CC BY
9
УДК 515.2
1С. ТАБАКОВА, Л.М. КУЦЕНКО
Харгавський нащональний ушверситет радюелектрошки Нацiональний унiверситет цивiльного захисту Украши
НАБЛИЖЕНИЙ СПОС1Б ПОБУДОВИ ГЕОДЕЗИЧНОÏ Л1НП М1Ж ДВОМА ТОЧКАМИ НА ГЛАДК1Й ПОВЕРХН1
Наведено алгоритм розв 'язання 3adaui про визначення геодезичноï лтп на задант гладкш поверхн мiж "стартовою " i "фтшною " точками на нш, який базуеться на розв 'язант допомiжноï задачi про геодезичну лтю на цт поверхт, що виходить зi "стартовоï" точки у даному початковому напрямку.
Ключовi слова: геодезична лшя мiж точками на задатй поверхт, система рiвнянь геодезичних, символи Кристоффеля, графiчне подання розв 'язання системи рiвнянь геодезичних.
I.S.TABAKOVA, L.N.KUTSENKO
The Kharkov national university of radioelectronics National university of civil protection of Ukraine
CREATION OF THE GEODETIC LINE WHICH LEAVES THIS POINT IN THIS DIRECTION ON THE SMOOTH SURFACE
Annotation.
In this article the algorithm of the solution of a task about definition of the geodetic line on the set smooth surface between "starting" and "finishing" points on it is considered. The algorithm is based on the solution of an auxiliary task on the geodetic line on a surface which leaves a "starting" point in this initial direction. Research objective was creation of algorithm and the computer program of definition of the geodetic line on the set smooth surface connecting "starting" and "finishing" points on it.
The algorithm of the description and creation of the geodetic line is given in the set smooth surface between "starting" and "finishing" points on it. The mathematical model of the description and creation of the geodetic line which leaves this point in the set direction of a smooth surface is offered based on application of symbols of Christoffel. At the level of carrying out computer experiments examples of creation of family geodetic on the set surface on condition of its achievement of a vicinity of the set radius of a "finishing" point are shown.
Thus to variables the direction of initial "exit" geodetic of a "start" point is. Further researches will be connected with definition of the shortest geodetic offamily of the received curves. Results of work can be used at calculation of a form of cracks in materials, for research of geometrical characteristics of geodetic tubes, for studying of movement of massive particles in gravitational fields, when developing algorithms of definition of a way of robots between obstacles, etc.
Keywords - the geodetic line between points on the set surface, system of the equations geodetic, Christoffel's symbols, graphical representation of the decision of system of the equations geodetic.
Постановка проблеми. Теорш геодезичних лшш мае численш впровадження: при розрахунку форми трщин у матер1алах, при дослвдженш геометричних характеристик геодезичних трубок, для вивчення руху масивних часток у гравгтацшних полях, при розробщ алгоршшв визначення шляхов робопв серед перешкод, тощо. При дослщженш геодезичних лшш даних поверхонь виникае необхщшсть розв'язання систем звичайних нелшшних диференщальних р1внянь [1]. У бшьшосп випадшв нелшшш диференщальш р1вняння не мають аналттичного розв'язку, тому широко застосовуються комп'ютерш (наближеш) методи дослщження систем геодезичних р1внянь.
Але б1льш точну побудову можна здшснити за допомогою системи диференщальних р1внянь, що описують геодезичну лшш. 1снують два р1зновиди задач про побудову геодезично1 лшп на данш гладкш поверхш залежно в1д обраних крайових умов. У першш постановщ геодезична лш1я на поверхш будуеться за даними "стартовою" точкою i початковим напрямком. У другш постановщ (б1льш складнш) геодезична лiнiя на поверхш будуеться за даними "стартовою" i "фшшною" точками. У робоп наведено алгоритм розв'язання задачi про побудову геодезично1 лши у другiй постановщ, який базуеться на основi розв'язку ще1 ж задачi, одержаного у першш постановщ.
Аналiз вiдомих результат. У роботi [2] пропонуеться метод ввдслщкування середньо1 (геодезично1) криво1, яка розташовуеться мiж двома граничними допом1жними кривими (рис. 1). Метод розроблений для регулярних поверхонь i базуеться на чисельному розв'язанш системи рiвнянь для геодезично1 у просторi параметрiв поверхнi.
У роботi [3] запропоновано пошук геодезично1 наближеним способом шнчено1 рiзницi у виглядi «методу постршв», який на практицi чутливий до вибору початкових купв у початковш точцi (рис. 2).
Рис. 1. Приклад побудови геодезично! на регулярнш поверхш
Рис. 2. Приклад побудови геодезичних наближеним методом
Якщо поставлено завдання знайти найкоротшу лiнiю на поверхнi мiж заданими на нiй двома точками (друга постановка задачi про геодезичну), то шуканою лiнieю буде частина геодезично! лши, що проходить через щ точки. Обернений висновок не завжди справедливий, тому що iнодi частина геодезично! лши, що проходить через двi заданi на поверхнi точки, укладена мiж цими точками, може не бути найкоротшою.
Чисельний алгоритм знаходження наближеного положения геодезично! на заданiй поверхш розглянуто у роботi [4] i полягае у такому.
1. У якосп вих1дних даних на поверхш обираемо «стартову» точку й початковий напрямок "виходу" геодезично! лiнi!.
2. В обранш точцi обчислюемо нормаль до поверхш i визначаемо проекщю вектора напрямку на площину, задану нормаллю.
3. Здiйснюемо змщення на величину Д уздовж знайденого вектора, спроектованого на нормаль (з урахуванням напрямку на "фшшну" точку).
4. Використовуючи функцш обчислення вщсташ визначаемо точку на поверхнi, найближчу до розраховано! точки.
5. Одержуемо нормаль до поверхш в цш точцi.
6. При необхвдносп все повторюемо, розпочинаючи з пункту 2.
7. В результата одержуемо наближене положення геодезично! на поверхш.
В робоп [4] наведено приклад побудови геодезично! за цим алгоритмом (рис. 3).
а б
Рис. 3. Зображення наближеноК геодезичноК м1ж двома точками: конструктивы елементи алгоритму (а); результат побудови (б)
Постановка завдання. Розробити алгоритм розв'язання задач про визначення геодезично! лшп на заданш гладкий поверхнi м1ж "стартовою" i "фшшною" точками на нш, який базуеться на розв'язанш допомiжио! задачi про геодезичну лшш на поверхнi, що виходить зi "стартово!" точки у даному початковому напрямку.
Основна частина. Для довшьних гладких поверхонь i початкових умов можна одержати [1] впорядковану систему диференщальних рiвнянь геодезичних, на базi чого можна створити рiзновиди чисельного розв'язку й графiчного подання ршення ще! системи. Описати геодезичну лшш у координатних кривих (u(t), v(t)) можна за допомогою системи диференщальних рiвнянь:
и" +Г'пи2 + 2r'12uv + r'22v2 = 0, (1)
и и + ZL 12UV + 1 22 V
2 2 , , т*2 2
22 U + 2Г 12 UV + Г 22 V
З курсу диференщальних рiвнянь вiдомо, що з врахуванням початкових умов u(0)=u0, v( 0)=v0, u'(0)=du0, v'(0)=dv0 система (1) мае единий розв'язок. Це означае, що через кожну точку поверхш в заданому напрямку проходить пльки одна геодезична.
Вирази Г1,, називаються символами Кристоффеля; !х дощльно записувати через коефщенти друго! квадратично! форми:
Г1 и = (EUG - 2FJ? + Ef) / (2(EG - F2));
Г2 и = (2F£ - 2Е£ - EUF) / (2 (EG - F2));
Г1 и = P2i = (EVG - GUF) / (2 (EG - F2)); (2)
Г212 = Г221 = (G£ - EVF) / (2(EG - F2));
Г22 = (2FVG - GUG - GyF) / (2 (EG - F2));
T222 = (GVE - 2FVF + GJ7) / (2 (EG - F2));
На базi розв'язання системи рiвнянь (1) було складено алгоритм та програму (для середовища пакету maple) побудови наближено! геодезично! лшп, яка виходить iз «стартово!» точки на заданiй гладкий поверхш i прямуе до «фiнiшно!» точки на цш поверхнi [6, 7]. У робоп [5] наведено аналопчш результати лише для випадку пошуку геодезично! лiнi! на поверхнi за даними «стартовою» точкою i початковим напрямком.
Запропонований алгоритм складаеться iз таких крошв.
Крок 1. Задаемо параметричне рiвняння поверхнi i "стартову' та "фшшну" точки, належнi !й.
Крок 2. За заданими рiвняннями поверхнi формуемо систему диференщальних рiвнянь геодезичних.
Крок 3. Формуемо систему початкових умов.
Крок 4. Створюемо процедуру чисельного штегрування системи рiвнянь геодезичних при заданих початкових умовах
Крок 5. Для "стартово!" точки за допомогою параметра и' обираемо конкретний напрямок «виходу» геодезично!.
Крок 6. Звертаемося до процедури чисельного штегрування системи рiвнянь геодезичних.
Крок 7. Визначаемо опис геодезично! для обраного напрямку.
Крок 8. Перевiряемо, чи проходить одержана геодезична у околi заданого радiусу "фшшно!" точки. Якщо нi, то здшснюемо прирiст на Д значения параметра и 'i переходимо до кроку 5.
Крок 9. Будуемо зображення геодезично!.
Крок 10. При необхвдносп здiйснюемо динамiчну вiзуалiзацiю руху частки по одержанiй геодезичнiй лшп.
В якосп першого тестового прикладу обрано поверхню, описану рiвнянням
z = f(0, 0, 3) + f(2, 2, 2) + f(-2, -2, 2) + f(-1, 2, 3) + f(1, -2, 2) + f(2, 0, 2), (3)
де f(a,b,c) = c*exp(-(u - a)2 - (v-b)2).
«Стартова» точка мае координати (-4; 4), а "фшшна" - координати (4;4). Слщ зазначити, що до обрано! поверхш входять частини координатно! площини z = 0.
На рис. 4 зображеш деяш геодезичш лiнi! обрано! поверхш залежно в1д радiусу r околу "фiнiшно!" точки та визначених значень параметра u', що задають початковий "вих1д" геодезично! зi «стартово!» точки.
З врахуванням попередшх умов в якосп другого тестового прикладу обрано поверхню, описану рiвнянням
z = f(0, 1, 2) + f(2, 1, 2) + f(-1, -2, 2) + f(-2, 2, 2) + f(1, -2, 2) + f(2, 0, 2) + f(-2, 0, 2), (4) де f(a,b,c) = c*exp(-(u-a)2-(v-b)2).
г = 0,05; и' = 0,3043 г = 0,003; и' = 0,2495 г = 0,001; и' = 1,1707
Рис. 4. Деяк1 геодезичш лшп поверхш першого тестового прикладу
г = 0,01; и' = 0,8303 г = 0,01; и' = 1,2200 г = 0,01; и' = 1,3159
Рис. 5. Деяк1 геодезичш лшп поверхш другого тестового прикладу
На рис. 5 зображеш деяш геодезичш лшп обрано! поверхнi залежно вiд радiусу r околу "фшшно!" точки.
Розроблений алгоритм визначення геодезично! плануеться застосовувати для розрахунку маршруту руху мобiльного робота за умови обходу перешкоди [8]. Особливютю такого пiдходу е необхщшсть моделювання перешкоди за допомогою спещально побудовано! допомiжно! гладко! поверхиi. На зазначенш поверхиi здiйснюеться опис та побудова геодезично! мiж двома точками на цш поверхиi. Тодi проекщя на координатну площину одержано! геодезично! визначатиме траекторш руху мобiльного робота мгж проекцiями зазначених точок.
Ця задача е базовою для побудови алгоритму гладкого керування траекторним рухом мобшьного робота у середовищi з перешкодами, яш апроксимуються гладкими поверхнями. Плоску топографiчну карту з наявшстю перешкод пропонуеться представити як поверхню, замiияючи перешкоди гладкими умовними «пагорбами».
Зазначимо, що при цьому можна врахувати рiзнi витрати енергетичних ресурсiв при рус мобiльного робота по вiльним ввд перешкод зонам, що характеризують, наприклад, асфальт, грунт, пiсок, траву, заболочеш мiсцевостi, тощо. Для цього на цш «неплоск1й» топографiчнiй картi згадаш зони необхiдно задати додатковими "пагорбами" й "западинами", що буде здшснено в подальшому.
Для обраного подання топографiчно! карти траекторш можна визначити аналтгичними або чисельними методами. Для цього необхщно розробити способи розв'язання поставленого завдання за допомогою геодезичних лiнiй. В роботi [9] наведено спроби розв'язання аналогiчно! задачi. На даному етапi розроблено алгоритм визначення та побудови геодезично! криво!, яка б з'еднала двi точки, розташоваш на спецiально побудований поверхнi. Зазначимо, що у мехашщ геодезична лiнiя вiдiграе важливу роль: по нш рухаеться точка, що повинна залишатися на поверхш в тому випадку, коли на точку не дшть зовнiшнi сили.
Висновки. Алгоритм визначення геодезично! лт! на заданiй гладкш поверхнi мiж "стартовою" i "фшшною" точками на нiй доцiльно пов'язати з ршенням допомiжно! задачi про геодезичну лiнiю на цiй поверхш, що виходить зi "стартово!" точки у даному початковому напрямку. Подальшi дослiдження будуть пов'язанi з визначенням найкоротшо! геодезично! iз сiм'! одержаних кривих. Тобто визначення такого напрямку «виходу» геодезично! зi стартово! точки, коли довжина одержано! геодезично! буде найкоротшою.
Лггература
1. Геодезические линии на поверхностях Составители: Н.И. Жукова, А.В. Багаев Учебно-методическое пособие. — Н. Новгород : Издательство Нижегородского госуниверситета. 2008. -54 с.
2. Ресурс. Режим доступу: ftp ://ftp. gdv.uni-hannover.de/papers/ WLR1.pdf
3. Ресурс. Режим доступу: http://ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/2-158i-computational-geometry-spring-2003/lecture-notes/ lecnotes20 fixed.pdf
4. Ресурс. Режим доступу: http://wooi.files.wordpress.com/2012/06/vb-workshop-harvard-gsd-spring-2012.pdf
5. Бушкова В.А. Библиотека программных процедур создания управляемой оснащенной динамической визуализации геодезических линий в СКМ Maple / В.А. Бушкова // Вестник ТГГПУ. - 2011. - №4(26). - С. 8-10.
6. Табакова 1.С. Побудова геодезично! лшп мгж двома точками, належних данш гладкш поверхш / 1.С.Табакова // Прикладна геометрiя та iнженерна графша. - Вип. 91. - Ки!в: КНУБА, 2013 р -С. 271 - 278.
7. Табакова 1.С. Побудова геодезично! лшп гладко! поверхш, що виходить iз дано! точки у даному напрямку / 1.С.Табакова // Науковий вюник МДПУ «Математика, геометрiя, iнформатика» . -Том 1. - Мелггополь: МДПУ, 2014. - С. 217 - 224.
8. Табакова 1.С. Визначення траектори обходу перешкод роботом за допомогою геодезично! лшп / 1.С.Табакова // Сучасш проблеми моделювання: зб. наук. праць. - МДПУ— Мелггополь: МДПУ, 2014. - Вип. 3. С. 131 - 138.
9. Васильев И.А. Построение траекторий движения для мобильного робота. Режим доступу http://www.rusnauka.com/5 SWMN 2012/Tecnic/11 99991.doc.htm
