Динамика частицы в соприкасающейся плоскости сопровождающего трехгранника плоской направляющей кривой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.18

С.Ф. ПИЛИПАКА, 1.Ю. ГРИЩЕНКО

Нацюнальний ушверситет 6iopecypciB i природокористування Укра1ни

А.В. ЧЕП1ЖНИЙ

Сумський нацюнальний аграрний ушверситет

динам1ка частинки в стичн1й площин1 супров1дного тригранника плоско1 напрямно! криво!

Складено диференщальш рiвняння вiдносного руху Mamepianbuo'i частинки в стичнш площиш тригранника Френе. 1х складовими е натуральне рiвняння напрямног плоског кривог, швидюсть руху тригранника вздовж напрямног кривог, параметричнi рiвняння вiдносного руху частинки та ix noxidm. Система включае два диференцiальнi рiвняння, до складу яких входить чотири невiдoмi функцП. Для чисельного розв 'язування системи двi функцП noтрiбнo задати, тобто накласти певш обмеження на умови руху.

Ключoвi слова: суnрoвiдний тригранник Френе, стична площина, матерiальна частинка, вiднoсний та абсолютний рух, диференцiальнi рiвняння вiднoснoгo руху.

С.Ф. ПИЛИПАКА, И.Ю. ГРИЩЕНКО

Национальный университет биоресурсов и природопользования Украины

А.В. ЧЕПИЖНЫЙ

Сумской национальный аграрний университет

ДИНАМИКА ЧАСТИЦЫ В СОПРИКАСАЮЩЕЙСЯ ПЛОСКОСТИ СОПРОВОЖДАЮЩЕГО ТРЕХГРАННИКА ПЛОСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ КРИВОЙ

Составлено дифференциальные уравнения относительного движения материальной частицы в соприкасающейся плоскости трехгранника Френе. Их составляющими являются натуральное уравнение направляющей плоской кривой, скорость движения трехгранника вдоль направляющей кривой, параметрические уравнения относительного движения частицы и их производные. Система включает два дифференциальных уравнения, в состав которых входят четыре неизвестные функции. Для численного решения системы две функции необходимо задать, то есть наложить определенные ограничения на условия движения.

Ключевые слова: сопровождающий трехгранник Френе, соприкасающаяся плоскость, материальная частица, относительное и абсолютное движение, дифференциальные уравнения относительного движения.

S.F. PYLYPAKA, I.YU. GRISCHENKO

National university of life and environmental sciences of Ukraine

A.V. CHEPYZHNIY

Sumy National Agrarian University

DYNAMICS OF THE CORPUSCLE IN THE ADJOINING PLANE OF THE THREE - EDGE OF THE

FLAT DIRECTING CURVE

It is made differential equations of relative movement of a particle in an adjoining plane of a an three-edge of Frenet. Their components are the natural equation of a directing plane curve, a velocity of movement of a trihedron along a directing curve, the parametrical equations of relative movement of a particle and their derivatives. The system includes two differential equations which structure includes four unknown functions. For a numerical solution of system with two functions it is necessary to set, that is to superimpose certain restrictions on traffic conditions.

Keywords: an three-edge of Frenet, an adjoining plane, a particle, relative and absolute movement, differential equations of relative movement

Постановка проблеми

Задачу, яка розглядаеться у статп, можна розглядати наступним чином. За стичну площину тригранника Френе приймемо кузов автомобшя, який рухаеться в горизонтально площиш вздовж криволшшно! траектори. Орти дотично! i головно! нормалi тригранника утворюють один iз передшх купв кузова, а орт бiнормалi весь час спрямований вертикально вгору. Якщо в кузовi знаходиться вантаж, то при переносному руа автомоб™ вздовж криволшшно! траектори вш може ковзати по кузовi на певних донках дороги в залежносп ввд змши швидкосп i кривини дороги. З певним допущенням вантаж, який здшснюе вщносний рух у кузов^ можна прийняти за матерiальну частинку. Задача знаходження траектори ковзання

частинки по Ky30BÍ (тобто вщносного руху) не е простою, оскшьки абсолютне прискорення частинки е геометричною сумою переносного, вщносного i корiолiсового прискорень, напрям i модуль кожного Í3 яких можуть бути змiнними, залежними вщ траекторй, шляху i швидкосп автомобiля. Застосування супровщного тригранника Френе плоско! криво! (траекторй переносного руху тригранника) дозволяе спростити розв'язок задачi на знаходження вщносного руху частинки, а також дозволяе розв'язувати обернену задачу на знаходження к1нематичних характеристик руху автомобм при заданiй траекторй вщносного руху.

Анaлiз останшх дослщжень i публiкацiй Знаходження к1нематичних характеристик складного руху точки, яка здшснюе вщносний рух в стичнiй площиш супровщного тригранника Френе задано! плоско! криво!, наведено в пращ [1]. Застосування тригранника Френе у ролi рухомо! системи координат зумовлено тим, що вш дозволяе застосувати широко вiдомi в диференцiальнiй геометрй' формули Френе для знаходження к1нематичних характеристик точки, яка рухаеться у його системi [2, 3]. Щоправда, при цьому за незалежну змiнну потрiбно брати довжину дуги s траекторй', вздовж яко! рухаеться супровiдний тригранник, а не час t, як це робиться при традицшних подходах [4-6]. Застосування тригранника Френе для визначення положень ланок плоского мехашзму розглянуто в працi [7].

Формулювання мети дослiджень Показати доцшьшсть застосування тригранника i формул Френе при розв'язуванш прямо! i обернено! задачi на динамiку матерiально! частинки, яка здшснюе вщносний рух в стичнш площинi тригранника.

Викладення основного мaтерiaлу дослiдження Нехай у плоскш системi координат Оху задано криву натуральним рiвнянням k=k(s), де k - кривина криво! в поточнш точщ А при значеннi довжини дуги s криво! в цш точцi (рис. 1). В точщ А побудовано супровщний тригранник Френе, одиничш орти дотично! Т i головно! нормалi якого п знаходяться в площинi криво!, а орт бiнормалi b перпендикулярний до не! i проецшеться в точку (рис.1). Радус-вектор гв , який

визначае положення точки В вщносно нерухомо! системи координат Оху, можна задати при допомозi двох векторiв: Г, який визначае положення вершини тригранника в системi Оху i р, який визначае положення

точки В в системi тригранника:

гв = гА +р. (1)

Векторне рiвняння (1) розписуеться в проекщях на осi нерухомо! системи координат i ми отримуемо параметричнi рiвняння абсолютно! траекторй точки В у функцп довжини дуги s задано! напрямно! криво! [1]: xB = pcos(<p + J kds)+ J cos(J kds )ds; (2)

yB = psin^ + J kds) + J sin (J kds)ds.

Напрямна крива задана у рухомш системi супровiдного тригранника за допомогою полярно! системи координат -вщстанню р i кутом ф, вщлш якого здiйснюеться в1д орта т (рис. 1).

Якщо векторне рiвняння (1) розписати у проекщях на орти супроввдного Френе, то набувае вигляду:

rB = ГА + тр cos (р + np sin <р. (3) Диференцшючи параметричш рiвняння (3) по змшнш s iз застосуванням формул Френе i маючи на уваз^ що p=p(s) i ф=ф(s), отримаемо абсолютну швидк1сть точки В в проекщях на орти тригранника [1]:

vB = va{t[í + рcosp-p(k + p)sinp]+ n[p'sinp + p(k + p)cosp]} , (4)

де k=k(s) - натуральне рiвняння напрямно! криво! (траекторй руху тригранника); vA=vA(s) - швидк1сть руху тригранника вздовж напрямно! криво!.

Диференцшючи вираз (4) теж iз застосуванням формул Френе, отримаемо абсолютне прискорення wB точки В теж у проекц1ях на орти тригранника:

wb = tv А {v'A [i + р' cos р - p(k + р) sin рр] +

+ vA [р" - p(k + р)2]cos р - vA[2p'(k + р') + k'p + pp"]sm р}+ (5)

+ nvA {v'A [p sin р + p(k + р) cos р] +

+ vA [p" - p(k + р')2]sin р + vA [2p'(k + р') + k'p + pр"]cos р + vAk}. Знаючи вектор абсолютного прискорення, можна складати рiвняння руху частинки у виглядi mwB = F, де m - маса частинки, f - вектор прикладених до частики сил. Оскшьки вектор абсолютного прискорення (5) отримано в проекщях на орти тригранника, то i диференщальш рiвняння руху частинки будемо складати в проек^х на його орти.

Розглянемо найпростший випадок, коли напрямною кривою е коло paAiyca ro. Це означае, що переносний рух тригранника е обертальним: його стична площина обертаеться навколо вертикально! ос i3 швидк1стю vA=roa, де а- кутова швидшсть обертання площини. Якщо частинка попадае на не!, то починае здшснювати складний рух. Знайдемо закон руху. Швидк1сть руху тригранника vA=roa= const, k=1/ro -const, отже v'A = k' = 0. Пiдстaвивши щ значения у (5), отримаемо проекци абсолютного прискорення на орти тригранника:

= а \р" - P(k + p)2 cos p] - [2p'(k + p) + pp]sin p}

= ~Т HР" - P(k + Р)2 sin pP[ + \2p'{k + p) + рр"]cosp + k}.

k2

(6)

Сдиною прикладеною силою в площинi, що обертаеться (наприклад, диск) буде сила тертя fmg, де f - коефiцiент тертя, m - маса частинки, £=9,81 м/с2. Вектор сили тертя буде спрямований в сторону, протилежну вектору вщносно! швидкостi, тобто по дотичнш до вщносно! траектори (до траектори ковзання частинки по диску). Його проекци на орти Т i п матимуть таке ж сшвввдношення, що i складовi вщносно!

швидкосп рТ { р'п. Зпдно (3) вiдносна траекторiя на орти тригранника описуеться наступними рiвняннями:

Рт = рсов^; рп = р*ха.ф . (7)

Продиференцiювавши (7), знайдемо проекци одиничного вектора дотично! до ввдносно! траектори:

Рг ="

р cos p-pp sinp

V„'2 , „2/2 р + р р

Рп ="

р sinp + ppcosp

V„'2 , j2 P + РР

(8)

Склавши рiвняння руху в проекцiях на орти тригранника, шсля скорочення на масу m частинки одержимо систему двох диференщальних рiвиянь у виглядг

Отр -p(k + р)cosp]-[2p'(k + Р) + РР"]sinp}= -fgрcosp~p'psmp;

k

4P'

2 +рРп

(9)

О P - P(k + Р)2 sinp] + [2p'(k + Р) + pp" ]cosp + k}= - fg P sinp2 + ppc°sp.

k

2+p2P'2

Система диференщальних рiвнянь (9) вiдносного руху частинки мае громiздкий вигляд. Однак не важко зaмiтити, що вона мае певну симетрш: в лiвих частинах при sinp i cosp стоять однaковi вирази. Розв'язуючи систему (9) вщносно них, отримаемо:

p"-p(k + p)2 =- fg

k2

Р

pp" + 2p'(k + p') = - fg

4P' 2 +pp'1 pp

'VP2 +ppK

- k sinp;

(10)

k2

- k cosp.

Залежностi р=р(5) i ф=ф(5) як розв'язок системи диференщальних рiвнянь (10) е параметричними рiвняннями траектори вiдносного руху, а !х пiдстановка у (2) дасть параметричш рiвняння абсолютно! траекторi!. Рiвняння (10) були розв'язанi чисельними методами i за результатами розвязку було побудовано траектори вщносного i абсолютного руху частинки (рис. 2).

В щлому до складу вектора абсолютного прискорення входить чотири залежносп змшно! 5: рiвняння ввдносного руху рт i рп, форма траекторi! переносного руху тригранника - натуральне рiвняння криво! к, швидшсть уА перемщення тригранника вздовж криво!. Оскiльки рiвнянь тiльки двое, то на характер руху потрiбно накладати обмеження. Такими обмеженнями в нашому випадку було коло (к=сот() i стала швидшсть руху тригранника по ньому (уА=сот1).

Тепер поставимо обернену задачу: знайти такий характер руху, при якому частинка у вiдносному русi опише коло (р=сот() i обертатиметься по ньому з лшшною залежнiстю кута ф вiд довжини дуги 5 (ф=а5). Знайшовши похiднi цих залежностей (р = р' = о, ф = а, ф' = о) i пiдставивши них у рiвняння (5), одержимо проекцi! вектора абсолютного прискорення на орти тригранника:

= vAv'A [l - p(k + a )sin as]- v2A p(k + a )2 cos as - v2Ak 'p sin as; = vAv'Ap(k + a)cos as - v2Ap(k + a)2 sin as + v2Ak'p cos as + v2Ak.

(11)

Проекци одиничного вектора дотично! до вщносно! траектори зпдно формул (8) запишуться:

рг=- sin as;

рп = cos as.

(12)

w

Вт

w

Bn

w

Вт

w

Bn

(13)

За аналопею Í3 (9) система диференщальних pÍBHHHb вщносного руху частинки в проекциях на орти супровщного тригранника запишеться (на вiдмiну вщ (9), де диференцiальнi рiвняння е рiвняннями другого порядку, в даному випадку вони е диференцiальними рiвняннями першого порядку):

vAv'A [i - p(k + a)sin as]-v2Ap(k + a)2 cos as - v2Ak 'psin as = fg sin as;

vAv'A p(k + a) cos as - v2A p(k + a )2 sin as + v2Ak 'p cos as + v2Ak = - fg cos as.

Розвяжемо систему (13) вщносно похщних невщомих функцш

v'A =— \p{k + a)2 - k sin as];

cos as (14)

' _ p(k + a)p(2k + a)sin as - p2(k + a)3 - k

k =-

p cos as

Чисельне штегрування системи (14) показало, що такий рух може бути тiльки на обмеженш дiлянцi переносно! траекторй' Í3 змiнною швидшстю руху тригранника по нш. На рис. 3,а побудована траекторiя переносного руху тригранника довжиною 20 м. На початку руху, посередиш траекторй' i в кшщ руху зображено тригранник з матерiальною частинкою В в його систем^ яка у вiдносному русi описуе дугу кола. При прийнятому значеш а=0,05 частинка в кiнцi шляху повертаеться на кут y=as=1 рад. Щоб такий вiдносний рух вщбувся, потрiбно триграннику рухатися iз змшною швидшстю, яка зростае вщ 1 м/c до 8,5 м/с (рис. 3,6).

_fg_ pvA

■2

■4

-6

■8

У;М n 7

. Т

n i n х:м '

10 8 6 4

2

VA, м/с

S.M

-16

-10

-5

а

10

б

15

20

Рис. 3. Кшематичш характеристики перемщення частинки у складному рус1 при р=1 м, «=0,05,/=0,3: а) крива переносного руху тригранника к=к(э) з окремими його положеннями 1 частинкою В в його систему б) графи, змши швидкосп уа=уа(э) переносного руху тригранника по кривш

Як видно iз рис. 3,а, в кшщ траектория переносного руху тригранника (зображена потовщеною лiнieю) наближаеться до прямо!. За лопкою, щоб точка В (матерiальна частинка) повернулася на кут ф=900, потрiбне зростання швидкостi тригранника. Як тшьки вона досягне кута ф=900, тобто займе мiсце на головнш нормалi, для подальшого руху частинки по колу потрiбне гальмування тригранника i змiна кривини траекторй переносного руху. Такий рух тригранника ми отримали при шших вихщних умовах: початкове положения точки брали не на орп дотично!, тобто при ф=00, а при ф=-600. Це дало можливiсть подовжити вщносний рух частинки по колу. При а=0,3 i довжинi переносно! траекторй 5=10,23 м (до цих меж було можливе штегрування) частинка при вщносному рус по колу радуса р=0,5 м повернулася на кут Ф=а5=0,3х10,23=3,07 рад або 1760 (рис. 4,а). Як видно iз рисунка, траектория руху тригранника змiнила знак кривини. Як i передбачалося, тсля зростання швидкостi спостерiгаеться гальмування, швидшсть практично падае до нуля i тригранник зупиняеться (рис. 4,6).

1.5 1

0.5

0

■0.5

-1 -1

у.м

lH T L T

\ nlxVyl J

X.M ■

0 1 2 3 4 5 6 "0 2468 10

а б

Рис. 4. Кшематичш характеристики перемщення частинки у складному pyci при ^=0,5 м, а=0,3,f=0,3: а) траекторй' переносного руху тригранника i абсолютного руху частинки з позначенням частинки В в cиcтемi

тригранника на початку i кшщ руху; б) графи, змши швидкосп vA=vA(s) переносного руху тригранника по кривш

Можна також дослщити вщносний i абсолютний рухи частинки по знайдених кривих переносно! траекторп, але з постшною швидшстю руху тригранника по них. В цьому випадку невщомими функциями

будуть р=р(5) i ф=ф($), тобто рiвняння вщносного руху. Кривину к=к($) i Г! похвдну вважаемо вiдомими, осшльки беремо !х iз робочого простору, одержаному при чисельному iнтегруваннi системи (14), уА=сот^. Складаемо систему диференщальних рiвнянь i знаходимо iз не! вирази других похвдних невiдомих функцш:

, ^р' ; ф' = -2р(к + ф) -±соф--^--к' (15)

Я р2 +р2ф2 р р

р" = р(к + ф)2 - к-

и

„<2 . 2/2 Р + РФ

А V ' ' г ' ' А

За результатами чисельного iнтегрування системи (15) для криво! переносного руху тригранника, зображено! на рис. 3,а, було побудовано абсолютнi траекторi! руху частинки при сталих швидкостях руху тригранника 1,5 м/с i 2 м/с (рис. 5,а). При швидкостях, менших 1 м/с частинка практично не ковзае по стичнш площиш, тобто ввдносний рух рiвний нулевi i абсолютна траектор1я збiгаеться iз траекторiею переносного руху тригранника.

■у. м

2 м/с

1.5 м/с

X. м ■

-15 -10 -5 0 5 0 5 10 15 20 "0 5 10

а б в

Рис. 5. Кшематичт характеристики перемщення частинки у складному рус1 при /=0,3, уА=сот1: а) траектор1я переносного руху тригранника (потовщена лш1я) 1 траектори абсолютного руху; б) графи, змши ввдсташ р=р(••) в1дносного руху частинки; в) графш змiни кута ф=ф в1дносного руху частинки

Для швидкосп тригранника уа=2 м/с на рис. 5,а,б показано графiки залежностей р=р(я) i ф=ф(5). 1з них видно, що частинка здшснюе ввдносний рух тiльки на початку шляху (до 5 м), а попм вона зупиняеться. Це i зрозумiло, оск1льки кривина криво! зменшуеться, отже зменшуеться i вщцентрова сила, яка змушуе частинку ковзати по стичнш площиш тригранника.

Висновки

Складеш диференцiальнi рiвняння дозволяють розв'язувати задачi на динамiку складного руху матерiально! частинки, яка знаходиться в стичнш площиш супроввдного тригранника Френе плоско! криво! в горизонтально площиш. Можна розв'язувати не тiльки пряму задачу на знаходження вiдносного руху частинки при заданш кривiй переносного руху тригранника i його швидкосп, а i обернену, тобто знаходити криву переносного руху i швидшсть руху по нш тригранника при заданому ввдносному русi.

Список використано1 лiтератури

1. Чепижный А.В. Геометрия сложного движения точки на плоскости. Абсолютные скорость и траектория / А.В. Чепижный, С.Ф. Пилипака // Современный научный вестник. Научно-теоретический и практический журнал. — Белгород: Руснаучкнига, 2014. — № 17 (213). — С. 109 — 118.

2. Пилипака С.Ф. Кшематична штерпретащя руху супроввдних триграннишв Френе i Дарбу через внутршш параметри кривих / С.Ф. Пилипака // Науковий вюник Нащонального аграрного ушверситету. — К.: НАУ, 1998. — Вип. 4. — С. 143—146.

3. Пилипака С.Ф. Тригранник i формули Френе в задачах кинематики i динамiки матерiально! частинки у складному руа / С.Ф. Пилипака, Д.Г. Войтюк, М.К. Лшник // Науковий вюник Нащонального аграрного ушверситету. — К.: НАУ, 2005. — Вип. 80. — С. 271—287.

4. Василенко П.М. Теория движения частицы по шероховатым поверхностям сельскохозяйственных машин / П.М. Василенко. — К.: УАСХН, 1960. — 283 с.

5. Заика П.М. Избранные задачи земледельческой механики / П.М. Заика. — К.: Изд-во УСХА, 1992. — 507 с.

6. Чешжний А.В. Вщносний рух частинки вздовж прямолшшно! лопатки на вщцентровому апарап / А.В. Чешжний, В.М. Несввдомш, 1.Ю. Грищенко // Сучасш проблеми моделювання. - Мелггополь: МДПУ, 2016. — Вип. 6. — С. 130—134.

7. Чеп1жний А.В. Визначення положень ланок плоского мехашзму за допомогою системи тригранника Френе / А.В. Чеп1жний, В.М. Бабка // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. — К.: КНУБА, 2012. — Вип. 90. — С. 20—26.