шарп У., Александер Г., Бейли Д. Инвестиции / пер. с англ. М.: «ИНФА-М», 2003.

2. Бланк И.А. Основы финансового менеджмента. в 2-х томах. Киев: «Ника-Центр», 2004.

3. Сизов Ю. Актуальные проблемы развития российского фондового рынка // Вопросы экономики. 2003, №7. C. 26-43.

4. Brandt M.W. Estimating portfolio and consumption choice: a conditional Euler equations approach // Journal of Finance. -

1999. - V. 54, №6. - Р. 1609-1645.

5. Campbell J.Y. Asset pricing at the millennium // Journal of Finance. - 2000. -V. 55, N 7. - P. 1515-1567.

6. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции СПб.: Питер.

2000.

7. Кошелев И.В. Моделирование портфельного и потребительского выбора инвестора, характеризующегося степенной функцией полезности // Современные научные исследования. 2007, № 4.

8. Наталуха И.Г. Динамическое размещение активов и потребительский выбор инвестора в стохастических условиях с учетом неликвидных активов // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2006. № 2. С. 138145.

9. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики, т.1-2. М., 1998.

10. Eichengreen B. Financial crises and what to do about them. Oxford: Oxford University Press. 2002.

УДК 336

К ВОПРОСУ ОБ ОЦЕНКЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ Е.С.Мандрыгина1

Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрены существующие проблемы методики оценки инвестиционных проектов. В частности, проблемы выбора критериев эффективности инвестиционного проекта, проблемы роли начисленной амортизации в показателях эффективности; проблема сравнения проектов с различными сроками продолжительности. Библиогр. 7 назв.

Ключевые слова: методы оценки инвестиций; показатели эффективности инвестирования; критерии эффективности инвестирования, методология анализа инвестиционной деятельности.

1Мандрыгина Елена Сергеевна, аспирант, тел.: (3952)510047, e-mail: elenamandrygina@ya.ru Mandrygina Elena Sergeevna, a postgraduate, tel.: (3952)510047, e-mail: elenamandrygina@ya.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.