CC BY
22
УДК 514.18
С.Ф. ПИЛИПАКА, Т.С. КРЕМЕЦЬ
Нацюнальний ушверситет 6iopecypciB i природокористування Укра1ни
МБ. КЛЕНД1Й
Бережанський агротехнiчний iнститyт HyBin Украши
РУХ ЧАСТИНКИ ПО ПОВЕРХН1 ЦИЛ1НДРА, ЯКИЙ ЗД1ЙСНЮС ПОСТУПАЛЬН1 КОЛИВАННЯ У ВЕРТИКАЛЬНШ ПЛОЩИН1
Складено узагальнеш диференщальш ргвняння в1дносного перемгщення частинки по внутрштй поверхнi похилого цилтдра, який здшснюе коливальний рух. Bci точки цилтдра описують ел1пси у вертикальних площинах. Розглянуто випадки коливань цилтдра, коли пiвосi piew або одна i3 них дорiвнюe нулю, тобто цилтдр здшснюе зворотно-поступальний рух. Рiвняння розв'язано чисельними методами i побудовано траекторИ вiдносного руху частинки по поверхн цилтдра. Наведено графжи тших юнематичних характеристик у функцП часу. Розглянуто окpемi випадки, коли вкь цилтдра розташована горизонтально або тд кутом до горизонтальноi площини.
Ключовi слова: похилий цилтдр, коливальний рух, вертикальна площина, частинка, диференщальш piвняння, ктематичш параметри.
С.Ф. ПИЛИПАКА, Т.С. КРЕМЕЦ
Национальный университет биоресурсов и природопользованияУкраины
H.B. КЛЕНДИЙ
Бережанский агротехнический институтНУБиПУкраины
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА, СОВЕРШАЮЩЕГО ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
Составлены обобщенные дифференциальные уравнения относительного перемещения частицы по внутренней поверхности наклонного цилиндра, совершающего колебательное движение. Все точки цилиндра описывают эллипсы у вертикальных плоскостях. Рассмотрены случаи колебаний цилиндра, когда полуоси равны или одна из них равна нулю, то есть цилиндр совершает возвратно-поступательное движение. Уравнения решены численными методами и построены траектории относительного движения частицы по поверхности цилиндра. Приведены графики других кинематических характеристик функции времени. Рассмотрены частичные случаи, когда ось цилиндра расположена горизонтально или под углом к горизонтальной плоскости.
Ключевые слова: наклонный цилиндр, колебательное движение, вертикальная плоскость, частица, дифференциальные уравнения, кинематические параметры.
S.F. PYLYPAKA, T.S. KREMETZ
National university of life and environmental sciences of Ukraine
M.B. KLENDIY
IS NULES of Ukraine "BerezhanyAgrotechnical Institute"
PARTICLE MOVEMENT ON THE SURFACE OF A CYLINDER THAT MAKES TRANSLATIONAL
OSCILLATIONS IN A VERTICAL PLANE
Generalized differential equations of thie relative motion ofa particle along thie inner surface of an inclined cylinder performing oscillatory motion are compiled. All cylinder points describe ellipses in vertical planes. The cases of oscillations of a cylinder are considered, when the semiaxes are equal or one of them is equal to zero, that is, the cylinder makes a reciprocal movement. Equations are solved by numerical methiods and trajectories of the relative motion of thie particle along thie surface of the cylinder are constructed. The graphis of other kinematic characteristics of the time function are given. Partial cases are considered when the axis of the cylinder is located horizontally or at an angle to the horizontal plane.
Keywords: inclined cylinder, oscillatory motion, vertical plane, particle, differential equations, kinematic parameters.
Постановка проблеми
Похила площина е ушверсальним конструктивным елементом багатьох с1льськогосподарських машин [1]. По тй в процес обробки перемщуеться технолопчний матер1ал. Найб1льш дослщженим е рух частинок по горизонтально площиш, яка здшснюе коливальний прямолшшний або коловий рухи. Для похило! площини дослщження в основному ведуться при И прямолшшних зворотно-поступальних
коливаннях в горизонтальному напрям^ в HanpHMÍ нахилу площини або в поперечному HanpHMÍ [1]. При криволшшних коливаннях площини, коли вс !! точки описують елiпси, а сама площина мае нахил, рух технолопчного мaтерiaлу суттево змiнюеться. Якщо зaмiсть площини взяти цилiндр i здшснити aнaлогiчнi коливання, то розв'язання 3aAa4Í на дослвдження вiдносного руху частинки по його поверхнi суттево змiнюеться.
Анал1з останшх досл1джень i публшацш
Окрiм фундаментально! монографп [1], в якш розглянуто прямолiнiйнi зворотно-поступальш коливання, iснують прaцi, присвяченi криволшшним коливанням площини. Взaгaлi задача руху мaтерiaльноi' частинки по площинi, яка здшснюе коловий коливальний рух, вперше була розв'язана М.£. Жуковським в геометричнш штерпретацп [2], узагальнена i поширена на випадки елiптичних коливань I.I. Блехманом [3,4]. П.М. Василенко диференщальш рiвняння руху частинки складав у проекцiях на осi рухомо! системи координат, жорстко прив'язано! до площини, що коливаеться [1], а 1.1. Блехман - у проекщях на ос нерухомо! системи координат. П.М. За!ка розглядав перемiщення частинок по робочих площинах вiбрaцiйних зерноочисних машин [5]. Дослщження руху мaтерiaльно! частинки по шорстк1й поверхнi цилiндрa, всi точки якого описують кола в горизонтальних площинах, розглянуто в пращ [6]. Ввдносний рух частинки по поверхш гелшо!да, який обертаеться навколо свое! вертикально! оа, дослвджено в прaцi [7].
Формулювання мети дослщжень Дослвдити зaкономiрностi ввдносного руху мaтерiaльних частинок по внутрiшнiй поверхш цилiндрa, який здiйснюе поступaльнi елштичш коливання у вертикальних площинах, при рiзних спiввiдношеннях осей елiпсa та !х орiентaцi! у цих площинах.
Викладення основного мaтерiaлу дослiджень Розташуемо нижню половину цилiндрa так, щоб його вюь була нахилена до горизонтально! площини тд кутом в (рис. 1). Спочатку запишемо рiвняння цилiндрa iз горизонтальною вiссю:
X = u; Y = R cosa; Z =-R sina, (1)
де R - радiус цилiндрa;
a, u - незaлежнi змiннi поверхш,а - кут повороту точки цилiндрa навколо його осi; u - довжина прямолiнiйно! твiрно! цилiндрa.
O^z
Рис. 1. Граф1чн1 1люстраци до розташування похилого цил1ндра та напряму його коливань: а) розташування цилшдра в систем1 координат OXYZ; б) розташування вертикально!" площини ц в систем1 координат OXYZ; в) розташування елшса в площин1 ц з
осями OZW
Повернемо цилiндр (1) на кут в навколо оа OY. Пaрaметричнi рiвняння повернутого цилшдра запишуться:
X = u cos в + R sin esina;
Y = R cosa;
Z = u sin в - R cosesina.
(2)
Цилiндр здшснюе поступальш коливання таким чином, що вс його точки описують в загальному випадку елiпси у вертикальних паралельних площинах. На рис. 1,а показано окремий випадок, коли цилiндр жорстко прив'язаний до системи координат 0ХУ2, ва точки яко! рухаються по колах, паралельних координатнш площинi 012. Вертикальна площина ^ з осями 02Ш (рис.1,а), в якiй знаходяться кола (в загальному випадку - елшси), складае iз координатною площиною 0X2 кут ф. Для випадку, зображеному на рис. 1,а, цей кут рiвний 900 В площинi ^ задамо елiпс з великою а i малою йшвосями- траекторш поступальних коливань всiх точок цилiндра (рис. 1,в). Напрям велико! осi елшса задаеться кутом у !! нахилу
б
а
в
до горизонтально! площини. При b=0 цилiндр буде здшснювати зворотно-поступальш коливання вздовж заданого напряму велико! оа, при a=b траeкторieю коливального руху будуть кола (при цьому величина кута у не матиме значения). Абсолютний рух частинки будемо розглядати в проекцiях на оа системи координат OXYZ. Абсолютну траекторш частинки можна записати як суму переносного руху цилiндра, точки якого в загальному випадку описують елшси, i вiдносного руху точки по поверхш цилiндра:
X = х„ + хв; у = yn + ye; z = zn + ze, (3)
дехи=хи(/); уп=уп(t); zn = zn(t) - траекторiя переносного руху цил1ндра у функцй' часу t;
хв=хв(t); ув =ye(t); ze= zв(t) - траекторiя ввдносного руху частинки по поверхш цилшдра у функцп часу t.
Кожна точка похилого цил1ндра описуе елiпс з швосями а i b. Радiус-вектор точки елшса в площинi ^ його розташування мае координати: {a cos at; b sin cot} , де m - частота коливань (при a=b- кутова швидшсть обертання точок цилiндра по колах), t - час, незалежна змiнна. Осi такого ел1пса паралельш осям OX i OW. За ввдомими формулами повороту повернемо його на кут у. Пiсля цього радiус-вектор точки елшса запишеться:
{- a cos|cosat + b sin|sinat; a sin|cosat + b cos|sinat} (4)
Враховуючи кут ф мiж площинами OZX i OZW, можна записати параметричнi рiвияння елшса в проекщях на осi системи координат OXYZ:
xn = (a cos | cos at + b sin | sin at) cos p; xn = (a cos | cos at + b sin | sin at) cos cp;
yn = (a cos i cos at + b sin | sin at )sinp; yn = (a cosacos at + b sin | sin at )sinp; (5)
zn = -a sin | cos at + b cos | sin at. zn = -a sin | cos at + b cos | sin at.
По цил1ндру точка ковзатиме по певнш траекторй. Рiвняння траекторi! можна одержати, якщо зв'язати мiж собою незалежиi змiннi aiu поверхнi (2). Цей зв'язок запишемо через час t, тобто координати частинки на поверхш цилiндра будуть функциями часу: a=a(t) i u=u(t). В такому випадку вщносний рух частинки (траекторiя на цилiндрi) опишеться рiвняннями:
хв = u cos в + R sin в sin а;
ys = R cosa; (6)
zв = u sin в - R cos в sin a.
Сумуючи переносний (5) i ввдносний (6) рухи за формулою (3), отримаеморiвняння абсолютно! траекторй частинки:
X = (a cos | cos at + b sin | sin at) cos p + u cos в + R sin в sin a;
y = (a cos | cos at + b sin | sin at) sin p + R cos a; (7)
z = -a sin | cos at + b cos | sin at + u sin в - R cos в sin a.
Задаючи значения швосей а i b, можна отримати рiзнi траекторй' переносного руху цил1ндра (елшси, кола, прямолшшш вiдрiзки), яш можуть бути орiентованi у вертикальних площинах у вах можливих положеннях за допомогою вщповщних значень кутiв ф i у.
Залежиостi : a=a(t)iu=u(t), як1 описують траекторiю ввдносного руху (ковзання частинки по поверхнi цил1ндра), е невiдомими функциями, як1 потрiбно знайти. Пiсля диференщюванпя рiвиянь (6) по часу t знайдемо проекци абсолютно! швидкостi частинки:
X' = a(- a cos | sin at + b sin | cos at)cosp + u' cos в + Ra sin в sin a;
y' = a(- a cos | sin at + b sin | cos at)sinp - Ra cosa; (8)
z' = a(a sin i sin at + b cos | cos at) + u' sin в - Ra cos в cosa.
Диференцшвання виразiв (8) дае проекци абсолютного прискорення:
x " = -a2 (a cosycosat + b sinysin at) cosp + u" cos ß + R sin ß(a" cosa-a'2 sina)
y" = -a2 (a cosy cos at + b sin у sin at ) sin p- R(a" sin a + a'2 cos a); (9)
z" = a 2 (a sin у cos at - b cos у sin at ) + u" sin ß - R cos ß{a" cosa-a 2 sin a).
Складемо piBHaHHa руху у виглядi mw = F, де m - маса частинки, w - вектор абсолютного
прискорення, F - результуючий вектор прикладених до частинки сил. Такими силами е сила ваги mg (g=9,81 м/с2), реакщя N поверхнi цил1ндра та сила тертя fN при ковзаннi частинки по поверхш цилшдра (f- коефщент тертя). Всi сили потрiбно спроекцшвати на осi системи координат OXYZ.
Сила ваги спрямована вниз, отже ïï проекцiï запишуться:
{0; 0; - mg}. (10)
Реакщя# поверхш цилшдра спрямована по нормал1 до нього i визначаеться i3 векторного добутку двох векторiв, дотичних до координатних лшш цилiндра. Проекцiями цих векторiв е частиннi похiднi рiвнянь (2):
dX dY dZ
-= R sin ßcosa; — = -R sina; — = -R cos ßcosa;
da da da
dX d¥ . dZ ( )
-= 0; — = cos ß sin a; — = sin ß.
du du du
Шсля векторного множення векторiв (11) i приведення отриманого вектора до одиничного проекцп вектора нормалi до поверхнi запишуться:
{- sin ßsina; - cosa; cosßsina}. (12)
Оск1льки сила тертя спрямована по дотичнш до траектори ввдносного руху частинки в протилежну сторону, знайдемо проекцiï вектора дотично].'. Вони визначаються першими пох1дними рiвнянь (6):
x'e = u' cos ß + Ra' sin ßcosa; y'e =-Ra' sina; z'e = u' sin ß-Ra' cos ßcosa. (13)
Геометрична сума складових (13) дасть величину швидкосп ковзання частинки по поверхш цилшдра у ввдносному руа:
^e = V x'e2 + y'e2 + z'e2 =4 u '2 + R2a'2 (14)
Одиничний вектор дотичноï в проекцiях на осi системи OXYZ одержимо дшенням проекцiй (13) на величину вектора (14):
\ u' cos ß + Ra' sin ßcosa Rasina u' sin ß- Ra' cosßcosa\
i Vm'2 + r2«'2 ' Ju'2 + r2«2' ■slu'2 + R2a'2 J
(15)
Розпишемо векторне piвияния mw = F в пpоекцiяx на оа системи координат, взявши до yваги, щосила теpтяfN спрямована вздовж одиничного вектора (15) в протилежну до нього сторону:
nru' cos ß + Ra' sin ßcosa mx = - N sin ß sin a - fN - H H ■
4,
' 2 r> 2 i2
u + R a
,, лт лг Ra' sin a
my = -N cosa + jN - ; (1б)
M 2 + R 2a2
,, _ . nTu sin ß-Ra cos ßcosa
mz = -mg + N cos ß sin a - jN -
4
m 2 + R 2a2
Шдставимо в piвняння (16) друп поxiднi (проекци абсолютного прискорення) iз (9) i отримаемо систему iз тpьоx piвнянь:
m\-rn2 (a cosy cos cot + b sin y sin cot) cos p + u" cos в + R sin p{(x" cosa - a'2 sina)] =
. u cos в+ Ra' sin в cos a
-N sin в sin a- JN-
Л
u 2 + R 2a 2
Г 2í , ■ \ ■ „I n ■ ,2 \1 nr Ra' sina
m [-с (a cosycosct + b sinysin cot )sinp-R \a sina+a cosajJ=-N cosa+ JN -; (17)
4u '2 + R 2a'2
m[cy 2 (a sin y cos cot - b cosy sin cot) + u" sin в - R cos e(a" cos a - a'2 sin a)] =
„ u sin в - Ra' cos в cos a
-mg + N cos в sina - JN -
Vu '2 + R 2a'2
До системи (17) входить три HeBWMi функцп: N=N(t), u=u(t) i a=a(t). Розв'язуючи !! вщносно N, u" i a", отнимаемо HacTynHi вирази:
a" = - f , a — R - Krn2
Vu'2 + R2a2 У R -V
( . , \
sin a a cosa
+ f-
Ju'2 + R a ( \
cosa f a sin a
lu'2 + R 2a'2
sinp +
R ' 4w2 + R 2a2
(Lrn 2 sin (cos( +M cos (в);
(18)
2 2 u'P
u" = -g sin в + Abrn sin cot + Barn cos cot - f
/ ,2 , d2 ,2 yu + R a
N = mP.
Система (18) мае доволi громiздкий вигляд не дивлячись на те, що деяш вирази для сталих i змшних ми замiнили символами. Такими сталими е:
A = cos вsinycosp + sin в cosy; B = cos вcosycosp- sin вsiny.
Наступними символами замшено змшш величини:
K = sin вcospsina + sinpcosa; L = a cosycosct + b sinysin at;
2 / \ 2 2
M = g + c (asinycosct-bcosysinct); P = Ra' + KLc + Mcosвsina.
Розв'язування системи рiвнянь (17) вщносно N, u" i a", а також чисельне штегрування системи диференщальних рiвнянь (18) для знаходження первюних функцiй стало можливим завдяки сучасним програмним продуктам. Розглянемо окремi випадки.
Цилтдр нерухомий (т=0).В цьому випадку величина кутiв ф i у не мае значения. Розглянемо випадок, коли твiрнi цилiндра нахиленi тд кутом тертя до горизонтально! площини, тобто e=arctgf Система диференцiальних рiвиянь (18) i вираз реакцi! поверхш N приймають спрощений вигляд:
g„„„____„а a
a" = g cosacos в —, a =(r\2tgв + g sin a sin в) R 4u2 + R2a'2 V '
(19)
N = m(Ra'2 + g cos в sin a).
u" = -g sin в —, u = (r\2tgв + g sin a sin в);
Vu'2 + R 2a'2
Для окремого випадку, коли початкове значения кута a дорiвнюе 900, тобто частинка знаходиться на нижнш твiрнiй цилiндра, i a'=0, тобто початкова кутова швидшсть частинки в перпендикулярному до твiрних цил1ндра напрямi вщсутня, перше рiвияния системи перетворюеться в тотожшсть, тобто л1ва i права частини дорiвнюють нулю. У другому рiвияннi права частина теж перетворюеться в нуль при умов^ що перед коренем беремо знак "мшус". Отже, u'=const, тобто швидшсть перемщення частинки вздовж нижжо! твiрно! буде сталою, чого i слад було чекати. Реакщя поверхиi теж буде сталою: N=mgcos@. Такий же результат дае чисельне штегрування системи (19) при початкових умовах a=n/2 i a'=0.
Розглянемо випадок, коли a=0, a'=0i u'=0,тобто початкова швидк1сть частинки дорiвнюе нулю i свш рух вона розпочинае iз бiчно! твiрно! на рiвнi осi цилiндра. В цьому випадку и рух мае коливальний
характер, який згодом стабшзуеться i траeкторiя наближаеться до нижньо! твiрно! (рис. 2,а). Графiчнi шюстраци наведеш для коефицента тертя/=0,3, тобто /; 16.7й. Н 0.2 м. час руху I 2.5 с.
Ы, н
\ а'=15с1
\ а = °
} /, с
0.5
1.5
2.5
0.5 0 4 0.3 0.2 0.1
°0 0.5 1 1.5 2 2.5 в
К м/с \
АХ/Л^ а'=15с1 \
! ~ к с
б
а
Рис. 2. Граф1чш шюстраци до руху частинки по нерухомому цилшдру, нахиленому п1д кутом тертя /)■. а) траектор1я
частинки, яка починае рух 1з стану спокою; б) траектор1я частинки 1з початковою кутовою швидкктю а'=15 с"1; в) графики
змши реакци N поверхш та швидкост1 Круху частинки
В обох випадках швидк1сть V з часом стае сталою i траекторiя руху наближаеться до нижньо! твiрно! цилiндра, причому пiсля стабшзаци руху швидк1сть у другому випадку буде бiльшою. Реакцiя поверхнi теж згодом стае сталою (на графшу зображено!! змiну для частинки масою т=0,01 кг).
Цилтдр здшснюе прямолшйт зворотно-поступальт коливання в горизонтальнт площит(Ь=0, Ф=0). При такому коливаннi висота точок цилiндра не змiнюеться. Спочатку розглянемо ввдносний рух частинки по горизонтальному цилiндру (в=0), який коливаеться в поперечному напрямi (ф=900). Очевидно, що траекторiею ковзання частинки буде дуга колапоперечного перерiзу цилiндра, по якому вона коливатиметься, змiнюючи напрям руху. Таке коливання буде за умови, що на початку руху И ввдносна швидшсть дорiвнюе нулю. Ми задамо початкову швидк1сть и=2 м/с вздовж ос цилiндра. Чисельним штегруванням системи (18) при Я=0,2 м, а=0,1 м, а=п/2,а'=0, /=0,3 i рiзних значеннях а> ми отримали ввдносну траекторш руху, зображену на рис. 3,а. Вiдрiзком iз двохстороннiми стрiлками показаний напрям зворотно-поступальних коливань. Частинка починае ковзання iз нижньо! твiрно! цилiндра i через певний час !! рух стабшзуеться, тсля чого вона починае ковзати по колу. 1з збiльшенням частоти коливань частинка за один i той же час (=2,5с) проходить бшьшу вiдстань вздовж осi цилiндра. Це також видно iз рис. 3,в, на якому зображений графж змiни вiдстанi и вздовж ос цилiндра. На рис. 3,б побудовано траекторш ввдносного руху частинки за попередшми вихiдними умовами окрiм кута ф, який в даному випадку рiвний 450.
б
Рис. 3. Граф1чт шюстраци до руху частинки по горизонтальному цилшдру, який робить прямолшшт зворотно-поступальт коливання в горизонтальтй площит при початков1й швидкост1 и'=2 м/с вздовж його ос1: а) траектор1я частинки при ф=90°; б) траектор1я частинки при ф=45°; в) графики змши ввдсташ и перем1щення частинки вздовж ос1 цил1ндра
а
в
Розглянемо ввдносний рух частинки при поперечних прямолшшних зворотно-поступальних коливаннях цил1ндра при заданому куп в його нахилу до горизонтально! площини. Як вщомо, по нерухомш площиш частинка не може почати рух 1з стану спокою, якщо кут !! нахилу менший кута тертя. Це ж саме стосуеться цил1ндра, якщо частинка знаходиться на нижшй тв1рн1й (тобто при а=п/2). Однак картина змшюеться при коливальному руа цилшдра. Навиъ при незначних кутах нахилу цил1ндра, який коливаеться, частинка починае ковзати по його поверхш На рис. 4 ввдносш траекторп ковзання частинки побудоваш при в=20, R=0,2 м, а=0,1 м, а=п/2, а'=0, u'=0, f=0,3.
Рис. 4. Ввдност траекторп ковзання частинки по похилому цил1ндру (Р=2°): а) ^=10 с-1, ф=900, t=10 с; б) w=20 с-1, ф=900, t=3 с;
в) ^=10 с-1, ф=450, t=10 с; г) ^=10 с-1, ф=150, t=10 с
Пор1внюючи рисунки 4,а i 4,б, можна дшти висновку, що збiльшення частоти коливань призводить до збiльшення швидкостi пересування частинки вниз по цилiндру. Якщо цилiндр коливати не в поперечному напрям^ а пiд певним кутом до нього, то траекторiя видозмiнюеться (рис. 4,в,г). Очевидно, що при ф=0 коливання частинки будуть вiдбуватися вздовж прямо! лши - нижньо! твiрно! цилiндра.
З'ясуемо, як ковзае частинка по цилiндру, нахиленому пiд кутом тертя до горизонтально! площини. При вщсутносп коливань тсля стабiлiзацi!' руху частинка рухаеться по нижнiй твiрнiй iз сталою швидк1стю. Якщо ж надати цилiндру зворотно-поступальних прямолiнiйних коливань в поперечному напрям^ то траекторiею руху частинки буде просторова крива, подiбна до синусо!ди iз перюдом, що з часом зростае (рис. 5,а). 1з графiка змiни швидкосп (рис. 5,б) видно, що вона мае перюдичний характер, але в цшому зростае. Дослiдження показали, що це зростання вздовж осi цилiндра мае лiнiйний характер. 1з графшу змiни реакцi! N бачимо, що тиск частинки на поверхню у найвищих точках траекторi!' близький до нуля.
Цилтдр здшснюе прямолтшт зворотно-поступальш коливання nid кутом у до горизонтально! площини (b=0, у^0).Вщносний рух частинки при поперечних коливаннях цилiндра у горизонтальнш площиш (ф=900) показано на рис. 4,а. При зменшенш кута ф зростае довжина перемщення частинки вниз вздовж осi (рис. 4,в,г). Очевидно, що шлях перемщення буде максимальний при ф=0. З'ясуемо, як впливае кут у на величину шляху перемщення. Для цього вiзьмемо ва параметри коливального руху, для яких побудовано траекторш на рис. 4,а, i додатково будемо давати певш значення кутовi у. При такому коливанш висота точок цилiндра буде змiнюватися. На рис. 6,а на виглядi зверху зображено вiдноснi траекторi! руху частинки при рiзних значениях кута у. При у=900(тобто при вертикальних коливаннях) частинка взагалi припиняе рух. На рис. 6,б побудовано траекторi! ковзання частинки для кута ф=450 i рiзних значень кута у протягом часу t=7 с. На вщмшу вiд кута ф, кут у по шшому впливае на перемiщения частинки. При його зростанш вiд нуля швидшсть перемiщения частинки теж зростае, попм досягае найбiльшого значення приблизно при у=350, а потiм починае зменшуватися. Це видно iз величини перемiщения частинки вздовж твiрних цилiндра (рис. 6,б) при рiзних значеннях кута у.
а
б
Рис. 5. Граф1чт шюстрацй до руху частинки по цилшдру, нахиленому п1д кутом тертя(в=агс1э), який зд1йснюе зворотно-поступальн1 коливання:
а) траектор1я частинки, яка починае рух i3 стану спокою;
б) графики змши реакцц N поверхнi та швидкосп Кввдносного руху частинки
0=20°
=35"
а б
Рис. 6. Ввдност траекторй ковзання частинки по похилому цил1ндру (в=2°) при р1зних поеднаннях кутiв ф i щ:
а)ф=90°, 1=10 с; б)ф=45°, 1=7 с
Загальний випадок коливання цилiндра (вс його точки описують у вертикальних паралельних площинах криволттну траекторт - коло або елтс). Якщо а=Ъ, то траeкторieю коливань точок цилiндра е коло. Розглянемо цей випадок, осшльки вiн е простий для техшчно! реатзаци. Вiзьмемо похилий цилiндр iз кутом нахилу, як i в попереднiх випадках, в=2°'. Величина кута щ при цьому не мае значення. Спочатку розглянемо коливання у поперечному по вщношенню до цилшдра напрямi (при ф=900). На рис. 7,а побудованi траекторй ковзання частинки для рiзних значень кута ф при в=20, Я=0,2 м, т=10 с-1, а=Ъ=0,1 м, а=п/2, а'=0, и'=0, /=0,3, (=10 с. Шсля стабшзацп руху частинка починае описувати на поверхш гвинтову лшш, рухаючись при цьому вниз (тобто рух по тв цилiндру неможливий). Однак при ф=450 проявляеться несподiвaний ефект: частинка починае рухатися вгору не виходячи за меж1 пiв цилiндрa. Цей ефект стае ще бiльшим при ф = 150.
и, .и
К с
6 8
10
8 с Ю
Рис. 7. Граф1чт шюстраци до руху частинки по цилшдру, точки якого описують кола, нахиленому пiд кутом в=2°: а) траекторй частинки для рiзних значень кута ф; б) графики змши вiдстанi и та реакцц N поверхш для ф=15°
З графжа змiни вiдстaнi и (рис. 7,б) можна зробити висновок, що вщстань и зростае в цiлому за лшшним законом, хоча на окремих донках вона зменшуеться. Це означае, що частинка при пiдйомi вгору по цилiндру здiйснюе коливальний рух, що видно iз траекторй. При ф=0 цей ефект, очевидно, ще пiдсилиться, але коливання частинки iз форми траекторй побачити не вдасться, осшльки вона збтатиметься iз нижньою прямолiнiйною твiрною цилiндрa.
а б
Рис. 8. Графiчнi шюстраци до руху частинки по цилшдру, точки якого рухаються по колу iз кутовою швидюстю ^=-10 с1, нахиленому гад кутом в=2°: а) траекторй частинки для рiзних значень кута ф; б) граф1к змiни ввдносноК швидкоси частинки
для ф=15°
Можна допустити, що при поеднaннi певного сшвввдношення м1ж пiвосями а i Ъ, тобто при руа точок цилiндрa по елiпсу, та певного значення кута щ цей ефект можна тдсилити. Однак дослiдження показали, що для шдйому частинок вгору найкращою трaекторiею переносного руху цилiндрa е кола. При цьому мае значення напрям кутово! швидкостi т. Якщо для т надати вiд'емного значення, що означае змшу напряму
б
а
обертання точок цилiцдра по колах, то частинки при Bcix попередшх параметрах будуть рухатися не вгору по цилiндру, а вниз, причому швидк1сть !х перемiщення буде бшшою, шж вгору. На рис. 8,а побудовано траектори перемiщення частинки вниз по цилiндру при рiзних значеннях кута ф (вигляд зверху). Параметри т ж самi, що i в попередньому випадку, о^м кутово! швидкостi ю=-10 c_1,i часу руху t=3 с. 1з рис. 8,а видно, що траeкторiя змщена вiдносно осi симетрп цил1ндра (це добре видно на приклащ траектори для ф=150). На рис. 8,б побудовано графiк змiни вцщосно! швидкосп частинки. В певний момент часу (коли частинка знаходиться в самому нижньому положенш на цилiндрi) l! швидкiсть наближаеться до нуля.
Висновки
Складенi диференцiальнi рiвняння дозволяють розв'язувати задачi на знаходження к1нематичних параметрiв руху частинки по цилiндру, який здiйснюе поступальнi коливання у вертикальнш площинi. Цилiндр може бути розташований горизонтально або щд заданим кутом до горизонтально! площини.Побудовано траекторi! для рiзних випадшв зворотно-поступальних коливань цил1ндра у прямолiнiйному напрямку. Для поступальних похилого коливань похилого цилiндра, коли його точки описують кола, може бути випадок, коли частики при руа по цилшдру пiднiмаються вгору. При змш напряму обертання точок цилiндра по колах частинки будуть опускатися вниз, причому швидк1сть опускання буде бiльшою вiд швидкостi шдйому.
Список використаноТ лiтератури
1. Василенко П.М.Теория движения частицы по шероховатым поверхностям сельскохозяйственных машин / П.М. Василенко. - Киев: Изд-во Укр. акад. сельск. наук, 1960. - 283 с.
2. Гортинский В.В. Процессы сепарирования на зерноперерабатывающих предприятиях / В.В. Гортинский, А.Б. Демский, М.А. Борискин. -2-е изд., перераб. и доп. -М.:Колос, 1980. - 304 с.
3. Блехман И.И. Вибрационное перемещение / И.И. Блехман, Г.Ю. Джанелидзе. - М.: Наука, 1964. - 410 с.
4. Блехман И.И. Вибрационная механика / И.И. Блехман. - М.: Физматлит, 1994. - 400 с.
5. Заика П.М. Об одном семействе регулярных режимов движения частицы по колеблющейся плоскости вибрационной зерноочистительной машины / П.М. Заика // Теория механизмов и машин. -Х.: Изв. ХГУ им. М. Горького, 1966. - Вып.1. - С. 28-33.
6. Пилипака С.Ф. Рух частинки по поверхш цил1ндра, ва точки якого описують кола в горизонтальних площинах/ С.Ф. Пилипака, М.Б. Клендш //Шсник Сумського нацюнального аграрного ушверситету. Серiя "Мехашзащя та автоматизащя виробничих процеав". - 2016. - Вип. 10/3 (31). -С. 195-201.
7. Pylypaka S.F. Particle motion over the surface of a rotary vertical axis helicoid / S.F. Pylypaka, M.B. Klendiy, O.M. Klendiy // INMATEH - Agricultural Engineering. - Bucharest: INMA, 2017. - Vol. 51, № 1 - P. 15 - 28.
