CC BY
30
УДК 539.3
Б01: 10.15587/2312-8372.2015.42521
розв яздння просторово! ЗАДАЧ1 нестащонарно! тЕплопров1Дност1
НА основ1 НАШВАНАЛ1ТИЧНого методу СК1НЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТ1В
Наведет основы розрахунковг стввгдношення та алгоритм розв'язання просторових задач нестащонарног теплопровгдностг для призматичних тгл складног форми поперечного перергзу на основг натваналтичного методу сктченних елементгв. Розроблена методика реалгзована у виглядг проблемно-оргентованог тдсистеми для комп'ютерного моделювання нестащонарних теплових процесгв. Проведенг чисельнг дослгдження достов\рност\ отримуваних результатгв на основг розробленог методики шляхом розв'язання тестових приклад1в.
Клпчов1 слова: натваналтичний метод сктчених елементгв (НМСЕ), нестацюнарна тепло-провгдтсть, криволтшна система координат.
Гуляр о. I., Пискунов С. о., Андрквський В. П., Шкриль о. о.
1. Вступ
Значна кшьюсть ввдповвдальних об'екпв сучасно! техшки в процес експлуатащ! знаходиться в режимi розiгрiву або охолодження, що пов'язано з умовами !х запуску або аваршними ситуащями. Це стосуеться, в першу чергу, об'екпв традицшно! та атомно! енер-гетики. До них вщносяться паровi, парогазовi турбiни, стацiонарнi та нестащонарш газотурбiннi установки i захисш корпуси ядерних реакторiв. Режим !х робо-ти передбачае змiну напружено-деформованого стану вщ характеру розподiлення температури в час! Тому достовiрне визначення температурних полiв згаданих об'ектiв е актуальною проблемою, яку в рамках сучасних пiдходiв можливо ефективно розв'язати виключно на основi метода скшченних елементiв. Це питання було висвгглено ще в класичнiй монографп Зенкевича [1] i не втратило свое! актуальностi i на сьогоднiшнiй день, про що сввдчить вихiд навчальних поабниюв типу [2].
2. Анал1з л1тературних даних I постановка проблеми
Важлившть розв'язання просторово! задачi неста-цiонарно'i теплопровiдностi для широкого загалу до-слiдникiв наглядно пiдтверджуеться тим фактом, що це закладено в найбшьш розповсюджених комплексах методу скшченних елеменпв [3-5]. Пiдтвердження цього можна прошюструвати посиланням на публiкацi'i [6-8], в яких для отримання результапв розв'язку просторово! задачi нестащонарно! теплопровiдностi використана система ABAQUS. В зазначених комплексах в якост одного з ефективних варiантiв розв'язку просторових задач реалiзовано напiваналiтичний варiант методу скшченних елеменпв, але, в основному, тшьки для задач про напружено-деформований стан. В той же час, практика проведення чисельних розрахункiв показуе, що найбшьш ефективним при визначенш параметрiв напружено-де-формованого стану в час в умовах змiнного теплового режиму е використання однотипних скшченних еле-
менпв, як при розв'язку задачi теплопровiдностi, так i при розв'язку задачi термопружностi.
В межах НМСЕ такий тдхщ було розроблено для розв'язку задач нестащонарно! теплопроввдносп замк-нених тiл обертання i для визначення на цш основi змшних параметрiв напружено-деформованого стану в час [9]. Його ефективнiсть наглядно шюструеться дослiдженнями закономiрностей поведiнки температурних полiв та напружено-деформованого стану в задачi моделювання режиму аварiйного охолодження захисного корпусу ядерного реактору.
3. об'Ект, щль та задач1 дослщження
Значну кiлькiсть важливих об'екпв енергетичного машинобудування становлять призматичш тiла складно! форми поперечного перетину. До таких тш можна вщнести лопатки, хвостовики рiзних титв, ялинковi з'еднання i т. п. деталi парових i газотурбiнних установок. Накопичений досвщ використання НМСЕ для !х розрахункiв при iзотермiчному навантаженнi [10] дае пiдстави для подальшого його розвитку в напрямку розробки методики розв'язання просторово! нестащонарно! задачi теплопровщносп для призматичних тш складно! формi, що становить мету дано! роботи.
Для досягнення поставлено! мети виршувалися на-ступш задачi:
— провести вибiр вщповвдних за змiстом i формою вихщних спiввiдношень просторово! задачi нестащ-онарно! теплопровiдностi в криволiнiйнiй системi координат;
— отримати формули для визначення елеменпв мат-риць теплопровiдностi i теплоемностi на основi НМСЕ;
— реалiзувати ефективний алгоритм на основi методу скiнченних рiзниць для розв'язання системи диференцшних рiвнянь;
— реалiзувати отриманнi спiввiдношення НМСЕ i алгоритм у виглядi проблемно-орiентовано! тд-системи для комп'ютерного моделювання нестащонарних теплових процеав;
ТЕСНЫОЮСУ дипгг АЫП PR0DUCTi0N RESERVES — № 3/2(23], 2015, © Гуляр О. I., Пискунов С. О.,
АндаЕвський В. П., Шкриль О. О.
— обгрунтувати достовiрнiсть результатiв шляхом розв'язку контрольних прикладiв.
4. Результаты дослщження розв'язання просторових задач нестащонарно! теплопровщност
4.1. Розв'язувальнi стввщношення НМСЕ для про-сторово! задачi нестацiонарноi теплопровiдностi. Темпе-ратурне поле неоднорiдного iзотропного просторового тша об'емом V, обмеженого поверхнею S описуеться рiвнянням нестащонарно! теплопровiдностi [11]:
дТ
div(XT VT ) + q0 = Cy ——, dt
1 d Vgdxi
Хт (T )g'4g dXj
dT
=Cy(T) ä •
-Хт (t)
dT (xj, t) dn
= a(T)[T(xj, t)-6(xl, t)], xl eS3, (6)
(1)
де а(Т) — коефiцiент тепловiддачi; S3 — частина поверх-нi тша S , на якiй задаш граничнi умови третього роду.
Рiвняння (2) з початковими (3) i граничними (4)-(6) умовами однозначно визначае нестащонарне температур-не поле в тт, властивостi якого в загальному випадку залежать вщ просторових координат i температури.
Диференцiйне рiвняння (2) з граничними умовами (4)-(6) е^валентне варiацiйному рiвнянню про-сторово! задачi нестацiонарноi теплопровiдностi:
, dT dST .. SX = f (Хт^-^—^ + qoST )dy +
<> r)r' riYJ
де ХТ — коефiцiент теплопровiдностi; Т — температура в точщ тiла, що розглядаеться; д0 — щiльнiсть видшення тепла внутрiшнiми джерелами за одиницю часу;Су — питома об'емна теплоемшсть матерiалу тiла.
В криволiнiйнiй системi координат компонентна форма диференцiйного рiвняння (1) приймае вигляд:
dT
+ fa(T - 6) STdS - f Cy dn STdy = 0.
(7)
(2)
Для призматичних просторових тiл в прийнятш мш-цевiй системi координат х1 варiацiйне рiвняння (7) мае вигляд:
dT dST dT dST
SX = f (Хт d-a ¿-г gaß + Хт drJ -¿г g33 + qoST )dy +
Однозначнiсть розв'язання рiвняння (2) забезпечу-еться введенням вiдповiдних початкових та граничних умов. В якост початкових умов приймаеться ввдоме розподiлення температури в тт в деякий фжсований момент часу t0, що приймаеться за початок часово! координати:
dT
Т(xj, t0) = T0(xi), xj еУ,
T(xj, t) = f (xj, t), xj е S1,
+ fa(T-6) STdS-f Cy d- STdy = 0.
(8)
(3)
де Т0 (х1) — задана функщя просторових координат.
Граничш умови в теорп теплопровiдностi формулю-ються в виглядi трьох iдеалiзованих типiв теплопередачi на границ тiла:
1. Вiдомi змши з часом температури точок поверх-нi тiла:
(4)
Тут i в подальшому всi iндекси, позначенi грецькими буквами, будуть приймати значення 1, 2, а позначен латинськими — 1, 2, 3.
Для чисельного розв'язання задач теплопровщносп розроблений неоднорвдний призматичний скiнченний елемент, конф^уращя якого е аналогiчною СЕ для задач термов'язкопружнопластичного деформування [10]. Загальний вигляд цього СЕ в базиснш i мшцевш системах координат наведений на рис. 1, а, б вщповщно.
В межах поперечного перерiзу СЕ передбачаеться, що коефщент теплопроввдносп Хт, гранична питома об'емна теплоемнiсть матерiалу тша Су та компоненти метричного тензора g1 змiнюються незначно i прийма-ються рiвними вiдповiдному значенню в центрi перерiзу:
де /(х1, t) — задана функцiя;S1 — частина поверхш тiла S, на якш заданi граничнi умови першого роду
2. Вщома щiльнiсть теплового потоку з поверхш тша в зовшшне середовище:
дТ ( х1, t)
д(х1,t) = -ХТ(Т)—х1 eS2, (5)
дп
де п — зовнiшня нормаль до поверхш тша в точщ х1; S2 — частина поверхш тша S, на якiй заданi граничнi умови другого роду.
3. Ввдома температура зовнiшнього середовища 8 i закон конвекцiйного теплообмiну мiж поверхнею тiла i зовнiшнiм середовищем:
Хт = Хт = Xt|xk=o , СУ = Cy = Cylx"=o,
gij = gij = gij\xa = 0, (9)
а в напрямку TBipHoi коефщент теплопровiдностi та пи-томо1 o6'eMHoi теплoeмнoстi матеpiалу передбачаеться змiнним:
Хт = Хт(x3), Cy = Cy(x3). (10)
В якост невiдoмих при розв'язанш задачi нестацю-наpнoi теплопровщносп приймаеться значення температури в вузлах елемента Т(Sl,S2).
Ьт = кт(23)
Рис. 1. Неоднорщний призматичний скшченний елемент для розв'язання задач теплопровщносп: а — в базиснш системi координат, б — в мтсцевш систем координат
Розподiлення температури у межах поперечного перетину СЕ описуеться бшшшним законом:
T - X X T(SlS2)
Sl-±1 S2-±1
1 1 1
- S1x1 + - S2 x2 + S1S2 x1x2 + -
T,a- X X T(S1S2)
S1 -±1 S2-±1
T,3- X X T(S1S2),3
S1 -±1S2-±1
2 + S(3-a) x(3-a)
S •
>
1 1 1
2 s1x1+^ s2 x2 + s1s2 x1x2+4
11 2 1
x1 -2 x2-2 x3-1
&4„ - J J J Xt
,1,1 x3--1
x1 x2-—
X X ( / T(S1S2)
S1 -±1S2 ±1 V v
.(11)
Вирази для похiдних вщ температури у межах поперечного перетину СЕ мають вигляд:
-X X
Л-±1 P2-±1
+ X X T(
ST(
(P1P2)
2 + P(3-ß)x'
(3-ß)
2 ^ J(3-a)-x
g aß +
S1 =±1 S2 ±1
(S1,S2),3
1 1 1
— S1x1 + - S2 x2 + S1S2 x1x2 + -
(1 1
XX X ST(flP2),3 (2 ^x1 + 2 S2 x2 +
P1 =±1 P2 =±1 2 2
. (12)
+ S1S2x1x2 + 4 I g33
2 1 2 ,Jgdx1dx 2dx 3.
(15)
В напрямку твiрноi температура та ii похiднi по напрямку x3 апроксимуються аналогiчно до [10]:
T-Xt1 Ф(1), Т3 -XTlФ(3),
1-0 1-0
(13)
Грунтуючись на введених гiпотезах про постшшсть теплофiзичних i геометричних характеристик в межах поперечного перерiзу СЕ та використовуючи наступнi iнтеграли:
2 2 2 2
п . , .. .. ff dx1dx2 -1; J J x adx1dx2 - 0;
При застосуванш базисноi декартовоi системи коор- J J ' J J
складника S%n необхвдно урахувати значення компонент метричного тензора g13 - g23 - 0. В цьому випадку отримаемо:
x* x x3
2 x3-1
г г г ( dT Э8Т
^- J 1 J 1 3J XT (^цдтga
1 1 x 3 =-1
1 1 2 x
x1 =-2 x2 =-2
+ dTdTg33 ^^/gdx1dx2dx3.
1 x2 =-1
2 x2--2
22 J J xaxßdx1dx2 -
0, a^ß, 1
12 a-ß,
22
J J xa x1x 2dx1dx2 - 0;
(14)
Шсля пiдстановки до цього виразу представлення значень температури (11) та ii похщних (12) в поперечному перерiзi отримаемо:
2 2 1 J J (x1)2(x2)2dx1dx2 -—,
(16)
а
1 1 2 1
1 1 2 1
x =-2 x =-2
1 1 2 1
1_ 1 1
11
x =-2 x =-2
1 1 2 1
1_ 1 „2_ 1
x =-2 x =-2
1 1 2 1
1_ 1 _2_ 1
x-— x--— 22
отримаемо:
x3 = 1
SAn = i Xt 1111
x3 =_1 Si=±1 S2 =±1 P1=±1 P2 =±1
T(Sl, S2) x
xST
(Л, P2)
1 « 1
4 Sa Pß g aß + — S1S2P1P2 g a
1
1
+ T(Si,S2),38T(Pi,P2),3 [48 S1p1 + 48 S2P2 +
+ t1" WPP2 1 g33
144
16
■Jgdx 3.
складникiв та в силу довшьносп варiацiй 8T piBraHHH (8) можна представити системою звичайних диференцшних pÎBHHHb з перемiнними коефщентами:
Si =±1S2 =±1 Pi=±1 P2 =±1
dT
(Si,S2)
_ Г Alm +
(Si,S2 ,Pl,P ) dt +LA(Si,S2,Pl,P2) +
-A
+ BcH,S2P1P2)]T(lSi,S2)]г = 1Q}> m = О,!...!, (21)
(17)
де компоненти вектора правих частин, як характеризуются штенсившстю зовнiшньоï тепловоï дп:
Використовуючи апроксимащю температури та ïï Qm = 1111-q(m
похiднi по напрямку x3 (13), отримаемо:
L L
«An = 11 ЦЦ i Xt
l=1 m=1 S1 =±1 S2 =±1P1=±1 P2 =±1 x3 =_1
T1 STm x
J(Sl,S2)OJ(P,,P2) X
Sl S2 P P2 L
+ 1 B(Sl,S2,Pl,P2)q ,
l =0
S2)
48 ^ + 48 ^ +144 ^^ +16
(22)
1 Sa Pß g aß + ^ S1S2P1P2 g a
ф(l)ф(m) -
коефiцiенти матриц теплопровiдностi:
+ (48 S1P1 + 48 S2P2 + Щ S1S2P1P2 +16) g 33Ф(3 >Ф?> 3, (18) 4Й1ДЛД> =
aSaPß g aß
3 3 1 1
7SiP +-, S2P2 + ^S1S2P1P2 + 2 —
(1 _ga ) 4_4_3_4
V ß' (Sa Pa+ 3)(SßPß + 3)
або в матричному виглядк
«An = 11 [S{T}Tm [A]m {T} + S{T}Tm [A3 ] {T}] , (19)
+ sa
1 1 1 3
4 SiPi + 4 S2P2 + ^ S1S2P1P2 + 4
Sa Pa + 3
g,
(23)
коефщенти матрицi теплоемностi:
де {T}T ={T('_1._1) T(i;_1) T(l_1;1) T(i;1)} — вектор температури;^] i [A,3] — матрицi теплопровiдностi призма-тичного СЕ, що обчислюються за формулами:
[A]]m = [A,3 ]]m
1 Sa Pß g aß + ^ S1S2 P1P2 gaa |V g hm ;
48 ^ + 48 ^ + Щ SlW2 + ^
де
Xim = i Xtф(1 )ф(m) dx3 =1^Ф!14m)Hk ,
x3=_1 k=!
x3 =1 K
Xim,3 = i Xtф(3dx3 = 1 XTk (ф® ) (m) ) H.
C
(Si,S2,Pl,P)) :
48 SlPl + 48 S2P + Ш SlS2PlP2 +16
g,(24)
додатковi члени коефiцiентiв матрицi теплопровiдностi для скшченних елементiв, що примикають до граничноï поверхнi, що спiвпадае з координатною лiнiею xn :
g33^gXlm,3, (20)
B
'(Si,S2,P|,PO -
a Sa Pa + 3
cV 12
g
(3_a)(3_a )
g.
(25)
Аналопчно проводяться обчислення для iнших склад-ниюв рiвняння (8). Пiсля проведення вах обчислень
Для розв'язання системи диференцшних рiвнянь (21) приймаеться метод скшченних рiзниць. Вздовж часовоï координати t вибираеться скшченна множина N то-
чок tn (n = 0,1,.....,N) з кроком Dtn таким чином, щоб
tn|n=0 = tn. tn|n=n = Замiнюючи похiдну за часом в (21) скшченно^знецевим алгоритмом другого порядку точ-ностi за схемою Кранка-Школсона [12] i приймаючи в якостi невiдомих амплiтуднi значення температури в вузлах сiтковоï обласп в момент часу tn+1, маемо систему алгебршчних рiвнянь вiдносно T^+S ):
[C]{T}n+1 + №}n+1 = C]{T}n _ [A]{T}n +{Q0 }n . (26)
+
+
3
x =1
x3 =1
x =_1
4.2. AocTOBipHicTb результата при розв'язант задач теплопровщносп для призматичних т1л на 0CH0Bi НМСЕ.
З метою доведення Bipor^Hocri результатiв розв'язку задачi теплопровiдностi з використанням отриманих стввщношень розглянуто тестову задачу про теплопро-вiднiсть цилшдрично! стiнки. Вихiднi данi: r = 10 мм, r2 = 40 мм, температура на внутршнш поверхш стш-ки T = 100 °C, температура на зовнiшнiй поверхш стш-ки T2 = 400 °C.
Дискретна модель МСЕ наведена на рис. 2, а. Поверх-ш вздовж осей г1' та г2' абсолютно теплоiзольованi. В якосп еталонного прийнятий аналiтичний розв'язок, отриманий в робот [13]. Як видно, отримаш резуль-тати (табл. 1) майже повшстю збiгаються з еталонним розв'язком.
а б
Рис. 2. Дискретна модель для цилшдрична! стшки: а — МСЕ; б — НМСЕ
Таблиця 1
П□рiвняння результапв розрахунку
p, мм Температура T, °С Похибка, %
Анмтично [13] МСЕ НМСЕ МСЕ НМСЕ
10 100 100 100 0 0
15 187,74 186,62 186,68 0,60 0,56
20 250 247,87 247,93 0,85 0,83
25 298,27 296,12 296,15 0,72 0,71
30 337,74 336,62 336,65 0,33 0,32
35 371,10 370,33 370,36 0,21 0,20
40 400 400 400 0 0
На наступному етапi, з метою доведення вiрогiдностi отримуваних на основi НМСЕ результатiв, було розглянуто тестову задачу про теплопровщшсть призматичного стрижня. Вихвдш данi: температура на торцях стрижня Т(г2'= 0) = 100 °C, T (г2' = 30) = 400 °C. Поверхнi вздовж iнших граней абсолютно теплоiзольованi.
В якостi еталонного прийнятий розв'язок, отриманий на основi МСЕ. Як видно з наведеного графжа роз-подiлення температури вздовж оа стрижня (рис. 3, а), результата отримаш використанням дискретно! моде-лi НМСЕ (рис. 3, б) повшстю збкаються iз еталонним розв'язком (рис. 4).
Рис. 3. Дискретш м□делi призматичного стрижня: а — МСЕ, б — НМСЕ
На наступному етат дослвджуемо розподшення температури по товщи-ш необмежено! сталево! пластини при конвекцшному теплообмiнi мiж ii по-верхнею z1' = +h/2 i навколишшм се-редовищем. Поверхня z1' = - h/2 перед-бачаеться iдеально теплоiзольованою. Початкова температура пластини T0 = 293 °K, температура теплоноая 8 = 1273 °K, коефiцiент теплопровщнос-ri а = 0,66 10-5 м2/сек. Критерiй теплово! подiбностi, що
а-R
вщповщае товщинi пластини h = 0,008 м, Bi = ^г— = 0,2.
к
VC 400 350 300 250 200 150 100
— НМСЕ о МСЕ
10
15
20
25
30 I2'(Z3'),UM Рис. 4. Графш розподшення температури вздовж oci стержня (в напрямку z2 для МСЕ, z3 для НМСЕ)
На рис. 5 в виглядi iзолiнiй показано розподiлення температури по товщиш пластини для моментiв часу t = 0 сек, 0,5 сек, 1 сек, 5 сек, 10 сек, 15 сек, 20 сек, 30 сек, 60 сек. Суцшьна лшя ввдповщае аналиичному
а
б
розв'язку [11], кружечками B^MÎ4eHO результати розв'я-зання, яю отриманi в po6oTi [14], а штрихпунктирна лiнiя вiдповiдаe ршенню, отриманому за розробленою методикою на основi НМСЕ.
Рис. 5. Розподшення невстановлено'1 температури в необмеженш пластин
Аналiз результатiв показуе, що в даному прикладi спостерiгаeться добра збiжнiсть наближених i аналi-тичного розв'язку.
6. Обговорення результат1в дослщження просторових задач нестацмнарно*! теплопровщност
За основу вихiдних спiввiдношень прийнятi рiвнян-ня просторовоï задачi нестацiонарноï теплопровiдностi в криволiнiйнiй системi координат в диференцiйнiй i варiацiйнiй постановках. На основi представлення розподшення температур вздовж координати х3 поль номами Мiхлiна отримаш формули для визначення елеменпв матриць теплопроввдносп i теплоeмностi на основi НМСЕ, що дозволило для розв'язку систем ль нiйних алгебраïчних рiвнянь використати ефективний алгоритм блочних иерацш з верхньою релаксацieю i реалiзувати ефективний алгоритм розв'язання систе-ми диференцшних рiвнянь за часом. Отриманш ств-вiдношення НМСЕ i алгоритми реалiзованi у виглядi проблемно-орieнтованоï тдсистеми для комп'ютерного моделювання нестацiонарних теплових процеав. До-стовiрнiсть результатiв обгрунтовано шляхом розв'язку тестових прикладiв, що мають аналiтичнi та чисельнi результати.
В перше в рамках НМСЕ розроблена методика розв'язку просторовоï нестацiонарноï задачi теплопровщнос-тi для призматичних тш, що дозволяе на вщмшу вiд використання рядiв Фур'е моделювати довiльнi граничнi умови на торцях скшченних елементiв завдяки розкладу перемщень на основi полiномiв Мiхлiна. Це дозволяе використовувати розроблену методику при визначенш розрахункового ресурсу елеменпв енергетичних установок з урахуванням бшьш складного характеру '¿х по-ведшки в реальних режимах експлуатацн.
7. Висновки
В результат проведених дослщжень:
1 ) прийнято в якост вихiдних спiввiдношень рiвнян-ня просторовоï задачi нестацiонарноï теплопровiдностi
в криволшшнш системi координат в диференцiйнiй i варiацiйнiй постановках;
2) розроблено ефективну методику розв'язку просто-ровоï нестацiонарноï задачi теплопровiдностi для призматичних тш складноï форми поперечного nepepiey на ochobî напiваналiтичного методу скшченних елеменпв;
3) реалiзовано розроблену методику у виглядi проблемно-орiентованоï пiдсистеми для комп'ютерного моделювання не-стацiонарних теплових процеав;
4) проведено апробацiю розробленоï методики шляхом розв'язання тестових прикладдв, зокрема дослщжено теплопро-вiднiсть цилiндричноï стшки, призматичного стрижня та не-обмеженоï сталевоï пластини.
Враховуючи вище зазначене, на основi НМСЕ розроблена, реалiзована та апробована шляхом порiвняння з наве-деними в лiтературi результатами ефективна методика розв'язку просторовоï нестацiонарноï задачi теплопровщ-ностi для призматичних тiл складноï форми поперечного перерiзy яка дозволяе проводити чисельш дослiдження змiни температурних полiв в часi для широкого класу об'екпв.
Лггература
1. Zienkiewicz, O. C. The finite element method in engineering science [Text] / O. C. Zienkiewicz. — London: MCGRAW-HILL, 1971. — 541 p.
2. Луканин, В. Н. Теплотехника [Текст]: учебн. / В. Н. Лу-канин, М. Г. Шатров, Г. М. Камфер. — М.: Высшая школа, 1999. — 671 с.
3. Concrete Suite — Theory Manual. Version 12.1 [Text]. — Canonsburg, PA, USA, Inc., 2009. — 121 р.
4. ABAQUS Theory Manual [Text]. — USA, Hibbit, Karlsson & Sorensen Inc., 2000. — 841 p.
5. MSC/NASTRAN Quick Start Guide. Version 70.5 [Text]. — Los Angeles: The MacNeal-Schwendler Corporation, 2000. — 211 p.
6. Borhan, T. M. Prediction of the thermal conductivity of cocrete using ABAQUS model [Text] / Tumadhir Merawi Borhan // Al-Qadisiya Journal For Engineering Sciences. — 2014. — Vol. 7, № 1. — P. 127-136.
7. Piekarska, W. Application of ABAQUS to analysis of the temperature field in elements heated by moving heat sources [Text] / W. Piekarska, M. Kubiak, Z. Saternus // Archives of foundry engineering. — 2010. — Vol. 10, № 4. — P. 177-182.
8. Lawrence, J. Finite element analysis of temperature distribution using ABAQUS for a laser-based tile grout sealing process [Text] / J. Lawrence, L. Li // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part B: Journal of Engineering Manufacture. — 2000. — Vol. 214, № 6. — P. 451-461. doi:10.1243/0954405001517766
9. Баженов, В. А. Полуаналитический метод конечных элементов в механике деформируемых тел [Текст] / В. А. Баженов, А. И. Гуляр, А. С. Сахаров, А. Г. Топор. — К.: НИИСМ, 1993. — 376 с.
10. Баженов, В. А. Нашванал1тичний метод скшченних еле-мент1в в задачах континуального руйнування просторових тш [Текст] / В. А. Баженов, О. I. Гуляр, С. О. Пискунов, О. С. Сахаров. — К.: Каравела, 2014. — 236 с.
11. Коваленко, А. Д. Основы термоупругости [Текст] / А. Д. Коваленко. — К.: Наук. думка, 1970. — 204 с.
12. Шабров, Н. Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей [Текст] / Н. Н. Шабров. — Л.: Машиностроение, 1968. — 212 с.
13. Димшч, А. Х. Теплопровщшсть [Текст]: навч. поабник / А. Х. Димшч, О. А. Троянський. — Донецьк, 2003. — 370 с.
14. Гуляр, А. И. Решения трехмерной задачи теплопроводности в криволинейной системе координат методом конечных элементов [Текст] / А. И. Гуляр, В. Н. Кислоокий, А. С. Сахаров, С. М. Чорный // Сопротивление материалов и теория сооружений. — 1974. — Вып. XXII. — С. 23-34.
РЕШЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОСНОВЕ ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Приведены основные расчетные соотношения и алгоритм решения пространственных задач нестационарной теплопроводности для призматических тел сложной формы поперечного сечения на основе полуаналитического метода конечных элементов. Разработанная методика реализована в виде проблемно-ориентированной подсистемы для компьютерного моделирования нестационарных тепловых процессов. Проведены многочисленные исследования достоверности получаемых результатов на основе разработанной методики путем решения тестовых примеров.
Ключевые слова: полуаналитический метод конечных элементов (ПМКЭ), нестационарная теплопроводность, криволинейная система координат.
Гуляр Олександр 1ванович, доктор техтчних наук, професор, пенсюнер, кафедра будiвельноi механжи, Кшвський нащональний утверситет будiвництва i архтектури, Украта, e-mail: agulyar@ukr.net.
Пискунов Сергт Олегович, доктор техтчних наук, професор, кафедра будiвельноi мехатки, Кшвський нащональний утверситет будiвництва i архтектури, Украта, e-mail: s_piskunov@ua.fm.
Андрieвський Вжтор Петрович, кандидат техшчних наук, доцент, кафедра будiвельноi механжи, Кшвський нащональний утверситет будiвництва i архтектури, Украта, e-mail: a-v-petrovich@ukr.net.
Шкриль Олексш Олександрович, кандидат техшчних наук, доцент, кафедра будiвельноi механжи, Кшвський нащональний утверситет будiвництва i архтектури, Украта, е-mail: alexniism@ukr.net.
Гуляр Александр Иванович, доктор технических наук, профессор, пенсионер, кафедра строительной механики, Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Украина. Пискунов Сергей Олегович, доктор технических наук, профессор, кафедра строительной механики, Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Украина. Андриевский Виктор Петрович, кандидат технических наук, доцент, кафедра строительной механики, Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Украина. Шкрыль Алексей Александрович, кандидат технических наук, доцент, кафедра строительной механики, Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Украина.
Gulyar Aleksandr, Kyiv National University of Construction and Architecture, Ukraine, e-mail: agulyar@ukr.net. Pyskunov Sergey, Kyiv National University of Construction and Architecture, Ukraine, e-mail: s_piskunov@ua.fm. Andrievskiy Viktor, Kyiv National University of Construction and Architecture, Ukraine, e-mail: a-v-petrovich@ukr.net. Shkril Alexey, Kyiv National University of Construction and Architecture, Ukraine, e-mail: alexniism@ukr.net
УДК 515.518
БШ: 10.15587/2312-8372.2015.45120
ганношина I. м. УПРАВЛ1ННЯ ФОРМОЮ NURBS-КРИВОi
ЗА ДОПОМОГОЮ ЗМ1НИ ВАГ1В ВУЗЛОВИХ ТОЧОК
В статтг пропонуеться методика управлтня формою NURBS-кривоí методом змгни «ваггв» точок вузлового вектору. При цьому пропонуеться застосувати допомгжт графгки впливу вуз-лових точок 1з заданою одиничною «вагою» на форму кривоí, якг наочно показують, як змтиться форма при змгнг «ваги» вузловог точки.
Ключовi слова: NURBS-крива, точковий репер, вага вузловог точки, допомгжний епюр графтв.
1. Вступ
В робоп проектувальниюв обводiв машин, яю працю-ють у рухомому середовишд, в тепершнш час найбшь-шого застосування набув метод NURBS-технологiй. При цьому часто виникае задача модифжацп змодельовано! криво! таким чином, щоб отримати шшу бажану резуль-туючу форму. Але методiв, яю б давали передбачувану форму, не шнуе [1]. Тому е актуальним розробити такий метод, який пропонуеться в цш роботь
В тепершнш час проектування криволшшних об-водiв в машинобудуванш широко використовуеться метод NURBS-технологiй. Але цей метод мае такий недолж, як непередбачувашсть юнцевого результату
проектування. Тому е актуальним розробка методiв, яю б забезпечували отримання бажаних наперед заданих результапв.
2. Анал1з л1тературних дослщжень
В статтях [2-6] пропонуеться штерактивш тдходи до управлшня формою NURBS-криво!. При цьому засто-совуеться розроблена програма побудови NURBS-кри-во! [7-12]. Пропонуеться методом послвдовно! зшми точок вузлового вектора i !х вапв ощнювати змшу криво! i покроково ïï змшювати до тих тр, поки не отримаемо бажаний результат. Такий шдхщ не дае змоги перед-бачити юнцевий результат не початку проектування.
