CC BY
13
УДК 514.18
Л.М. КУЦЕНКО
Нащональний утверситет цившьного захисту Укрсани
ВИЗНАЧЕННЯ КРИТИЧНИХ ЗНАЧЕНЬ ПАРАМЕТР1В КОЛИВАНЬ ЗА ДОПОМОГОЮ КРИВИНИ ФАЗОВИХ ТРАЕКТОР1Й
Наведено графоаналтичний метод визначення критичных значень параметргв коливань на основ! обчислення кривин фазових траекторш i'x диференщальних ргвнянь. Метод базуеться на вивченш викривленостi траекторт i враховуе зм1ну знака ix кривини вздовж фазових траекторш.
Ключов1 слова: фазова траекторiя, критичнi значення параметра, анализ на яюсному рiвнi, викривлетсть кривоi, кривина лти.
Л.Н. КУЦЕНКО
Национальный университет гражданской защиты Украины
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ПОМОЩИ КРИВИЗНЫ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ
Приведен графоаналитический метод определения критических значений параметров колебаний на основе вычисления кривизны фазовых траекторий их дифференциальных уравнений. Метод базируется на изучении искривленности траекторий и учитывает изменение знака их кривизны вдоль фазовых траекторий.
Ключевые слова: фазовая траектория, критические значения параметра, анализ на качественном уровне, искривленность кривой, кривизна линии.
L.N. КиТ8Б1МКО
National university of civil defence of Ukraine
DETERMINATION OF CRITICAL VALUES OF PARAMETERS OF VIBRATIONS THROUGH CURVATURE PHASE TRAJECTORIES
A graph-analytic method over of determination of critical values ofparameters of vibrations is brought on the basis of calculation of curvature of phase trajectories of their differential equalizations. A method is based on the study of distorted of trajectories and takes into account the change of sign of their curvature along phase trajectories.
Keywords: a phase trajectory, critical values of parameter, analysis at quality level, distorted of curve, curvature of line.
Постановка проблеми
Дослвдження мехашчних коливань на яшсному piBHi зручно здшснювати методом фазових траекторш. Сутшсть цього методу полягае в опий поводження коливально! системи за допомогою наочних геометричних зображень - фазових портрепв [1, 2]. Вони будуються на площит у прямокутних координатах, де на осях вщкладаються "змщення" i "швидшсть". Зручними для дослщжень е маятниковi коливання, спостертати за якими можна за допомогою: маятника з перюдично змшною довжиною, маятника з вiбруючою точкою тдвгсу, багатоланкового маятника, перевернутого маятника, маятника iз пружними елементами, тощо. У опий коливального процесу маятника може юнувати параметр, який суттево впливатиме
на характер коливань, i змша значення якого може розмежовувати Рис. 1. Фазовий портрет
коливання на яшсному рiвнi (що пояснюе термш "критичне значення параметра").
Наведемо приклад коливання математичного маятника, описаного диференщальним рiвнянням x + 0,2x + 9,8sin x = 0 з початковими умовами [x(0) = 0; x' (0) = p], коли керуючий параметр р змiнюеться у межах 6 < p < 8. На рис. 1 зображено фазовий портрет, з якого видно, що залежно вщ значення параметрар коливання маятника можуть бути або згасаюч^ або згасаючi з одним чи двома обертами навколо точки кршлення. Щ яшсно рiзнi коливання будуть розмежоваш двома критичними значеннями параметра р.
Звичайно, критичш значення параметра р можна обчислити за допомогою формул теоретично! мехашки [3]. Але у випадку коливань складшшо! природи не завжди можна знайти формули для обчислення
вщповщних критичних значень. Для шженерно! практики необхвдш способи !х обчислення в умовах вiдсутностi точних формул. В подiбних випадках iнженернi обчислення базуються, як правило, на графоаналггачних методах дослвджень, пiдкрiплених комп'ютерною техшкою. Для практичних впроваджень необхiднi суто iнженернi способи обчислення критичних значень керуючого параметра коливань [4], врахування якого може або полшшити конструкцш коливально! системи, або запобiгти и аварiйному стану. Це вказуе на актуальнiсть обрано! теми дослвджень.
Огляд вiдомих результа^в
Традицiйний аналiз коливань складаеться [1, 2, 5] з визначення особливих точок, що вщповщають положенням рiвноваги коливально! системи, побудови фазових портрепв системи зi значеннями керуючого параметра у межах особливих точок, а також визначення сепаратрис, яш проходять через особливi точки за допомогою рiвняння iнтеграла енергп системи, коли к1нетична енергiя дорiвнюе нулю.
Основи пошуку критичних значень параметрiв фазових траекторiй (теорп бiфуркацiй) закладенi А. Пуанкаре та О.М. Ляпуновим, потiм цi дослiдження були розвиненi О.О. Андроновим, £.А. Леонтовичем i !х учнями [1, 2]. Основною задачею класично! теорп яшсного дослвдження е визначення динамiчних властивостей систем без одержання замкнутого аналггачного розв'язку.
У роботах [6-8] наведено огляд рiзноманiтних способiв дослiдження фазових траекторш на як1сному рiвнi, звщки слiдуе висновок про недостатнiй розвиток графоаналггачних способiв пошуку критичних значень параметрiв фазових траекторiй для iнженерно! практики.
Графiчнi способи пошуку критичних значень параметрiв фазових траекторiй на основi поля iзоклiн доцiльно було б доповнити i такими, що базуються на графiчному характерi викривленосп фазово! траектори, i як1 визначаються сукупнiстю значень Г! кривини вздовж ще! траектори.
Розробити графоаналiтичний метод визначення критичних значень параметрiв коливань на основi обчислення кривин фазових траекторш !х диференцiальних рiвнянь. Метод мае базуватися на вивченш викривленосп траекторш i враховувати змiну знака !х кривини вздовж фазових траекторш.
Основна частина
Вважатимемо, що рух точки по фазовш траектори здшснюеться у межах, який визначаеться границями змiни параметра 1 часу, а «поворот» вправо або влiво при руа по фазовiй площинi вщбуваеться завдяки рiзним знакам при значениях кривини в точках ще! траектори. В результатi приходимо до поняття викривленостI - тобто характеристики лши, яка визначаеться послiдовнiстю чисел, кожне з яких (з урахуванням знака) е значенням !! кривини.
Для аналiзу викривленостi лiнií розглянемо допомгжну задачу, не пов'язану з фазовими траекторiями. Нехай маемо параметричну множину кривих Е = Е(х,у,р), де х,у - параметри координатно! площини, р - керуючий параметр. Необхвдно навести метод визначення такого значення керуючого параметра р, при якому елементи множини кривих будуть змiнюватися на як1сному рiвнi, тобто матимуть рiзний характер викривленостi.
Для пояснення сутi методу розглянемо сiм'ю кривих
х = 8т(рг) + р ео8(/)/2; у =-г 8гл(/), (1)
де параметр / змiнюеться у межах = -0,2п < / < = 2,1п, а керуючий параметр р змшюеться у межах Ршм = 1,5 < Р < РМАХ = 2,3 . Необхвдно визначити критичш значення параметра р.
Побудуемо ряд послвдовних зображень, як1 вщповщають певним значенням параметра р. Аналiзуючи рисунки (бажано у режимi комп'ютерно! анiмацi!) легко помiтити, що ам'ю кривих можна роздiлити за трьома характерами викривленосп и елементiв, як1 будуть розмежованi двома кривими, що вщповвдають значенням параметрiв р=1,7 i р=2,14.
Далi визначимо критичнi значення керуючого параметра р формальним методом, який не буде спиратися на ашмацшш зображення елементiв сiм'í кривих. При цьому буде враховано, що яшсш змiни елементiв сiм'í кривих можна вщслщковувати, аналiзуючи змiни характеру викривленосп з використанням функцiй кривини лшш, а критичнi значення керуючого параметра ам'! кривих вiдповiдатимуть моментам змши характеру викривленостi елементiв ам'! кривих (рис.2).
Посилаючись на [9], обчислимо функцш кривини для ам'! кривих (1):
= и (-2со1з(0 + г 81и(г)) - V (-рг$,т(рг) - р ео8(Г)/2), (2)
К(г) = 3
(и2 + V2)2
де и = р cos(рг) - р зт(г) /2 i V = - бгп(/) - г соб(/).
На рис. 2 наведено елементи ам'! кривих, ввдповщш графiки функцií К(г) кривини, а також значення штеграла I вщ К(г) (обчисленого у межах г = -0,2П < г < гшх = 2,1п) залежно в1д значень параметра р
(зафарбована площа пiдграфiка кривини К(г) умовно обмежена прямими К = ±6).
I = 4,946636 р = 1,5
I = 114,2589
р = 1,7
I = 1,028081 Р = 2
I = 221,0662 I = 8,850904 I = 7,816823
р = 2,14 р = 2,2 р = 2,3
Рис. 2. Елемент с1мЧ кривих i график кривини k(t) та значення штеграла I для деяких значень параметра p.
Далi вивчимо зм^ штеграла I функцл k(t) залежно ввд параметра р на вiдрiзку [1,5; 2,3]. Для цього скористаемося складеною maple - програмою, де в циклi по символу i обчислюються N значень iнтегралiв функцil k(t). В програмi функцiю кривини (2) позначено як curvat(t).
В процесi обчислень використано maple - оператор BSplineCurve з бiблiотеки CurveFitting. for i from 0 to N do p := evalf(1.5 + i*(2.3 - 1.5)/N); w[i] := p;
S[i] := evalf(Int(curvat(t), t=tmin..tmax)); xydata[i] := [w[i], S[i]];
graf := t -> BSplineCurve ([seq(xydata[i], i=0..N)], t); plot(graf(t), thickness=4,labels=[p,S],view=-6..6);
В результатi буде побудовано графiк S(p) залежностi вiдр множини iнтегралiв функцiï k(t). На рис.3 зображено один i той же графш у рiзних масштабах.
Рис. 3. Графгс <|> v и кии S(p) залежностей в1др штегралш функцц k(f).
Характерна ознака функцiï S(p) полягае у тому, що ïï графiк перетинае Bicb Ор в точках, яш вiдповiдають критичним значенням параметра р. Iншi двi точки перетину графша не вiдповiдають умовi «стрибка» графiка (пояснення далi). Отже, елементи амЧ' кривих мають змшити характер викривленостi при значениях р=1,7 i р=2,14, що збiгаеться з результатом, одержаним за допомогою ашмаци.
Але у загальному випадку для фазових траекторш невiдомi описи аналггичними формулами. У результатi розв'язання диференщального рiвияния чисельними методами на фазовш траектори одержуються координати окремих точок. Тобто постае задача визначення кривини фазовоï траектори, заданоï множиною N точок (xi, yi ), коли i = 2..М - 1.
У подальшому наближене значення кривини буде обчислюватися за допомогою радiуса кола, проведеного через три точки. Це пояснюеться тим, що чисельним способом при розв'язанш диференщального рiвняння вдаеться обчислити лише значення функци та ïï похщно].'. А для обчислення [9] кривини лши, яка задана рiвняннями x = x(t), y _ y(t), необхiдно знати ще i другу похвдну: k _+ y" x - x y . Така формула використана для обчислення кривини у попередньому приклад! (2). Для
~ ~ I ,2 . ,2\3'2
(x + y )
плоских кривих е можливють розр!зняти напрямок обертання дотично].' прямоï при рус! уздовж лши, тому кривиш приписують знак залежно ввд напрямку цього обертання
Оберемо на фазовш кривш три суадш точки (x/_i, y/_i ), (x/, yy ) i (x/ +i, yi+i ). Для обчислення
кривини в середнш точщ (x/, y/ ) знайдемо радiус кола Г1, яке проходить через даш три точки:
Vß2 + C2 _ AD
к _ -
A
де A _ xi_i y + xi-yi+i + xi+i y/_i _ xi+i y _ xi-yi-_i _ xi_i y/+i ;
(3)
ß _ (yi+1 У _ xi+iУ_1 + xi2+iУ _ y2+iУ_1 _ y2У+1 + y2У-1 + + xi2 У _1 _ xt2 y г +1 _ y_1 y г + Ум У+1 _ xii_1 У + xM У +1)/2
C _(yf+1 xi_1 _ yi+1 xi + xi+1xi-_1 _ x2+1xi + y2xi+1 _ y,2xi_1 + (4)
+ xf xi+1 _ x2 xi_1 + yi_1 xi _ y21 xi+1 + xii_1 xi _ xii_1 xi+1)/2;
D _ Уч1 W_1 _ У41 xi_1 У _ xf+1xi_1 У + xf+1 ЪУг_1 +
+ yi x _1 У+1 _ yi xi+1 y _1 _ xi xi+1 У _1 + xt xi _1 y+1 _
2 2 2,2 _ y_1 xi+1 y _ y_1 W+1 _ xi_1 W+1 + xi_1 xi+1 У ■
Тод! значення кривини у точщ ( xj, yt ) буде k=1/r1. Умова А = 0 визначатиме нульову кривину (тобто коли три точки розташоваш на прямш).
Застосуемо наближений спойб обчислення кривини лшп для пояснения розв'язання попередньо! задачi. Для цього залежно вщ значень параметра р розглянемо аксонометричш зображення елементiв йм'! кривих на координатнш площинi Оху (рис. 4).
-1 О
5"
3 2
У 1
О
-И -2
::ве:
р = 1,5
р = 2
Рис. 4. Зображення елеменпв амЧ кривих на координатн1й млощит Оху
р = 2,2
Для певного значення параметра р з точок криво! вщкладемо вздовж ой аплшат вiдрiзки, довжина яких дорiвнюе значенню кривини лiнi! у поточнiй точщ. Сполучаючи кiнцi вiдрiзкiв, одержуемо кусково-лiнiйний графiк. За допомогою одного з чисельних методiв обчислюемо площу мiж цим графiком та кривою на координатнш площиш (з врахуванням "знака" площi). Виконуючи зазначенi ди в циклi для iнших значень параметра р, одержимо наближений графж функцi! S(p) змiни площi. Критичш значення визначатимуться точками перетину ой Ор з вертикальними складовими кусково-лшшного графiка функцi! S(p). Зввдси слвдуе пояснення згадано! вище умовi «стрибка» графiка функцi!.
Дослiдимо коливання маятника, стан якого описано системою диференщальних рiвнянь
d , . ^ d ^ — x(t) = y(t); — y(t) = dt dt
-0,2y(t) - 9.8sin(x(t)) •
(5)
Тут x(t) можна iнтерпретувати як змщення, а y(t) - як швидшсть маятника.
Розв'язок системи (5) одержано чисельно методом Рунге-Кутта-78, змiнюючи при цьому лише початкову умову 6<y(0)<8. На рис. 5 наведено кадри комп'ютерно! анiмацi! змiни фазового портрету, з яких визначаються наближеш критичнi значення початково! швидкостi yi(0) = 6,65 i y2(0) = 7,6. На рисунках колом позначаеться точка, що ввдповщае початковим умовам. На формальному рiвнi цi ж значення було одержано шляхом побудови графжа вщповщно! функцi! S(p) (рис. 6), де критичш значення визначатимуться лише вертикальними складовими цього графша (позначено кружечками). При цьому крок мiж точками на фазовш кривш обирався Д = 0,1; всього шльшсть точок N = 100.
10 12 14
У(0) = 6 y(0) = 6,6 y(0) = 6,72
Рис. 5. Ашмацшт кадри зм1ни фазового портрету залежно ввд j(0) (початок)
У(0) = 7,52 y(0) = 7,64 y(0) = 8
Рис. 5. Ашмацшт кадри змши фазового портрету залежно в1д y(0) (закшчення)
n=50
•10- 3
n = 100
—-v
Рис. 6. Графгс функцц S(p) залежно в1д юлькосп hepauiii N
Наведенi результати можна використати для дослщження фазових траекторш на площиш з координатами "перемщення х " - "прискорення х". Адже залежиiсть x'' (x) е обернено симетрична вщносно ос! Ох графiку змши пружних властивостей коливальноï системи. Саме фазовi траектори x'' (x) дозволяють виявити вигляд системи i визначити рiвень ïï нелiнiйностi [10]. Адже прискорення точок б№ш чуттеве до ввдхилення коливань ввд гармошчних.
Висновки
Критичш значення параметра р сiм'ï кривих F(x,y,p) будуть визначатися точками перетину з вюсю Ор близькими ïï нормалi фрагментами графжа S=S(p) залежиостi ввд параметра р значень штеграла функцiï' кривини k(t).
Список використаноТ л1тератури
1. Бутенин Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк, Н.Л. Фуфаев. - М.: Наука, 1987.-382с.
2. Андронов А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. - М., Наука, 1981. -916 с.
3. Бать М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.2. Динамика. / М.И. Бать , Г.Ю. Джанелидзе , А.С. Кельзон - М.: Физматлит, 1961. — 616 с.
4. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний / В.Л. Бидерман - М.: Высшая школа, 1972. — 416 с.
5. Betounes, D. Differential equations : theory and applications : with Maple. - D. Betounes. - Hattiesburg, MS, University of Southern Mississippi, 2001.- 686 р.
6. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. / Л.С. Понтрягин.- М.: Наука, 1974. — 331 с.
7. Пантелеев А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. / А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, А.В. Босов - М.: Высш. шк., 2001. - 381 с.
8. Китаев Д.Б. Развитие качественной теории дифференциальных уравнений в XIX столетии. Д.Б.Китаев.- Дис. канд. техн. наук: 07.00.10 - История науки и техники (по физико-математическим наукам). Д.Б. Китаев - М: Институт истории естествознания и техники им. С.И.Вавилова РАН. - 2011. - 140 с.
9. Мищенко А.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. -
A.С. Мищенко, Ю.П. Соловьев , А.Т. Фоменко - М: Изд. ФМЛ, 2001. - 352 с.
10. Казакевич И.И. Фазовые траектории нелинейных динамических систем. Атлас / И.И. Казакевич,
B.И. Волкова. - Днепропетровск: Наука и образование, 2002. - 94 с.
