CC BY
44
УДК 515.2
ГРАФ1ЧНИЙ КОМП'ЮТЕРНИЙ СПОС1Б ВИЗНАЧЕННЯ НЕХАОТИЧНИХ ТРАСКТОР1Й КОЛИВАНЬ МАЯТНИКОВИХ СИСТЕМ
О.М. Семк1в, к.т.н., Нацюнальний ун1верситет цивильного захисту УкраУни, м. Харкчв
Анотаця. Розроблено граф1чний комп 'ютерний cnoci6 моделювання коливань маятникових мехатчних систем з метою вибору napaMempie, що забезпечують нехаотичний технологiчний характер траекторИ' коливань гх вaнmaжiв. Споаб базуеться на наближеному розв 'язанн ди-ференщальних piвнянь Лагранжа другого роду, визначенн проекцИ' одержаног iнmeгpaльног кривог на фазову площину та обчисленн запропонованим методом проекцтного фокусування критичного значення одного з napaмempiв.
Ключов1 слова: ттегральна крива, фазова mpaекmоpiя, мaяmниковi коливання, пружинний маятник тд вiзком, коефщент жоpсmкосmi пружини.
ГРАФИЧЕСКИЙ КОМПЬЮТЕРНЫЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕХАОТИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКОВЫХ СИСТЕМ
О.М. Семкив, к.т.н., Национальный университет гражданской защиты Украины, г. Харьков
Аннотация. Разработан графический компьютерный способ моделирования колебаний маятниковых механических систем с целью выбора параметров, обеспечивающих нехаотический характер траектории колебаний их грузов. Способ базируется на приближенном решении дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода, определении проекции полученной интегральной кривой на фазовую плоскость, а также вычислении предложенным методом проекционного фокусирования критического значения одного из параметров.
Ключевые слова: интегральная кривая, фазовая траектория, маятниковые колебания, пружинный маятник под тележкой, коэффициент жесткости пружины.
GRAPHICAL COMPUTER METHOD OF DETERMINATION NON-CHAOTIC TRAJECTORY FLUCTUATIONS OF PENDULAR SYSTEMS
O. Semkiv, Ph. D. (Eng.), National University of Civil Protection of Ukraine
Abstract. The graphical computer method of modeling fluctuations of pendular mechanical systems for the purpose of choosing the parameters providing non-chaotic nature of the trajectory of fluctuations of their freights is offered. The method is based on the approximate solution of differential equations of Lagrange of the second grade, determination of a projection of the received integrated curve to the phase plane, as well as the calculation by the offered method of projective focusing of critical value of one ofparameters.
Key words: integrated curve, phase trajectory, pendular fluctuations, spring pendulum under the cart, coefficient of spring rigidity.
У традицшних роздшах геометри (нарисно!, проективно!, диференщально!, штегрально!)
Вступ
постшно звертаються до розгляду вщобра-жень на площину просторових (у тому чи^ й уявних) об'екпв. Геометричний апарат вь дображення можна застосувати й у процес
дослщження маятникових механiчних коли-вань, оскшьки у просторi параметрiв юнуе проекцiйний зв'язок мiж iнтегральними кри-вими розв'язкiв диференцiальних рiвнянь цих коливань та фазовими траекторiями вщ-повiдних функцiй (узагальнених координат). Маятниковi механiчнi коливання за випадко-вих значень параметрiв i початкових умов шщдавання руху виявлятимуться у хаотич-них (тобто не технологiчних) траекторiях руху сво!х елементiв. Для шженерно! практики е потреба у винайденш способу вибору тако! комбшацп параметрiв коливально! сис-теми i початкових умов, якi б забезпечили технолопчш траектори для реалiзацiй у кон-кретних конструкцiях. Такi дослщження пов'язаш з необхiднiстю враховувати якюно рiзнi параметри - метричнi, кутов^ ваговi, а також i коефщенти жорсткостi пружинних елементiв. Тому виникла задача - розробити та формалiзувати спошб вибору комбшацп параметрiв i початкових умовах iнiцiювання коливань маятникових мехашчних систем, якi б забезпечили технолопчш траектори для конструктивних реалiзацiй. Для вирiшення ще! проблеми пропонуеться застосувати гео-метричний апарат вщображення на фазову площину iнтегральних кривих диференща-льних рiвнянь, що описують маятниковi ме-ханiчнi коливання.
Аналiз публiкацiй
Традицiйний аналiз коливань на яюсному рiвнi полягае у визначенш особливих точок, що вiдповiдають положенням рiвноваги коливально! системи, побудовi фазових порт-ретiв системи зi значеннями керуючого параметра у межах особливих точок, а також визначеннi сепаратрис, яю проходять через особливi точки за допомогою рiвняння штег-рала енерги системи, коли кiнетична енерпя дорiвнюе нулю. Серед вiдомих пiдходiв най-ближчим до «геометричного» е метод яюсно! теори й теори бiфуркацiй динамiчних систем, який передбачае побудову яюсно-кшь-кiсними засобами у кшцевш областi простору параметрiв бiфуркацiйних дiаграм режи-мiв коливань, а також визначае бiфуркацil, що призводять до змши характеру перюдич-них режимiв [1, 2]. За щею не достатньо фо-рмалiзованою для складання алгоритмiв ш-формащею й визначаються параметри i початковi умови, якi мають забезпечити технолопчш траектори маятникових коливань. Створення теоретичних основ ушверсально-
го (шженерного) способу вибору параметрiв i початкових умов шщдавання коливань для забезпечення технолопчних траекторш руху !х елеменпв мае велике значення для реаль зацiй в конструкцiях. Унiверсальнiсть такого тдходу базуеться на тому, що достатньо широкий клас маятникових мехашчних колива-льних систем можна описати за допомогою диференщальних рiвнянь Лагранжа другого роду. I саме для такого рiзновиду рiвнянь iснуе необхщне для геометрично! реалiзацil проекцiйне сшввщношення мiж штеграль-ними кривими розв'язку рiвняння i фазовою траекторiею для функцш - узагальнених координат системи. Моделювання вщображен-ня штегральних кривих на фазову площину (як цшсного напряму у прикладнiй геомет-рЦ) та аналiз проекцiй визначае подальший розвиток як у теоретичних дослщженнях графiчних комп'ютерних технологiй, так i у вирiшеннi багатьох практичних завдань.
Мета i постановка завдання
Метою роботи е розробка графiчно! комп'ю-терно! технологи моделювання коливань маятникових мехашчних систем з метою вибору параметрiв, що забезпечать нехаотичний технолопчний характер траектори коливань !х вантажiв. Визначення параметрiв мае включати розв'язання диференцiальних рiв-нянь Лагранжа другого роду, де наближений розв'язок мае вигляд елемента шм'! штегра-льних кривих у фазовому просторi функци, що визначае одну з узагальнених змшних задачi. Конкретний елемент шм'! одержуеть-ся залежно вщ вибору початкових умов ште-грування диференцiального рiвняння. Насту-пним етапом буде побудова проекци штегрально! криво! на фазову площину, в результат чого отримаемо фазову траекто-рiю, залежну вiд значення одного з парамет-рiв коливально! системи. Запропонованим способом проекцшного фокусування визна-чаеться критичне значення керуючого параметра, в результат чого одержуеться набiр параметрiв, що забезпечують нехаотичний характер траектори коливань вантажу.
Визначення нехаотичних траекторш коливань
Наведеш дослщження проведеш з урахуван-ням iдеалiзованих умов процесу маятникових коливань: здшснюються у вертикальнiй площинi у полi земного тяжiння; тертя у вуз-
лах i опiр повiтря тд час коливань вiдсутнi; конструкцiя пружин перешкоджае !х згинан-ню у поперечному напрямку, параметри ко-ливально! системи i початковi умови зада-ються в умовних одиницях. I, найголовшше, - у процесi коливань вщсутш втрати енергп (коливальнi системи мають бути консервати-вними). Остання умова е прийнятною тодi, коли процес розсдавання енерги вщбуваеть-ся повшьно в порiвняннi з характерними масштабами часу в систему тому слабко впли-вае на характер руху. У багатьох випадках можна з достатньою точнiстю вважати систему консервативною, враховуючи те, що сума кшетично! й потенщально! енергiй у системi залишаеться постшною.
Головнi кроки до вирiшення поставлено! за-дачi вбачаються такими.
Крок 1. 1з використанням положень теоретично! механiки проаналiзувати коливальну систему, визначити кшьюсть узагальнених координат та розподш сил впливу на систему.
Крок 2. На базi закошв фiзики скласти вира-зи для кшетично! й потенцiально! енергi! ко-ливально! системи.
Крок 3. За допомогою виразу лагранжiана визначити диференщальш рiвняння Лагран-жа другого роду.
Крок 4. Задати початковi умови iнтегрування рiвнянь Лагранжа другого роду.
Крок 5. Знайти наближений розв'язок рiв-нянь Лагранжа другого роду.
Крок 6. Обрати параметри коливально! системи та початковi умови, за яких розв'язок задовольнив би вимоги до технолопчносп коливань.
Крок 7. Переконатись у достовiрностi розв'язку за допомогою унаочнення коли-вань елеменив маятникового мехашзму за-собами комп'ютерно! анiмацi!.
Досвiд шженерно! практики показуе, що в цьому перелшу е два кроки - шостий i сьо-мий, як можна удосконалити для практич-них впроваджень.
Головна iдея запропонованого способу поля-гае у наступному [3]. Нехай маемо консерва-тивну коливальну систему, до опису яко! серед шших входить i узагальнена координата - позначимо !! як функщю и(г). Чисельно розв'яжемо диференцiальнi рiвняння Лагра-нжа другого роду та побудуемо наближене зображення iнтегрально! криво! у фазовому просторi {и, Du, 1} узагальнено! змiнно! и(г). Зображення складатиметься iз множини вщ-рiзкiв, що з'еднують послiдовнi точки, одержат в результатi наближеного розв'язання рiвняння. Це унаочнення залежатиме вiд пе-вного значення «керуючого» параметра зада-чi або значення початково! умови (позначимо його як р). За випадкових значень р у фазовому просторi {и, Du, 1} утвориться «плута-на» iнтегральна крива, проекщя яко! на фазо-ву площину {и, Du} також буде «плутаною» фазовою траекторiею (рис. 1). Вибiр випад-кового значеннях р при розрахунках призве-де до хаотичних коливань вантажу маятника.
15 10 5
Рис. 1. 1нтегральш кривi й фазовi траекторi! для випадкового значення р
У разi змши значень «керуючого» параметра р мае змшюватися i характер фазово! траекторий За критичного значення р=р0 характер фазово! траекторi! змiниться на яюсному рiв-нi - вона перетвориться у «сфокусовану» криву (рис. 2). На фазовш площинi {и, Du} нiби вiдбудеться оптичний ефект «наведення на рiзкiсть» плутанини фазових траекторш (далi цей феномен названо проекцшним фо-кусуванням).
Урахування значення параметра р=р0 у про-цес розв'язання рiвняння Лагранжа другого роду дозволяе обчислити координати точок, як мають розташуватися на нехаотичнiй тра-екторi! слiду маятника. Отже, нехаотичш те-хнологiчнi траекторi! коливання елемента маятниково! механiчно! системи проявля-ються на зображеннях фазових траекторiй у
виглядi «сфокусованих» кривих. 1накше це можна сформулювати так: критичне значен-ня параметра р одержимо в момент, коли зо-браження проекци штегрально! криво! на фазову площину (тобто фазово! траектори) набуде мшмально! площi (у пiксельному вимiрi).
Рис. 2. 1нтегральш кривi й фазовi траекторi! для обчисленого значення р=р0
Для автоматизацi! пошуку критичного значення «керуючого» параметра С розглянемо поняття фокусування сiм'! кривих, описано! рiвнянням ^х,у,С)=0. Нехай зображення криво! на координатнш площинi Оху побудовано за допомогою послщовносп пiкселiв.
Визначення 1. Фокусуванням параметрично! шм'! кривих, описано! рiвнянням Дх,у,С) = 0, називаеться процес визначення значення параметра С ам'!, за якого зображення !! еле-ментв на координатнiй площинi 0ху склада-тиметься з мiнiмально! кiлькостi пiкселiв.
Приклад 1. Розглянемо сiм'ю лшш, описану рiвняннями:
х = cos (2C +1) sin (t + C); y = 0,5 sin (3 + tC) cos (t - C)'
де параметр С змшюеться у межах
3.1 < С < 3,9.
Складено програму визначення кшькосп шк-селiв, яю утворюють зображення сiм'! лшш залежно вщ значення С. На рис. 3 наведено елементи шм'! кривих для деяких С та графш залежносп кiлькостi пiкселiв вщ С.
Визначення 2. Проекцiйним фокусуванням параметрично! шм'! кривих, описано! рiв-нянням f(x,y,C) = 0, називаеться процес визначення значення параметра С им'!, за якого зображення елеменпв !! проекци на координатнш площиш 0ху матиме мшмаль-ну площу (у пiксельному вимiрi).
Приклад 2. Розглянемо сiм'ю лшш, описану рiвняннями:
х = exp (cos(C t)) +5sin2 (t + C); y = exp (sin (Ct)) + 2,5cos (t - C),
де параметр С змшюеться у межах
2.2 < С < 4,5.
За допомогою складено! програми можна визначати кшьюсть пiкселiв, яю входять до зображення им'! проекцш на площиш 0ху залежно вщ значення параметра С.
На рис. 4, а, б наведено елементи проекцш им'! кривих для випадкових значень С. На рис. 4, в зображено випадок для критичного значення С = 3.
Рис. 3. Елементи им'! (1) для випадкового значення С (а); для критичного значення С = 3,3986 (б); графш залежносп кшькосп пiкселiв вщ С (в)
а б в
Рис. 4. Елементи проекцш шм'! кривих для випадкових значень С (а, б) та для критичного зна-чення С = 3 (в)
Приклад 3. Як тривiальний приклад дослщи-мо коливання подвшного маятника.
З урахуванням iдеалiзованих умов необхiдно визначити довжину першо! ланки L1, яка б забезпечила нехаотичну траекторда коливань вантажу друго! ланки.
Рiвняння Лагранжа другого роду подвшного маятника мае вигляд [1] (тут i далi збережено синтаксис мови Maple)
L1
m1L1
( d2
~~IU(t) -m2cos(u(t))L2sin(v(t))x
X( JV (?)]
+ m2cos (u (t))
( d 2 ^ L2cos (v (t)) JLv (t)
+ m2L1
d
(d2 /ч —2 u (t) dt2 ( )
+m2sin ( u (t)) L2cos (v (t))( —v (t)
( d 2
+m2sin (u (t)) L2sin (v (t)) v (t)
+gsin(u (t))ml + 2m2gsin(u (t)) ) = 0
m2L2
^ (d \2 ! - cos ( v (t)) Llsin ( u (t ))l —u (t )l +
+cos
( d 2
(v (t))L1cos (u (t)) -2v (t)
+
+sin (u (t)) Llcos (u (t))l —u (t)
d
+
+ sin
d2
in(v(t))L1sin(u(t))l -2u(t)
+
+L2
( d2
(3)
v (t) + g sin ( v (t ))) = 0.
У формулах (1) через и(г) i v(t) позначено кути, як перша та друга ланки подвшного маятника утворюють з вертикаллю, i L2 - дов-жина першо! та друго! ланок, т\ i т! - маса першо! та друго! ланок. Систему диференщ-альних рiвнянь (1) розв'язано чисельно методом Рунке-Кутти з початковими умовами и0 = 2 л/3; Du0=0; у0=л/3; Dv0 = 0 та зi зна-ченням параметрiв L2 = 1; т! = 2; т2 = 1.
У фазовому прост^ {V, Dv, t} побудовано штегральну криву та !! проекщю на фазову площину, в результат чого одержано фазову траекторiю. Проекцшним фокусуванням об-числюемо критичне значення L! = 0,5375.
На рис. 5, а зображено штегральш кривi й фазовi траекторi! для обчисленого критичного значення L! = 0,5375, а також вигляд поча-ткового положення маятника (рис. 5, б) i тра-екторi! коливань вантажу друго! ланки маятника (рис. 5, в).
Отже, для iдеалiзованих умов знайдено па-раметри подвшного маятника, як забезпе-чують його нехаотичш (перiодичнi) коли-вання.
2
2
0.4- Ж
.5 -1 -0.5
..............1 -0.2-
-0.4-
-0.6-
У
-0.8-1-1.2-
а б в
Рис. 5. Фазовi траекторп для критичного значення Ll = 0,5375 (а), початкове положення маятника (б) та траекторп коливань вантажу друго! ланки маятника (в)
Приклад 4. Виконати аналiз коливань пружинного маятника п1д вiзком (рис. 6). Пока-зати, що завдяки коливанням вантажу по не-хаотичних траекторiях можна iнiцiювати горизонтальне перемщення вiзка.
Система рiвнянь Лагранжа другого роду мае вигляд [4, 5]
(а2 1
(ш1 + ш2) —2й (0 +
Vа )
+—ш2 2
( ^2
ЛА
2 не „) 81п(„ ^
V V ))
Рис. 6. Схема пружинного маятника п1д вiз-ком
Як узагальненi координати оберемо так1 па-раметри: и(1) - горизонтальне змщення вiзка; у(1) - кут в1дхилення пружини в1д вертикалi; „(^ - пружне подовження пружини.
+4(1«'«)-(„М)[—„(,})+ (4)
( а 2 ) +2„ (t)[ И „ (t))С05 („ (t ))"
-2„(^(t))2sin(„(0) ) = 0.
У формулах (2) взяп позначення: - маса вiзка; ш2 - маса вантажу; а - довжина пружини маятника у ненавантаженому станi; k -коефiцiент жорсткостi пружини.
—ш2 2
4„ (t)(^ ))( ^ ))+2„ (t )2 (^ „ ^))+2 [ и (t )) „ (t) cos („ (t))+
+2 ( аи (t))( ^ )) ^ („ (t))-2 ( аи ^ )) „ (t) sin („ (t»[ (t )))--ш2V7(и(^)(((t))cos(„(t))-„(О)sin(„(t)) ) + ш2§„(0sin(„(t)) = 0 2 (а? „ (^)+2 [аЬ и sin („ (t))+2 ^(о) („(^ (о))-
-2ш2(2„(А—V(t)) + 2(—и(cos(V(^)Г—V(t)) )-ш2gcos(„(t)) + к(„(t)-а) = 0
2 [ аt ) [ аг ) [ аг ) >
2
—ш2 2
Розв'язувати систему рiвнянь (2) будемо чи-сельно за допомогою методу Рунге-Кутти з початковими умовами и0 = 0; и'0 = 1; v0 = л/2; v'0 = 0; w0 = 1 i w'0 = 0 (де g = 9,81). Розрахунок коливань пружинного маятника тд вiзком виконаемо за умови визначення невщомих значень маси т2 залежно вiд ш-ших вiдомих параметрiв схеми: т1; k i d. Бу-дуемо наближене зображення штегрально! криво! у фазових просторах функцш узагаль-нених координат, що залежатиме вiд певного значення параметра т2. Для обчислення критичного значення т2 = 40 було використано спошб проекцiйного фокусування.
Рис. 7. 1нтегральш лiнi! та фазовi траекторi! у фазовому просторi {w, Dw, t} для т2 = 40
Використовуючи одержанi наближеш розв'язки и(1), v(t) i w(t) системи рiвнянь Лаг-ранжа другого роду, можна побудувати трае-кторiю перемщення вантажу пружинного маятника в декартовш системi координат хОу за формулами
х(1) = и(1) + (d + w(t ))sin(v(t)); (5) у(1) = -(а + w(t ))cos(v(t)).
На рис. 8 зображено кадри створеного ашма-цшного фiльму коливання пружинного маятника тд вiзком по розрахованш нехаотичнiй траекторi!. З анiмацiйного фшьму можна на-очно переконатися у тому, що вiзок буде пе-ремiщатися праворуч завдяки органiзованим рухам вантажу по обчисленiй траекторi!.
Перемщення вiзка пояснюеться узгоджени-ми з напрямком його руху процесами роз-прямлення (коли пружина тд вiзком лiво-руч) i стиснення пружини (коли пружина тд вiзком праворуч). Тобто у першому випадку вiдстань мiж масами завдяки пружит штучно збшьшуеться, а у другому - зменшуеться, що впливае на положення вiзка. Проведет дослщження будуть корисними для аналiзу причин руху рiзновидiв шерщо^дав [6].
-12т
3 4
Рис. 8. Коливання пружинного маятника тд вiзком за значень т\ = 150; т2 = 40; k = 250 i d = 5
Висновки
Запропоновано нове поняття фокус-лши па-раметрично! сiм'! кривих i спосiб проекцiй-ного фокусування, який базуеться на ньому, що дозволяе визначати критичне значення
керуючого параметра сш ! кривих, за якого зображення !! елементiв займе мiнiмальну площу (у пiксельному вимiрi).
Розроблений спошб визначення критичних значень параметрiв маятникових коливань
1
2
шляхом проекцшного фокусування фазових траекторш ix диференцiальних рiвнянь дозволяе визначати критичш значення керу-ючого параметра за допомогою графiчного поняття фокусування зображень фазових траекторш.
Розроблений спошб дозволяе визначати па-раметри нехаотичних коливань у вертикаль-нш площиш вантажу пружинного маятника пiд рухомим вiзком. Показано, що цi коли-вання здатнi iнiцiювати рух вiзка у горизонтальному напрямку. Перемщення вiзка мож-на пояснити процесами стиснення чи розтягнення пружини в певш виявленi моме-нти положення вантажу на траектори його перемщення. Завдяки пружиш вiдстань мiж масами перюдично збiльшуеться або змен-шуеться, що впливае на положення вiзка.
Лiтература
1. Андронов, А.А. Теория колебаний /
А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин.
- М.: Наука, 1981. - 568 с.
2. Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной
динамикой / В.С.Анищенко. - Москва-
Ижевск: ИКИ, 2002. - 145 с.
3. Семюв О.М. Метод визначання особливих
траекторш коливань вантажу 2d-пружинного маятника / О.М. Семюв // Вестник ХНАДУ: сб. науч. тр. - 2015. -Вып. 71. - С. 36-44.
4. Chen Y.F. Scientific computing and
visualization. Spring pendulum system, top. 4 / Y.F. Chen. Електронний ресурс. Режим доступу http://ocw.nctu.edu.tw/ upload/ classbfs1209054703145981.pdf.
5. Електронний ресурс. Режим доступу:
http://ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/2-003j-dynamics-and-control-i-spring-2007/lecture-notes/lec 17.pdf.
6. Толчин В.Н. Инерциоид. Силы инерции
как источник поступательного движения / В.Н. Толчин. - Пермь: Пермское книжное издательство, 1977 г. - 103 с. Еле-ктроний ресурс. Режим доступу: http://second-physics.ru/lib/books/ tolchin inertioid.djvu.
Рецензент: О.В. Бажинов, професор, д.т.н., ХНАДУ.
Стаття надшшла до редакци 28 шчня 2016 р.
