CC BY
8
УДК 514.18
О.В. НЕСВ1ДОМИА
Нащональний ушверситет 6iopecypciB i природокористування Украши
ПОБУДОВА ПЛОСКИХ 1ЗОМЕТРИЧНИХ С1ТОК ЗА НАПЕРЕД ЗАДАНИМИ
ПЛОСКИМИ КРИВИМИ
Запропоновано cnoci6 побудови плоско'1' ¿зометрично'1' cimKU за довшьною плоскою кривою, заданою параметричним рiвнянням. В основу способу покладено mpexid eid кривоi на дшснш площинi до 1зотропно'( криво'1' на комплекстй площит. Наведено рiвняння ¿зометричних сток, коефщенти першоi квадратично'1' форми та вiдповiднi зображення.
Ключовi слова: плоска iзометрична стка, плоска крива, iзотропна крива, коефiцiенти першо'1' квадратично'1' форми.
А.В. НЕСВИДОМИНА
Национальный университет биоресурсов и природопользования Украины
ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ ИЗОМЕТРИЧЕСКИХ СЕТОК ПО НАПЕРЕД ЗАДАННЫМ ПЛОСКИМ
КРИВЫМ
Предложен способ построения плоской изометрической сетки для произвольной плоской кривой, заданной параметрическим уравнением. В основу способа положен переход от кривой на действительной плоскости к изотропной кривой на комплексной плоскости. Приведены уравнения сеток, коэффициенты первой квадратичной формы и соответствующие изображения.
Ключевые слова: плоская изометрическая сетка, плоская кривая, изотропная кривая, коэффициенты первой квадратичной формы.
A.V. NESVIDOMINA
National University of Life and Environmental Sciences of Ukraine
BUILDING OF PLANE ISOMETRIC GRID FOR THEIR ARBITRARY PLANE CURVES
A method for constructing a plane isometric grid is proposed for an arbitrary plane curve given in parametric form. The basis of the method is the transition from the curve on the real plane to the isotropic curve on the complex plane. The equations of isometric grid, the coefficients of the first quadratic form, and the corresponding images are given.
Keywords: plane isometric grid, plane curve, isotropic curve, coefficients of the first quadratic form.
Постановка проблеми
Основною властивютю iзометричних(або ще iзотермiчних) плоских та просторових сгток (поверхонь)е те, що !х елементарш комiрки мають форму квадрапв. Одшею i3 практичних задач застосування iзометричних сток е моделювання поширення тепла [9]. Так, iзотерми (крит з однаковим значенням температури) унаочнюють прирют температури, а лши току, яш перпендикулярш до iзотерм -напрямок переносу тепла. Також iзометричнi сгтки координатних лшш широко використовуються як посередники для конструювання мшмальних поверхонь [4, 6], при нанесенш зображень на криволшшш форми з мшмальними спотвореннями [3]. В цих задачах формоутворення плоско! iзометрично! сгтки дощльно здшснювати,задаючи наперед задану напрямну плоску криву !! параметричним рiвнянням.
Анaлiз останшх дослiджень i публiкацiй
Формоутворення плоских iзометричних сiток за допомогою комплексно! змшно!, зокрема, тригонометричними фyнкцiями, показано в пращ [5]. Використання iзотропних кривих Без'е, Лагранжа, дробово-рацiональних iзотропних кривих для побудови плоских iзометричних сiток розкрито у дисертацiйномy дослщженш [2]. Способи конструювання iзотропних кривих за допомогою функцш комплексно! змшно! показано в пращ [8].
Формулювання цшей CTaTTi
Розкрити спосiб аналгтичного опису плоско! iзометрично! сiтки за будь-якою наперед заданою плоскою кривою. За допомогою розроблено! комп'ютерно! моделi в середовищi символьно! алгебри Maple [1] провести обчислювальш експерименти з визначення рiвнянь iзометричних сiток, коефщенпв 1 -о! квадратично! форми, встановити змшш параметри для !х унаочнення.
Викладення основного MaTepi&^y
Нехай маемо будь-яке piBHHHHH плоско! криво! в евклвдовому npocropi у наступному векторно-параметричному виглядi:
г (t )=r[ x(t ),y(t)] . (1)
Якщо рiвняння (1) перезаписати на комплекснiй площинi у виглядг
r (t)=r [x(t)±y(t) • I, y(t) + x(t) • I], (2)
тодi довжина дуги тако! криво! буде дорiвнювати нулю:
ds(t) =
fa)2-!d (x(t )±y(t w) )2+(d (y(t) ;x(t ) •1) )2=o. (3)
де 1 = "J— 1 — уявна одиниця.
Крит нульово! довжини (3) на комплекснш площинi називаються iзотропними кривими. В працях [2, 8]показано застосування iзотропних кривих для формоутворення iзометричних сггок. Так, пiдстановка до iзотропно! криво! (2) зашсть змiнно! t комплексно! змшно! u + v • 1 приводить до рiвняння поверхнiна комплекснiй площиш виду:
Rc (u,v)-R[ x(u+v • 1)±y(u+v • 1) • 1,y(u+v • 1) • x(u+v 1) • 1 ], (4)
Дшсна та уявна частини рiвняння (4) визначають двi iзометричнi сiтки виду:
Rre (u,v)-Re( Rc (u, v)), (5)
Rim (u,v)-Im(Rc (u, v)). (6)
Основна властивiсть поверхонь (5) i (6) е рiвнiсть крайшх коефiцiентiв першо! квадратично! форми. Оскшьки для iзометрично! сiтки коефiцiент F дорiвнюе нулю, то !! лшшний елемент можна записати у наступному виглад:
ds 2-Q(du 2 + dv2), (7)
де Q = E = G - коефщенти 1-о! квадратично! форми.
В середовищi символьно! алгебри Maple було розроблено програмне забезпечення для побудови та дослщження iзометричних сiток для дов№но!параметрично задано! плоско! криво! [7]. Детально послщовшсть формоутворення плоско! iзометрично! сiтки покажемона двох прикладах - прямо! лшп, як найпростiшо! лши на площинi, та спiралi Архiмеда, задано! полярним рiвнянням.
Приклад 1. Нехай маемо параметричне рiвняння прямо! на площинi Oxy :
r(t)-r[at, bt], (8)
тодi рiвняння iзотропно! прямо! (2) на комплекснiй площиш матиме вигляд:
rc (t )-r[at — bt^1,bt + at^1 ], (9)
де: a, b - параметри положення прямо!; t - незалежна змiнна.
Замiна t на u + v • 1 приводить до параметричного рiвняння плоско! сiтки на комплеснш площинi у наступному виглядг
Rc (u, v)-R[au + bu +1 (av — bu),bu — av +1 (au + bv)], (10)
де u, v - координатш лiнi!' плоско! спки.
Вiдокремемо дiйсну та уявну частину у рiвняннi (10) - отримаемо вiдповiдно двi сiтки на площиш:
Rre (u, v)-R[au + bu, — av + bu], (11)
та:
Rim (u,v)-R[av — bu,au + bv]. (12)
Коефщенти E i G першо! квадратично! форми плоских поверхонь (11) i (12) рiвнi мiж собою:
E-G = a2 + b\F = 0, (13)
що шдтверджуе !х iзометричнiсть.
На рис.1,а,б побудоваш двi iзометричнiсiтки (11) та (12) для наступних вихщних умов: параметрiв положення прямо! лшп a = 2,Ь = 1; параметрiв координатних лшш сiтки u = 0..1,v = 0..2 .
Основною осообливютю сiток Яге(и,V) та (и,V) е !х конгруентнiсть. Сггка (12) ввдносно сiтки
(11) е повернутою на кут 90° навколо початка координат Оху.
Приклад 2. Нехай маемо полярне рiвняння криво!, наприклад, спiралi Архiмеда:
р($) = *, (14)
звiдки параметричне рiвняння матиме вигляд:
г(*)=г[* • ),* • sin(f)]. (15)
У вiдповiдностi (2) отримаемо рiвняння iзотропно! спiралi Архимеда на комплекснш площинi:
гс (*)=г[* • cos(f) - * • sin(t) • I, * • вт(*) + * • cos(f) • I]. (16)
Замша * на и + V • I приводить до параметричного рiвняння плоско! атки на комплеснш площиш у наступному виглядг
- ((-IV - и)то8(и) + (1и - v)sin(u))(cosh(v) + sinh(v)), _ ((IV + и) sin(u) + Ци - V) cos(u))(cosh(v) + sinh(v)) Дшсна та уявна частина рiвняння (17) визначають вiдповiдно двi iзометричнi атки (рис.1,в,г):
(cosh(v) + sinh(v))(v sin(u) + и cos(u)), (cosh(v) + sinh(v))(u sin(u) - V cos(u))
Яс(и, v)=R
Яге(и, v)=R
(17)
(18)
та:
Rim(u,
(19)
- (cosh(v) + sinh(v))(u sin(u) - V cos(u)), _ (cosh(v) + sinh(v))(vsin(u) + и cos(u))
Коефiцiенти Е i О першо! квадратично! форми цих плоских поверхонь Яге (и, V) та (и, V) рiвнi м1ж собою та дорiвнюють:
Е=О = 2(и2 + V2 + 2v + 1)(cosh(v)2 + cosh(v) sinh(v) -1/2).
(20)
10
О
10
а) б) в) г)
Рис.1. Плоскi 1зометричт с1ткиз напрямними: а,б - прямою; в,г - сп1раллю Арх1меда
В табл. 1 наведено параметричне рiвняння плоско! напрямно! криво! г (*), параметричне рiвняння (11) iзометрично! сiтки Яге(и, V), коефщенти Q=E=G, першо! квадратично! форми плоско! iзометрично!
сiтки та меж1 змiни незалежних параметрiв и = \ио..ип] та V = \уо.У„].
Звернемо увагу, що криволiнiйнi комiрки побудованих плоских iзометричних сiток дещо вiдрiзняються вщ форми криволiнiйних квадратiв, хоча коефщенти Е та О 1-о! квадратично! форми атки рiвнi мiж собою. Це пов'язано з тим, що з метою покращення вiзуалiзацi!' побудованих iзометричних сiток значения ёи та ё> вiдповiдних параметрiв и тa V !х координатних лiнiй бралися дещо завеликими, iнакше комiрки атки вироджувалися би в точки i отримали б одну затушовану область.
Таблиця1
Рiвняння та зображення плоских iзометричних cítok
№
Рiвняння
Зображення
Коло r (t) = r[a cos(t ), a sin(t )], де a = 2.
a cos(u)(cosh(v) + sinh(v)), a sin(u)(cosh(v) + sinh(v))
R(u, v)=R
де u = [0..2n] v = [0..1].
22 Q = a (cosh(v) + sinh(v))2
Елiпc r(t) = r[acos(t),b sin(t)], де a = 2,b = 1.
cos(u)(a cosh(v) + b sinh(v)), sin(u)(b cosh(v) + a sinh(v))
R(u, v)=R
де u = [0..2n] v = [0..1].
2 2 2 Q = -((-a - b ) cosh(v) - 2ab cosh(v) sinh(v) +
(a2 - b2)cos(w)2 + b2)
Парабола r (t) = r[t, at], де a = 2 .
R(u, v)=R
де u
= [- 2..2] v = [0..2].
2auv+u,
22 a(u - v ) - v
Q = 4a 2(u2 + v2) + 4av + 1
Гiпербола r(t) = r[acosh(t),b sinh(t)], де a = 2,b = 1. cosh(u )(a cos(v) + b sin(v)), sinh(u)(b cos(v) + a sin(v))
R(u, v)=R
де u
= [- l..l]v = [-2..0.25].
2 2 2 Q = -((a - b ) cos(v) + 2ab cos(v) sin(v) +
(-a2 - b2)cosh(w)2 + b2)
R(u, v)=R
де u
Цикловда r(t) = r[a(t - sin(t)),a(l - cos(t))], де a = 2 .
a((- cosh(v) + sinh(v))sin(u) + u), - a((cosh(v) - sinh(v)) cos(u) + v -1)
= [0..2n] v = [-1..2].
2
Q = 2a (cosh(v) - cos(u))(cosh(v) - sinh(v))
Ланцюгова лiнiя r(t) = r[t,acosh(t/a)], де a = 2 .
u + a sinh(u / a))sin(v / a)), - v + a cosh(u / a)) cos(v / a))
R(u, v)=R
де u = [0..2n] v = [0..1].
Q = 2a2 (cosh(v) + cosh(v)sinh(v) - l/2)(u2 + v2)
Евольвента кола
r (t ) = r[a(cos(t ) +1 sin(t )), a(sin(t ) -1 cos(t ))], де a = 2 a(sinh(v) + cosh(v))((l - v)cos(u) + u sin(u)), - a(sinh(v) + cosh(v))((v - l)sin(u ) + u cos(u))
R(u, v)=R
де u = [0..2n] v = [0..1].
Q = 2a 2(cosh(v)2 + cosh(v)sinh(v) - l/2)(u2 + v2)
1
2
3
4
5
6
7
В табл. 1 б№шють i30Meipn4HHx сток побудоваш по одну сторону напрямно! криво!. Варшванням парамет^в Vo та vn е можливють здiйснювати побудову iзометpичних сiток по pi3rn сторони напрямно! криво! (див. рядки 4 i 5 табл. 1).
Висновки
Будь-якш плоский кривш з параметричним piвнянням r(t)=r[x(t),y(t)] на дiйснiй площинi ввдповщае iзотpопна крива rc (t)=rc [x(t)±y(t) • I,y(t) + x(t) • I] на комплекснш площинi. Обчислювальними експериментами доведено, що двi плоска iзометpичнi сiтки Rre(u, v) i Rim(u, v), яш одеpжанi
ввдокремленням дшсно! та уявно! частин з piвняннi сiтки Rc(u, v) на комплекснш площиш, е конгруентними та повернутими одна ввдносно iншо!' на прямий кут.
Список використаноТ лггератури
1. Аладьев В.З. Программирование и разработка приложений в Maple [Текст] / В.З. Аладьев, В.К. Бойко, Е.А. Ровба.- Гродно-Таллин, 2007.- 458 с.
2. Аушева Н.М. Геометричне моделювання об'екпв дшсного простору на основi iзотpопних характеристик: автореф. дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01 [Текст] / Н.М. Аушева.- К.: КНУБА, 2014.- 38с.
3. Кремець Т.С. Перетворення плоских зображень шляхом нанесення !х на piзнi iзометpичнi сiтки [Текст] / Т.С. Кремець, В.М.Несввдомш, Т.С. Пилипака // Пращ Тавршського державного агpотехнологiчного ушверситету.Прикладна геометpiя та iнженеpна гpафiка. - Вип. 4. -Т. 56. - Мелггополь:ТДАТУ, 2013. -С. 158-163.
4. Муквич М.М. Аналттичний опис мшмальних поверхонь за допомогою iзотpопних кривих, як1 лежать на поверхш обертання цикло!ди[Текст] / М.М.Муквич // Вюник ХНТУ.- 2016. - №3 (58). - С.518-523.
5. Несввдомша О.В. Мар1е-моделювання плоских1зометричних сiток тригонометричними функцiями комплексно! змiнно![Текст] / О.В. Несввдомша // Матеpiали V-о! всеукра!нсько! науково-практично! конфеpенцi! студентiв, аспipантiв та молодих вчених "Прикладна геометpiя, дизайн та об'екти штелектуально! власностi та шновацшна дiяльнiсть студентiв та молодих вчених".- К.: НТУУ "КШ", 2016.- С.196-199.
6. Пилипака С.Ф.Конструювання мшмально! повеpхнi гвинтовим рухом просторово! криво! [Текст] / С.Ф. Пилипака, 1.О. Коровша // Пpацi Тавpiйського державного агротехнолопчного унiвеpситету.Пpикладна геометpiя та шженерна гpафiка. -2008. -Вип.4. - Т. 39. - С. 30-36.
7. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (справочное руководство) [Текст] / А.А.Савелов. - М.: ГИФМЛ, 1960. -293 с.
8. Чернишова Е.О. Використання функцш комплексного змшного для побудови поверхонь технiчних форм: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01 [Текст] / Е.О. Чернишова. - К.: КНУБА, 2007. - 20 с.
9. Фокин В.М. Основы технической теплофизики [Текст] / В.М. Фокин, Г.П. Бойков, Ю.В. Видин.- М.: Машиностроение, 2004.- 172 с.
