CC BY
12
УДК 515.2
1С. ТАБАКОВА
Хармвський нацюнальний утверситет радюелектротки
ВИКОРИСТАННЯ ГЕОДЕЗИЧНИХ Л1Н1Й ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ ШЛЯХУ ПЕРЕМ1ЩЕННЯ РОБОТА СЕРЕД ПЕРЕШКОД
Наведено метод визначення шляху перемгщення мобшьного робота по площинi серед цилтдричних перешкод, що виникають на шляху руху робота. Основою метода е побудова геодезичних лШй на допомiжнiй поверхнi, пов 'язант з розташуванням перешкод.
Ключовi слова: шлях руху робота, обхiд перешкоди, геодезична лШя, унаочнення геодезично1 лтИ] система диференщальних рiвнянь, пакет Maple.
И.С. ТАБАКОВА
Харьковский национальный университет радиоэлектроники
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЙ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПУТИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ РОБОТА СРЕДИ ПРЕПЯТСТВИЙ
Приведен метод определения пути перемещения мобильного робота по плоскости среди цилиндрических препятствий, которые возникают на пути движения робота. Основой метода является построение геодезических линий на вспомогательной поверхности, связанной с расположением препятствий.
Ключевые слова: путь движения робота, обход препятствия, геодезическая линия, визуализация геодезической линии, система дифференциальных уравнений, пакет Maple.
I.S. ТЛВАКОУА
Kharkov national university of radioelectronics
USE OF GEODESIC LINES FOR DETERMINATION WAYS OF MOVING OF MOBILE ROBOT AMONG OBSTACLES
A method over of determination of way of moving of mobile robot on a plane among cylindrical obstacles that arise up on the way of motion of robot. Basis of method is a construction of geodesic lines on the auxiliary surface related to the location of obstacles.
Keywords: a way of motion of robot, round of obstacle, geodesic line, visualization of geodesic line, system of differential equalizations, package of Maple.
Постановка проблеми
Сучасна робототехшка спрямована на створення мобшьних робопв, призначених для автономного перемщення з метою розв'язання комплексу завдань. ^roBi завдання пов'язаних i3 захистом i охороною навколишнього середовища, розвшкою мюцевосп в штересах рiзних оргашзацш, тощо. Крiм того, мобшьш роботи здатш шспектувати чи охороняти об'екти у примщеннях чи майданчиках, небезпечних для здоров'я людей. При цьому основш труднощi полягають у створенш програмного забезпечення, яке б дозволило автоматично (або автоматизовано) визначати шлях руху мобшьних робопв серед можливих перешкод, розташування i шльшсть яких може змiнюватися [1-3].
Аналiз останшх дослвджень За наявнютю значно! кшькосп публшацш [1-5], де розглядаються як класичш, так i сучасш шдходи до алгоршшв трасування, проблема розробки реальних програм керування роботом залишаеться ще не розв'язаною у повнш мiрi. Це пов'язане з бажанням авторiв розв'язати погано форматзовану задачу керування на основi единого, досить складного, алгоритму при наявносп велико! к1лькост1 рiзнорiдноl вхгдно! iнформацil.
У роботах [1-3] наведено огляд методiв визначення траектори руху мобiльних роботiв, зв1дки слщуе, що у деяких випадках доцшьно пожертвувати унiверсальнiстю алгоритму завдяки можливосп забезпечення його ексклюзивностi, тобто спрямованосп на проблемну орiентацiю.
Це стосуеться, у тому числ^ i алгоршшв, призначених для трасування роботiв-iнспекторiв чи робопв-охоронщв. Так1 пристро! призначенi для нагляду за зберiганням на обмеженш територil небезпечних для здоров'я людей речовин, розмщених у емностях - переважно у цилiндричних.
Для складання ексклюзивного алгоритму необх1дно використовувати i особливi математичнi засоби, як1 мають спростити штучнi "керуючi" навантаження, яш мае забезпечити алгоритм. Розв'язання поставленого завдання здшснено з використанням поняття геодезично! лiнil [6]. У роботах [4, 5] наведено
спроби розв'язати аналопчну задачу також з використанням геодезичних лiнiй. Зазначену iдею po6iT [4, 5] дощльно було б довести до програмно! реалiзацii.
Постановка задачi
Розробити метод визначення шляху перемщення мобiльного робота по площиш серед цилiндричних перешкод на шляху його руху. Основою метода слщ обрати побудову геодезичних лшш на допомiжнiй поверхнi, пов'язанш з розташуванням перешкод.
Основна частина
Поставлену задачу можна iнтерпретувати так. Необхвдно визначити шлях iнспектування моб№ним роботом стану небезпечних для здоров'я людей емностей цилiндричноl форми, розташованих в закритому пiдвальному примiщеннi. Кшьшсть i розташування емностей можуть перюдично змiнюватись. З метою економних витрат енергп акумулятора шлях мае бути найкоротшим, що е виправданим для вибору методу геодезичних як основного математичного способу дослщжень.
Запропонований алгоритм складаеться iз таких крок1в, пояснения яких одночасно здiйснено на тривiальному тестовому прикладi.
Крок 1. На координатнш площинi 0xy задаемо координати цеш^в к1л - тобто проекцш цилiндрiв: (-1,2); (2,2); (-2,0); (-1,2); (1,-2); (2,0).Радiуси шл нехай дорiвнюють 0,3 умовних одиниць.
Крок 2. Задаемо рiвияння допом1жно1 поверхш, пов'язано! з розташуваииям цил1ндричних перешкод:
z(u,v) = f (-1,2) + f (2,2) + f (-2,0) + f (-1,2) + f (1,-2) + f (2,0), (1)
де f (a, b) = 5exp(-(u - a)2 - (v - b)2).
Крок 3. За описом допомiжиоl поверхш формуемо систему диференщальних рiвнянь геодезичних. Описати геодезичну лiнiю у координатних кривих (u(t), v(t)) можна за допомогою системи рiвиянь (тут i далi для зручносп збережеио синтаксис мови Maple):
(а I2
u(i) (GEv-FGu)
. «О
\dt
\ ^{GEu-F{lFu-Ev))\ +--
2 W
di
+
W
(G (2 Fv — Gu) — FGv) ~v(t)
+ -
\dt
W
(E(2Fu-Ev)~ FEu)
+--
2 W
(2)
(EGu- FEv)
dt
v(/)
+ -
W
1
+ -2
(EGv- F(2Fv- Gu)) I — v(/)
W
d
Коефиценти другш квадратично! форми та вцщовццп похццп мають вигляд:
Е := 1+ —
Ей := 2
г(я, v)
Ev := 2 | —z(u, v) да
Fu :=
Fv : =
^dv ди
г(я, v)
z(я, v)
^dv да
z(я, г)
^dv ди
г(я, v)
Gu:=2
ydv да
z(u, v)
z(u, v)
г(я, v)
^dv
2 2 I 2
И^)
Вщомо [6], що з врахуванням початкових умов и(0)=и0, у(0)=у0, м'(0)=^м0, у'(0)=й?у0 система (2) мае единий розв'язок. Це означае, що через кожну точку поверхш в заданому напрямку проходить тiльки одна геодезична. Наша мета - виявити саме цю геодезичну криву.
Крок 4. Завдяки вибору параметра и' (тобто тангенса кута «виходу» геодезично! з точки старту) задаемо початковий напрямок геодезично! з точки (-4, -4, 7(4, -4)). Тут i далi другу початкову умову обраемо у виглядi у'= 1.
Крок 5. Застосовуемо чисельне iнтегрування системи рiвнянь геодезичних при заданих початкових
умовах:
desys := dsolve({sys, u(0)=u0, v(0)=v0, D(u)(0)=Du0, D(v)(0)=Dv0}, {u(t),v(t)}, type=numeric, output=listprocedure).
Тут через БуБ позначено систему диференщальних рiвнянь (2). Опцi! вказують на те, що розв'язок системи диференщальних р1внянь и'йснюються чисельно, \ що результаты будуть виведеш у вигляд1 процедур:
<1
<1е5уз := | I = (ргос(*) ... епс! ргос), и(^) = (ргос(*) ... епйргос),—и(/) = (ргос(*) ... endprDc),
М
А
— (Ргосй ■■■ епс1ргос),—у(^) = (ргос(*) ... еп<1ргос)
J
Вилучити шукаш функцi! иф i з процедури можна за допомогою Maple-операторiв пiдстановок:
U(t) := subs(desys, ^Г)); V(t) := subs(desys, v(t)); (4)
При маемо координати конкретно! точки на допомiжнiй поверхнi {П^р), У@р), х(П(1Р), У^Р))} .
Крок 6. Визначаемо наближений опис геодезично! у виглядi послiдовностi точок на допомiжнiй поверхнi. Кiлькiсть точок на геодезичнш обрано Ы= 550. На рис.1 наведено приклади геодезичних на допомiжнiй поверхнi залежно вiд параметра и'.
-Л -4
а) и'=0,3596 б) и'=3,8480 в) и'=3,8556
Рис 1. Приклади геодезичних на допомiжнiй поверхн1 залежно в1д параметра и'.
Крок 7. Будуемо зображення проекци геодезично! на координатну площину. На рис. 2 наведено приклади проекцш геодезичних залежно вщ параметра и'. Вони визначають траекторш руху мобшьного робота, починаючи з точки старту з координатами (-4, -4).
а) и'=0,3596
б) и'=3,8480
в) и'=3,8556
Рис. 2. Проекци геодезичних на координатну площину залежно ввд параметра и'.
Крок 8. Д^ оператор-експерт аналiзуe зображення проекци геодезично!, i коли вона представляе штерес, добавляе И до бiблiотеки траекторш, можливих для даного розташування цилiндричних об'ектiв. В разi необхiдностi коректування траектори перейти до кроку 4.
На рис. 3 наведено деяш запропоноваш траектори мобiльного робота зi складено! бiблiотеки. Продовжуючи iнтерпретувати поставлену задачу сл1д зазначити, що кiнцевi точки перемiщення робота по траектори (тобто по проекцп на координатну площину побудовано! геодезично!) можна пов'язати з мюцями встановлених пунктiв тдзарядки акумулятора або обслуговування робота. Крiм того, невизначенiсть можливих шлях1в робота-охоронця ускладнюе несанкцiйний доступ стороннiх оаб до об'ектiв пiд охороною.
-4-3-2-10 1 2 3 4
и-1,0436
м'=1,2260
м'=2,7992
-4-3-2-10 1 2 3 4
-4-3-2-10 1 2 3 4
и'=2,8524
м'=2,8676
м'=3,2248
и-3,3540 и'=3,7948
Рис. 3. Деякi траекторй моб1льного робота з точкою старту (-4, -4).
и'=3,8024
Поповнювати бiблiотеку траeкторiями мобiльного робота дошльно за допомогою анiмацiйного фiльму, створеного для !х «генерування». Позначимо N - шльшсть точок на геодезичнш, M - к1льк1сть кадав ашмацп.
Спочатку визначаемо меж1 змiни параметрiв та початковi умови: ustart:= 0: uend:= 5: vstart:= 0: vend:= 5: u0:= 2.5: v0:= 0: Dv0:= 1:
Дал1 формуемо циктчт обчислення для заповнення окремих ка^в ашмацп. Тут a i b - меж1 змiни параметра u': for i from 0 to M do Du0 := evalf(а + i*(b - а)/М):
Для контролю за ввдповщшстю значения u' i побудованою «картинкою» вводиться строкова змiнна: str:=cat( "Du = ", convert(Du0, string), "."):
Вводиться та розв'язуеться система диференцiальних рiвнянь (2) опису геодезично!: sys:=eq1, eq2:
desys:=dsolve({sys,u(0)=u0,v(0)=v0,D(u)(0)=Du0,D(v)(0)=Dv0},{u(t),v(t)},
type=numeric, utput=listprocedure): u1:=subs(desys,u(t)): v1:=subs(desys,v(t)):
Дал1 виконуються побудови: а) допомгжно! поверхш та б) поточно! геодезично! на зазначенш поверхнi, опис яко! обрано у виглядi X := [u,v, z(u,v)]: plotX:=plot3d(X, u=ustart..uend, v=vstart..vend, style=contour, grid=[70, 70], color=black, thickness=1): geo:=spacecurve(subs(u='u1'(t), v='v1'(t), X), t=0..15, color=black, thickness=6, numpoints=N):
Здiйснюеться формування i-го кадра ашмацп, де зображуеться i вщповвдне значення и': Gr[i] := display({geo,plotX},scaling=constrained, orientation=[-90, 0], axes=BOXED , title=str, axesfont=[TIMES,ROMAN,16], view=[ustart.. uend, vstart.. vend, 0..1]); end do:
Для створення gif-файлу з ашмацшним фiльмом необхiдно скористатися Maple - операторами: plotsetup(gif, plotoutput= trassa_1.gif);
display(seq(Gr[i], i=0..M), scaling=CONSTRAINED, insequence=true);
Розглянута в данiй статтi задача опису та побудови геодезично! на гладкш поверхш може служити базою для побудови алгоритму гладкого керування траекторним рухом мобiльного робота у середовищi з перешкодами, як1 апроксимуються гладкими поверхнями. Крiм того, складання алгоритму руху по площинi шляхом використання мнемонiчного прийому розгляду руху по неплоскш поверхиi мае перевагу, адже при цьому можна врахувати рiзнi коефiцiенти прохiдностi. Тобто плоску топографiчну карту з наявнiстю перешкод можна представити як поверхню, замiняючи перешкоди гладкими умовними "пагорбами". При цьому можна врахувати рiзнi витрати ресурав при русi по вiльним вщ перешкод зонам, що характеризують, наприклад, асфальт, грунт, пiсок, траву, заболочеш мiсцевостi, тощо. Для цього на цш "неплоск1й" топографiчнiй картi згадаш зони необх1дно задати додатковими "пагорбами" й "западинами".
Висновки
Наведено метод розрахунку маршруту руху мобiльного робота по координатнш площинi за умови обходу цилiндричних перешкод. Особливiстю такого шдходу е моделювання перешкоди за допомогою спещально побудовано! допом1жно! гладко! поверхш. На зазначенш поверхш здшснюеться опис та
побудова геодезично! лши, яка виходить Í3 точки старту у наперед заданому напрямку. Тодi проекцiя на координатну площину одержано! геодезично! визначатиме траекторию руху мобiльного робота.
Подальшi дослвдження будуть спрямованi на побудову траекторй' перемщення робота серед перешкод, яка мае сполучити двi задаш точки площини.
Список використаноТ лггератури
1. Springer handbook of robotics / Под ред. Bruno Siciliano, Oussama Khatib, «Springer» - 2008. - 230 р.
2. Computation of Medial Curves on Surfaces [Электронный ресурс]. - Режим доступу
ftp://ftp.gdv.uni-hannover.de/papers/ WLR1.pdf
3. Ресурс. Режим доступу http://ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/2-158j-computational-
geometry-spring-2003/lecture-notes/ lecnotes20_fixed.pdf
4. Построение траекторий движения для мобильного робота [Электронный ресурс]. - С.-Петерб: ЦНИИ РТК. - Режим доступа : www/ URL: http://www.rusnauka.com/5_SWMN_2012/Tecnic/11_99991.doc.htm
5. Vasilyev I.A., Lashin A.M. Control System of Mobile Vehicle Developed for Cross-Country Motion. // Proc. «International Symposium on Industrial Electronics 2005», Dubrovnic - Croatia. P. 173-175.
6. Жукова, Н. И Геодезические линии на поверхностях [Текст] : учеб. пособие / Н. И. Жукова, А.В Багаев. - Н. Новгород : Издательство Нижегородского госуниверситета, - 2008. - 54 с.
7. Табакова 1.С. Визначення траекторй' обходу перешкод роботом за допомогою геодезично! лши / 1.С.Табакова // Сучасш проблеми моделювання: зб. наук. праць. / МДПУ- Вип. 3. - Мелггополь: МДПУ, 2014 р. С. 131 - 138.
8. Табакова 1.С. Побудова геодезично! лши гладко! поверхш, що виходить iз дано! точки у даному напрямку / 1.С.Табакова // Науковий вюник МДПУ «Математика, геометрiя, шформатика» . -Том 1. - Мелггополь: МДПУ, 2014 р. С. 217 - 224.
