Моделирование динамических портфельных стратегий Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Моделирование динамических портфельных стратегий

Каранашев Анзор Хасанбиевич, кандидат экономических наук, доцент, заведующий кафедрой технологии социально-культурного сервиса Кабардино-Балкарского государственного университета;

in63@mail.ru

Аннотация: В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос на рисковые активы и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, стохастически эволюционирующих параметров инвестиционной среды и характеристик функции полезности инвестора.

Ключевые слова: моделирование, стохастические процессы,

оптимизация, рискованные активы

Abstract. We derive an explicit analytical characterization of the optimal portfolio (speculative demand for risky assets and a hedge portfolio) in terms of risk premiums, stochastically evolving investment opportunities and investor’s utility function.

Keywords: modeling, stochastic processes, optimization, risky assets

Финансовые рынки в условиях глобализации современной экономики характеризуются различного рода нестационарными, кризисными и катастрофическими явлениями [1-3].В таких условиях классические модели и методы финансовой математики [4,5] часто оказываются неадекватными. Так, в рамках классической портфельной теории невозможно разрешить

такие проблемы несоответствия популярных рекомендаций практиков теоретическим предсказанием, как парадоксы Самуэльсона [5] и Кеннера-Мэнкью-Вейла [6].

Парадокс Самуэльсона состоит в том, что, согласно советам практиков, долгосрочные инвесторы должны размещать большую часть капитала в акции, чем краткосрочные, а классическая теория не связывает оптимальное размещение активов с длиной инвестиционного горизонта. Кроме того, отношение долей капитала, размещаемого в облигации и акции, должно, согласно практическим рекомендациям, увеличиваться с ростом неприятия риска инвестором, что находится в противоречии с предсказанием теории об одном и том же отношении капитала, инвестированного в облигации и акции, для всех инвесторов (парадокс Кеннера-Менкью-Вейла).

В работе предложена непрерывная по времени динамическая стохастическая модель размещения рисковых активов (акций и облигаций), которая разрешает одновременно оба указанных парадокса и находится в согласии с практическими рекомендациями финансовых аналитиков.

Инвестор выбирает динамическую портфельную стратегию, максимизирующую ожидаемую полезность своего капитала W на горизонте T:

J = max E[U(Wt )] (1)

Функция полезности инвестора характеризуется постоянным относительным неприятием риска

W 1-у -1 1- x

U W 0 W 0 11

где у =----jj'ty ) - коэффициент относительного неприятия риска.

При у = 1 имеем особый предельный случай логарифмической полезности U (W )= ln W .

Цены рисковых активов с учетом реинвестирования дивидендов эволюционируют согласно стохастическому дифференциальному уравнению

^ = (Г + X М + °sdW1t , (2)

где г - краткосрочная номинальная процентная ставка, хг - ожидаемая избыточная доходность по акциям, <у5 - волатильность цен активов, W1 -винеровский случайный процесс. Избыточная доходность по акциям описывается уравнением Орнштейна - Уленбека

dxt = а(х - х( ^ - <7XdWlt, (3)

где X - долгосрочная рисковая премия, а - параметр релаксации хг к установивишемуся значению, <7х - волатильность избыточной доходности. Предполагаем, что цена актива и рисковая премия идеально отрицательно коррелированы.

Динамика номинальной процентной ставки описывается процессом Орнштейна - Уленбека

drt = k(в - г ^ - <Jr.dW2t, (4)

где в - среднее значение процентной ставки на большом временном интервале, k - скорость релаксации, <уг - волатильность процентной ставки. Предполагаем, что два основных винеровских процесса W1 и W2, генерирующих динамику цен рисковых активов, коррелированы с постоянным коэффициентом корреляции р12.

Динамика цены облигации Вг описывается стохастическим дифференциальным уравнением

Вг

= (Г + ЛВ М + °ВМ^ (5)

ЗВ 1

где ХВ = ЛгаВ, <7В = <JrD(r,?), а D(r,?)=---------- эластичность цены

Зг В

облигации относительно краткосрочной процентной ставки, которая

называется модифицированной дюрацией и является индикатором процентного риска облигаций.

Итак, финансовый агент имеет возможность инвестировать капитал в три вида активов: безрисковый актив (банковский счет), акции и облигации. Вариационно-ковариационная матрица имеет вид

где GsB = -D&sr = DPX1GsGr .

Инфляция моделируется следующим образом. Номинальная цена реального потребительского товара в экономике в момент t составляет y/t. Реальная цена любого актива в экономике поэтому определяется дефляцией индекса цен y/t. Реальная цена акций, например, равна St/yt. Динамика

номинальной цены потребительского товара определяется следующей системой стохастических дифференциальных уравнений

где - ожидаемая ставка инфляции, к описывает долгосрочную

среднюю скорость инфляции, Р - скорость релаксации к к своему среднему

значению, ак - волатильность инфляционной процентной ставки, -

волатильность индекса цен (фактически определяет темп краткосрочной

инфляции в экономике). Изменения номинального индекса цен и инфляционной ставки коррелированы с доходностью акций и процентными ставками. Например, ковариация между доходностью акций и уровнем цен равна = р13а5а^, ковариация между доходностью акций и скоростью

инфляции равна = р14а5ак, и т.д.

(6)

(7)

dnt = р(л - nt )dt + <rndW4t,

(8)

В предположении, что неявная функция полезности J дважды непрерывно дифференцируема, запишем уравнение Беллмана, соответствующее задаче максимизации ожидаемой полезности (1)

sup {juwWJw + a(x - x Jx + k(в - r Jr + p(n - nJ n +

w=(ws, wB ) eR 2

1 2 2 I2 1 2 1 2

+ 2 °wW Jww ^ 2 7 xJ xx ^ 2 7r Jrr ^ 2 7 nJ nn ^ 7wxWJwx ^ 7wrWJwr ^ , (9)

7wnWJwn ^ 7 xrJxr ^ 7 xnJ xn ^ 7rnJ rn ^ J t }= 0

&w = w'Z, w + 7l - 2w'

где flw = r + w

- К + 7y - w

\7вУ j

f 7 \

®sy

K7Hy J

7wx = w

{-Г Л

7sx

V7 Bw J

<7

xy -

7wr = w

7sr V7Br J

-------- і

ry -

7wk = w

7 SK

V7BK J

— і

у К -

причем

неявная функция полезности J(ш,г,п,?) должна удовлетворять граничному условию при ? = Т : J (ш, г,п, Т )= и (Ж). Вектор портфельных весов

ш = (ш5, шв) (штрих означает транспонирование) представляет собой доли капитала, инвестированного в акции и номинальные облигации, соответственно. Оставшаяся часть капитала шг = 1 - е'ш = 1 - - шв, где

е = (1;1), инвестируется в банковский счет. Условие первого порядка задачи

(9) дает следующее распределение оптимальных пропорций размещения капитала в рисковые активы:

w

WJ

z

-1

ww

ґх ' V Лв J

J

wk

WJ

-z

-1

ww

Jwx -z-1 7 sx

WJww V7Bx J

ґ^г Л 7SK + f 1 + Jw

V7Bk J V WJww

J

WJ

-z

-1

ww

/

'<т„Л

V7Br J

z

-1

7 sy 7вУ J

(10)

Первый член в (10) представляет собой спекулятивную часть портфеля (близорукий спрос), который оптимален для инвестора с логарифмической полезностью. Следующие четыре члена в (10) описывают, как инвестор оптимально хеджирует изменения инвестиционных возможностей, которые в рассматриваемом контексте включают изменения ожидаемых избыточных доходностей (второй член в (10)), номинальных процентных ставок (третий

член), а также изменения будущих темпов инфляции (четвертый член) и

краткосрочной инфляции (пятый член). Заметим, однако, что хотя пятый

член в (10) исчезает для инвестора с логарифмической полезностью, он будет

в общем случае отличен от нуля при спекулятивном спросе инвестора с

нелогарифмической полезностью. Поэтому, строго говоря, пятый член не

является составляющей межвременного спроса на хеджирование, а есть часть

оптимального близорукого портфеля инвестора. Как и в рамках статического

подхода, основанного на математическом ожидании и дисперсии,

«близорукий» инвестор комбинирует портфель рисковых активов,

выбираемый инвестором с логарифмической полезностью, с другим

портфелем на статической границе эффективности. Фактически пятый член в

(10) может быть отождествлен с портфелем минимальной дисперсии при

условии, что доходности вычисляются в реальном выражении; это

2

непосредственно устанавливается минимизацией выражения для оМ) в (9) относительно портфельных весов w.

Второй член в выражении (10) описывает хеджирование против изменений будущих ожидаемых доходностей акций. Используя соотношение

<7sx

ах

(У.

аs

V °sB у

Vа Вх )

преобразуем эту часть портфеля следующим образом

^ м>х Е -і ^ м>х ах

V а Вх ) V0)

Оптимальное хеджирование против изменений ожидаемой избыточной доходности акций полностью достигается, таким образом, инвестированием только в акции; облигации для этой цели вообще не используются. Этот результат имеет место благодаря предположению об идеальной отрицательной корреляции между динамическим процессами, определяющими эволюцию цен акций St и избыточной доходности хг.

Аналогично, третий член в (10), описывающий хеджирование против номинальной процентной ставки, с использованием соотношения

7 sr

V 7 Вг у

<7

sB

V 7 В

переписывается следующим образом

Л

-1

Л

<Jsr

V 7Вг у

Лм>г 1

^0Л V1 у

Следовательно, оптимальное хеджирование против изменений процентной ставки достигается инвестированием целиком в облигации (доходность по которым идеально отрицательно коррелирована с краткосрочной процентной ставкой).

Оптимальное размещение активов инвестора, характеризующегося постоянным относительным неприятием риска с коэффициентом у > 1

устанавливается следующим Утверждением.

Утверждение. (/) неявная функция полезности Л, являющаяся

*

решением уравнения (9), имеет вид

Л (Ж, х, г,л, ? )= (1 - у)

-1

с (т—^ )+Ь(т—^ )г —с (т —^ )я”+d (т — ^ )х+—I (т — ^ )х

1-у

(11)

где а(с) есть решение обыкновенного дифференциального уравнения с

условием а(0 )= 0,

2/р (1 — е~”т)

ь(т)= 1 (1 — е кт), с(т) = — (1 — е ^т), 1(т) =--------^—!--------------\.

^ ' у ' рУ ' у ' 2П — (1, + (Д1 — е-*т)

где

1о =

сг

В

„,2 2 2

У 7 s 7 В — 7 sB

1Х = 2

У — 1 7х

— с

У 7

s У

У — 1

У

и

1

1

I

2

* Выражение (11) формально определено только при у ф 1. Случай у = 1 получается из (11) предельным переходом у ^ 1.

2П —(/1 + П^ — е щ)

гг

л+ +

1 Л

—пт

1 — е 2

2

V

+ 4

Р

-^т

V А' У

\\

р п

1

4/п

у П у

X

1 — е 2

пт

V

1

й3 —2пт + — е 2 к

( 1 л

2/о / к + - пт V V 2 у

V

2

1 —

уу

+ — е

Р

( 1

(2/0й4 — й1(П + /1 ЙУ Р + ~ П1т

V

2

2

л

у

( 1

— (2/0й4 + й1(п + /1 ))/ Р—— Щт

V 2

лл

уу

где

1 _ 1 Я-В7sB , 1 — у 7 sB7Ву 7 В7 sу ,

й0 .22 _2 + _2_2 _2 , “1

2

1 — у 7^В 7Вп — 7 В 7 ,

у 7 s 7 В — 7 &'В

у

7 s 7 В 7 sB

, _ 1 — у 7 х

й2 = ОХ +-хCJsу, йз =

у 7s

у

1 — у 7 х 7^В й4 = 1 — у 7 х

2 2 2

7 s 7 В 7 sB

у 7S В

<7

у 7s

sп

и

/(к,т)=1 (1—е кт).

(и) вектор оптимального размещения рисковых активов в момент г определяется выражением

—1

л

х

V ЯВ у

+

1 1Л ь(т — г)(0

1 11 у

Л

у у

В

+

V +

1—1

<7,

у у 7s

(й (т — г)+ / (т — г )х )Т

0

+

у

1

1 —

V у у

т

—1

с

(т — г;

<7

(7

sп

+

Вп у

V

7

7 В у

\\

у

(12)

Оставшаяся часть капитала wr = 1 — еV = 1 — ws — wB инвестируется в банковский счет.

Доказательство. Подставляя пробное решение в неопределенной форме вида (11) в уравнение, определяющее портфельный выбор (10), получаем условие (12). Подстановка оптимального условия размещения активов (12) в уравнение Беллмана (9) приводит к уравнению, которое линейно по г и п и квадратично по х; его пять коэффициентов должны равняться нулю, что дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

1

е

Ь'(г) = 1 -кЬ(г), Ь(0)= 0 с'(г) = 1 - Ре(т), с(0)= 0

I\г)= 10 + Іхв{т)+12(I(г))2, I(о)= 0

(1 ^

^'(г) = — Іх + І2І(г) ^(г)+^0 + ^:с(г)+ d2l(г)+

У

+ d3b(г)l (г)+ d4c(г)l (г), d (0 )= 0

для каждого из коэффициентов при г, к, х2 и х, а также обыкновенное дифференциальное уравнение для а(г), следующее из условия равенства нулю суммы остальных членов этого уравнения. Решения для функций d (г) и І (г), как следует из Предложения, существуют лишь при

2

условии І1 - 4І0 І2 > 0 . Нетрудно показать, что это неравенство эквивалентно условию у > 1.

Спекулятивная позиция инвестора, описываемая первым членом в выражении (12), зависит от нестационарной ожидаемой избыточной доходности акций хг, и это вводит время в спекулятивную стратегию. В частности, поскольку ожидаемая избыточная доходность идеально отрицательно коррелирована с ценой акций, спекулятивная стратегия состоит в сокращении позиции по акциям после роста их цен и в увеличении позиции в случае падения цен акций. Спекулятивная (близорукая) стратегия соответствует игнорированию инвестором изменений инвестиционных возможностей. Это ясно видно, если положить волатильности 7х, <7Г, <7к и равными нулю: тогда набор инвестиционных возможностей постоянен, и

члены в оптимальном размещении, соответствующие хеджированию, исчезают.

Второй и четвертый члены в выражении (12) оправдывают популярные рекомендации инвесторам с большим инвестиционным горизонтом размещать большую часть капитала в рисковые акции. На более формальном уровне, точное влияние инвестиционного горизонта на размещение акций в

рассматриваемой постановке описывается производной по времени от оптимального размещения а акции в (12). Пусть т = т — г обозначает остающийся временной горизонт для инвестора в момент 1. Дифференцируя выражение для V,, в (12) по временному горизонту т, получаем

дw

s

дт

у 7 s V у.

Первый член в соотношении (13) соответствует влиянию инвестиционного горизонта, связанному с релаксацией ожидаемой избыточной доходности акций к долгосрочной рисковой премии согласно стохастическому процессу (3). Второй член в (13) описывает эффект инвестиционного горизонта, связанный с использованием акций для хеджирования инфляционного риска долгосрочными инвесторами. В случае, если первая производная в (13) положительна, это означает, что долгосрочные инвесторы должны оптимально инвестировать большую часть капитала в акции, чем краткосрочные инвесторы, что находится в согласии с популярными рекомендациями финансовых аналитиков [6].

Знак первого члена в (13) зависит от знаков производных по времени

й' (т) и /' (т) (1 — > 0, поскольку у > 1). При отсутствии неопределенности

у

процентных ставок и инфляции нетрудно показать, что производные й'(т) и / (т ) положительны, т.е. первый член положителен для всех значений параметров при положительных значениях переменной избыточной доходности х. В общем случае анализ существенно усложняется в связи с неопределенностью процентных ставок, скорости инфляции и возможности инвестирования в облигации. Однако, непосредственное дифференцирование выражения для /(т) показывает, что производная /'(т) положительна. Поэтому при достаточно большой ожидаемой избыточной доходности весь первый член (13) будет положителен. Это означает, что долгосрочные инвесторы должны инвестировать больше в акции, чем краткосрочные.

Поскольку производная с'(т)= е Рт положительна, знак второго члена

2

в (13) полностью определяется знаком выражения а$паг — 7;7гп . Поэтому инфляционный риск вызывает большее размещение капитала в акции для долгосрочных инвесторов тогда и только тогда, когда <Угп1 ст;2. В

этом случае относительно высокая корреляция между ценой акций и темпом инфляции делает акции подходящим инструментом для хеджирования долгосрочного инфляционного риска (сравнительно с номинальными облигациями) в том смысле, что если имеют место высокие темпы инфляции, угрожающие привести к низким реальным доходностям в инвестиционный период, и поэтому динамика акций в этом случае приближается к поведению долгосрочной реальной облигации. Заметим, что помимо параметров, влияющих на знак второго члена в (13), параметр Р определяет различие

между размещением акций для близорукого и долгосрочного инвесторов с одинаковым относительным неприятием риска, а также “скорость” этого эффекта, связанного с длиной инвестиционного горизонта. Поэтому, если Р мало, изменения ожидаемых темпов инфляции близки к постоянным, и влияние инвестиционного горизонта на размещение в акции может быть существенным для долгосрочных инвесторов по сравнению с краткосрочными и даже среднесрочными инвесторами. С другой стороны, если Р велико, изменения ожидаемой нормы инфляции весьма непостоянны, и эффекты инвестиционного горизонта, связанные с неопределенностью инфляции могут быть малыми и одинаковой величины для размещения в акции для среднесрочных и долгосрочных инвесторов.

В целом, является ли размещение в акции возрастающей функцией длины инвестиционного горизонта, зависит от знаков и величин двух членов в правой части (13). Первый член, как правило, положителен и, следовательно, приводит к большему размещению в акции для инвесторов с более длинным горизонтом. Влияние второго члена зависит от способности акций хеджировать долгосрочный инфляционный риск.

Литература

1. Cochrane J.H. Asset pricing. - Princeton: Princeton University Press,

2001.

2. Sornette D. Why stock markets crash. - Princeton: Princeton University Press, 2002.

3. Четыркин Е.М. Финансовая математика. - М.: Дело, 2002.

4. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. - СПб.: Питер, 2000.

5. Samuelson P.A. The long-tern case for equities and how it can be oversold // Journal of Portfolio Management. - 1994. - V. 21. - P. 15-24.

6. Cаnner N., Mankiw N.G., Weil D.N. An asset allocation puzzle // American Economic Review. - 1997. - V. 87. - P. 181-191.

7. Shiller R.J. Irrational exuberance. - Princeton: Princeton University Press, 2000.