Образование минимальных поверхностей с помощью мнимой циклоиды, заданной комплексным натуральным уравнением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.18

С.Ф. ПИЛИПАКА, М.М. МУКВИЧ

Нацюнальний ушверситет 6iopecypciB i природокористування Укра1ни

УТВОРЕННЯ М1Н1МАЛЬНИХ ПОВЕРХОНЬ ЗА ДОПОМОГОЮ УЯВНО1 ЦИКЛО1ДИ, ЗАДАНО1 КОМПЛЕКСНИМ НАТУРАЛЬНИМ Р1ВНЯННЯМ

Здшснено аналтичний опис i3ompomoi лти та MiHiMcmbHux поверхонь за допомогою функцш комплексно'! змтной Для знаходження параметричних рiвнянь iзотропноi лiнii використано комплексне натуральне рiвняння цикло'1'ди. Аналтичний опис мiнiмальних поверхонь здшснено у комплексному просторi з i-зотропними лiнiями стки переносу. Доведено твердження про достатню умову утворення мiнiмальних поверхонь, вiднесених до i-зометричноi стки координатних лiнiй.

Ключовi слова: мiнiмальна поверхня, iзотропна лiнiя, цикло'1'да, iзометрична стка координатних лiнiй, середня кривина поверхнi.

С.Ф. ПИЛИПАКА, Н.Н. МУКВИЧ

Национальный университет биоресурсов и природопользования Украины

ОБРАЗОВАНИЕ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ МНИМОЙ ЦИКЛОИДЫ, ЗАДАННОЙ КОМПЛЕКСНЫМ НАТУРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ

Осуществлено аналитическое описание изотропной линии и минимальных поверхностей с помощью функций комплексного переменного. Для нахождения параметрических уравнений изотропной линии использовано комплексное натуральное уравнение циклоиды. Аналитическое описание минимальных поверхностей осуществляется в комплексном пространстве с изотропными линиями сети переноса. Доказано утверждение о достаточном условии образования минимальных поверхностей, отнесённых к изометрической сетке координатных линий.

Ключевые слова: минимальная поверхность, изотропная линия, циклоида, изометрическая сетка координатных линий, средняя кривизна поверхности, изотропная кривая.

S.F. PYLYPAKA, M.M. MUKVICH

National University Of Life And Environmental Sciences Of Ukraine

CONSTRUCTION OF MINIMAL SURFACES BY THE IMAGINARY CYCLOID GIVEN BY THE

COMPLEX NATURAL EQUATION

The analytical description of the isotropic line and the minimal surfaces with the help of complex variable functions is carried out. To find the parametric equations of the isotropic line, the complex natural equation of the cycloid is used. The analytical description of the minimal surfaces is carried out in a complex space with isotropic lines of the transfer grid. The theorem on a sufficient condition for the formation of minimal surfaces, assigned to the isometric grid of coordinate lines, is proved.

Keywords: minimal surface, isotropic line, cycloid, isometric grid of the coordinate lines, mean curvature of a surface.

Постановка проблеми

Використання в CAD системах геометричних моделей, описаних мшмальними поверхнями, зумовлене перевагами практичного змюту при проектуванш поверхонь техшчних форм та архггектурних конструкцш. Геометрична форма мшмально! поверхш, середня кривина H у вах точках яко! дорiвнюe нулю, забезпечуе рiвномiрний розподш зусиль в оболонщ та додаткову жорстшсть. Напружешсть у кожнш точщ мшмально! поверхш е сталою величиною, тому И форма залежить пльки вщ форми контуру, через який проведено мшмальну поверхню [1, с. 43]. Рiвнiсть нулю величини H середньо! кривини мшмально! поверхш е необхвдною умовою мшмальносп площi ввдсшу поверхш, обмеженого плоскою або просторовою кривою (контуром).

Задаючи мшмальну поверхню функщею z = z(x; y), Ж. Лагранж (J. Lagrange) одним iз перших зробив висновок, що функщя z = z(x; y) повинна задовольняти диференщальне рiвняння Ейлера-Лагранжа [2, С. 683] в частинних похвдних, яке у загальному випадку не iнтегрyеться. Тому одним iз сучасних напрямкiв дослiдження аналiтичного опису мшмальних поверхонь е удосконалення чисельних методiв розв'язування диференцiального рiвняння Ейлера-Лагранжа [3, 4]. Вщомими е дослщження з геометричного моделювання деформованого листа параболiчного рефлектора, що приймае форму, близьку до мшмально!

поверхш [5]. Перюдичш мшмальш поверхш використовуються для побудови пористш архитектуры полiмерiв [6]. При дослщженш геометрiï арх1тектурних конструкцiй для утворення точкового каркасу мiнiмальних поверхонь найчастше використовують варiацiйнi [3, 4, 7] та кiнцево-рiзницевi методи [1].

Використання в CAD системах геометричних моделей, описаних мiнiмальними поверхнями, потребуе спрощення аналiтичного опису мiнiмальних поверхонь та отримання 1х параметричних рiвнянь. Проблема аналогичного опису мiнiмальних поверхонь, починаючи з робiт К. Вейерштрасса, СЛ, Б. Рiмана, Г. Шварца, розв'язуеться за допомогою методiв функцiй комплексноï змiнноï [2, С. 685].

Анaлiз останшх дослiджень i публiкацiй Для знаходження аналггачного опису мiнiмальних поверхонь за допомогою функцш комплексноï змшно1 необхвдно знайти параметричнi рiвняння iзотропних лiнiй нульовоï довжини [8, С. 144]. У роботах [9, 10] пльки в окремих випадках було знайдено параметричнi рiвняння iзотропних лшш за формулами Шварца та Вейерштрасса i побудовано ввдповщш мiнiмальнi поверхш. Моделювання просторових

iзотропних кривих за допомогою кватернюшв у просторi R4, розглянуто у робот [11]. Ряд робiт [12, 13] авторiв дано1' статтi присвячено задачi аналiтичного опису iзотропних лiнiй, яш лежать на поверхнях обертання, вщнесених до iзометричноï (або iзотермiчноï) атки координатних лiнiй. У дослiдженнях [14] здшснено аналiтичний опис iзотропноï лшп за допомогою цикловди, задано1' натуральним рiвнянням iз дiйсною функцiею кривини. Тому потребуе дослщження можливiсть знаходження параметричних рiвнянь iзотропноï лiнiï за допомогою уявно1' цикловди, задано1' комплексним натуральним рiвнянням.

Формулювання мети дослщження Знайти аналiтичний опис iзотропноï лшп за допомогою уявно1' циклощи, задано1' комплексним натуральним рiвнянням. На основi вказано1' iзотропноï лiнiï побудувати мшмальну поверхню та приеднану мiнiмальну поверхню. Довести твердження про достатню умову утворення мшмальних поверхонь, ввднесених до iзометричноï сiтки координатних лiнiй.

Викладення основного мaтерiaлу дослiдження Параметричнi рiвняння плоско1' кривой задано1' натуральним рiвнянням к = к(s ), де s - довжина дуги криво!', мають вигляд [15, С. 48]:

x(s) = x(0) + j cos

0

j к (s )ds

0

ds; y (s) = y(0) + j sin

0

j к (s )ds

0

ds.

Розглянемо уявну циклощу, задану комплексним натуральним рiвнянням:

к (s) = '

д/16 a2 — s2

(1)

(2)

де i — уявна одиниця, a — параметр циклощи, a > 0.

Щдставимо (2) в (1), тодi при виконаннi умов x(0) = 0 i y(0) = 0, отримаемо параметричнi рiвняння уявноï цикловди iз комплексним натуральним рiвнянням (2) :

x(s)=1 y(s) =1 •i'

s • ch| arcsin — | + v 16a2 — s2 • shf arcsin — 4a I l 4a

s • sh1 arcsin — l + V 16a2 — s2 • ch[ arcsin — 4a I l 4a

(3)

1з умови [8, С. 14] (x')2 + (y')2 + (z')2 = 0 визначимо вираз z(s) = i • s та запишемо параметричш рiвняння просторовоï iзотропноï лiнiï:

x(s)=1

s • ch| arcsin — 4a

| + V 16a2 — s2 • shf arcsin —

| l 4a

y(s) = - •i •

s • shf arcsin — | + V 16a2 — s2 • chf arcsin — |

l 4a| l 4a|

(4)

z(s) = i • s.

Для знаходження рiвнянь мiнiмальноï та приеднаноï до неï мiнiмальноï поверхнi необхвдно в параметричних рiвняннях iзотропноï кривоï (4) увести замшу [12, 13]: s = u + i • v. Тодi отримаемо параметричш рiвняння мiнiмальноï поверхнi X (u, v), Y (u, v), Z (u, v) :

X(u,v) = Re{x(u + i • v)}; Y(u,v) = Re{y(u + i • v)}; Z(u,v) = Re{i•(u + i • v)} (5)

та приеднаноï мiнiмальноï поверхнi X*(u, v), Y*(u, v), Z*(u,v) :

X (u, v) = Im{x(u h i • v)}; Y (u, v) = Im{y(u h i • v)}; Z (u, v)= Im{i •(u h i • v)}. (6)

Вiдокремивши дiйснy та уявну чaстинy для кожноИ з функцш (4), зпдно (5), (6), отримaeмо рiвняння мiнiмaльноï поверxнi:

де

X (u, v) = cos

f

2

1, f v if u

— ln l---h m • cosa I hl--h m • sina

2 V 4a J V 4a

VJ

21

h sin

(

2

11 f v if u

— ln l---h m • cosa I hl--h m • sina

2 V 4a J V 4a

VJ

21

u U a a • m .

— • chß h---cosa • shß \ h

2 S

v a • m . i

•i — • shß h---sina • chß I;

2S

Y (u, v) = cos

f

2

11 f v if u

— ln l---h m • cosa I hl--h m • sina

2 V 4a J V 4a

VJ

21

h sin

(

2

11 f v if u

— ln l---h m • cosa I hl--h m • sina

2 V 4a J V 4a

VJ

21

v u о a • m . i (7)

---sh ß---sin a • ch ß I h

2S

u u о a • m i

•i — • chß h---cosa • shß I;

2S

Z (u, v) = -v,

m = m(u, v ) =

22 uv

64a2

-h

f „.2 ..2 ii 1 -

u - v

16a2

a = a(u, v ) = — • arctg

2uv

J

2 2 2 v u - v - 16a

ß = ß(u, v ) = arctg

v

--h

4a

та пржднано! мiнiмaльноl поверxнi:

u

4a

f. 2.2 f 2 ,2 ii

uv

64a2

h

1-

u - v

16a 2

4 f • sin

J

1 f

2arctg

2uv

m

2 2 2 V u - v - 16a J

f..2.2 f _.2 2 ii

uv

64a2

-h

1-

u - v

16a 2

J

X (u,v) = cos

Í

- sin

-ln

2

v if u

--h m • cos a I h l--h m • sin a

4a J V4a

• cos

2i

^1 f 2uv ^

-arctgl -2-y

2 V u 2 - v2 - 16a2

v i n a • m . . 0 i

• i — • ch ß h---sin a • sh ß \-

2S

(

2

1 1 f v if u — ln l---h m • cos a I h l--h m • sin a

2 VV 4a J V 4a , j

2i

Y (u, v) = cos

1ln

2

(

2

v if u

--h m • cos a I h l--h m • sin a

4a J V4a

VJ

2i

u i о a • m , 01

•i — • shß h---cosa • chß I;

2 S J

u л о a • m , 0 i

• i — • sh ß h---cos a • ch ß I h

2S

h sin

A

2

2i

-ln I - — h m • cosa ! hl u h m • sina

: VV 4a J V 4a j

v , n a • m . i

ch ß h---sin a • sh ß I;

2S

• — •

(S)

(9)

Z (u,v) = u.

У параметричнт рiвнянняx (9) приeднаноï мiнiмaльноï поверxнi вирази m = m(u, v) ; a = a(u, v ) ; ß = ß(u, v ) визначаються iз рiвностей (Б).

Вирази коефiцieнтiв першоН та другоИ квадратична форм мiнiмальноï поверxнi (7) та приeднaноï мiнiмaльноï поверxнi (9) e громiздкими, тому у дaнiй статп не наводяться. У середовищi математичного процесора Wolfram Mathematica авторами статп дослiджено, що коефiцieнти першоï та друго! квaдрaтичниx форм мiнiмaльниx поверxонь (7) та (9), перетворюють вираз середньоï кривини H, для кожноИ iз yкaзaниx поверxонь, до нуля.

1

4

1

1

4

1

2

1

На рис.1 зображено вадспси мшмально! та приеднано! поверхонь, побудованих за р1вняннями (7) 1 (9) вадповадно при а = 1; " - [ тг\...тг\ 2;...4] Слад зазначити, що утворена гвинтова мшмальна

поверхня (7) мае подiбнi властивостi кривини iз приеднаною мiнiмальною поверхнею, побудованою у досладженш [14] за допомогою циклоади, задано! натуральним р1внянням п д1 йеною функщею кривини.

а б

Рис. 1. Вiдсiки м1н1мальних поверхонь, побудованих за допомогою 1зотропно! лшп (4): а) вiдсiк мШмально! поверхш, побудовано! за рiвняннями (7); б) ввдсш приеднано!" мШмально! поверхн1, побудовано!" за рiвняннями (9).

Параметричш р1вняння мшмальних поверхонь часто мають громпдкий вигляд, що ускладнюе знаходження коефпрентш друго! квадратично! форми \ знаходження виразу Н середньо! кривини поверхш. Тому корисним для вказаних досладжень е запропоноване твердження, яке мае нескладне доведення.

Твердження.

Поверхня, задана у вигляд1 К = Л (и, у), яка ваднесена до помстричнсн сптси координатних лшш, е мшмальною, якщо виконуеться р1вшсть:

d2R

(10)

Доведення.

Нехай поверхню, яку задано у вигляд1 Я = РАк, у), ваднесено до помстричнсн с ¡тки координатних лшй, тобто для коефпценпв першо! квадратично! форми виконуються р1вносп [8]: Е Ст\Е 0. Тод1 вираз середньо! кривини поверхш дор1внюе [8, 15]:

н_Е-К-2-Р-М + 0-Ь _Е-Ы + 0-Ь

2 (Е-в-Е2) ~ 2-Е-0

Враховуючи останню р1вшсть та р1вшсть Е = С . легко зробити висновок, що поверхня, ваднесена до помстричнсн с ¡тки координатних лшш е \пншальною. тобто Н = 0, якщо Ь + N = 0.

Коефпценти друго! квадратично! форми поверхш Л=Л(и,у) дор1внюють [15]:

друго1 квадратично1 форми поверхн1 к=Щи, V) доршнюють п, де п - вектор нормами до вказано! поверхш. Тод1 р1вшсть П Ь + N О

L-

d2R - ,r d2R -—— -п\ N = —

du dv

виконуеться, якщо

d2 R

du1

д'R ~

л--— = 0. Твердження доведено.

öv

Висновки

Використовуючи параметричн piBHHHHH уявно! цикло!ди, задано! комплексним натуральним piBHHHHHM, можна знайти аналiтичний опис iзотропно! лшп. На основi вказано! iзотропно! лшп у комплексному просторi знайдено аналiтичний опис мiнiмальних поверхонь. Доведено твердження про достатню умову утворення мiнiмальних поверхонь, вiднесених до iзометрично! сiтки координатних лiнiй, без знаходження громiздких виразiв коефiцieнтiв друго! квадратично! форми поверхонь.

Список використаноТ лiтератури

1. Михайленко В.Е. Конструирование форм современных архитектурных конструкций / В.Е. Михайленко, С.Н. Ковалёв. - Киев: Будiвельник, 1978. - 112 с.

2. Математическая энциклопедия / [гл.ред. И.М. Виноградов]. - Т.3.- М.: Изд-во "Советская энциклопедия", 1982.- С. 683-690.

3. Пульпинский Я. С. Математическое моделирование оболочек вращения сложных форм: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.13.18 / Я.С. Пульпинский. - Пенза: Пензенский гос. университет архитектуры и строительства, 2006. - 20 с.

4. Клячин А.А. О сходимости полиномиальных приближённых решений уравнения минимальной поверхности / А.А. Клячин, И. В. Трухляева // Уфимский математический журнал. - 2016. - Т. 8. - №1. -С. 72-83.

5. Бухтяк М.С. Обобщение минимальных поверхностей и моделирование формы конструкции из ортотропного материала / М. С. Бухтяк // Вестн. Томского гос. ун-та. Серия: математика и механика. -2017. - №45. - С. 5-24.

6. Zhixing Lin, Shaohua Liu, Wenting Mao, Hao Tian, Nan Wang, Ninge Zhang, Feng Tian, Lu Han, Xinliang Feng, Yiyong Mai: Tunable Self-Assembly of Diblock Copolymers into Colloidal Particles with Triply Periodic Minimal Surfaces. Angewandte Chemie. 129(25), 7241 - 7246 (2017). DOI: 10.1002/ange.201702591.

7. Абдюшев А.А. Проектирование непологих оболочек минимальной поверхности / А.А. Абдюшев, И.Х. Мифтахутдинов, П.П. Осипов // Известия КазГАСУ. - 2009. - №2(12). - С. 86-92.

8. Фиников С. П. Теория поверхностей / С. П. Фиников. - М.-Л.: ГТТИ, 1934. - 206 с.

9. Пилипака С.Ф. Мшмальш поверхш, отримаш з iзотропних кривих / С.Ф. Пилипака, Е.О. Чернишова // Збiрник наукових праць КНУДТ (спецвипуск): Доповщ третьо! кримсько! науково-практично! конференци "Геометричне та комп'ютерне моделювання: енергозбереження, еколопя, дизайн". - К.: ДОП КНУТД, 2006. - С. 40-45.

10. Пилипака С.Ф. Конструювання мшмально! поверхш гвинтовим рухом просторово! криво! / С.Ф. Пилипака, 1.О. Коровша // Пращ Тавршського державного агротехнолопчного ушверситету. -Вип. 4. Прикл. геометрiя та iнж. графжа. - Т. 39. - Мелггополь: ТДАТУ, 2008. - С.30-36.

11. Аушева, Н.М. Моделювання ам'! iзотропних просторових PH - кривих на основi кватернюшв iз колшеарною векторною частиною / Н.М. Аушева // Сучасш проблеми моделювання. - Мелггополь: Видавництво МДПУ iм. Б. Хмельницького, 2016.- №7. - С. 3-9.

12. Муквич М.М. Аналiтичний опис мшмальних поверхонь за допомогою iзотропних кривих, як! лежать на поверхш обертання цикло!ди / М.М. Муквич // Вюник Херсонського нацiонального техшчного унiверситету. - Херсон: Видавництво ХНТУ, 2016.- №3(58). - С. 519-523.

13. Пилипака С.Ф. Утворення мшмальних поверхонь за допомогою iзотропних лшш, як! лежать на поверхш уявного конуса / С.Ф. Пилипака, М.М. Муквич // Сучасш проблеми моделювання. -Мелггополь: Видавництво МДПУ iм. Б. Хмельницького, 2017.- №9. - С. 114-118.

14. Пилипака С.Ф. Аналп'ичний опис мшмальних поверхонь, утворених за допомогою цикло!ди, задано! функц!ями натурального параметра / С.Ф. Пилипака, М.М. Муквич // Збiрник тез доповщей XII Мiжнародно! науково-практично! конференци "Обухiвськi читання" (21 березня 2017 року) / Нащональний унiверситет бюресурав i природокористування Укра!ни. - К., 2017. - С. 10-15. Режим доступу: https://nubip.edu.ua/node/26574

15. Милинский В. И. Дифференциальная геометрия / В. И. Милинский. - Л.: КУБУЧ, 1934. - 332 с.