CC BY
48
Моделирование динамических портфельных стратегий
Каранашев Анзор Хасанбиевич, кандидат экономических наук, доцент, заведующий кафедрой технологии социально-культурного сервиса Кабардино-Балкарского государственного университета;
Аннотация: В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос на рисковые активы и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, стохастически эволюционирующих параметров инвестиционной среды и характеристик функции полезности инвестора.
Ключевые слова: моделирование, стохастические процессы,
оптимизация, рискованные активы
Abstract. We derive an explicit analytical characterization of the optimal portfolio (speculative demand for risky assets and a hedge portfolio) in terms of risk premiums, stochastically evolving investment opportunities and investor’s utility function.
Keywords: modeling, stochastic processes, optimization, risky assets
Финансовые рынки в условиях глобализации современной экономики характеризуются различного рода нестационарными, кризисными и катастрофическими явлениями [1-3].В таких условиях классические модели и методы финансовой математики [4,5] часто оказываются неадекватными. Так, в рамках классической портфельной теории невозможно разрешить
такие проблемы несоответствия популярных рекомендаций практиков теоретическим предсказанием, как парадоксы Самуэльсона [5] и Кеннера-Мэнкью-Вейла [6].
Парадокс Самуэльсона состоит в том, что, согласно советам практиков, долгосрочные инвесторы должны размещать большую часть капитала в акции, чем краткосрочные, а классическая теория не связывает оптимальное размещение активов с длиной инвестиционного горизонта. Кроме того, отношение долей капитала, размещаемого в облигации и акции, должно, согласно практическим рекомендациям, увеличиваться с ростом неприятия риска инвестором, что находится в противоречии с предсказанием теории об одном и том же отношении капитала, инвестированного в облигации и акции, для всех инвесторов (парадокс Кеннера-Менкью-Вейла).
В работе предложена непрерывная по времени динамическая стохастическая модель размещения рисковых активов (акций и облигаций), которая разрешает одновременно оба указанных парадокса и находится в согласии с практическими рекомендациями финансовых аналитиков.
Инвестор выбирает динамическую портфельную стратегию, максимизирующую ожидаемую полезность своего капитала W на горизонте T:
J = max E[U(Wt )] (1)
Функция полезности инвестора характеризуется постоянным относительным неприятием риска
W 1-у -1 1- x
U W 0 W 0 11
где у =----jj'ty ) - коэффициент относительного неприятия риска.
При у = 1 имеем особый предельный случай логарифмической полезности U (W )= ln W .
Цены рисковых активов с учетом реинвестирования дивидендов эволюционируют согласно стохастическому дифференциальному уравнению
^ = (Г + X М + °sdW1t , (2)
где г - краткосрочная номинальная процентная ставка, хг - ожидаемая избыточная доходность по акциям, <у5 - волатильность цен активов, W1 -винеровский случайный процесс. Избыточная доходность по акциям описывается уравнением Орнштейна - Уленбека
dxt = а(х - х( ^ - <7XdWlt, (3)
где X - долгосрочная рисковая премия, а - параметр релаксации хг к установивишемуся значению, <7х - волатильность избыточной доходности. Предполагаем, что цена актива и рисковая премия идеально отрицательно коррелированы.
Динамика номинальной процентной ставки описывается процессом Орнштейна - Уленбека
drt = k(в - г ^ - <Jr.dW2t, (4)
где в - среднее значение процентной ставки на большом временном интервале, k - скорость релаксации, <уг - волатильность процентной ставки. Предполагаем, что два основных винеровских процесса W1 и W2, генерирующих динамику цен рисковых активов, коррелированы с постоянным коэффициентом корреляции р12.
Динамика цены облигации Вг описывается стохастическим дифференциальным уравнением
Вг
= (Г + ЛВ М + °ВМ^ (5)
ЗВ 1
где ХВ = ЛгаВ, <7В = <JrD(r,?), а D(r,?)=---------- эластичность цены
Зг В
облигации относительно краткосрочной процентной ставки, которая
называется модифицированной дюрацией и является индикатором процентного риска облигаций.
Итак, финансовый агент имеет возможность инвестировать капитал в три вида активов: безрисковый актив (банковский счет), акции и облигации. Вариационно-ковариационная матрица имеет вид
где GsB = -D&sr = DPX1GsGr .
Инфляция моделируется следующим образом. Номинальная цена реального потребительского товара в экономике в момент t составляет y/t. Реальная цена любого актива в экономике поэтому определяется дефляцией индекса цен y/t. Реальная цена акций, например, равна St/yt. Динамика
номинальной цены потребительского товара определяется следующей системой стохастических дифференциальных уравнений
где - ожидаемая ставка инфляции, к описывает долгосрочную
среднюю скорость инфляции, Р - скорость релаксации к к своему среднему
значению, ак - волатильность инфляционной процентной ставки, -
волатильность индекса цен (фактически определяет темп краткосрочной
инфляции в экономике). Изменения номинального индекса цен и инфляционной ставки коррелированы с доходностью акций и процентными ставками. Например, ковариация между доходностью акций и уровнем цен равна = р13а5а^, ковариация между доходностью акций и скоростью
инфляции равна = р14а5ак, и т.д.
(6)
(7)
dnt = р(л - nt )dt + <rndW4t,
(8)
В предположении, что неявная функция полезности J дважды непрерывно дифференцируема, запишем уравнение Беллмана, соответствующее задаче максимизации ожидаемой полезности (1)
sup {juwWJw + a(x - x Jx + k(в - r Jr + p(n - nJ n +
w=(ws, wB ) eR 2
1 2 2 I2 1 2 1 2
+ 2 °wW Jww ^ 2 7 xJ xx ^ 2 7r Jrr ^ 2 7 nJ nn ^ 7wxWJwx ^ 7wrWJwr ^ , (9)
7wnWJwn ^ 7 xrJxr ^ 7 xnJ xn ^ 7rnJ rn ^ J t }= 0
&w = w'Z, w + 7l - 2w'
где flw = r + w
- К + 7y - w
\7вУ j
f 7 \
®sy
K7Hy J
7wx = w
{-Г Л
7sx
V7 Bw J
<7
xy -
7wr = w
7sr V7Br J
-------- і
ry -
7wk = w
7 SK
V7BK J
— і
у К -
причем
неявная функция полезности J(ш,г,п,?) должна удовлетворять граничному условию при ? = Т : J (ш, г,п, Т )= и (Ж). Вектор портфельных весов
ш = (ш5, шв) (штрих означает транспонирование) представляет собой доли капитала, инвестированного в акции и номинальные облигации, соответственно. Оставшаяся часть капитала шг = 1 - е'ш = 1 - - шв, где
е = (1;1), инвестируется в банковский счет. Условие первого порядка задачи
(9) дает следующее распределение оптимальных пропорций размещения капитала в рисковые активы:
w
WJ
z
-1
ww
ґх ' V Лв J
J
wk
WJ
-z
-1
ww
Jwx -z-1 7 sx
WJww V7Bx J
ґ^г Л 7SK + f 1 + Jw
V7Bk J V WJww
J
WJ
-z
-1
ww
/
'<т„Л
V7Br J
z
-1
7 sy 7вУ J
(10)
Первый член в (10) представляет собой спекулятивную часть портфеля (близорукий спрос), который оптимален для инвестора с логарифмической полезностью. Следующие четыре члена в (10) описывают, как инвестор оптимально хеджирует изменения инвестиционных возможностей, которые в рассматриваемом контексте включают изменения ожидаемых избыточных доходностей (второй член в (10)), номинальных процентных ставок (третий
член), а также изменения будущих темпов инфляции (четвертый член) и
краткосрочной инфляции (пятый член). Заметим, однако, что хотя пятый
член в (10) исчезает для инвестора с логарифмической полезностью, он будет
в общем случае отличен от нуля при спекулятивном спросе инвестора с
нелогарифмической полезностью. Поэтому, строго говоря, пятый член не
является составляющей межвременного спроса на хеджирование, а есть часть
оптимального близорукого портфеля инвестора. Как и в рамках статического
подхода, основанного на математическом ожидании и дисперсии,
«близорукий» инвестор комбинирует портфель рисковых активов,
выбираемый инвестором с логарифмической полезностью, с другим
портфелем на статической границе эффективности. Фактически пятый член в
(10) может быть отождествлен с портфелем минимальной дисперсии при
условии, что доходности вычисляются в реальном выражении; это
2
непосредственно устанавливается минимизацией выражения для оМ) в (9) относительно портфельных весов w.
Второй член в выражении (10) описывает хеджирование против изменений будущих ожидаемых доходностей акций. Используя соотношение
<7sx
ах
(У.
аs
V °sB у
Vа Вх )
преобразуем эту часть портфеля следующим образом
^ м>х Е -і ^ м>х ах
V а Вх ) V0)
Оптимальное хеджирование против изменений ожидаемой избыточной доходности акций полностью достигается, таким образом, инвестированием только в акции; облигации для этой цели вообще не используются. Этот результат имеет место благодаря предположению об идеальной отрицательной корреляции между динамическим процессами, определяющими эволюцию цен акций St и избыточной доходности хг.
Аналогично, третий член в (10), описывающий хеджирование против номинальной процентной ставки, с использованием соотношения
7 sr
V 7 Вг у
<7
sB
V 7 В
переписывается следующим образом
Л
-1
Л
<Jsr
V 7Вг у
Лм>г 1
^0Л V1 у
Следовательно, оптимальное хеджирование против изменений процентной ставки достигается инвестированием целиком в облигации (доходность по которым идеально отрицательно коррелирована с краткосрочной процентной ставкой).
Оптимальное размещение активов инвестора, характеризующегося постоянным относительным неприятием риска с коэффициентом у > 1
устанавливается следующим Утверждением.
Утверждение. (/) неявная функция полезности Л, являющаяся
*
решением уравнения (9), имеет вид
Л (Ж, х, г,л, ? )= (1 - у)
-1
с (т—^ )+Ь(т—^ )г —с (т —^ )я”+d (т — ^ )х+—I (т — ^ )х
1-у
(11)
где а(с) есть решение обыкновенного дифференциального уравнения с
условием а(0 )= 0,
2/р (1 — е~”т)
ь(т)= 1 (1 — е кт), с(т) = — (1 — е ^т), 1(т) =--------^—!--------------\.
^ ' у ' рУ ' у ' 2П — (1, + (Д1 — е-*т)
где
1о =
сг
В
„,2 2 2
У 7 s 7 В — 7 sB
1Х = 2
У — 1 7х
— с
У 7
s У
У — 1
У
и
1
1
I
2
* Выражение (11) формально определено только при у ф 1. Случай у = 1 получается из (11) предельным переходом у ^ 1.
2П —(/1 + П^ — е щ)
гг
л+ +
1 Л
—пт
1 — е 2
2
V
+ 4
Р
-^т
V А' У
\\
р п
1
4/п
у П у
X
1 — е 2
пт
V
1
й3 —2пт + — е 2 к
( 1 л
2/о / к + - пт V V 2 у
V
2
1 —
уу
+ — е
Р
( 1
(2/0й4 — й1(П + /1 ЙУ Р + ~ П1т
V
2
2
л
у
( 1
— (2/0й4 + й1(п + /1 ))/ Р—— Щт
V 2
лл
уу
где
1 _ 1 Я-В7sB , 1 — у 7 sB7Ву 7 В7 sу ,
й0 .22 _2 + _2_2 _2 , “1
2
1 — у 7^В 7Вп — 7 В 7 ,
у 7 s 7 В — 7 &'В
у
7 s 7 В 7 sB
, _ 1 — у 7 х
й2 = ОХ +-хCJsу, йз =
у 7s
у
1 — у 7 х 7^В й4 = 1 — у 7 х
2 2 2
7 s 7 В 7 sB
у 7S В
<7
у 7s
sп
и
/(к,т)=1 (1—е кт).
(и) вектор оптимального размещения рисковых активов в момент г определяется выражением
—1
л
х
V ЯВ у
+
1 1Л ь(т — г)(0
1 11 у
Л
у у
В
+
V +
1—1
<7,
у у 7s
(й (т — г)+ / (т — г )х )Т
0
+
у
1
1 —
V у у
т
—1
с
(т — г;
<7
(7
sп
+
Вп у
V
7
7 В у
\\
у
(12)
Оставшаяся часть капитала wr = 1 — еV = 1 — ws — wB инвестируется в банковский счет.
Доказательство. Подставляя пробное решение в неопределенной форме вида (11) в уравнение, определяющее портфельный выбор (10), получаем условие (12). Подстановка оптимального условия размещения активов (12) в уравнение Беллмана (9) приводит к уравнению, которое линейно по г и п и квадратично по х; его пять коэффициентов должны равняться нулю, что дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
1
е
Ь'(г) = 1 -кЬ(г), Ь(0)= 0 с'(г) = 1 - Ре(т), с(0)= 0
I\г)= 10 + Іхв{т)+12(I(г))2, I(о)= 0
(1 ^
^'(г) = — Іх + І2І(г) ^(г)+^0 + ^:с(г)+ d2l(г)+
У
+ d3b(г)l (г)+ d4c(г)l (г), d (0 )= 0
для каждого из коэффициентов при г, к, х2 и х, а также обыкновенное дифференциальное уравнение для а(г), следующее из условия равенства нулю суммы остальных членов этого уравнения. Решения для функций d (г) и І (г), как следует из Предложения, существуют лишь при
2
условии І1 - 4І0 І2 > 0 . Нетрудно показать, что это неравенство эквивалентно условию у > 1.
Спекулятивная позиция инвестора, описываемая первым членом в выражении (12), зависит от нестационарной ожидаемой избыточной доходности акций хг, и это вводит время в спекулятивную стратегию. В частности, поскольку ожидаемая избыточная доходность идеально отрицательно коррелирована с ценой акций, спекулятивная стратегия состоит в сокращении позиции по акциям после роста их цен и в увеличении позиции в случае падения цен акций. Спекулятивная (близорукая) стратегия соответствует игнорированию инвестором изменений инвестиционных возможностей. Это ясно видно, если положить волатильности 7х, <7Г, <7к и равными нулю: тогда набор инвестиционных возможностей постоянен, и
члены в оптимальном размещении, соответствующие хеджированию, исчезают.
Второй и четвертый члены в выражении (12) оправдывают популярные рекомендации инвесторам с большим инвестиционным горизонтом размещать большую часть капитала в рисковые акции. На более формальном уровне, точное влияние инвестиционного горизонта на размещение акций в
рассматриваемой постановке описывается производной по времени от оптимального размещения а акции в (12). Пусть т = т — г обозначает остающийся временной горизонт для инвестора в момент 1. Дифференцируя выражение для V,, в (12) по временному горизонту т, получаем
дw
s
дт
у 7 s V у.
Первый член в соотношении (13) соответствует влиянию инвестиционного горизонта, связанному с релаксацией ожидаемой избыточной доходности акций к долгосрочной рисковой премии согласно стохастическому процессу (3). Второй член в (13) описывает эффект инвестиционного горизонта, связанный с использованием акций для хеджирования инфляционного риска долгосрочными инвесторами. В случае, если первая производная в (13) положительна, это означает, что долгосрочные инвесторы должны оптимально инвестировать большую часть капитала в акции, чем краткосрочные инвесторы, что находится в согласии с популярными рекомендациями финансовых аналитиков [6].
Знак первого члена в (13) зависит от знаков производных по времени
й' (т) и /' (т) (1 — > 0, поскольку у > 1). При отсутствии неопределенности
у
процентных ставок и инфляции нетрудно показать, что производные й'(т) и / (т ) положительны, т.е. первый член положителен для всех значений параметров при положительных значениях переменной избыточной доходности х. В общем случае анализ существенно усложняется в связи с неопределенностью процентных ставок, скорости инфляции и возможности инвестирования в облигации. Однако, непосредственное дифференцирование выражения для /(т) показывает, что производная /'(т) положительна. Поэтому при достаточно большой ожидаемой избыточной доходности весь первый член (13) будет положителен. Это означает, что долгосрочные инвесторы должны инвестировать больше в акции, чем краткосрочные.
Поскольку производная с'(т)= е Рт положительна, знак второго члена
2
в (13) полностью определяется знаком выражения а$паг — 7;7гп . Поэтому инфляционный риск вызывает большее размещение капитала в акции для долгосрочных инвесторов тогда и только тогда, когда <Угп1 ст;2. В
этом случае относительно высокая корреляция между ценой акций и темпом инфляции делает акции подходящим инструментом для хеджирования долгосрочного инфляционного риска (сравнительно с номинальными облигациями) в том смысле, что если имеют место высокие темпы инфляции, угрожающие привести к низким реальным доходностям в инвестиционный период, и поэтому динамика акций в этом случае приближается к поведению долгосрочной реальной облигации. Заметим, что помимо параметров, влияющих на знак второго члена в (13), параметр Р определяет различие
между размещением акций для близорукого и долгосрочного инвесторов с одинаковым относительным неприятием риска, а также “скорость” этого эффекта, связанного с длиной инвестиционного горизонта. Поэтому, если Р мало, изменения ожидаемых темпов инфляции близки к постоянным, и влияние инвестиционного горизонта на размещение в акции может быть существенным для долгосрочных инвесторов по сравнению с краткосрочными и даже среднесрочными инвесторами. С другой стороны, если Р велико, изменения ожидаемой нормы инфляции весьма непостоянны, и эффекты инвестиционного горизонта, связанные с неопределенностью инфляции могут быть малыми и одинаковой величины для размещения в акции для среднесрочных и долгосрочных инвесторов.
В целом, является ли размещение в акции возрастающей функцией длины инвестиционного горизонта, зависит от знаков и величин двух членов в правой части (13). Первый член, как правило, положителен и, следовательно, приводит к большему размещению в акции для инвесторов с более длинным горизонтом. Влияние второго члена зависит от способности акций хеджировать долгосрочный инфляционный риск.
Литература
1. Cochrane J.H. Asset pricing. - Princeton: Princeton University Press,
2001.
2. Sornette D. Why stock markets crash. - Princeton: Princeton University Press, 2002.
3. Четыркин Е.М. Финансовая математика. - М.: Дело, 2002.
4. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. - СПб.: Питер, 2000.
5. Samuelson P.A. The long-tern case for equities and how it can be oversold // Journal of Portfolio Management. - 1994. - V. 21. - P. 15-24.
6. Cаnner N., Mankiw N.G., Weil D.N. An asset allocation puzzle // American Economic Review. - 1997. - V. 87. - P. 181-191.
7. Shiller R.J. Irrational exuberance. - Princeton: Princeton University Press, 2000.
