CC BY
44
УДК 514.18
Л.М. КУЦЕНКО
Нащональний ушверситет цившьного захисту Укра1ни
Л.Л. ЗАПОЛЬСЬКИЙ
Украшський науково-дослiдний шститут цивiльного захисту
ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В СЕРЕДОВИЩ1 MAPLE ЕФЕКТУ ДЖАН1БЕКОВА З ВИКОРИСТАННЯМ КВАТЕРН1ОНУ
У po6omi наведено алгоритм геометричного моделювання ефекту, вiдкритого космонавтом В. Джатбековим, i який полягае у незвичному поводженн обертання твердого тша, що перемщуеться в невагомостi. Експериментально на ор6iтi було показано, що ефект Джатбекова виникае тодi, коли обертання вiд6уваеться навколо оС i3 середтм значенням моменту iнерцii тша. В статтi диференщальш рiвняння для опису обертання об'екта складено з використанням кватернiонiв. При цьому не використовувались тригонометричн функци, що дозволяе реалiзувати рацюнальний алгоритм геометричного моделювання. На прикладi складено'1' maple програми пiдтверджено, що обертання навколо ос iз середтм за значенням моментом терци е несттким.
Ключовi слова: ефект Джатбекова, моменти iнерцii тша, обертання паралелетпеда, кватертони, елементи матрицi повороту.
Л.Н. КУЦЕНКО
Национальный университет гражданской защиты Украины
Л.Л. ЗАПОЛЬСКИЙ
Украинский научно-исследовательский институт гражданской защиты
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В СРЕДЕ MAPLE ЭФФЕКТА ДЖАНИБЕКОВА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВАТЕРНИОНА
В работе приведен алгоритм геометрического моделирования эффекта, открытого космонавтом В. Джанибековым, и состоящего в непривычном поведения вращающегося тела, перемещающегося в невесомости. Экспериментально на орбите продемонстрировано, что эффект Джанибекова возникает тогда, когда вращение происходит вокруг оси со средним значением момента инерции тела. В статье дифференциальные уравнения для описания вращения объекта составлены с использованием кватернионов. При этом не использовались тригонометрические функции, что позволяет реализовать рациональный алгоритм геометрического моделирования. На примере составленной maple программы подтверждено, что вращение вокруг оси со средним по значению моментом инерции является неустойчивым.
Ключевые слова: эффект Джанибекова, моменты инерции тела, вращение параллелепипеда, кватернионы, элементы матрицы поворота.
L.N. KUTSENKO
National university of civil defence of Ukraine,
L.L ZAPOLSKY.
The State Emergency Service of Ukraine
GEOMETRICAL MODELING IN THE PROGRAM MAPLE THE EFFECT OF JANIBEKOV WITH THE USE OF THE QUATERNION
The algorithm of geometric modeling of the effect, discovered by cosmonaut V. Janibekov, and consisting in unusual behavior of a rotating body moving in weightlessness is given in the work. Experimentally on the orbit it was demonstrated that the Dzhanibekov effect arises when the rotation occurs around the axis with an average value of the moment of inertia of the body. In the paper, differential equations for describing the rotation of an object are compiled using quaternions. In this case, trigonometric functions were not used, which makes it possible to implement a rational algorithm for geometric modeling. Using the example of a compiled maple program, it was confirmed that rotation around an axis with an average moment of inertia is unstable.
Keywords: Dzhanibekov effect, moments of inertia of the body, rotation of the parallelepiped, quaternions, elements of the rotation matrix.
Постановка проблеми
Ввдкритий у 1985 рощ космонавтом В.Джашбековим ефект [1-2] полягае у дивному поводженш твердого тша, яке, обертаючись, перемщаеться у невагомосп. При вщкручуванш на орбт гайки з "вушками" (рис. 1) у раз1 и зюкоку з р1зьбового гвинта, вона продовжувала летгги за шерщею, обертаючись як пропелер. Космонавт пометив, що пролепвши у невагомосп приблизно 40 сантиметр1в "вушками"
вперед, гайка робила раптовий переворот на 180 градуав i продовжувала летгга у тому ж напрямку, але вже "вушками" назад i обертаючись в iншу сторону. Попм процес повторювався. Ефект Джашбекова демонструе приклад того, що в нешерцшних системах вилпа явища мехашки носять складнiший характер порiвняно з шерцшними [3].
В Iнтернетi можна знайти вiдеофайли поводження "гайки Джашбекова" й експерименпв аналопчно! природи в умовах земного тяжшня (наприклад, з тешсною ракеткою [4]). З'явилися десятки рiзних пояснень цього ефекту. Щкаво, що у роботi [5] для цього розглядаеться навiть гiпотеза "одухотворено! матер!!". Ми схиляемося до такого пояснения, яке надаеться в роботах [1, 4, 6, 7]. Швидшсть обертання гайки з "вушками" порiвияно невелика, тому, на вiдмiну вш гiроскопа, вона перебувае у нестшкому станi. Гайка, крiм основно! оа обертання, також обертаеться й навколо двох шших просторових осей зi швидкостями на порядок нижчими (другорядш рухи). У результатi впливу цих другорядних рухiв, згодом поступово вшбуваеться змiна нахилу основно! осi обертання (прецеая пiдсилюеться), i коли вш (тобто кут нахилу) досягае критичного значения, коливальна система здшснюе перевертання.
Крiм того, коли тiло обертаеться навколо оа з найменшим моментом шерци, то воно рухаеться досить стшко й ефект Джанiбекова не проявляеться. Прикладом такого обертання е куля, випущена з нарiзного ствола збро!. Вона обертаеться навколо оа, що проходить уздовж витягнуто! сторони. 1нший крaйнiй випадок - коли тшо обертаеться навколо осi з найбшьшим моментом iнерцi!. Прикладом е спортивний снаряд диск, який мае обертатися тд час польоту. У цьому випадку обертання е теж стшким.
Наведене вказуе на дошльшсть дослiджения ефекту Джaнiбековa, особливо при розробш схем розгортання у космос конструкцiй антен або кaркaсiв дзеркал. Адже процеси розгортання тут часто пов'язаш з обертовими рухами в умовах невагомосп.
Анал1з останн1х досл1джень i публiкацiй Теоретичнi основи пояснення ефекту Джaнiбековa розглянуто у роботах [1, 3, 4, 6, 7]. Зазначено, що проявлятися ефект Джашбекова починае, коли обертання вшбуваеться навколо оа iз середнiм значенням J моменту шерци, тобто коли Jmin < J < Jmax. Плюс до цього тшо повинне мати, кр!м основного обертання, ще й дуже невелик! обертання навколо двох шших осей, швидкосп яких мають бути на порядки меншими. У результата тако! "суперпозицi!" вах трьох обертань виходить складний просторовий рух тша, який у певний момент часу перескакуе з одного нестшкого положення в iнше нестiйке. При цьому шяш сторонш й невшом! сили в рух тша не втручаються. Весь процес вшбуваеться вшповвдно до вшомих закошв обертання й обчислюеться за формулами. В роботах [4, 8, 9] наведено приклади комп'ютерного моделювання ефекту Джашбекова, реал!зованих у р!зних комп'ютерних середовищах. Але у них обмеженим е використання залежностей, одержаних у аналгшчному вигляд!. Тому доцшьним буде реал!зувати зазначене комп'ютерне моделювання ефекту Джашбекова у середовищ! математичного пакету maple.
Видшення нерозв'язаних рашше частин загальноТ проблеми Для !люстрацл та дослщження впливу параметр!в на прояви ефекту Джашбекова необхвдно мати ушверсальний алгоритм геометричного моделювання процесу обертання тша з р!зними значеннями моменпв шерци вздовж осей декартово! системи координат та початкових значень купв обертання.
Мета досл1дження
Розробити програму геометричного моделювання процесу обертання твердого тша за умови врахування ефекту Джашбекова. Показати, що ефект Джашбекова виникае тод!, коли обертання вшбуваеться навколо ос! !з середшм значенням моменту шерци тша. Диференшальш рiвияния для опису обертання об'екта скласти з використанням кватернюшв, що дозволить вшмовитися ввд використання тригонометричних функцш для опису формул замши координат.
Викладення основного мaтepiaлу дослiджeння В основу складено! програми покладено результати роботи [10]. Як приклад твердого тша обертання оберемо прямокутний паралелешпед одинично! маси з р!зними довжинами сторш, спрямувавши його сторони вздовж осей декартово! системи координат: довшу - вздовж ос! Ox, а коротшу - вздовж ос! Oy. В цьому випадку середнш за значенням момент шерци буде у раз! обертання паралелешпеда навколо ос! Oz. Адже моменти шерци тша вздовж вшповвдних осей наближено можна оцшити величиною площ! яку займае вшповвдна проекщя.
Нехай моменти шерци обраного паралелешпед мають значення вздовж вшповшних осей Ix, Iy i Iz. Позначимо iy = ly/Ix i iz = Iz/Ix. В якосп узагальнених координат оберемо швидкосп змши купв обертання u(t), v(t) i w(t) навколо осей, вшповвдно, x, y i z. Початков! швидкосп обертань позначимо як u0, v0 i w0. Для геометричного моделювання обертання паралелешпеда було розроблено програму для середовища математичного пакету maple. При чому, процес "перекидання" паралелешпеда можна спостерпати за допомогою послшовних кадр!в ашмацшного фшьму.
Рис. 1. Гайка з
«вушками» експерименту В.Джан1бекова
В1СНИКХНТУ№3(62), 2017р., ТОМ 2 ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА
КОМП'ЮТЕРШ ТЕХНОЛОГИ
Диференщальш piB^Hra обертання об'екта складено i3 залученням кватернюну Q(t), U(t), V(t) i W(t) з початковими значениями Q0, U0,V0 i W0 [11-13]. У результата маемо систему семи дифеpенцiальних piBram ввдносно функцiй u(t), v(t), w(t), Q(t), U(t), V(t) i W(t):
d u( t) = (*-, )v( t )w( t);
d v( t) = (iz - 1)u( t)w( t)
dt ) iy .
d (1 - iy )u( t )v( t) ; — w( t) =-
dt iz . (1)
dt Q( t) = -1 U( t) u( t) - 1 V( t) v( t) - 1 W( t) w( t)
df U( t) = 2 Q( t )u( t) + 1 W( t )v( t) - 1 V( t )w( t) dt V( t) = -2W( t )u( t) + 1Q( t) v( t) + 1u( t )w( t) dt W( t) = 1V( t)u( t) - 1U( t)v( t) + 2Q( t) w( t)
У цих формулах збережено синтаксис мови математичного пакету maple. Розв'язувати систему piвнянь (1) будемо наближено методом Рунге-Кутти з початковими умовами u(0) = u0, v(0) = v0, w(0) = w0, Q(0) = Q0, U(0) = U0, V(0) =V0 i W(0) = W0. Позначимо одержаний наближений розв'язок для функцш Q(t), U(t), V(t) i W(t) як qq(t), UU(t), VV(t) i WW(t).
Головним у пpогpамi е блок опеpатоpiв maple, що дозволяе обчислити координати точки (х1, y1, z1), яка одержуеться в pезультатi обертання поточно! точки (X1, Y1, Z1) навколо ос Oz з врахуванням ефекту Джашбекова (цiла i змiнюеться у межах 0..^):
q : = qq(T*i/N):
x : = UU(T*i/N);
У : = VV(T*i/N);
z : = WW(T*i/N);
M11 = 1 - 2*yA2 - 2*zA2:
M12 = 2*x*y - 2*z*q:
M13 = 2*x*z + 2*y*q:
M21 = 2*x*y + 2*z*q:
M22 = 1 - 2*xA2 - 2*zA2:
M23 = 2*y*z - 2*x*q:
M31 = 2*x*z - 2*y*q:
M32 = 2*y*z + 2*x*q:
M33 = 1 - 2*xA2 - 2*yA2:
A : = = array([[M11,M12,M13],
[M21,M22,M23],
[M31,M32,M33]]):
s : = vector([X1,Y1,Z1]):
B : = multiply(A, s);
x1 := B[1]: y1 := B[2]: z1 := B[3]:
У програмi: Т - штервал часу iнтегрування системи рiвнянь (1), N - к1льк1сть промiжних положень обертання, а через М з iндексами позначено елементи матриц повороту за допомогою обчислених координат кватернюна [11].
Звертаемо увагу, що при цьому не використовуються тригонометричш функцп для перетворення координат. Це дозволяе реалiзувати бiльш рацiональний алгоритм обробки графiчноl шформаци порiвняно з використанням кутiв Ейлера.
Для визначення положення паралелепiпеда в процесi обертання слщ задати початковi координати його вершин та координати сигнально! точки з шдексом нуль, положення яко! також вказуватиме на
положення паралелетпеда у npocropi (ткавим буде також i дослвдження траeкторiй перемiщення сигнально! точки з одного нестшкого положення до другого):_
X0 := 0: Y0 := 0: Z0 := 13:
X1 = -10: Y1 : = -5: Z1 := 7.5:
X2 = -10: Y2 : = 5: Z2 := 7.5:
X3 = 10: Y3 : = 5: Z3 := 7.5:
X4 : = = 10: Y4 := = -5: Z4 : = 7.5:
X 1 = -10: Y 1 = -5: Z_1 := -7.5:
X 2 = -10: Y_2 : = 5: Z_2 := -7.5:
X 3 = 10: Y_3 : = 5: Z_3 := -7.5:
X 4 = 10: Y_4 : = -5: Z 4 := -7.5:
Далi за допомогою програми обертання навколо осi Oz визначаються i будуються координати повернутого паралелетпеда.
Важливою характеристикою твердого тiла е елшсо'д шерци. Розроблена програма дозволяе спостерiгати за обертанням паралелепiпеда синхронно з його елшсовдом шерци. Довжини пiвосей елшсовда
шерци через моменти шерци визначаються так: yjlx , yfly i 4lz .
Елшсовд зображуеться чотирикутниками на його поверхш В наведеному фрагментi програми елшсо!д задаеться у параметричному виглядi:_
for j from 0 to eN do
uu := evalf(-Pi + j*2*Pi/eN):
for i from 0 to eM do
vv := evalf(-Pi/2 + i*Pi/eM):
xe[i,j] := cos(uu)*cos(vv)*sqrt(Ix):
ye[i,j] := cos(uu)*sin(vv)*sqrt(Iy):
ze[i,j] := sin(uu)*sqrt(Iz):
Gre[i,j] := display(polygon([[xe[i,j], ye[i,j], ze[i,j]],
[xe[i+1,j], ye[i+1,j], ze[i+1,j]],
[xe[i+1,j+1], ye[i+1,j+1], ze[i+1,j+1]],
[xe[i,j+1], ye[i,j+1], ze[i,j+1]]],
color=green, thickness=1)):
end do: end do:
Тут параметри eN i eM визначають к1льк1сть розбиття поверхнi елшсовда вздовж координатних лiнiй. Далi за допомогою програми обертання навколо оа Oz визначаються i будуються координати повернутого елшсо'да:_
for jj from 0 to eN do
for ii from 0 to eM do
vect := vector([ xe[ii,jj], ye[ii,jj], ze[ii ,jj] ]):
B := multiply(A, vect);
x_e[i, ii, jj] := B[1]:
y_e[i, ii, jj] := B[2]:
z_e[i, ii, jj] := B[3]:
end do: end do:
Gr[i] := display(polygonplot3d([seq([seq(
[[x_e[i,ii,jj], y_e[i,ii,jj], z_e[i,ii,jj]],
[x_e[i,ii+1,jj], y_e[i,ii+1,jj], z_e[i,ii+1,jj]],
[x_e[i,ii+1,jj+1], y_e[i,ii+1,jj+1], z_e[i,ii+1,jj+1]],
[x_e[i,ii,jj+1], y_e[i,ii,jj+1], z_e[i,ii,jj+1]]],
ii=0..eM-1)], jj=0..eN-1)],
color=blue, style = WIREFRAME) ):
Приклад. Нехай розмiри прямокутного паралелепiпеда вздовж осей x, y i z дорiвнюють, вiдповiдно, 20, 10 i 15 умовним величинам. Тодi моменти шерци мають значення Ix = 52.0833, Iy = 27,0833 i Iz = 41,6666. Для тесту оберемо так початковi значення швидкостей обертання: u0 = 0.000005, v0 = 0.000005, w0 = 1, а початковi значення кватернiону - Q0 = 1, U0 = 0, V0 = 0, W0 = 0. Вс параметри в умовних величинах.
На рис. 2 зображено залежно ввд часу аксонометрй' вщповщних фаз обертання паралелепiпеда та елшсо!да. Також побудовано траекторш перемiщення з одного нестшкого положення до шшого сигнально! точки з початковими координатами (0,0,13).
ю
5 0 -5
-10
-10 -Ю X
t = 3,9
10 5 О -5 -10
-10 -10 X
-10 -10 X
-10 -10 X
Г = 4,1
Г = 4,3
Г = 4,4
10 -10 X
г = 4,7 г = 4,9
Рис. 2. Фази обертання паралелетпеда та елшсовда залежно ввд часу
10 5 0 -5 -10
10 -Ю X
г = 5,5
10 -10 X
Рис. 3. Траекторй сигнально!" точки залежно ввд значень початкових швидкостей обертання
б
а
в
На рис. 3 зображено траекторп сигнально! точки залежно вш значень початкових швидкостей обертання навколо вiдповiдних осей для варiантiв:
а) T = 100; N = 200; u0 = 0,01; v0 = 0,01; w0 = 1.
б) T = 100; N = 200; u0 = 0,01; v0 = 0,1; w0 = 0,03.
в) T = 900; N = 200; u0 = 0,01; v0 = 0,01; w0 = 0,03.
Складена програма дозволяе демонструвати нестiйкiсть процесу обертання навколо ос Í3 середнiм значениям моменту шерцп паралелепiпеда. При цьому за умови енергетично консервативно! системи одержане обертання буде прагнути перейти до зменшення енергп обертання. Образно говорячи, тшо буде перекидатися, намагаючись знайти собi "комфортне" положення, але щоразу буде його проскакувати й шукати заново. Аналогiчний процес спостерiгаемо тд час коливання iдеального (математичного) маятника. Дшсно, нижне положення маятника е енергетично оптимальним. Але маятник не зупиняеться в ньому. За шею аиалогiею вiсь обертання абсолютно твердого тша нiколи не спiвпаде з вюсю максимального моменту iнерцi!, якщо спочатку вона не збiгалася з нею.
Висновки
Розроблена програма дозволяе iлюструвати за допомогою аиiмацiйного фтму процес обертання твердого тiла з врахуванням ефекту Джанiбекова. £ можливють спостерiгати i аиалiзувати траекторiю перемщення сигнально! точки з одного крайнього нестшкого положення до iншого. Пщгверджено, що ефект Джанiбекова виникае тод^ коли обертання ввдбуваеться навколо оа iз середнiм значенням моменту шерци тша. Завдяки кватернiону вдалося уникнути використання тригонометричних функцiй для опису перетворення координат.
Список використаноТ лiтератури
1. Андреев Ю.М. Моделювання руху вiльного твердого тша в невагомосп / Ю.М. Андреев, Т.А. Андреева, В.1. Василюк // Вiсник СевНТУ: Серiя: Мехашка, енергетика, екологiя. — Севастополь, 2013. — Вип.137. — С. 3-8
2. Видео "Эффект Джанибекова". [Електронний ресурс]. — Режим доступу: https://www.youtube.com/watch?v=L2o9eBl_Gzw
3. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности / А.Н. Матвеев. — М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432 с.
4. Dzhanibekov Effect or tennis racket theorem. [Електронний ресурс]. — Режим доступу: http://community.wolfram.eom/groups/-/m/t/498246
5. Шубейкина Т.Д. Эффект Джанибекова - наглядное проявление универсального закона творения / ТД. Шубейкина // Ноосфера. Общество. Человек. — 2015. — № 4. — Режим доступу: http://noocivil.esrae.ru/240-1400
6. Кирсанов Ф. Эффект Джанибекова. [Електронний ресурс] / Ф. Кирсанов. — Режим доступу: http ://www. orator.ru/int_ 19. html
7. Эффект Джанибекова. [Електронний ресурс]. — Режим доступу: http://www.orator.ru/int_19.html
8. Программа, демонстрирующая эффект Джанибекова. [Електронний ресурс]. — Режим доступу: https://oko-planet.su/science/sciencehypothesis/15090-yeffekt-dzhanibekova-gajka-dzhanibekova.html
9. Эффект Джанибекова - компьютерное моделирование. [Електронний ресурс]. — Режим доступу: http://1tvprograma.ru/prosmotr/N1FlQ1F4R2ozOFE/
10. Притыкин В. Магия тензорной алгебры: Часть 18 — Математическое моделирование эффекта Джанибекова. [Електронний ресурс]. — Режим доступу: https://habrahabr.ru/post/264381/
11. Норель М. П. Вращение и кватернионы. [Електронний ресурс]. — Режим доступу: http ://www. gamedev. ru/articles/?id=30129&page=4
12. Waveren J.M.P. From Quaternion to Matrix and Back. [Електронний ресурс]. — Режим доступу: http://www.mrelusive.com/publications/papers/SIMD-From-Quaternion-to-Matrix-and-Back.pdf
13. Lindberg V. Chapter 9 Rigid Body Motion in 3D. [Електронний ресурс]. — Режим доступу: https://people.rit.edu/vwlsps/IntermediateMechanics2/Ch9v5.pdf
