CC BY
22
Фондовый рынок
стратегии оптимального инвестирования и потребления в стохастических условиях при полезности инвестора с памятью
И.Г. НАТаЛУХА, кандидат экономических наук кисловодский институт экономики и права
1. Модель финансового инвестирования. Финансовые рынки в современных условиях функционируют в условиях неопределенности и характеризуются различного рода нестационарными и кризисными явлениями [1-3]. Поэтому исследование оптимальных стратегий финансового инвестирования с учетом стохастической динамики финансовых инвестиционных возможностей (представленных процентными ставками, ожидаемыми доходностями, волатильностями и корреляциями между доходностями различных финансовых инструментов) весьма актуально в теоретическом и прикладном отношениях. Кроме того, инвестирование неотделимо от потребления — инвесторы, как правило, извлекают полезность из промежуточного потребления, а не только из конечного капитала [4-6]. Заметим в этой связи, что большинство исследований процесса финансового инвестирования основано на далеких от реальности предположениях о предпочтениях инвестора. А именно функция полезности инвестора считается степенной функцией конечного капитала или аддитивной сепарабельной по времени степенной функцией потребления. Более правдоподобным представлением предпочтений инвестора является учет в функции полезности привычного уровня потребления [7] (полезность, связанная с выбором потребления в данный момент, зависит от предшествующего уровня потребления); при этом полезность данного текущего уровня потребления является убывающей функцией уровня потребления в прошлом. В данной работе моделируются оптимальные стратегии инвестирования и потребления при функции полезности с памятью
в условиях стохастического изменения доходности рисковых активов с учетом стохастической (в том числе и немарковской) эволюции параметров инвестиционной среды.
Рассматриваем финансовый рынок с одним активом, имеющим норму доходности г и п рисковыми активами, цены которых обозначаем вектором Р(. Динамику цен рисковых активов описываем стохастическими дифференциальными уравнениями
dPt = diag (Р )\(г,1 + с, X, ^ + ], (1)
где diag (Р() — квадратная диагональная матрица с диагональными элементами Р, ст, — несингулярная матрица, определяющая п -мерный стохастический процесс волатильностей; I — п -мерный вектор из единиц; X, — векторный стохастический процесс размерности п, z = (ъ ) — п -мерное стандартное броуновское движение.
Процессы г , X и ст предполагаются прогрессивно измеримыми по отношению к фильтрации информации, т.е. приращению естественной фильтрации, генерируемой z. Процесс X, = (Хи,...,Хп1) (индекс Т означает транспонирование) описывает рыночную цену риска, поскольку Хй представляет собой отношение ожидаемой избыточной доходности актива (по сравнению с безрисковой доходностью г ) к его волатильности. Предполагаем, что финансовый рынок является полным с единственным ядром ценообразования (дефлятором цены состояния) , определяемым следующим образом [8]
£, = ехр-|Хт^ -2||М|2¿4 ,( > 0 , (2)
I 0 0 2 0
или в дифференциальной форме
d£, = £, (-г^,-Х^г,). (3)
Динамика процессов г и X может быть и немарковской.
Инвестор с фиксированным временным горизонтом Т характеризуется полезностью заданного потока потребления с = (с1), определяемого следующим образом
~т ~
и (с) = Е | е~ыы (с, ^ _ о _
где 5 — субъективный дисконтный фактор, а И1 — уровень привычного потребления
Н = ке
+а[ е^V;.
т £
< Ш.
(5)
Jt = SUp Е
(с,и)ел (, )
\е 8(5 ')и (с5 ,Н
(6)
где А () обозначает множество допустимых стратегий потребления и инвестирования в период [,Т ]. Для получения обозримых результатов и сопоставления их с результатами, полученными для стандартных степенных функций полезности, будем предполагать, что «мгновенная» функция полезности и (с, к) имеет вид
(с, И)= (с - к)
-у
(7)
Здесь к , а и в — неотрицательные константы. По существу, уровень «привычного» потребления представляет собой произведение взвешенного среднего предыдущих уровней потребления с экспоненциально убывающими весами, так что уровни недавнего потребления получают большие веса. Инвестор максимизирует и (с), соответствующим образом выбирая неотрицательный процесс потребления с = (с) и инвестирования п = (п ). Здесь П — п -мерный вектор, представляющий доли капитала, инвестированного в п рисковых активов в момент t. Оставшаяся часть капитала 1 инвестируется в безрисковый актив (банковский депозит). При данных стратегиях потребления с и инвестирования п динамика капитала Wt инвестора описывается следующим уравнением
¿Ш, = [ Ш, (г, + По,X,)- с, ] + WtпТ. (4)
Стратегия потребления должна быть финансируемой в том смысле, что текущий уровень потребления не может превосходить капитал инвестора, т. е.
где постоянная у > 0 — коэффициент относительного неприятия риска Эрроу-Пратта [9]. В этом случае норма потребления должна превосходить уровень привычного потребления, так что этот уровень играет роль минимального уровня потребления, определяемого предыдущими нормами потребления.
2. оптимальные стратегии инвестирования и потребления. Решение поставленной немарковской задачи максимизации полезности определяется с использованием процессов F = ^ ) и G = ):
о, = е
F = Е
\1-
(1 + аFs) у
(8)
т £
| ехр [-ф-а)(;-^^¿э
: I ехр [- (в - а)(; - ,
(9)
где В^ — цена в момент t облигации с нулевым купоном, выплачивающей единицу счета в момент 5. Можно интерпретировать Р( как цену облигации, выплачивающей непрерывный купон, который экспоненциально убывает со временем. Заметим, что к^ представляет собой цену обеспечения того, что будущее потребление точно равняется привычному уровню, поскольку при = к для всех 5 > t имеем к = к ехр[-(р-а)(я-1)] . Если представить динамику цен облигации с нулевым купоном в следующем виде
¿в = б ;
(г+(о ;) х,) ¿г+(о ;)
Определим неявную полезность в момент t, Jt как наивысший уровень полезности, который может быть достигнут на инвестиционном горизонте
то динамика Ft принимает вид
dFt = -М, + F [(г, + оF,X ,) + ] ,
где
(10)
I ехр [- (в - а)(; -,)] Б; о^;
JFt ~ Т
| ехр [- (в - а)(; -
и
Представим динамику ^ следующим образом
dGt = Gt \у.вА + оТв^1, ] . (11)
Имеет место следующее
утверждение 1. Пусть ТУ0 > /¡ор . Тогда оптимальный процесс потребления с*=(с,*) определяется соотношением
* , * / ^1 Wt - h* Ft c* = h* +(1 + aFt)Y * * * G
Неявная полезность имеет вид
-G]{w; -KtFt)
Jt = G' " — ^
1 -y
(12)
(13)
а оптимальная инвестиционная стратегия определяется вектором
. w: - н:f i г -i, —(P ) к +
Y
W
W* - tfFt
(Pt ) Pa
h*Ft T -1 +(P ) PFt . (14)
W v ^ Gt w;
Здесь W*=(W* ) есть капитал, индуцированный оптимальными стратегиями, а h*=(h**) — процесс, определяющий привычный уровень потребления, индуцированный оптимальной стратегией потребления (доказательства этого и следующих утверждений не приводятся ввиду громоздкости).
Оптимальная стратегия потребления (12) состоит в потреблении текущего минимального уровня и зависящей от времени и состояния (т.е. инвестиционной среды) части «свободного капитала», т.е. капитала, превышающего издержки
финансирования будущего минимального потока
-1
(1 + а F ) y
потребления. Эта часть ---—, т.е. предельная
Gt
склонность к потреблению МРС (или предельная доля потребления в доходе), зависит от ожиданий и будущих инвестиционных возможностей, и будущих издержек финансирования минимального потока потребления. При Y> 1 Ft и Gt возрастают с ростом а и убывают с ростом в и, следовательно, МРС и норма потребления (при фиксированном капитале и уровне привычного потребления) будут убывать с ростом а и возрастать с ростом в .
Оптимальное портфельное решение (14) есть сумма трех составляющих. Первый член представляет собой спекулятивную часть портфеля («близорукий» спрос инвестора, основанный на анализе математического ожидания и дисперсии доходности активов), т.е. размещение активов инвестором, игнорирующим изменения инвести-
ционных возможностей. Второй член показывает, как инвестор оптимально хеджирует изменения инвестиционных возможностей. Последний член в (14) обеспечивает экономическому агенту будущий минимальный процесс потребления по крайней мере на привычном уровне, имеющем текущую стоимость /р. Спекулятивная часть портфеля и спрос инвестора на хеджирование испытывают влияние привычного уровня потребления посредством множителя (Ж-/р)W. Кроме того, привычный уровень потребления влияет на спрос на хеджирование благодаря присутствию параметра уровня потребления а в процессе ^ . Интуитивно ясно, что оптимальное хеджирование против изменений инвестиционных возможностей должно учитывать изменения будущих издержек обеспечения минимального уровня потребления. Поэтому можно заключить, что присутствие привычного уровня потребления в функции полезности инвестора будет по-разному влиять на спекулятивный спрос и на спрос на хеджирование.
3. Предельные степени неприятия риска инвесторами. Представляет интерес проанализировать оптимальные стратегии инвестирования и потребления в двух предельных случаях неприятия риска инвестором. В случае нейтрального отношения инвестора к риску (у = 1) предельным переходом в (7) У ^ 1 получаем логарифмическую полезность 1п(с-/). Процесс Gt становится детерминированным и принимает вид
G (t )=j(1 - e
о
-&(T-t )
).
Поэтому оптимальная инвестиционная стратегия принимает вид
: W - ht* F, T (°T )
h*Ft t -1 W*- (°t ) PF
Отсюда следует, что инвестор с логарифмической полезностью, учитывающий привычный уровень потребления, накапливает средства для обеспечения будущего минимального уровня потребления, однако не хеджирует ни против изменений инвестиционных возможностей, ни против изменений издержек обеспечения минимального уровня потребления в будущем.
Другой предельный случай представляет собой бесконечное неприятие риска, т.е. у ^ <» . Процесс
принимает вид
Gt = Et
T Ъ
[Ъ- (1 + aF )ds
Оптимальная инвестиционная стратегия определяется соотношением
* W* - h*F T -Ч h*F T -
п = 'W; (°T) % + wf (°T) 0д ,
которое означает, что инвестор с бесконечным неприятием риска вообще не инвестирует в спекулятивную часть портфеля. Оптимальная стратегия
потребления определяется выражением
* *
* , * W* - htFt
c * = h * + —-t—L
Gt
Если функция полезности не учитывает привычный уровень потребления, но характеризуется постоянным минимальным уровнем потребления ht = h , нетрудно показать, что Gt = Ft = kWt при k = const, так что оптимальная норма потребления постоянна, и оптимальным инвестированием является инвестирование только в облигации с процентными купонами, представленными процессом F. Если в функции полезности учитывается привычный уровень потребления, оптимальная норма потребления уже не является постоянной, и инвестор с бесконечным неприятием риска хеджирует против стохастических изменений будущей минимальной нормы потребления.
4. решение при постоянных инвестиционных возможностях. Рассмотрим частный случай оптимальной стратегии (12)-(14), соответствующий постоянным инвестиционным возможностям, представленным параметрами r и X . Из утверждения 1 получаем следующее следствие.
следствие. При постоянных инвестиционных возможностях r и % неявная полезность имеет вид
Jt =
1
1-Y
—G(t) (W -htF(t)) ,
(15)
где
F (t )= J exp [-(r+p-a)(s -1)] d
is =
—(1 - exp [-(r+P-a)(s -1 )]) (16)
G (t )=J exp j-
1 —
V v •j
2y
1-
(s -1 »x
V / у
x(1 + aF(s)) Y ds.
(17)
Оптимальные стратегии потребления и инвестирования определяются выражениями
* , * , ^ -1 Wt - h* F(t) c* = ht + (1 + aF(t)) у * * w
G(t)
)-1 % h*F(t)
1
—1
Y'
w
(18)
(19)
Частным случаем стратегий (18), (19) являются результаты [10], полученные для бесконечного временного горизонта (стратегии [10] получаются из (18), (19) предельным переходом Т — да). Решения [11] для логарифмической функции полезности получаются из (18), (19) при у — 1.
Из (18), (19) видно, что с учетом уровня привычного потребления оптимальные доли свободного капитала W- кЕ , инвестируемые в рисковые активы, идентичны оптимальным долям полного капитала для стандартной сепарабельной по времени степенной функции полезности.
С ростом капитала (Ш— да) доли капитала, инвестируемые в рисковые активы, увеличиваются и в пределе равны таковым для инвестора с сепа-рабельной по времени степенной функцией полезности. Непосредственные вычисления показывают, что при у > 1 предельное отношение потребления к
(1+aF(t))7
капиталу--увеличивается со временем и
уменьшается с ростом параметра уровня привычного потребления а.
Рассмотрим пример инвестирования в безрисковый актив с доходностью 4% и единственный рисковый актив с волатильностью 20% и ожидаемой избыточной доходностью 6%. В табл. 1 сравниваются оптимальные стратегии инвестора со степенной функцией полезности и инвесторов с различными уровнями привычного потребления. Таблица показывает, что привычный уровень потребления существенно снижает спрос на рисковый актив и предельную склонность к потреблению. При некоторых сочетаниях параметров а ив , однако, норма потребления инвестора с функцией полезности с памятью выше, чем для инвестора со стандартной степенной функцией полезности.
Рис. 1 иллюстрирует зависимость оптимальных стратегий от изменений параметра относительного неприятия риска у и инвестиционного горизонта Т для стандартной степенной функции полезности и функции полезности с памятью. Для обоих типов инвесторов оптимальная доля капитала, инвестированного в рисковый актив, убывает гиперболически как функция относительного неприятия
и
5
1
2
+
Таблица 1
оптимальные стратегии при постоянных инвестиционных возможностях*
а в * ( ) ) п , % МРС, % С
Стандартная степенная функция полезности 18,3 75,0 5,47 5,47
0,1 0,2 7,54 23,3 52,4 3,24 6,26
0,1 0,3 4,34 21,6 62,0 3,87 7,20
0,2 0,3 7,54 27,4 52,4 2,31 5,61
0,1 0,4 3,03 20,7 65,9 4,23 7,72
0,2 0,4 4,34 24,4 62,0 3,00 6,48
0,3 0,4 7,54 30,9 52,4 1,79 5,25
0,1 0,5 2,33 20,2 68,0 4,46 8,04
0,2 0,5 3,03 22,9 65,9 3,45 7,03
0,3 0,5 4,34 27,0 62,0 2,44 6,02
0,4 0,5 7,54 34,1 52,4 1,47 5,02
*Таблица показывает оптимальный выбор инвестирования и потребления при различных комбинациях параметров функции полезности с памятью а и в . Инвестиционные возможности постоянны при г =0,03; о =0,2; X =0,3. Рассматриваются инвесторы с 30-летним инвестиционным горизонтом и у =2; 6 =0,02; Ж = 100; / =4.
МРС , %
а «
Я ® и В ЭЙ
и щ
а
I
ч:
а—инвестиции в акции как функция коэффициента относительного неприятия риска
б—норма потребления и МРС как функции коэффициента относительного неприятия риска
20 30
в—инвестиции в акции как функция инвестиционного горизонта
г—норма потребления и МРС как функции инвестиционного горизонта
рис. 1. Оптимальные стратегии при постоянных инвестиционных возможностях Жирные (тонкие) кривые соответствуют функции полезности с учетом привычного уровня потребления (степенной функции полезности). Параметры рынка: г =0,03; О =0,2; X =0,3. Параметры инвестора: 5 =0,02; =100; а =0,3; р =0,4; А =4. На рис. 1 а и 1б Т =30, на рис. 1 в и 1г У =2.
риска (рис. 1 а). Из рис. 1 б видно, что хотя МРСдля функции полезности с памятью ниже всех значений у , такие инвесторы имеют более высокую норму потребления для очень низких и очень высоких значений параметра Y . Рис. 1в показывает, что оптимальный вес размещения капитала в рисковый актив инвесторами с функцией полезности с памятью убывает с ростом инвестиционного горизонта, поскольку чем длиннее горизонт, тем больше денег должно быть отложено для обеспечения соответствия будущего потребления привычному уровню. Наконец, рис. 1г показывает, что соотношение оптимальных уровней потребления инвесторов с функцией полезности с памятью и со степенной функцией полезности определяется длиной их инвестиционного горизонта.
Поскольку МРС значительно ниже для инвесторов с функцией полезности с памятью, чем для инвесторов со степенной функцией полезности, норма потребления первых инвесторов менее чувствительна к экзогенным воздействиям и, следовательно, менее изменчива во времени.
5. решение с учетом релаксации рисковой премии к среднему значению. В этом разделе установлены некоторые важные свойства оптимальных стратегий при конкретной динамике инвестиционных возможностей. Рассмотрен интересный с точки зрения практических приложений случай, когда рыночная цена риска Xt (рисковая премия по активам с ожидаемой избыточной доходностью) описывается случайным процессом Орнштейна
— Уленбека
dXt = k (X-Xt )dt -oXdzt , (20)
где k — параметр, характеризующий скорость релаксации рисковой премии Xt к значению X , о х
— волатильность рисковой премии, zt — стандартное броуновское движение. Предполагаем, что рынок акций представлен единственным рисковым активом, цена которого описывается следующим стохастическим дифференциальным уравнением
dPt = Pt [(г + oXt )dt + odzt ] , (21)
в котором волатильность о цены актива предполагается положительной константой, r — безрисковая процентная ставка.
утверждение 2. Пусть рынок акций представлен рисковым активом, цена которого описывается
T
уравнением (2), а рисковая премия — уравнением (1). Тогда неявная функция полезности = 3(V*, К, X,, г) имеет вид
J (Ш Д и )= 1
G (X,t )Y(W - hF (t ))1-Y
где
F (t )=
1
г+p-a
1 -Y
(1 - exp [-(г+p-a)(T -1 )])
T 1-1
G (X,t ) = J(1 + aF (s )) Y exp[g0 (s -1 )+
t
1 2
+g (s -1 )X + 2 g2 (S -1 )X ]ds,
а функции g2 (с ), g1 (c ), g0 (с ) определяются выражениями
1 -у 1 - e-20T
g2 (T) =
Y2 20-(0-b)(1 -e~20T)
g1 (c)=
1 -у kX (1 - e '9T)
Y2 0 20-(0-b)(1 -е~20т)
g0 (т) =--т-г
Y
1 -1
т—ln 2
20-(0- b )(1 - e ~20т) 20
1-7 Y2
f k 2X2 о: —^ +
2 X
0+b
т +
k2X2 (0-2b)e~20т + 4be"^-0-2b
03
20-(0-b )(1 - e ~20т)
где
b = k -
1 -1 Y
Ox , 0 = V b2 -oX(1 -YVY:
Оптимальный процесс потребления описывается выражением
c* =(C Wth*,Xt,t),
где
C (W, h, X, t )= h + (1 + aF (t ))-
W - hF (t ) G(X, t) '
(22)
Оптимальная портфельная стратегия имеет вид
n *= n(w;, h*, Xt, t ),
где
n(W ,h,X,t ) =
X W - hF (t ) о
уо W
а функция D(X, t) имеет вид
—X D (X,t ) о
W - hF (t ) W
, (23)
D (X,t )=
J(gi (s -1)+ g2 (s -1)X)(1 + aF (s))-
exp
1 2
g0 (s -1 )+g1 (s -1 )X + 2 g2 (s -1 )X
ds
J(1 + aF(s)) Y exp
12
g0 (s -1)+ g1 (s -1)X+2 g2 (s -1)X
ds
и
+
0
Y
Заметим, что функции gг не испытывают влияния привычного уровня потребления. Член, соответствующий хеджированию в (23), отличается от соответствующего члена при сепарабельной по времени функции полезности за счет присутствия aF (s) в G(X, t) и, следовательно, в
0 ^ G(h t).
Следующее утверждение устанавливает основные свойства оптимальных стратегий.
утверждение 3. Пусть Y > 1 и рисковая премия положительна. Тогда оптимальные стратегии потребления и инвестирования при функции полезности с учетом привычного уровня потребления имеют следующие свойства:
1) спрос на хеджирование на акции положителен;
2) среднее и предельное отношение потребление/ капитал увеличивается с ростом рисковой премии;
3) оптимальная часть свободного капитала, ин-
nW
вестированного в акции п =;
увеличивается с
W - hF
ростом инвестиционного горизонта Т.
Заметим, что первые два свойства оптимальных стратегий потребления и инвестирования справедливы для инвестора со степенной сепарабельной по времени функцией полезности (при указанной функции полезности оптимальная норма потребления пропорциональна уровню капитала, так что в этом случае нет различия между средним и предельным отношениями потребление/капитал). Поскольку при степенной сепарабельной по времени функции полезности нет различия между свободным капиталом и полным капиталом, в этом случае оптимальная часть полного капитала, инвестируемого в акции, растет с ростом инвестиционного горизонта, что соответствует практическим рекомендациям финансовых аналитиков. С учетом зависимости функции полезности от уровня привычного потребления зависимость части капитала, размещаемого в акции, от инвестиционного горизонта становится более тонкой. Функция F(t) возрастает с ростом инвестиционного горизонта Т, поскольку затраты на финансирование потребления на привычном уровне в течение более длительного периода больше. Поэтому при фиксированных И и Ж свободный капитал составляет меньшую часть капитала для больших инвестиционных горизонтов и, следовательно, доля полного капитала, инвестируемого в акции, п = п (1 - hF|W ), может уменьшаться с ростом инвестиционного горизонта (так в дейс-
твительности и происходит в численном примере, рассматриваемом ниже). Эволюция оптимального веса акций в портфеле инвестора на временах порядка жизненного инвестиционного горизонта еще более сложна, поскольку А и Ж в этом случае не являются постоянными. Большинство агентов имеют тенденцию потреблять меньше и накапливать капитал в начале своей самостоятельной жизни, а далее постепенно увеличивают потребление (и уровень привычного потребления) и сокращают капитал к концу жизни. При таком сценарии вероятно, что доля капитала, инвестируемого в акции, будет возрастать в начале деятельности агента на финансовом рынке. С сокращением жизненного инвестиционного горизонта доля капитала, инвестируемого в акции, будет иметь тенденцию к уменьшению благодаря влиянию процесса релаксации для рисковой премии (20) на пи увеличению отношения ИР/Ж. Однако конкретная динамика п со временем будет зависеть от эволюции цен акций.
Для изучения количественного влияния уровня привычного потребления на оптимальные стратегии в рассматриваемой постановке рассмотрим численные примеры. В качестве базового случая рассмотрим инвесторов с коэффициентом относительного неприятия риска у =2, инвестиционным горизонтом Т = 30 годам и дисконтным фактором 5 = 0,02. Начальный капитал Ж=100, для инвесторов с учетом привычного уровня потребления в функции полезности примем начальный уровень привычного потребления А =4. Долгосрочная ожидаемая избыточная доходность составляет 6%, волатильность рынка акций 20%, ожидаемые отклонения рисковой премии X от долгосрочного уровня уменьшаются вдвое за интервал времени (1п2 ) к =2,3 года, стандартное отклонение X составляет 0,087.
Таблица 2 показывает оптимальные стратегии инвестирования и потребления для инвесторов с аддитивной по времени степенной функцией полезности и инвесторов с функцией полезности, учитывающей привычный уровень потребления с различными комбинациями параметров а и р. В таблице п туо и п означают спекулятивную и хеджирующую составляющие оптимального портфеля (4) соответственно, т.е.
X W - hF о, „ . W - hF
Птуо =--77Г-; n„ed =--X D (X,t) .
y Yо W о W
(24)
Обе составляющие портфеля снижаются за счет присутствия уровня привычного потребления и в выражениях (24), однако хеджирующая состав-
Таблица 2
оптимальные стратегии при наличии процесса релаксации рисковой премии к своему долгосрочному значению*
а в F (t ) D(X,t ) G(X, t ) П myo, % пhed , % п hed п ^myo MPC, % C MPC, % C
Стандартная степенная функция полезности - -0,2568 16,1 75,0 12,8 0,171 6,2 6,2 5,47 5,47
0,1 0,2 7,54 -0,2546 20,6 52,4 8,9 0,170 3,24 6,56 3,36 6,35
0,1 0,3 4,34 -0,2559 19,0 62,0 10,6 0,171 4,38 7,62 3,94 7,26
0,2 0,3 7,54 -0,2536 24,2 52,4 8,9 0,169 2,61 5,82 2,44 5,70
0,1 0,4 3,03 -0,2564 18,3 65,9 11,3 0,171 4,79 8,21 4,27 7,76
0,2 0,4 4,34 -0,2554 21,6 62,0 10,6 0,170 3,39 6,80 3,08 6,55
0,3 0,4 7,54 -0,2530 27,4 52,4 8,8 0,169 2,02 5,41 1,91 5,34
0,1 0,5 2,33 -0,2566 17,8 68,0 11,6 0,171 5,05 8,58 4,49 8,07
0,2 0,5 3,03 -0,2561 20,2 65,9 11,3 0,171 3,91 7,43 3,51 7,08
0,3 0,5 4,34 -0,2551 23,8 62,0 10,5 0,170 2,77 6,29 2,54 6,09
0,4 0,5 7,54 -0,2526 30,2 52,4 8,8 0,168 1,65 5,16 1,58 5,10
*Таблица показывает оптимальные стратегии инвестирования и потребления при различных комбинациях параметров функции полезности с памятью а и р. Параметры инвестиционной среды имеют следующие значения: t =0; T =30 годам; 5 =0,02; y=2; W =100; r =0,03; О =0,2; к =0,3; О х =0,1; X =0,3; ожидаемая избыточная доходность акций 6%, уровень привычного потребления h =4. MPC
есть предельная склонность к потреблению, т.е. отношение (1+а-())--MPC и C суть предельная склонность к потреблению и норма
потребления, соответственно, при X =const. G^X,t)
ляющая портфеля испытывает большее влияние, поскольку D (X, t) зависит и от а, и от в (поскольку F (t) зависит от в). Из табл. 2 видно, что абсолютная величина D (X, t) уменьшается с ростом параметра а, характеризующего уровень привычного потребления, и увеличивается с ростом параметра в, характеризующего изменчивость потребления. Во всех случаях величина D (X, t) несколько меньше для инвесторов, характеризующихся полезностью с учетом привычного уровня потребления, чем для инвесторов со степенной аддитивной по времени полезностью, так что спрос на хеджирование снижается существеннее при полезности с учетом привычного уровня потребления, чем спекулятивный спрос, что видно из столбца п hed ¡п myo .
Далее рассмотрим оптимальную норму потребления. Столбцы MPC и C показывают предельную склонность к потреблению, т.е. от-
ношение
(1+aF(t))
-1Y
G(X,t)
и оптимальную норму
потребления. Столбцы MPC и C показывают те же переменные, вычисленные в предположении о постоянстве рисковой премии X. Предельная склонность к потреблению MPC выше при условии, что рисковая премия определяется процессом с релаксацией (20), чем при постоянной рисковой премии. Этот эффект имеет место как для инвесторов с полезностью с учетом привычного уровня потребления, так и со степенной полезностью.
Фактически относительное увеличение MPC благодаря процессу релаксации рисковой премии к своему долгосрочному значению почти идентично в случае степенной полезности и во всех четырех случаях, соответствующих учету привычного уровня потребления в функции полезности, в чем можно убедиться, поделив данные столбцов MPC и MPC. Следовательно, относительное увеличение реальной нормы потребления благодаря процессу релаксации на рынке акций меньше для инвесторов с полезностью с учетом привычного уровня потребления, чем для инвесторов со стандартной степенной функцией полезности.
На рис. 2 показана зависимость оптимальных стратегий от рисковой премии X, коэффициента относительного неприятия риска Y и инвестиционного горизонта T. Жирные кривые соответствуют функции полезности инвестора с учетом привычного уровня потребления при а=0,3; в =0,4, а тонкие кривые соответствуют аддитивной по времени степенной функции полезности. Рассмотрим сначала рис. 2 а,б, на которых текущая рисковая премия меняется. Нетрудно видеть, что и спекулятивный спрос, и спрос на хеджирование на акции увеличивается с ростом рыночной рисковой премии, однако спрос на хеджирование относительно менее чувствителен к изменению рисковой премии. Для инвестора с учетом привычного уровня полезности, например, спрос на хеджирование
MPC , % 20
-1 -0,5 0 0,5 1,0 A.
a—инвестиции в акции как функция рисковой премии
б —норма потребления и MPC как функции рисковой премии
MPC , %
б- инвестиции в акции как функция коэффициента относительного неприятия риска
г—норма потребления и MPC как функции коэффициента относительного неприятия риска
рис. 2. Оптимальные стратегии инвестирования и потребления Жирные (тонкие) кривые соответствуют функции полезности с учетом привычного уровня потребления (степенной функции полезности). Параметры рынка: Г =0,03; О =0,2; к =0,3; X =0,3; О х =0,1 . Параметры инвестора: Т =30 годам; у =2 (кроме (в), (г)), а =0,3; р =0,4; Vэ = 100; Ьэ =4.
изменяется от -11 до 26% при изменении X от -1 до 1,5, т.е. ожидаемая избыточная доходность по акциям меняется от -20 до 30%. В соответствии с утверждением 3 спрос на хеджирование положителен, и потребление возрастает при X >0. Поскольку инвестор может использовать высокие отрицательные значения рыночной рисковой премии, занимая короткие позиции по акциям, то и предельная склонность к потреблению ( MPC ), и сама норма потребления увеличиваются по мере того, как X увеличивается по абсолютной величине. При малых по абсолютной величине отрицательных X спрос на хеджирование положителен, а MPC и норма потребления увеличиваются с ростом X . Этот эффект связан с трендом в X по направлению к положительному долгосрочному значению. Другими словами, при X отрицательных, но близких
к нулю, увеличение X фактически представляет улучшение инвестиционных возможностей.
Далее рассмотрим рис. 2 в,г, на которых изменяемым параметром является коэффициент относительного неприятия риска. Спекулятивный спрос на акции гиперболически убывает с ростом Y, в то время как спрос на хеджирование возрастает по у при у, меньших « 2, и убывает при больших значениях Y, однако с более низкой скоростью, чем спекулятивный спрос. Однако даже при высоких значениях коэффициента относительного неприятия риска спрос на хеджирование составляет только 1/3 полного спроса на акции. Норма потребления и mpc стремительно возрастают при низких значениях коэффициента относительного неприятия риска, а затем медленно снижаются при умеренных и высоких значениях Y. Рис. 2 в,г показывают, что учет уровня привычного потребле-
ния в функции полезности оказывает снижающее воздействие на спекулятивный спрос инвестора и спрос на хеджирование, которое для малых и умеренных значений коэффициента относительного неприятия риска достаточно существенно, а при больших значениях Y влияние привычного уровня потребления ослабевает.
Итак, построенная модель дает характеристику оптимальных стратегий инвестирования и потребления при общей (в том числе и немарковской) динамике цен рисковых активов и инвестиционных возможностей для инвестора, характеризующегося функцией полезности с памятью. В рамках предложенной принципиальной модели нетрудно учесть и другие факторы, влияющие на портфельный и потребительский выбор, такие как доход инвестора вне финансового рынка и недиверсифицируемый инфляционный риск.
литература
1. Cochrane J.H. Asset pricing. Princeton: Princeton University Press, 2001.
2. Sornette D. Why stock markets crash. Princeton: Princeton University Press, 2002.
3. Наталуха И.Г. Моделирование спекулятивного финансового рынка с неоднородными ожиданиями инвесторов // Материалы Всероссийского симпозиума «Экономическая психология: проблемы и перспективы». — Кисловодск, 2004. — С. 53-57.
4. Campbell J.Y., Viceira L.M. Consumption and portfolio decisions when expected returns are time
- varying // Quarterly Journal of Economics. 1999. V. 114. №2. Р. 433-495.
5. Наталуха И.Г. Стратегии оптимального хеджирования процентного риска облигациями // Финансы и кредит. - 2005. - № 30 (198).
- С. 38-40.
6. Наталуха И.Г. Динамическое размещение рисковых активов в стохастической среде с учетом инфляции // Известия Таганрогского государственного радиотехнического университета. — 2005.
- № 8. - С. 84-91.
7. Campbell J.Y., Cochrane J.H. By force of habit: a consumption-based explanation of aggregate stock market behaviour // Journal of Political Economy. 1999. V. 107. P. 205-251.
8. Duffie J.D. Dynamic asset pricing theory. Princeton: Princeton University Press, 1996.
9. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. СПб.: Питер, 2000.
10. Sundaresan S.M. Intertemporally dependent preferences and the volatility of consumption and wealth // The Review of Financial Studies. 1989. V. 2. P. 73-89.
11. Ingersoll J.E. Optimal consumption and portfolio rules with intertemporally dependent utility of consumption // Journal of Economic Dynamics and Control. 1992. V. 16. P. 681-712.
Издательский дом «Финансы и Кредит» оказывает услуги по изданию книг, брошюр, монографий, учебников, учебно-методической и художественной литературы. Издание осуществляется за счет средств автора. Срок изготовления монографий объемом 10 печатных листов в мягкой обложке составляет 35 дней.
Тел./факс: (495) 921-69-49, Http:/www.financepress.ru
(495) 921-91-90 e-mail: post@financepress.ru
у J
