CC BY
18
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ Ф1ЗИЧНИХ I ТЕХНОЛОГ1ЧНИХ ПРОЦЕС1В I ТЕХН1ЧНИХ СИСТЕМ
УДК 531.314.2:621.9.06
е.О. БАТАНОВ, Ю.М. БАРДАЧОВ, С.А. РУСАНОВ
Херсонський нащональний технiчний ушверситет
ЗАСТОСУВАННЯ В1РТУАЛЬНОГО ПОТЕНЦ1АЛУ ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОСТОРОВИХ МЕХАН1ЗМ1В I3 В'ЯЗЯМИ
В po6omi запропонований nidxid до математичного опису просторових Mexani3Mie i3 в 'язями на ocHoei введення вiртуального потенщалу. Визначений його вигляд для iдеальних голономних e^3ie, а також для неголономних в 'язiв, як створюються поверхнями, що обмежують середовище, вшьне для руху. Проведено тестування запропонованого пiдходу на простих системах з вiдомими розв 'язками.
Ключовi слова: в 'язь, вiртуальний потенцiал, просторовий механ1зм, моделювання.
Е.А. БАТАНОВ, Ю.Н. БАРДАЧЕВ, С.А. РУСАНОВ
Херсонский национальный технический ушверситет
ПРИМЕНЕНИЕ ВИРТУАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ СО СВЯЗЯМИ
В работе предложен подход математического описания пространственных механизмов со связями на базе введения виртуального потенциала. Определен его вид для идеальных голономных связей, а также для неголономных связей, создаваемых ограничивающими свободное движение поверхностями. Проведено тестирование предложенного подхода на простых системах с известными решениями.
Ключевые слова: связь, виртуальный потенциал, пространственный механизм, моделирование.
Ye.A. BAGANOV, Yu. M. BARDACHOV, S.A. RUSANOV
Kherson National Technical University
USE OF VIRTUAL POTENTIAL FOR SIMULATION OF SPATIAL MECHANISMS WITH
CONSTRAINTS
In the paper the approach of mathematical formulation for spatial mechanisms with constraints is suggested that is based on introduction of virtual potential. It was defined for ideal holonomic constraints and for nonholonomic constraints, caused by surfaces that confine free motion. Tests of suggested approach were carried out using simple systems with well-known solutions.
Keywords: constraint, virtual potential, spatial mechanism, simulation.
Постановка проблеми
Формоутворююч1 рухи виконавчих оргашв просторових мехашзм1в сучасного технолопчного обладнання школи можуть бути визначеш пльки шляхом математичного моделювання. Така ситуащя мае мюце, наприклад, для верстапв паралельно! структури, яш не мають матер1альних координатних напрямних (триподи, гексаподи, ножищ), а тшьки в1ртуальш [1]. Проблема моделювання руху вах рухомих ланок, вузл1в та агрегапв постае також тд час прогнозування необхщних функщональних можливостей компоновки верстапв i забезпечення !х техтчних характеристик на раншх стад1ях проектування [2].
Розробка гнучких програмних комплекав розрахунку просторових механiзмiв потребуе автоматичного генерування вихвдно! системи рiвнянь, що враховуе закони динамiки, iнерцiйнiсть та геометричш в'язi компонентiв механiзмiв. Така ситуащя вимагае алгорштшчного синтезу математично! моделi просторового механiзму з точки зору його формального опису та наступно! обробки ще! шформаци.
Аналiз останшх досл1джень i публiкацiй
Традицiйно динашчна модель опису руху механiчних систем з щеальними голономними в'язями створюеться на основi рiвняння Лагранжа I роду [3, 4]:
дТ т д/ дГ] г=1 дГ]
або, що бiльш розповсюджено, II роду (фвняння Ейлера-Лагранжа) в узагальненш системi координат [3, 5].
А_дТ-_дТ - 0
А дд, дд, ~ 0]' (2)
де / (г, t)- ° - рiвняння i-! в'язi з т в'язiв, що накладенi на систему, — невизначенi множники
Лагранжа, г, - компонента радiус-вектора г, Ь - функцiя Лагранжа, 01 - результуюча узагальнених непотенцiальних сил як1 прикладенi до ланок i шарнiрiв механiзму. Повна шльшсть рiвнянь складаеться з п рiвнянь (1) або (2), шльшсть яких визначаеться к1льк1стю ступешв в№носп системи та к1льк1стю рiвнянь в^в, тобто т+п.
Наявшсть в системi обмежуючих поверхонь, як1 описуються умовою типу / (г, t) > ° , призводить до необхвдносп урахування неголономних в'язей. В цьому випадку система додатково ускладнюеться i описуеться рiвняннями [6]:
А дЬ дЬ т.
----- 0, г
А дд, дд, ^ £ '
п
Ш1-
1-1
, (д)
(3)
де о», - узагальнеш швидкостi.
Необхвдшсть створення рiзних типiв рiвнянь (геометричних, Лагранжа-Ейлера тощо) призводить до ускладнення як математично! моделi, так i процедури автоматичного генерування системи рiвнянь руху ^ тим самим, зменшуе гнучк1сть ввдповщного програмного коду щодо синтезу просторових механiзмiв.
Формулювання мети дослiдження Аналiз пiдходiв до математичного опису просторових механiзмiв з наявнiстю голономних вдеальних в'язiв та поверхонь, як1 обмежують середовище, вiльне для руху, показав вщсутшсть для таких систем простого ефективного формалiзму, зручного для автоматичного генерування системи рiвнянь. Тому метою дано! роботи е розробка ушфшованого тдходу до формального опису голономних вдеальних в'язiв та неголономних в'язiв, як1 створюються обмежуючими поверхнями, для спрощення автоматично! генераци системи рiвнянь, що описують динамiку просторового мехашзму та перевiрка коректностi його застосування на простих тестових системах.
Викладення основного матер1алу дослiдження Вiдмiнностi у формуванш вихвдно! системи рiвнянь пов'язаш з чинниками, що враховуються правими частинами рiвнянь (2) i (3), а також геометричними рiвняннями, як описують в'язi. Прибрати геометричнi рiвняння можна було б застосувавши до них силовий опис. Однак для жорстких в'язiв вiдхилення за нормаллю вiд дозволено! для руху поверхш або криво! викликае появу несшнченних за модулем сил, що дшть проти ввдхилення. Внаслвдок цього силовий опис мае двi проблеми: несшнченний модуль сил важко стикуеться з розрахунковими алгоритмами, а варшвання напрямку сили уздовж дозволено! в'язями поверхш (криво!) ускладнюе математичний опис задача
Для спрощення формалiзму пропонуеться описувати сили реакци в'язей вводячи, за аналопею з вiртуальними голономними в'язями [5], вiртуальний потенцiал (ВП). Для голономних в'язей ВП повинен мати мшмум у дозволених в'язями точках простору, а при вщхиленш ввд них ст^мко зростати (в iдеалi - стрибкоподiбно). Це забезпечуе нульове значения сили у дозволених точках i появу неск1иченно! сили при намаганнях руху по нормалi до дозволено! для руху поверхш (криво!), що описуеться рiвнянням.
/(X, у, t) - °. (4)
Таким вимогам до ВП задовольняе функщя:
у{х,у,г,>)-щхЫу <5)
де дельта-функщя визначаеться сшвввдношенням:
(ж, x = 0;
5(x )=] (6)
[ 0, x Ф 0.
Опис неголономних в'язей, як1 створюються наявшстю поверхонь, що обмежують рух системи, можна проводити аналогiчно (5), приймаючи ВП нульовим в дозволенш для руху частинi простору:
V (x-J)= ■ (7)
де функщя визначення знаку числа визначаеться наступним чином:
Г-1, x < 0;
sign(x) = \ 0, x = 0; (8)
[ 1, x > 0.
а знак ± визначае, з якого боку вщ поверхш, що задана рiвнянням f(x, y, z, t) = 0, знаходиться дозволена для руху частина простору.
При наявносп у системi n в'язiв типу (5) та n2 в'язiв типу (7) , ВП описуеться функщею:
ni + П2
V x y,z. t +T21 ±sign( f(x ^t))
+ : -о vi у ^ > // (9)
1 S(f (x, y, z, t)) i=ni+1 2S(f (x, y, z, t)) w
Тодi, вводячи замiсть геометричного енергетичний опис в'язiв, можна включити !х безпосередньо у функцш Лагранжа, яка буде визначатися [7]:
1 м I \
L = 2 : m (x 2 + у 2 + Zi2)- (V (x, y, z, t)+U (x, y, z, t)) (10)
2 i=1
Перший доданок у (10) визначае кшетичну енерпю M точок, шерцшш властивосп яких необх1дно врахувати, з N точок, траектори яких шдлягають визначенню, V(x, y, z, t) визначаеться за (9), а U (x, y, z, t) являе собою сумарну потенщальну енерпю системи в полi потенцiальних сил.
Кiнцева система диференцшних рiвнянь, що описуе динамiку просторового механiзму, можна отримати аналогiчно рiвнянням (2) подстановкою функцп Лагранжа у рiвняння Ейлера, що складенi по вам N ступеням в№носп [7]:
Г d dL -dL = dt dxj dxj Xj' d dL dL л
-- — = QIj, j = 1,...,N (11)
dt dyj dyj j d dL -dL = Q dt ~dz~ ~ Qzj'
Система (11) доповнюеться початковими умовами координат i швидкостей М точок, шерцшш властивосп яких враховуються.
Для реалiзацil чисельно! процедури розрахунку використовувати опис дельта-функци у виглядi (6) неможливо, тому необх1дно застосувати одну з наступних апроксимацш дельта-функци [8]: полiномiальну
5( x) = lim-, (12)
п(1 + а2x2)
або експоненщальну:
5(x) = lim exp(-a2x2), (13)
Vn
де керуючи значениям параметра а можна досягнути необхвдного ступеня наближення. Тригонометричну апроксимащю:
S( x, a) = lim M s!n(aX)
а^ш^л J ax
застосовувати неможна, внаслвдок наявностi додаткових локальних максимумiв i мiнiмумiв, в яких сили обертаються в нуль i, тим самим, обумовлюють появу хибних дозволених траекторш.
Функцiя sign не потребуе апроксимацп, так як, по-перше, системи комп'ютерно! математики на кшталт Maple або Mathematica мають правила li диференц1ювання, i, по-друге, функщя знаходиться у чисельнику i тсля диференц1ювання не вносить проблем у чисельш алгоритми.
Необх1дно додатково обговорити можливють застосування замiсть дельта-функцп у виглядi (6) апроксимацiй типу (12) або (13), що робить в'язi не абсолютно жорсткими (сили не миттево отримують несинченне значення при порушенш дозволених траекторiй). Лагранжева мехашка базуеться на тому, що зi всiх можливих траекторiй реалiзуються лише п, для яких дiя:
"2
S = j L({x, y, z},{x, y, z}, t)
е мiнiмальною (екстремальною) [9]. Тому, якщо початковi умови не мiстять складових, як1 з самого початку порушують геометричнi обмеження (проекцi! швидкостi по нормалi до дозволених поверхонь руху, початковi положення точок поза межами цих поверхонь), то еволющя системи повинна йти шляхом найменших енергетичних положень, як1 вiдповiдають дозволеним в'язями точкам. Однак навiть при наявносп в системi початкових збурень результат завжди може бути перевiрений i уточнений шляхом збiльшения параметра а в рiвняннях (12) або (13), що робить в'язi «жорстшшими».
Для перевiрки коректностi запропонованого пiдходу для голономних в'язiв була обрана наступна система: невагомий цилiндричний шарнiр, з рухомим центром в точщ з координатами (х° (), у° (), 2° (t)) зi штоком довжиною ^=1, на шнщ якого розташоване точкове масивне тшо з
координатами (х, у, 2). Ось шаршра, що задана вектором 1 -(¡х (^), 1у ^), 12 ^)), може довiльно рухатися (рис. 1). Поле сили тяжшня не враховуеться. Розглядаеться тривимiрна задача.
Рис. 1. Цилшдричний блок 3i штоком та масивним точковим тшом
Геометричними рiвняниями в'язей е:
fx, y, z, t)=(x - x0 (t))2 +(y - У0 (t))2 +(z - Z0 (t))2 - R2 = 0; [ f 2 (x, y, Z, t) = / • r = lx (t) • (x - x0 (t)) + ly (t) • (y - y0 (t)) + lz (t) • (z - z0 (t)) = 0.
Тодi функщя Лагранжа мае вигляд:
L =1 m(x2 + y2 + z2 )-
8((Х-x0(t))2 +(y-y(t))2 + (z-z0(t))2 -R2)
+ s(l* () • (x - x0 ()) + ly (t)-(y - y0 ()) + lz() ■{? - z0 ()))
Рiвняння (11) мають вигляд:
dL -dL = 0
dt dx dx d_ dL -dL = 0
dt dy dy
d_ cL -dL = 0
dt dz dz
Моделювання проводилося в системi комп'ютерно! математики Maple. Апроксимащя дельта-функци застосовувалася за формулою (12) при а=1000. Почaтковi умови розглядаються нижче.
Тест №1. Вюь шaрнiрa нерухома, тiло мае початкову швидшсть, перпендикулярну до штоку та оа шaрнiрa. У даному випадку трaекторiею мае бути коло. Результати розрахунку нaведенi на рис. 2 (а, б). Як видно з рис. 2, трaекторiею е коло, ус точки знаходяться в однш площинi.
Рис. 2. Результати розрахунку для тесту №1
Тест №2. Початкова швидшсть тша нульова, шаршр рухаеться за напрямком власно! оа. У даному випадку траектор1ею мае бути пряма. Результати розрахунку наведеш на рис. 3 (а, б). Як видно з рис. 3, траектор1ею е пряма.
• точка
Рис. 3. Результати розрахунку для тесту №2
1
+
1
б
а
1
Тест №3. Початкова швидшсть тша нульова, тшо мае ненульову координату у, вюь шарнру паралельна оа 02. Система починае рухатися з постшною швидшстю в напрямку оа 0х. Результатом, залежно ввд початкового вшхилення, повинна бути цикло!да (якщо шток шаршра складае 90° з вюсю 0х) або, в шших випадках, скорочена циклоида. Результат можна легко отримати, якщо перейти в систему координат, пов'язану з центром шаршра. Тод1 у початковий момент тшо отримае швидшсть, що дор1внюе проекцп переносно! швидкосп на напрямок, перпендикулярний до штока шаршра. Повертаючись до лабораторно! системи координат легко отримати р1вняння змши швидкосп, що притаманне циклощ.
Результат розрахунку наведено на рис. 4, а - це скорочена цикло!да (кут з вюсю 0х складав 80°). Тшо шд час руху описуе повне коло навколо центру шаршра (координата у зм1нюеться в межах ввд -1 до 1).
Щд час цього тесту було визначено додаткову перевагу застосування ВП. Абсолютно жорстк в'яз1 визначають несумюнють початкових швидкостей тша х(о) = у(о) = 0 з ненульовою початковою
швидшстю центру шаршра. При використання ВП, внаслшок математично! вшсутносп абсолютно жорстких в'яз1в, ця проблема зшмаеться без впливу на результат розрахунку.
Тест №4. Початкова швидшсть тша нульова, тшо мае ненульову координату у, вюь шаршру паралельна ос 02. Система починае рухатися з постшним прискоренням в напрямку в1а 0х. У даному випадку траектор1ею мае бути синусо!да з перюдом, що збшьшуеться у част Результати розрахунку наведен! на рис. 4, б. Отримана залежшсть ввдповшае оч!куваним результатам. Ампл!туда коливань дор!внюе початковому в!дхиленню т!ла вш ос! 0х.
Рис. 4. Результати розрахунку для тесту №3 (а) та №4 (б)
Для перев!рки коректносп запропонованого п!дходу для неголономних в'яз!в, як створюються наявн!стю поверхонь, що обмежують рух системи, була обрана наступна система.
Тест №5. У сферичнш порожниш з жорсткими ст!нками знаходиться матер!альна точка, яка в початковий момент мае довшьну швидшсть. Система знаходиться в пол! тяжшня Землг
Обмежуюча поверхня сфери (приймемо, що центр сфери сшвпадае з початком координат) описуеться р!внянням:
/ (х, у, /) = (х - Хо (¿))2 +(у - Уо (О)2 +(2 - 2о (О)2 - Я2 = о Тод! ВП для дозволеного руху всередиш сфери:
У(х у _ Л = 1 + *Щп{(Х - Хо ())2 + (у - уо (О)2 + (2 - 2о (О)2 - Я2 ) 1 , , ' = 2б((х - Хо (О)2 +(у - уо (О)2 +(2 - 2о (О)2 - Я2 )
! функц!я Лагранжа буде мати виг ляд:
I = 14*2 + у 2 + 2 2 )(1 + Т((х - хо ))2 +(у - уо ))2 +(2 - 2о *))2 - Я 2 ) + ^
2 1 у ' [ 25((х - хо (О)2 +(у - уо (О)2 +(2 - 2о (О)2 - Я2) Я ,
де g - прискорення в№ного падшня. PiBHaHHa (11) мають вигляд:
d dL _dL _ 0 dt dX dx
d_ aL _aL _ 0
dt dy dy d dL dL
----_ _mg.
dt dz dz
Апроксимащя дельта-функцп застосовувалася за формулою (12) при а=50000. Результати розрахунку при нульовш початковiй швидкостi наведенi на рис. 5, а. Траeкторiя мае вигляд плоско! криво!, координата г яко! не перевищуе початково! висоти матерiально! точки. На рис. 5, б наведена траекторiя руху при ненульовш початковiй швидкостi. У даному випадку траекторiя мае вигляд просторово! криво!, координата г яко! на деяких дшянках перевищуе початкову висоту матерiально! точки внаслiдок наявностi у початковий момент часу ненульово! шнетично! енергi!. В обох випадках траекторiя матерiально! точки не виходить за меж1 сфери, кути падiння дорiвнюють кутам вiдбиття, траекторi! м1ж ударами е параболами. Все це повшстю вщповвдае законам руху тiла в полi тяж1ння землi та абсолютно пружному удару.
Рис. 5. Результати розрахунку для тесту №5. Кулька вщображае початкове положення матер1альноТ точки, стршкою показаний напрямок початковоТ швидкосл
nepeBipKa K0peKTH0CTi застосування ВП при синт^ голономних в'язiв з поверхнями, що обмежують рух системи, проводилася наступним чином.
Тест №6. Цилшдричний шарнiр 3i штоком та масивним точковим тшом (рис. 1) обмежений двома площинами y = 0.9 i y = -0.5. Початкова швидшсть тiла нульова, тiло мае ненульову координату в межах -0.5 <y(0) < 0.9, вюь шарнiру паралельна осi 0z. Система починае рухатися з постшною швидшстю в напрямку осi 0х. Тшо мае меншу координату х, шж центр шарнiра.
Результатом, повинна бути ламана в площит х0у, що складаеться з елементiв цикло!д. Залежшсть x(t) повинна мати виломи при у = -0.5 i у = 0.9 i тiло повинно постшно бути позаду центру шартра.
Результати розрахунку наведенi на рис.6. Отримаш залежностi вiдповiдають очiкуваним результатам. Амплиуда коливань повнiстю визначаеться площинами, що обмежують рух.
Необхвдно вщмггити, що переход вiд необмежено! моделi цилiндричного шарнiра до обмежено! потребував лише додавання двох стандартних доданшв у функцiю Лагранжа. Така особливють використання ВП дозволяе легко застосовувати запропонований пiдхiд для автоматичного генерування системи рiвнянь.
Рис. 6. Результати розрахунку для тесту №6, а - траeкторiя, б - часова залежшсть положення центру шаршра (x0(t)) та тша (x(t)). Позначен дотикання тiла до обмежуючих плотин
Висновки
Застосування запропонованого вiртуального потенцiалу дозволяе переносити рiвняння B^3iB безпосередньо у функцiю Лагранжа у виглядi вiдокремлених унiфiкованих доданк1в, що робить шдхвд перспективним для автоматичного генерування системи рiвнянь, як1 описують динамшу просторового механiзму. В робот визначений вигляд вiртуального потенцiалу для голономних в'язiв, а також неголономних в'язiв, як1 створюються обмежуючими поверхнями.
Проведення тестових розрахунк1в з використанням вiртуального потенцiалу показали вiдповiднiсть отриманих результатiв очiкуваним, алгоритмiчнiсть побудови розрахунково! системи рiвнянь, легкiсть синтезу моделi при поеднаннi рiзних типiв в'язiв.
Додатково запропонований пiдхiд дозволяе зшмати миттевi невiдповiдностi мiж заданими початковими швидкостями у системi, що неможливо при використаннi геометрично фiксованих сшввщношень у стандартних пiдходах.
Список використаноТ лiтератури
1. Кузнецов Ю.М. Вiзуалiзацiя формоутворюючих рухiв механiзмами паралельно! структури у верстатах нових компоновок / Ю.М. Кузнецов, Д.О. Дмш^ев // Вюник Тернопiльського державного технiчного ушверситету. - Тернопiль:ТДТУ, 2008.-№1, Том 13. - С. 61-70.
2. Кузнецов Ю.М. Компоновки верстапв з мехашзмами паралельно! структури. Монография. / Ю.М. Кузнецов, Д.О. Дми^ев, Г.Ю. Дшевич- Херсон: ПП Вишемирський, 2009. - 456 с.
3. Braun D. Simulation of Constrained Mechanical Systems - Part I: An Equation of Motion/ D. Braun, M. Goldfarb. // J. Appl. Mech. - 2012. - 79(4). - p. 041017-1 - 041017-9.
4. Vlasenko D. Method for distributed forward dynamic simulation of constrained mechanical systems // Proceedings of the Eurosim Conference - September 6 - 10, 2004, Noisy-le-Grand, France.
5. Maggiore M. Virtual Holonomic Constraints for Euler-Lagrange Systems/ M. Maggiore; L. Consolini // IEEE Transactions on Automatic Control - 2013. - 58(4). - p. 1001 - 1008.
6. Franke M. Simulation of nonholonomic mechanical systems using algorithmic differentiation / M. Franke, T. Zaiczek, K. Robenack // 7th Vienna International Conference on Mathematical Modelling. - February 14 - 17, 2012, Vienna, Austria. - p. 228-233
7. 1ро Г. Класична мехашка. - Львiв: ЛНУ iм.. I. Франка, 1999. - 464 с.
8. Arfken G. Mathematical Methods for Physicists, Seventh Edition: A Comprehensive Guide 7th Edition./ G. Arfken, H. Weber, F. Harris. - Academic Press. - 2012. - 1220 p.
