CC BY
12
УДК 514.18
М.М. МУКВИЧ
Нацюнальний ушверситет 6iopecypciB i природокористування Укра!ни
АНАЛ1ТИЧНИЙ ОПИС М1Н1МАЛЬНИХ ПОВЕРХОНЬ ЗА ДОПОМОГОЮ 1ЗОТРОПНИХ КРИВИХ, ЯК1 ЛЕЖАТЬ НА ПОВЕРХН1 ОБЕРТАННЯ ЦИКЛО1ДИ
У po6omi здшснено аналтичний опис мттальних поверхонь за допомогою i-зотропних кривих, як лежать на meepmi обертання цикло'1'ди навколо ii напрямно'1\ Знайдено параметричт рiвняння meepmi обертання цикло'1'ди, вiднесеноi до ¿зометрично'1' стки координатних лтт. Параметричнi рiвняння &мей ¿зотропних кривих отримано i3 умови рiвностi нулю лiнiйного елемента поверхнi обертання цикло'1'ди, вiднесеноi до ¿зометрично'1' стки координатних лiнiй.
Ключовi слова: мiнiмальна поверхня, цикло'1'да, i-зометрична стка координатних лiнiй, лтшний елемент поверхнi, i-зотропна крива.
Н.Н. МУКВИЧ
Национальный университет биоресурсов и природопользования Украины
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ
ИЗОТРОПНЫХ КРИВЫХ, ЛЕЖАЩИХ НА ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ ЦИКЛОИДЫ
В работе осуществлено аналитическое описание минимальных поверхностей с помощью изотропных кривых, лежащих на поверхности вращения циклоиды вокруг ее направляющей. Получены параметрические уравнения поверхности вращения циклоиды, отнесенной к изометрической сети координатных линий. Параметрические уравнения семейств изотропных кривых определены из условия равенства нулю линейного элемента поверхности вращения циклоиды, отнесенной к изометрической сети координатных линий.
Ключевые слова: минимальная поверхность, циклоида, изометрическая сетка координатных линий, линейный элемент поверхности, изотропная кривая.
М.М. MUKVICH
National University Of Life And Environmental Sciences Of Ukraine
ANALYTICAL DESCRIPTION OF THE MINIMAL SURFACE USING ISOTROPIC CURVED, LYING ON THE ROTATIONAL SURFACE OF THE CYCLOID
The paper carried an analytical description of minimal surfaces with isotropic curves, that lie on the surface of the cycloid rotation around its directrix lines. Found parametric equation of the surface of rotation of the cycloid, referred to the isometric grid of the coordinate lines. Parametric equations families isotropic curves obtained from the condition that the linear element surface rotation cycloid, referred to the isometric grid of the coordinate lines.
Keywords: minimal surface, cycloid, isometric grid of the coordinate lines, line element of the surface, isotropic curve.
Постановка проблеми
Геометричне моделювання мшмальних поверхонь розширюе можливосп формоутворення поверхонь техшчних форм та архгтектурних конструкцш. Наприклад, маючи найменшу площу для заданого опорного контура (просторово! або плоско! криво!), геометрична форма мшмальних поверхонь забезпечуе рiвномiрний розподш зусиль для напруженого стану архггектурно! конструкцп [1, с. 152].
Першi дослвдження мшмальних поверхонь належать Ж. Лагранжу (J. Lagrange), який сформулював варiацiйнy задачу [2, с. 683]: «Знайти поверхню найменшо! площ^ натягнуту на заданий контур» (1786 р.). Задаючи аналттично шукану поверхню у виглядi z = z(x; y), Ж. Лагранж зробив висновок - функщя z = z(x; y) повинна задовольняти рiвняння (Ейлера-Лагранжа):
( 2 2 z . д2 z ( 2 2 z _
(l+q2t-2pqdxr(1+pV =0 (1)
dz dz
де: p = —; q = —.
dx dy
Пiзнiше Г. Монж (G. Monge) в 1776 виявив, що умова мiнiмальностi площi приводить до умови рiвностi нулю середньо! кривини поверхнi.
Гранична умова = p(x; y) диференщального рiвняння (1), яка застосовуеться для проектування
архитектурных конструкцiй, визначае проектну висоту поверхш на меж1 G областi [1, 3, 4].
Знайти функцiю z = z(x; y), яка е розв'язком рiвняння (1), у загальному випадку неможливо. Зокрема, при дослщженш геометрй' архiтектурних конструкцiй для утворення точкового каркасу мiнiмальних поверхонь найчаспше використовують варiацiйнi [4, 5, 6] та кiнцево-рiзницевi методи [1, 3].
Стд зазначити, що е шший напрям дослiдження аналiтичного опису мшмальних поверхонь - за допомогою властивостей функцш комплексно! змшно!, який дозволяе знайти параметричнi рiвняння мшмальних поверхонь. У цьому напрямi вiдомi працi видатних математиков К. Вейерштрасса, С.Лi, Б. Рiма-на, Г. Шварца, яш використовували для аналттичного опису мiнiмальних поверхонь методи i результати теори функцiй комплексно! змшно! [2, 7]. У данiй робот також використано властивостi функцiй комплексно! змшно! та реалiзовано метод аналгтичного опису мiнiмальних поверхонь за допомогою iзотропних кривих, якi лежать на поверхнях обертання, вiднесених до iзометрично! сiтки координатних лiнiй [11, 12].
Анaлiз останшх досл1джень i публшацш
Для аналiтичного опису неперервного каркасу мшмальних поверхонь використовуються параметричнi рiвняння iзотропних кривих нульово! довжини [7]. Побудову мшмальних поверхонь за допомогою iзотропних кривих Без'е реалiзовано у дисертацшному дослiдженнi [8]. У дисертацшних дослвдженнях [9, 10] учнiв професора Пилипаки С.Ф. знайдено способи конструювання просторових iзотропних кривих за допомогою функцш комплексно! змшно! пльки для окремих випадшв використання аналiтичних функцш. Тому розширення способiв утворення iзотропних кривих за допомогою функцiй комплексно! змшно! е важливою умовою для дослщження проблеми аналiтичного опису мшмальних поверхонь.
Формулювання цiлей CTaTTi
Знайти аналттичний опис поверхнi обертання цикло!ди, ввднесено! до iзометрично! сiтки координатних лшш та iзотропних кривих, що лежать на !! поверхнi. На основi вказаних iзотропних кривих побудувати ттмальт поверхнi та приеднанi до них мшмальт поверхнi.
Виклад основного мaтерiaлу дослiдження
Розглянемо поверхню обертання, параметричш рiвняння яко! мають вигляд:
X(т; v) = p(r)- cos v; Y(т; v) = ppr\ sin v; Z(т; v) = ц(т), (2)
де p = р(т); ц = ц(т) - параметричнi рiвняння меридiана поверхнi обертання.
У робот [13] наведено алгоритм вiдшукання параметричних рiвнянь меридiана поверхнi обертання, при якому поверхня буде вiднесена до iзометричних координат. Перехiд ввд ортогонально! до iзометрично! сiтки координат здшснюеться за допомогою введення ново! змшно! t, яка пов'язана iз змiнною т наступним чином [13]:
t =
^PPr? +Ш1 dr
(3)
Р
Розглянемо поверхню обертання цикло!ди навколо Г! напрямно!, тодi !! параметричнi рiвняння мають вигляд:
X (т; v ) = a(1 - cosr)- cos v; Y (т; v ) = a(1 - cosr)- sin v; Z (т; v) = а(т- sinr), (4)
де a - параметр цикло!ди; т G [0; 2n); v G [0; 2n).
Знайдемо умову переходу до iзометрично! сгтки координат, подставивши параметричнi рiвняння цикло!ди р(т) = а(1 - cosr); ц/(т) = а(т - sin т) у (3). Шсля перетворень отримаемо залежнiсть:
t = 21n
т
tg т
(5)
Виразимо iз (5) т()= 4arctg e2 i пiдставимо у рiвняння (4). Пiсля перетворень отримаемо параметричш рiвняння поверхнi обертання цикло!ди, вщнесено! до iзометрично! сiтки координатних лшш:
т./ ч 8 ae X (t; v ) = --— cos v;
Y (t; v ) =
(1 + et J
8 aef
M
• sin v;
f
Z (t; v ) = a
4arctg
f t ^ e 2
v
+ -
4e 2 (et -1
(1 + et )2
(6)
t
Коефщенти першо! квадратично! форми [7] поверхш обертання цикло!ди, задано! параметричними
рiвняннями (6), мають вигляд: Е = О =
64 а 2е 2'
(,+Г
; ^ = 0. Тодi лiнiйний елемент поверхнi обертання
цикло!ди (6), ввднесено! до iзометрично! атки координатних лiнiй, можна записати у виглядг
,2 2'
2 64 а 2е / 2 2\
йх2 = -,-т— • йу2 + &2 I
1 + е')4 1 '
Розклавши на множники вираз (7) отримаемо:
(7)
^^ 2 2'
йх 2 = 6-— • (йу —7 • й' )(йу +7 • й'),
( + е-Г
1 + е
де 7 — уявна одиниця. Прирiвнюючи до нуля праву частину останньо! рiвностi, пiсля iнтегрування отримаемо:
у = 7 •' + С або у = —7 •' + С, (8)
де С — довшьна стала штегрування. Вирази (8) називають координатами Дарбу (БагЪоих) [7].
Лiнiйний елемент (8) поверхш обертання цикло!ди визначае довжину будь-яко! криво!, яка лежить на поверхнi. Тому при шдстановщ одного iз виразiв (8) у параметричш рiвняння (6) отримаемо параметричш рiвняння сiм'! уявних iзотропних кривих нульово! довжини. Зокрема, при шдстановщ виразу у = 7 •' + С у рiвняння (6) для кожного значення С отримаемо параметричш рiвняння уявно! iзотропно! криво!, яка лежить на поверхш обертання цикло!ди:
) =
А- )=
8 ае1
м
8 ае'
м
• 008
(7 •' + С);
(
* ) = <
• 81п(7 •' + С);
4агс^
( ' Л
е 2
V
+
- Л
4е 2 (е' — 1)
( + е-Г
(9)
При знаходженш рiвнянь мiнiмально!' та приеднано!' до не! мiнiмально!' поверхш для функцш комплексно! змiнно! (9) уведемо замшу [7]: ' = и + 7 • у. Тодi отримаемо параметричш рiвняння мшмально! поверхнi X (и, у), 7 (и, у), 2 (и, у):
X(и,у) = Яе{х(и + 7 • у)}; 7(и,у) = Ке|у(и + 7 • у)}; 2(и,у) = Яе^и + 7 • у)}; (10)
(11)
та приеднано! мшмально! поверхш X (и,у),7 (и,у),2 (и,у):
X (и,у) = 1т{х(и + 7 • у)}; 7 (и,у) = 1т{у(и + 7 • у)}; 2 (и,у) = 1т{х{и + 7 • у)}. Вщокремивши дшсну та уявну частину для кожно! з функцш (9), маемо рiвняння мшмально! поверхш (С — довшьна стала):
2а[008(С — 2у)+ 2008(С — у )• оЬ(и ) + 008 (С )• оЬ(2и)],
X (и, у ) =
7 (и, у ) =
(008 у + оЬ и ) 2а[з1п(С — 2у)+ 281п(С — у)- оЬ(и ) + 81П (С )• оЬ(2и )]
(008 у + оЬ и )2
(12)
2(и,у) = 2а •
9
е2 •008-
е 2 • 008
- + 2а • а!^-
1 + е 2 • 81п
2
1 — е 2 • 81п
у у . и /_ , ч — 4 а • 008— • 8П — •(2 — 008 у + 0П и) + 2 2 У__
2
та приеднано! мшшально! поверхнi:
\ 4а • 8Ь(м) • [81п(С — у) + 81п(С )• 0Ь(и)] *( \ X (и, у) =--—*--, у '-^А; 7 (и, у) =
(008 у + 0Ь и )2
(008 у + 0Ь и )2
4а • 8Ь(м) • [008 (С — у )+ 008 (С )• 0Ь(и)] (008 у + 0Ь и )2
2 (и, у) = а 1п
и
1 + еи + 2е 2 у 81п — 2
и
1 + еи — 2е 2 у 81п — 2
и '2
у 2
4 а • 008 — • 8Ь — ^(2 + 008 у — 0Ь и)
(008 у + 0Ь и )2
и
и
и
и
+
На рис.1 зображено вщлки \п ншальнсн та приеднано! поверхонь, побудованих за р1вняннями (12) I (13) вцщовцщо при С = 0; ме [1,3;...2,8^ уе [1,4;...5].
а б
Рис. 1. Ввдсши м1н1мальних поверхонь, побудованих за допомогою 1зотропних кривих, як1 лежать на поверхн1 обертання цикловди:
а) в1дс1к мшмально! поверхш, побудовано! за р1вняннями (12);
б) ввдсш приеднано! мшмально! поверхн1, побудовано! за р1вняннями (13).
Коефiцieнти першо! квадратично! форми мiнiмальноi поверхнi (12) та приеднано! поверхш (13) дор1внюють:
Е = в = -
64а2е2м
\\+е1ы + 2еи сову
Г
Коефпценти друго! квадратично! форми мшмально! поверхш (12), дор1внюють:
4асов сЬ^-(со8 у + сЬн - 2соя у-сЬн - 2)
Ь = -Ы = --
(с08У + сЬн)3
Коефпценти друго! квадратично! форми приеднано! мшмально! поверхш (13), дор1внюють:
4а8т-^-811^(со8у + сЬн + 2 сову - сЬм + 2)
* * Ь =-Ы =--
(14)
(15)
(16)
(сояу + сьг^)3
Коефиценти першо! та друго! квадратичних форм мшмальних поверхонь (12) та (13), перетворюють вираз
тт Е^-2-Р-М + С-1 середньо! кривини Н =--—
2 (Е-О-Е2)
Вираз (7) можна розкласти на множники у вигляд1:
для кожно! iз указаних поверхонь, до нуля.
64а2еЪ
м
■ {л - г ■ ¿Л>)(<# + 1 ■
(17)
Прщлвнюючи до нуля праву частину р1 вноси (17), теля ¡нтегрування отримаемо:
1 = +С або ? = -/■!> + С. (18)
Щщставивши вирази (18) або вираз V =-;'■?+ С, отриманий п р1вностей (8), у параметричш р1вняння поверхш обертання цикло!ди (6), отримаемо р1вняння ще трьох с1мей уявних потропних кривих нульово! довжини. Для кожного значения С за допомогою знайдених потропних кривих можна побудувати мiнiмальнi поверхнi та приеднанi до них. Але утвореш мiнiмальнi поверхш мають рiвнi коефiцiенти першо! та друго! квадратичних форм iз мшмальними поверхнями (12) i (13) вщповвдно, тобто вони характеризуються спiльними метричними властивостями та спiльними властивостями кривини поверхш.
Висновки
На поверхш обертання циклощи навколо ïï напрямно1', вщнесено1' до Î30MeTpH4H0ï cîtkh координатних лiнiй, для кожного значення C можна побудувати чотири cîm'ï iзотропних кривих, i кожнш кривiй поставити у вiдповiднiсть мшмальну поверхню та приеднану до нег Утворенi мiнiмальнi поверхнi та приеднан мiнiмальнi поверхнi мають спiльнi метричн властивостi та спiльнi властивостi кривини поверхш.
Список використано'1 лiтератури
1. Расчёт оболочек сложной формы / [Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдайчук В.В.]. - К.: Будiвельник, 1990. - 192 с.
2. Математическая энциклопедия / [гл.ред. И.М. Виноградов]. - Т.3.- М.: Изд-во «Советская энциклопедия», 1982.- С.683-690.
3. Михайленко В.Е. Конструирование форм современных архитектурных конструкций / В.Е. Михайленко, С.Н. Ковалёв. - Киев: Будiвельник, 1978. - 112 с.
4. Абдюшев А.А. Проектирование непологих оболочек минимальной поверхности / А.А. Абдюшев, И.Х. Мифтахутдинов, П.П. Осипов // Известия КазГАСУ. - 2009. - №2(12). - С. 86-92.
5. Пульпинский Я.С. Математическое моделирование оболочек вращения сложных форм: автореф. дисс. на соиск. уч. степени канд. техн. наук: спец. 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" / Я.С. Пульпинский. - Пенза: Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, 2006. - 20 с.
6. Гацунаев М.А. О равномерной сходимости кусочно-линейных решений уравнения минимальной поверхности / М.А. Гацунаев, Клячин А.А. //Уфимский математич. журнал. Т. 6. -2014.- №3.- С.3-16.
7. Фиников С.П. Теория поверхностей / Фиников С.П. - М.-Л.: ГТТИ, 1934. - 206 с.
8. Аушева Н.М. Геометричне моделювання об'екпв дшсного простору на основi iзотропних характеристик: автореф. дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01 / Н. М. Аушева. - К.: КНУБА, 2014. - 38 с.
9. Чернишова Е.О. Використання функцш комплексного змшного для побудови поверхонь техшчних форм: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук: спец. 05.01.01 "Прикладна геометрiя, iнженерна графша" / Е.О. Чернишова. - К.: КНУБА, 2007. - 20 с.
10. Коровша 1.О. Конструювання поверхонь стало1 середньо1 кривини за заданими лiнiями шциденцп: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук: спец. 05.01.01 "Прикладна геометрiя, шженерна графка" / 1.О. Коровша. - К.: КНУБА, 2012. - 20 с.
11. Муквич М.М. Конструювання мшмальних поверхонь за допомогою iзотропноï кривой яка лежить на конуа / М.М. Муквич // Мiжвузiвський збiрник "Науковi нотатки". - Луцьк, видавництво Луцького нащонального технiчного унiверситету, 2015. - № 48. - С. 155-158.
12. Пилипака С.Ф. Утворення мшмальних поверхонь за допомогою iзотропних кривих, яш лежать на поверхнi обертання астрощи / С.Ф. Пилипака, М.М. Муквич // Сучасш проблеми моделювання: зб. наук. праць / МДПУ iм. Б. Хмельницького. - Мелiтополь: Видавництво МДПУ iм. Б. Хмельницького, 2016.- №6. - С. 91-95.
13. Несвидомин В.Н. Способ аналитического отображения плоских изображений на криволинейные поверхности / В.Н. Несвидомин, Т.С. Пилипака, Т.С. Кремец // «MOTROL. Commission of Motorization and Energetics in Agriculture».- Vol. 16, No 3. - Lublin - Rzeszov, 2014. - С. 58 - 65.
