CC BY
6
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ Ф1ЗИЧНИХ I ТЕХНОЛОГ1ЧНИХ ПРОЦЕС1В I ТЕХН1ЧНИХ СИСТЕМ
УДК 514.18
е.о. лдоньев
Запорiзький нащональний унiверситет
В.М. ВЕРЕЩАГЛ
Мел^опольський державний педагогiчний унiверситет iм. Б. Хмельницького
ОСОБЛИВОСТ1 Б-Л1Н1Й, Б-ПОВЕРХОНЬ, ВИЗНАЧЕННЯ, ПЕРЕВАГИ ТА МОЖЛИВОСТ1 ЗАСТОСУВАННЯ У КОМПОЗИЦ1ЙНОМУ МЕТОД1 ГЕОМЕТРИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ
Надано визначення Б-лтш, Б-поверхонь у точковому численнi Балюби-Найдиша. Показано вiдмiннiсть способу гхнього моделювання вiд методiв моделювання лтш та поверхонь у традицшнш математицi. Ця вiдмiннiсть полягае у застосуваннi геометрично' ттерполяцп заметь ттерполяцп з використанням традицшних алгебра'чних методiв. Наведено приклади точкових рiвнянь лтш та поверхонь. Вказано на переваги використання Б-лтш та Б-поверхонь у композицтному методi геометричного моделювання багатофакторних проце^в. Одтею з особливостей методу е те, що рiвняння геометричних ф^р отримуються у результатi встановлення внутрштх зв 'язюв мiж базовими точками симплексу i змтювано' точки геометрично' ф^ри, оминаючи, при цьому, аналiтичнi методи моделювання, тобто, встановлення геометричних зв 'язюв мiж елементами ф^ри передують аналiтичним ознакам ф^ри. Такий пiдхiд авторами названо «геометро-математичним апаратом» формалгзаци розв 'язку. Показан тдходи до геометрично'1' формалгзацИ багатофакторних ситуацт та процесiв. Вказат переваги застосування точкового БН-числення дозволяють у композицтному методi геометричного моделювання багатофакторних процеав не обмежувати кiлькостi факторiв, включених до моделi.
Ключовi слова: Б^тя, Б-поверхня, композицтний метод геометричного моделювання, багатофакторнi процеси.
Е.А. ЛДОНЬЕВ
Запорожский национальний университет
В.М. ВЕРЕЩАГЛ
Мелитопольский государственный педагогический университет им. Б. Хмельницкого
ОСОБЕННОСТИ Б-ЛИНИЙ, Б-ПОВЕРХНОСТЕЙ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРЕИМУЩЕСТВА И ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ В КОМПОЗИЦИОННОМ МЕТОДЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Дано определение Б-линий, Б-поверхностей в точечном исчислении Балюбы-Найдыша. Показано отличие способа их моделирования от методов моделирования линий и поверхностей в традиционной математике. Это отличие заключается в применении геометрической интерполяции вместо интерполяции с использованием традиционных алгебраических методов. Приведены примеры точечных уравнений линий и поверхностей. Показаны преимущества применения Б-линий и Б-поверхностей в композиционном методе геометрического моделирования многофакторных процессов. Одной из особенностей метода является то, что уравнения геометрических фигур получаются в результате установления внутренних связей между базовыми точками симплекса и изменяемой точки геометрической фигуры, избегая, при этом, аналитические методы моделирования, то есть, установление геометрических связей между элементами фигуры предшествуют аналитическим признакам фигуры. Такой подход авторами назван «геометро-математическим аппаратом» формализации связей. Показаны подходы к геометрической формализации многофакторных ситуаций и процессов. Указанные преимущества точечного БН-исчисления позволяют в композиционном методе геометрического моделирования многофакторных процессов не ограничивать количество факторов, включенных в модель.
Ключевые слова: Б-линия, Б-поверхность, композиционный метод геометрического моделирования, многофакторные процессы.
Y.O. ADON'YEV
Zaporizhzhya National University
V.M. VERESHYAGA
Melitopol State Pedagogical University named after B. Khmelnitsky
FEATURES OF B-LINES, B-SURFACES, DEFINITIONS, ADVANTAGES AND OPPORTUNITIES OF APPLICATION IN THE COMPOSITE METHOD OF GEOMETRICAL MODELING
A definition of B-lines, B-surfaces in the Balyba-Naidysh point calculus is given. The method of their modeling differs from the methods of modeling lines and surfaces in traditional mathematics. This difference consists in applying geometric interpolation instead of interpolation using traditional algebraic methods. Examples of point equations of lines and surfaces are given. The advantages of using B-lines and B-surfaces in the composite method of geometric modeling of multifactor processes are shown. One of the features of the method is that the equations of geometric figures are obtained as a result of establishing internal connections between the base points of the simplex and the variable point of the geometric figure, while avoiding the analytical modeling methods, that is, the establishment of geometric relationships between the elements of the figure precedes the analytical features of the figure. This approach was called the "geometrical-mathematical apparatus" of the formalization of connections by the authors. Approaches to the geometric formalization of multifactorial situations and processes are shown. The indicated advantages of point BN-calculus allow in the composite method of geometric modeling of multifactor processes not to limit the number offactors included to the model.
Keywords: B-line, B-surface, composite method of geometric modeling, multifactor processes.
Постановка проблеми
У pi3Hm галузях, з метою прийняття обгрунтованих управлшських ршень, часто виникае проблема поеднання велико! шлькосп фiзично рiзнорiдних факторiв. Iснуючi алгебра!чш методи кореляцп вихщних факторiв висувають певш обмеження за шльшстю та яшстю вихщних факторiв. Усунення таких обмежень е актуальною проблемою, яку можна розв'язати з використанням композицшного методу формалiзованого геометричного моделювания. Однак, на разi недостатня його популяризащя викликае певш труднощi при його застосуванш. За результатами доповщей з цього питания на конференщях i семшарах, з'явилася щея про необхщшсть додаткових пояснень з питань точкового БН-числення та його використання у композицiйному методi геометричного моделювання багатофакторних процеав.
Анaлiз останшх дослiджень i публiкацiй
Як вщомо з математично! теорп оптимального управлшия [7], управлiния лiнiями та поверхиями вiдбуваеться за допомогою функцiй та параметрiв. 1дею управлiния геометричними ф^урами шляхом змiни вихiдних точок вперше висловив I.I. Котов у 1975 рощ, а сформулював !! В.М. Найдиш [8]. Тiльки з виконанням дослiджень у роботах [9, 10] та виданням наукового посiбника [11] з'явилася можливють повернутися до дослщжень щодо управлiния формою геометричних ф^ур за iдеею I.I. Котова та В.М. Найдиша, а авторам ще! статтi вдалося наблизитися до розв'язаиия проблеми управляния формою геометричних ф^ур вихiдними точками, що входять до 11 складу. Пiдгрунтям для розробки композицшного методу геометричного моделювання стало точкове БН-числення [11].
Формулювання мети дослвдження
У порiвняннi з вщомими методами визначения лiнiй та поверхонь показати переваги !хнього формувания у точковому БН-численш, з метою популяризацп композицiйного методу геометричного моделювання багатофакторних ситуацш та процесiв.
Викладення основного мaтерiaлу дослiдження
Зазвичай, дослiджуванi геометричш фiгури (об'екти), у бiльшостi випадшв, вiдносять до деяко! системи координат, у результата чого, розв'язок геометричних питань зводиться до дослщження рiвнянь, як1 зв'язують координати точок, що вщносяться до дослщжувано! геометрично! ф^ури. Переваги аналiтичних методiв дослiджения вiдомi i не викликають сумнiвiв. Однак, при цьому, сам геометричний об'ект та внутршш зв'язки мiж його елементами вщходять на другий план, внаслщок чого, втрачаеться наочнiсть, а разом з тим, i психолопчна геометрична впевненiсть у тому, що за аналтгикою геометрично! фiгури непросто побачити геометричний характер розв'язку. Наприклад, лшя другого порядку [1, 2] -плоска лшя, декартовi прямокутш координати яко! задовольияють алгебра!чному рiвнянню другого ступеня
а гх2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2а23у + а33 = 0
(1)
Рiвняння (1), за допомогою паралельного переносу та повороту системи координат на певний кут, може бути приведено до каношчного виду, за записом якого визначаеться вид криво! другого порядку. Однак, для визначення виду та класу лшп другого порядку не обов'язково приводити рiвняння (1) до каношчного вигляду через застосування геометричних перетворень (паралельного переносу та повороту), тому що незмшними е iнварiанти визначено! криво! другого порядку. За допомогою цих iнварiантiв, складених iз коефiцiентiв рiвняння (1), визначаються види лiнiй другого порядку, чи вони е такими, що розпадаються (А=0), або такими, що не розпадаються (Л^0), чи вони е центральними (5^0), або нецентральними (5=0).
Другий приклад: поверхня другого порядку [1, 2] - множина точок тримiрного дiйсного або комплексного простору, координати яко!, у декартовш прямокутнiй системi координат, задовольняють алгебра!чному рiвнянню 2-го ступеня:
Як i у попередньому прикладi, дослщження поверхнi другого порядку може бути виконано без приведення рiвняння (2) до одного з 17 можливих рiвнянь канонiчного вигляду. Таке дослщження виконуеться шляхом спiльного розглядання значень основних iнварiантiв, як1 не змiнюються у результатi афiнних перетворень для визначено! криво! (2), у загальному випадку, визначають поверхню другого порядку з точшстю до руху евклщового простору. Якщо вiдповiднi iнварiанти двох поверхонь е рiвними, то так1 поверхш можна сумiстити за результатами перемщень. Тобто, так1 поверхнi е екывалентними до групи перемiщень у простор^ як1 називають метрично е^валентними.
Як бачимо з наведених прикладiв, множини точок (1) i (2) е вщнесеними до декартово! системи координат i дослiдження !хнiх форм вщбуваеться у аналiтичному виглядi через iнварiанти вiдносно перетворень.
I навпаки, у точковому БН-численш усi геометричнi фiгури мають точковi рiвняння вiдносно вщповщних симплексiв, обраних у афiннiй системi координат, при цьому, точковi рiвняння записують для просторово! геометрично! схеми розв'язку не у координатнш, а у точковш формi. Наприклад, розглянемо вщтинок прямо! АВ у декартовш системi координат 0xyz (рис.1). Координати вихщних точок якого вiдомi А(хА, у^у, zA), В(хв, ув, zв). Необхiдно визначити точковi рiвняння для множини точок М, що належать цьому вщтинку АВ, використовуючи внутршш зв'язки мiж вихiдними точками А i В, що визначають симплекс, та змiнюваною точкою М.
апх2 + а22у2 + а3322 + 2а12ху + 2а13х7 + 2а23уг + 2а14х + 2а24у + 2а3фг + а44 = 0 (2)
z
В
х
Рис.1. Геометрична схема для визначення точки М вщтинку АВ
У вщповщносп до [3], р1вняння вщтинку АВ у симплекс! Л, В матиме вигляд:
М = (В-А)! +А, 0 < / < 1, (3)
або у шшому виглядг
М = А(1 - /) + В! ^ М = а! + В!, (4)
де ! - параметр, що доповнюе параметр / до одинищ.
У точковому р1внянш (4) значения ! та / е частинами ввд одинищ, тобто ! + ! = 1. Якщо у точковому р1внянш (3) зняти обмеження 0 < / < 1, , то отримаемо не вщтинок АВ, а пряму АВ в цшому. Виходячи з (4), можна дати визначення для прямо! лшп у точковому БН-численш.
Визначення 1. Пряма л1тя у точковому БН-численш - це множина точок М, що визначаються як сума вщсотшв ввд базових точок А та В симплекса АВ, при умов1 .
В1зьмемо /=0.5, тод1 ! = 0.5, у вщповщносп до (4) визначаемо точку М= 0.5А+0.5В. З точки зору традицшно! математики це рiвияния не мае сенсу, а у точковому БН-численш воно означае необхщшсть визначити вщповщш над координатами цих точок, тобто:
Хм= 0.5ха+0.5хв; уы=0.5уА+0.5ув, 2м=0.52а+0.52в. Це означае, що точка М знаходиться всередиш вщтинку АВ. Таке е можливим, тому що точкове БН-числення побудоване на iнварiантах вщносно афшних перетворень.
Другий приклад. Розглянемо лшш другого порядку (параболу), у вщповщносп до [3,4,5] 11 точкове рiвияния мае наступний вигляд:
М = А11!(1 - 2) + А12Ы + А13!(2! -1) , 0 < / < 1, (5)
Позначимо р1 = /(1 - 2/); q1 = 4«; г1 = г(2г -1), тодi (5) запишемо:
М = Ацр1 + А^ + А13Г1, (6)
де А]], А12, А13 - три дшсш точки, через як1 проходить парабола, яш е точками, що визначають симплекс на площинi.
Обов'язкова вимога:р]+д]+г]=1, тобто параметрир], д], г] е частинами одинищ. Аналопчним чином можиа отримати рiвияния для iнших лiнiй другого порядку [6] у локальному симплека, яш будуть аналогiчнi рiвиянню (6).
Виходячи з (6) та вимог щодо не!, дамо визначення для лшш другого порядку у точковому БН-численш.
Визначення 2. Лшя другого порядку у точковому БН-численш - це множина точок М, що визначаеться як сума вщсотшв ввд базових трьох точок симплекса, при умов^ що сума параметрiв
Р]+Ц]+Г] = 1.
Координати точки М, що е змiнюваною для тип другого порядку, визначаються з координатних
рiвиянь:
хм = х11р1 + Х12Ш + х13г1
Ум = У11Р1 + + У13г1
2м = 211р1 + 212^ + 213г1
Як бачимо, точкове БН-числения надае новий спосiб задания лшш i поверхонь (покажемо далi), який полягае у тому, що кожнш точцi з множини, що утворюе певну геометричну фiгуру, вiдповiдае свш набiр часток вiд базових точок симплексу, а сума цих часток завжди дорiвнюе одиницi. Такий шдхщ щодо визначення лiнiй та поверхонь нами було названо композицшним, який не потребуе розв'язання системи рiвиянь для визначення коефiцiентiв, як1 забезпечують !хне проходжения через наперед задаш точки. А це, у свою чергу, мае велике практичне значения для геометрично! формалiзацi! багатофакторних ситуацш та процесiв.
Оск1льки точковi рiвияния геометричних фiгур отриманi у результата встановлення внутрiшнiх зв'язк1в мiж базовими точками симплексу i змiнювано! точки геометрично! ф^ури, оминаючи, при цьому, аналггичш методи моделювання, тобто, без встановлення геометричних зв'язшв мiж елементами
фiгури передують аналггичним ознакам фиури, то такий тдхвд нами названо «геометро-математичним апаратом» формалiзацil розв'язку.
Розглянемо, у точковому БН-численнi, формування точкового рiвняння поверхнi, що проходить через дев'ять наперед визначених дшсних точок, яш подамо у виглядi матрицi (7):
A„ A12 A13
II A21 A 22 A23
A31 A32 A33
Геометрична схема, що вщповщае матрицi (7), подана на рис.2.
Рис.2. Схема утворення сегменту Б-поверхш
Цей сегмент поверхш, який складаеться iз чотирьох чарунок, нами названо Б-поверхнею (Балюби поверхнею), щоб вiдрiзняти геометро-математичний спосiб його утворення. Вш не включае геометричних (миттевих перетворень, поворотiв i таке шше) перетворень афшно! або будь-яко! шшо! групи. Сегмент Б-поверхнi мае одне рiвняння поверхнi, яка проходить через дев'ять, наперед заданих (7), точок. Далi покажемо спосiб формування сегменту Б-поверхш.
Трiйки точок за стовпчиками i рядками визначимо дугами парабол, точковi рiвняння яких мають
вигляд:
M = A(2t2 -3t +1) + C(4t - 4t2) + B(2t2 -1), 0 < t < 1, (8)
Позначимо pj = 2t2 -3t +1; qx = 4t-4t2; ri = 2t2 -1. (9)
Основною вимогою для (8) е те, що + qx + ri = 1, перевiримо:
Pj + qx + r 1 = (2t2 - 4t2 + 2t2) + (-3t + 4t -1) + 1 = 1.
Якщо прийняти u та v за параметри сегменту Б-поверхш, що утворюеться дугами парабол (8) та позначити:
p1 = 2u2 -3u +1; q1 = 4м -4м2; r1 = 2u2 -u; (10)
p2 = 2v2 - 3v +1; q2 = 4v - 4v2; r2 = 2v2 - v;
та застосувати схему утворення функцiй-параметрiв [3]:
В1СНИКХНТУ № 2(61), 2017р. МАТЕМАТИЧНЕМОДЕЛЮВАННЯФ1ЗИЧНИХI
ТЕХНОЛОГ1ЧНИХ ПРОЦЕС1ВIТЕХН1ЧНИХ СИСТЕМ
Р1 <1 г1 Р2
Р1 <1 г1 < 2
Р1 <1 г1 г2
(11)
у як1и кожнии рядок л1во1 матрищ помножуеться на в1дпов1днии елемент право1 матриц1 - стовпчика, то отримаемо функцп-параметри aij:
«и = Р1Р2; «21 = Р1Ч2; «31 = Р\г2;
«12 = Ч1Р2, «22 = Ч1Ч2; «32 = <212;
«13 = Я1Р2;
«23 = г1<2;
(12)
Поставивши (10) у (12), отримаемо функцп-параметри aij: у розгорнутому виглядг
«11 = (2м 2 - 3и + 1)(2у2 - 3у +1); «12 = (4м - 4м 2 )(2у2 - 3у +1);
«13 = (2м 2 - м)(2у2 - 3У +1); «22 = (4м - 4м 2 )(4у - 4У2); «31 = (2м 2 - 3м + 1)(2у2 - V);
«21 = (2м 2 - 3м + 1)^ - 4v2); «23 = (2м 2 - u)(4v - 4v2); «32 = (4м - 4м 2)^2 - V);
(13)
«33 = (2м 2 - м)(2v2 - V).
Поеднавши вих1дш значення Aij матриц (7) з в1дпов1дними значеннями функцш-параметр1в а^ (12), (13), отримаемо точкове р1вняння сегменту поверхш М:
М = Ац«ц + А12«12 + А13«13 + А21«21 + А22«22 + А23«23 + А31«31 + А32«32 + А33«33 ,
або скорочено
м = Е А,«,; 0 < м, v < 1.
,=1
(14)
Як бачимо з (14), кожна точка М поверхш (14) е сумою добутшв вщсотшв, поданих функщями-параметрами а^ , помножених на в1дпов1дну вихщну точку Aij .
Визначення 3. Поверхня будь-якого порядку, класу, виду, що побудована за наперед заданими вихщними точками у точковому БН-численш - е оргашзованою множиною точок М, яш визначаються як сума добутк1в вщсотшв (значень функцш-параметр1в) на в1дпов1дш вихвдш точки, за умови, що
Е= 1.
и ,=1
Для визначення координат зм1нювано! точки М необхщно використати параметричш р1вняння для кожно! з координат простору Б", у яких функцп-параметри в1дпов1дають (13). Наприклад, для Е:
0 < м, v < 1.
хм = Ех«; Ум = Е у« ; ^м = Е;
1,]=\ 1, ]=\ 1,]=\
п
У робот1 [3] було доведено твердження, у якому Идеться про те, що якщо суперпозищя Е
(15)
1,,=1
дор1внюе одинищ, а визначник ёг1А=0, то поверхня, що побудована на будь-яких вихщних даних Ау е Б-поверхнею.
«11 «12 «13
елеменпв матриц А = «21 «22 «23
«31 «32 «33
«О = гг
33 '12
3
3
3
Таким чином, точкове рiвняння поверхш (14) виконуе штерполяцш дев'яти вихщних точок, яке отримано у результата геометрично! формалiзацi! з використанням геометро-математичного апарату точкового БН-числення, оминаючи, при цьому, алгебра!чш методи штерполяцп, яш передбачають розв'язання системи рiвнянь для визначення iнтерполяцiйних коефiцiентiв.
Якщо з (14) i (15) прибрати обмеження 0 < u, v < 1, то цi точковi рiвняння будуть виконувати екстраполяцiю для A у у обох напрямках u ,v, або у одному з них.
Загалом, поверхня (14) е поверхнею четвертого порядку, форму яко! можна змiнювати, змiнюючи значения точок Aj, тому що функцп-параметри a,y визначають значения вiдсоткiв, за допомогою яких кожна з вихiдних точок A у приймае участь у створенш поверхнi М. Питання управлiния формою поверхш М через змшу точок A у зовам не дослщжене, тому що воно тальки виникло, при розробщ запропонованого тут композицiйного методу геометричного моделювання.
Введенi поняття Б-лшп (Балюби лшп), Б-поверхнi (Балюби поверхш), яш уперше були ним отримаш без використання алгебра!чшх методiв штерполяцп у глобальнш системi координат.
Б-фкури (Б-лши, Б-поверхнi) подаються у виглядi точкових рiвиянь, яш отримано у результата геометрично! формалiзацi! у точковому БН-численш.
Таким чином, Б-фiгури не е окремим видом, класом, типом, тощо лшш або поверхонь, Б-фпури е iншим способом подання цих лшш, поверхонь у виглядi композицп вiдсоткiв йу вiд вихiдних точок A у.
Тому застосування термiнiв «Б-лтя», «Б-крива», «Б-поверхня» не означае якихось особливих лiнiй та поверхонь, вживання цих термiнiв вказуе на шший спосiб утворення вiдомих лiнiй та поверхонь.
Виникае питання: «Навщо це потрiбно, коли розроблено достатньо вщомих методiв геометричного моделювання?» Рiч у там, що подання вщомих геометричних фiгур у точковiй формi надае ряд переваг, таких, як незалежшсть параметрiв, !хня незмiннiсть при проектуванш на осi простору, у фiгурi одночасно поеднуються два погляди: як метричного простору зi соею внутршньою метрикою (т.з. внутрiшия геометрiя), так i фiгури, що розглядаються у глобальнш системi координат у просторi (т.з. зовнiшия геометрiя).
Висновки
Таким чином, точкове БН-числення надае новий споаб побудови лшш i поверхонь, який полягае у тому, що кожнш точцi з множини, що утворюе певну геометричну фiгуру, вщповщае свiй набiр часток вiд базових точок симплексу. При цьому, необхщною умовою е рiвнiсть одиницi суми цих. Такий пiдхiд щодо визначення геометричних ф^ур нами було названо композицшним. Композицiйний метод геометричного моделювання не потребуе розв'язания системи рiвнянь для визначення коефiцiентiв, як забезпечують !хне проходження через наперед задаш точки. Це мае велике практичне значения для геометрично! формалiзацi! багатофакторних ситуацш та процесiв. Точковi рiвняння геометричних фiгур отриманi шляхом встановлення внутрiшнiх зв'язшв мiж базовими точками симплексу i змiнювано! точки фiгури без використання аналiтичних методiв моделювання, тобто, без встановлення геометричних зв'язюв мiж елементами фiгури. Такий тдхвд нами названо «геометро-математичним апаратом» формалiзацi! розв'язку задачi. Вказанi переваги точкового БН-числення при застосуванш у композицшному методi геометричного моделювання багатофакторних процеав дозволяють: 1) не обмежувати шльшсть факторiв, включених до моделi, через вщсутшсть алгебра!чних методiв кореляцп; 2) отримувати модель та розв'язок у простор^ з можливiстю подальшого !х аналiзу на проекцiях, як одно-, так i двомiрних; 3) розкладати задачу багатовимiрного простору на необхщну к1льк1сть одно-, двох- або тримiрних, що набагато спрощуе процес моделювання.
Список використаноТ лiтератури
1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. - М., 1968
2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии, 11-е изд., - М., 1972.
3. Адоньев £.О. Композицшний метод геометричного моделювання: суть, особливоста та перспективи застосування / £.О. Адоньев // Сучасш проблеми моделювання: зб. наук. праць / МДПУ iм. Б. Хмельницького; гол. ред. кол. А.В. Найдиш. - Мелiтополь: Видавництво МДПУ iм. Б. Хмельницького, 2017. - Вип. 8. - С. 3-14.
4. Адоньев £.О., Верещага В.М., Найдиш А.В. Алгоритм формування моделей багатофакторних процеав композицшного методу / £.О. Адоньев, В.М. Верещага, А.В. Найдиш // Збiрник доповщей VI-! Всеукра!нсько! науково-практично! конференц^' студентав, аспiрантiв та молодих вчених «Прикладна геометрiя, дизайн, об'екти iнтелектуально! власноста та iнновацiйна дiяльнiсть студентiв та молодих вчених». - К.: НТУУ «КП1» - 2017 р. - Випуск 6 - С. 12 - 18.
5. Адоньев £.О., Верещага В.М. Застосування поверхонь вщгуку при моделюванш сталого енергетичного розвитку мют / £.О. Адоньев, В.М. Верещага // Вюник Херсонського нацюнального технiчного унiверситету. Вип. 3(58). - Херсон: ХНТУ, 2016. - С. 471-476.
6. Давиденко 1.П. Конструювання поверхонь просторових форм методом рухомого симплексу: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01 / 1.П. Давиденко; Тавр. держ. агротехнолог. ун-т. -Мелггополь, 2012. - 23 с.
7. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. - М., Советская энциклопедия. Т.4. 1984, 1216 с.
8. Найдыш В.М. Методы и алгоритмы формирования поверхностей и обводов по заданным дифференциально-геометрическим условиям: дис. ... докт. техн. наук: 05.01.01 / Владимир Михайлович Найдыш; Мелитопольский институт механизации сельского хозяйства, - 1982. - 512 с.
9. Верещага В.М. Дискретно-параметрический метод геометрического моделирования кривых линий и поверхностей: дис. ... докт. техн. наук: 05.01.01 / Виктор Михайлович Верещага; МИМСХ - Мелитополь. - 1996. - 320 с.
10. Балюба И.Г. Конструктивная геометрия многообразий на основе точечного исчисления: автореф. дис. ... докт. техн. наук: 05.01.01 / Иван Григорьевич Балюба. - К.: КГТУСА, 1995. - 36 с.
11. Точечное исчисление [учебное пособие] / И.Г. Балюба, В.М. Найдыш [под ред. Верещаги В.М.] // Мелитополь: Изд-во МГПУ имени Богдана Хмельницкого, 2015. - 234 с.
