CC BY
29
Серiя: Техшчш науки ISSN 2225-6733
УДК 004.94
© Карвацький А.Я. \ Педченко А.Ю.2
РОЗВ'ЯЗАННЯ НЕЛ1НШНО1 НЕСТАЦ1ОНАРНО1 ЗАДАЧ1 ТЕПЛО-ЕЛЕКТРОПРОВ1ДНОСТ1 МЕТОДОМ СК1НЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТ1В
Наведено числову методику й ефективний алгоритм розв'язання нелттних неста-щонарних задач тепло-електропров1дност1 методом сюнченних елемент1в. На 6a3i програмного забезпечення Mathcad розроблено авторський програмний код для розв'язання поставленог задачi, за результатами виконання якого проведено порiв-няльний аналiз з даними точних аналтичних розв'язюв та з результатами число-вих розв'язюв, отриманими за допомогою програмних продуктiв Matlab. Ключовi слова: моделювання теплоелектричних процеав, метод сюнченних елеме-нтiв, метод Гальорюна, апроксимащя, Mathcad, лiнеаризацiя.
Карвацкий А.Я., Педченко А.Ю. Решение нелинейной нестационарной задачи тепло-электропроводности методом конечных элементов. Приведена численная методика и эффективный алгоритм решения нелинейных нестационарных задач тепло-электропроводности методом конечных элементов. На базе программного обеспечения Mathcad разработан авторский программный код для решения поставленной задачи, по результатами выполнения которого проведен сравнительный анализ с данными точных аналитических решений и результатам численных решений, полученными с помощью программных продуктов Matlab. Ключевые слова: моделирование теплоэлектрических процессов, метод конечных элементов, метод Галеркина, аппроксимация, Mathcad, линеаризация.
A. Ya. Karvatskii, A. Yu. Pedchenko. Solving nonlinear nonstationary problem of heat-conductivity by finite element method. Methodology and effective solving algorithm of non-linear dynamic problems of thermal and electric conductivity with significant temperature dependence of thermal and physical properties are given on the basis of finite element method (FEM) and Newton linearization method. Discrete equations system FEM was obtained with the use of Galerkin method, where the main function is the finite element form function. The methodology based on successive solving problems of thermal and electrical conductivity has been examined in the work in order to minimize the requirements for calculating resources (RAM. in particular). Having used Mathcad software original programming code was developed to solve the given problem. After investigation of the received results, comparative analyses of accurate solution data and results of numerical solutions, obtained with the use of Matlab programming products, was held. The geometry of one fourth part of the finite sized cylinder was used to test the given numerical model. The discretization of the calculation part was fulfilled using the open programming software for automated Gmsh nets with tetrahedral units, while ParaView, which is an open programming code as well, was used to visualize the calculation results. It was found out that the maximum value violation of potential and temperature determination doesn't exceed 0,2-0,83% in the given work according to the problem conditions. Keywords: modelling of thermoelectric processes, finite elements method, Galerkin method, approximation, Mathcad, linearization.
Постановка проблеми. Дослщження динамши теплоелектричних процешв вдаграе важ-ливу роль у задачах проектування бшьшосп сучасних техшчних об'екпв, оскшьки !х надш-нють та ефективнють функщонування в значнш мiрi залежить вщ правильносп визначення електричних та температурних режимiв експлуатацп. Для розрахунюв складних теплоелектричних техшчних систем набули особливого поширення методи i3 застосовуванням потужно! об-
1 д-р техн. наук, професор, НТУУ «Кигвський полтехтчний iнститут», м. Кигв, anton@rst.kpi.ua
2 аспирант, НТУУ «Кигвський полтехтчний тститут», м. Кигв, anatolek@ukr.net
Серiя: Технiчнi науки ISSN 2225-6733
числювально! технiки, що використовують спецiальне програмне забезпечення. Такий спошб для розв'язання поставлено! задачi е найбiльш рацiональним, оскiльки дозволяе заощадити ма-терiальнi та часовi ресурси. Сучаснi програмнi продукти для проведення шженерних розрахун-кiв базуються на рiзних числових методах i алгоритмах розв'язання диференцiйних рiвнянь. Тому розробка ращональних методик та алгоршмв числового розв'язання нестацiонарних задач тепло-електропровщносп зi значною температурною залежнютю теплофiзичних властивос-тей е надзвичайно важливою та актуальною для проектування сучасних промислових об'ектiв.
Аналiз останшх дослiджень i публiкацiй. Питанню розробки методики та ефективного алгоритму розв'язання задач тепло-електропровщносп присвячено ряд вггчизняних та зарубiж-них робiт [1-4]. В даних роботах наведено результати розв'язання числових задач засобами комп'ютерного шжишрингу iз застосуванням методу скшченних елементiв, скiнченних об'емiв, скiнченних рiзниць та iн.
Так, у робой [5] виконано комп'ютерне моделювання вюесиметрично! нестащонарно! за-дачi тепло-електропровiдностi силово! електросистеми iз температурною залежнiстю матерiа-лiв. Числовi розрахунки виконано iз застосуванням програмного пакету Comsol, використову-ючи дискретизацiю вихщно! областi на скшченш елементи. За отриманими даними приведено результати розподшу електричного та температурного полiв у силовому кабелi з полiмерною iзоляцiею. Аналогiчнi даш для силово! електросистеми отримано в [6], але з використанням числового методу скшченних рiзниць.
У робой [7] приведено числове розв'язання нестащонарно! тепло-електрично! задачi ма-тематично! моделi електродугового електрода, який складаеться з декшькох матерiалiв. Внут-ршне джерело теплоти утворюеться за рахунок джоулевого на^вання. Математична модель представлена системою нелшшних диференцiальних рiвнянь в частинних похщних. Викорис-тано неявний метод дискретизащ! за часом i стандартний метод скiнченних елементiв для дис-кретизацi! розрахунково! областi.
Аналiз дослiджень та публiкацiй показуе, що в розглянутих роботах наведено лише постановка тепло-електрично! задачу а опис числово! методики та алгоритму !! розв'язання або вщсутнш взагал^ або привидиться частково.
Цiль статт - розробка ефективного алгоритму та програмного коду для розв'язання нестащонарно! задачi теплопровщносп з температурною залежнютю теплофiзичних властивос-тей.
Виклад основного матерiалу. Систему рiвнянь зв'язано! нелiнiйно! нестацiонарно! зада-чi тепло-електропровщносп iзотропного середовища можна записати у виглядi
^ ^[Х(т^т(х)] + Х(т^и|2 + ду (т), х> 0; х еП, (1)
v•[x(т )уи ] = 0,
т
де й(т)= |ср (т)р(т- об'емна ентальпiя, Дж/м3; ТгеГ - абсолютна температура вщль
Т
ге£
ку, К; ср - масова iзобарна теплоемнiсть, Дж/(кг-К); р - густина, кг/м ; т - абсолютна темпе-
8
ратура, К; т - час, с; V =-, i = 1,2,3 - оператор Гамшьтона, м-1; х1, i = 1,2,3 - декартовi ко-
8хг-
ординати, м; X - коефщент теплопровiдностi, Вт/(мК); х - радiус-вектор декартово! системи координат, м; % - коефщент електропровiдностi, См/м; и - електричний потенщал, В; -
? 3 3
об'емна густина внутршнього джерела теплоти неелектрично! природи, Вт/м ; ПеЯ - три-вимiрна розрахункова область.
Початковi умови для (1) в момент часу т = 0 задаються тшьки для нестацiонарного рiв-няння теплопровщносп (1):
т (х)|п= то, (2)
де т0 - початкова температура, К.
Граничш умови (ГУ) для рiвняння теплопровiдностi (1) в момент часу т> 0 можуть включати ГУ трьох родiв:
Серiя: Технiчнi науки ISSN 2225-6733
- I роду або Дирихле - задана температура Тъ на границ Гт 1 частини поверхш О
т (х)гт 1 = тъ; (3)
- II роду або Неймана - задана нормальна складова вектора густини теплового потоку на гранищ Гт п частини поверхш О
qn |Гп = п-[-Х(Т)УТ], (4)
- де дп - нормальна складова вектора густини теплового потоку q = -Х(Т)УТ, Вт/м2; п - вектор зовшшньо! нормалi до О;
- III роду - задаш конвективнi умови теплообмiну на гранищ Гт 1П частини поверхш О
п • [- Х(Т)УТ= а(Т)(т -Тр), (5)
де а - коефщент тепловiддaчi, Вт/(м2-К); Тр - температура оточуючого середовища, К.
ГУ квaзiстaцiонaрного рiвняння електропровщносп (1) в момент часу т> 0 можуть включати ГУ двох титв:
- Дирихле - задано нульовий електричний потенцiaл на гранищ Ги I частини поверхнi О
и (х)Г = 0; (6)
1Ги I
- Неймана - задана нормальна складова вектора густини електричного струму на гранищ Ги и частини поверхш О
и\ги п = п ^[-х(Т)Уи], (7)
де - нормальна складова вектора густини електричного струму, А/м2.
Система рiвнянь (1)-(7) е повним формулюванням зв'язано! нелшшно! нестащонарно! за-дaчi тепло-електропровiдностi iзотропного середовища.
Методика числового розв'язання. Розглянемо числову методику розв'язання зaдaчi (1)-(7) з використанням методу скшченних елементiв (МСЕ) [8-10]. Систему дискретних рiвнянь МСЕ можна отримати методом Гальоркша. При цьому за вагову функщю обираеться функщя форми скiнченного елементу (СЕ). Отже, для зaдaчi (1)-(7) шсля дискретизацп О на скiнченнi елемен-ти i використання першого порядку апроксимацп О(Ах) для скiнченно-рiзницевого аналога по-хщно! за часом [11] отримуемо таку систему дискретних рiвнянь МСЕ у рaзi И формування по СЕ:
-^..Т )]+кЛТ )}Нн
5 I ^-АТ-1" "К1" (' "+ [К' СШ" ¡+
г('})21 + )с ИТ )!+!/ (• )('Г»-)/-<•)![. = ,
+ (г) {и« }2 } + {¿Ч (т)}+ {/+" (г)}- № }]• = 0; (8)
5 к"'(г )!/">}+ {/,<"}}= 0,
е=1
де (е) - iндекс СЕ; М - кшьюсть СЕ; е)}, )} - вектори об'емно! ентальпп СЕ на верхньому та нижньому часових рiвнях, вщповщно, Дж/м3; {т(е)}, Т(е)} - вектори абсолютно! температури СЕ на верхньому та нижньому часових рiвнях, вiдповiдно, К; С(е) , [К-)(т)], \Ка((Т)] - мaтрицi СЕ, що пов'язaнi з демпфiрувaнням, теплопровiднiстю (Вт/(м3^К)) та зов-нiшнiм конвективним теплообмiном (Вт/(м3^К)), вщповщно;
{^(е)Тг){уи( е)} } {fqе)(Т)} {/а )(Т)} )} - вектори навантаження СЕ, що пов'язаш з внутрь
шшм джерелом теплоти за рахунок джоулево! теплоти та джерелом неелектрично! природи, зовшшшм конвективним теплообмiном на гранищ Гт ш частини поверхнi О i густиною теплового потоку на границ Гт ц частини поверхш О, вщповщно, Вт/м ; е)}= [в ]{г(е)} - градь
ент
електричного потенщалу СЕ, В/м; {и (е - вектор електричного потенцiалу СЕ на верхньо-му часовому рiвнi, В; [к^е)(Т')] - матриця СЕ, що пов'язана з електропровiднiстю, См/м3;
{//~е)} - вектор навантаження СЕ за рахунок задано! густини електричного струму на гранищ
Ги п частини поверхнi О, А/м3.
Систему дискретних рiвнянь (8) можна розв'язувати за допомогою побудови теплоелект-ричного СЕ з двома ступенями свободи (Т i и), як це, наприклад, використовусться для задач напружено-деформованого стану [8-10]. Основним недолшом такого способу е шдвищеш ви-моги до обчислювальних ресурсiв (зокрема, до оперативно! пам'ят1). Тому з метою мiнiмiзацi! цих вимог у данш роботi розглядаеться методика, що побудована на послщовному розв'язанш рiвнянь теплопровiдностi та електропровщносп.
Вирази у виглядi iнтегральних сшввщношень для визначення матриць
C (e) , K*
K
(*)
i BeKTopiB
iB {/£°} Ш {/¡И СЕ для ЛiHi
лшшних задач теплопровiдностi можна знаити в
[8-10]. Сшввщношення для матрицi K
(e)
i вектору {/)] рiвняння електропровiдностi нескладно отримати за аналопею з теплопровiднiстю. Для нелшшно! задачi (1)-(7) цi вирази за виключенням матрицi С(е) е залежними вiд температури ^ тому в процесi !! розв'язання ггера-цiйними методами потребують перерахування на кожному крощ виконання ггерацш, що е не-ефективним, особливо для нестащонарних задач. Враховуючи iзотропнiсть фiзичних властиво-стей середовища, цього можна уникнути за допомогою деяких перетворень основних сшввщношень СЕ. Наприклад, для матрищ СЕ, пов'язано! з теплопровщшстю, будемо мати
К\т)] = |Х{Т№« я(т1е)) |[В]Т[в]^ = л(т1е)\к[е>];
V(е) V(е)
для матрищ СЕ, пов'язано! iз зовнiшнiм конвективним теплообмшом
[К}е>(Т)]= ¡а(Т)[М]т [М« а(т!е>) ¡[М]т [м= «(^^)];
S(e) S(e)
для матрищ СЕ, пов'язано! з електропровщшстю
(9)
(10)
[4 )(f )J= J x(T )BJT [B]dv « ^Ti* ) JBf [B]dV = fc)]
V(e) V(e)
(11)
де
V(e) - об' ем СЕ; S(e) - поверхня гранi СЕ; [N J - матриця-рядок коефiцiентiв фор
ми
M
St-
СЕ; [в] = У[М ] - матриця градiентiв СЕ; Т^ = 1 - середня температура СЕ;
к!е)]=ке)]= ¡[В]Т[в]^, [к[е)]= ¡[м]Т[М]dS . v(e' s(е'
Матриця демпфiрування не перетворюеться, оскшьки за рахунок використання h замють Т у (8) вона стае незалежною вiд температури i виражаеться таким спiввiдношенням
С (е)(^)]= ¡[м] [м]^ = [с«],
(12)
А*)
де
c(e)J= J[NJT№v .
V (*)
Аналопчш перетворення також нескладно виконати i для векторiв навантаження СЕ
k
(*)
i(e)
k (*)
та вектори
/>Т)} />Т)} />} {/)}. Тепер матрицi [к[' {/д^} {/«е)} {//'е)} СЕ вимагають тiльки одноразового обчислення на початку ггерацшного циклу розв'язання задача В результатi виконаних перетворень (9)-(12) система дискретних рiв-
Серiя: Техшчш науки ISSN 2225-6733
нянь МСЕ (8) набувае вигляду
м I
XI-
Дт
xTm ].jvi>(']}2 }+/• Ш ])+ /]a Tm-T -wq f=o,
(13)
X k" ]kfc*])U>(' .}+/•]}/. }=o,
e=1
де qn - нормальна густина теплового потоку на граш СЕ, Вт/м2; jn - нормальна густина
сили електричного струму на граш СЕ, А/м2; /^-)}= JN ] dV;
v v(e ]
j/i- ]}={/qq- ] }= j/j -) }= J[N T d^ .
Пiсля частково! лшеаризацп за методом Ньютона [11] система дискретних рiвнянь (13) набувае вигляду:
- для рiвняння теплопровщносп
k
di- ](T k)
dT
Tk + iw(Tk)
+ [k(
а
da( e ](Tk) dT
fk + а(-](fk) +[c(- ]p-
(e ] (Tk )p((Tk)_
Дт
'da(- ](fk )YT {(e M ](Tk )f
dT I p Л dT [
; (14)
S k+1}=:s /]ji
e=1
- для ршняння електропровiдностi
: k" ]Jx(T"k k +'}=i; j/x- ]},
де j/i- .}=-c-] Tk ] ""
Дт
c(e .L ( тk .a( тk ь -U.
(15)
.}=-с, .jiw^^- ([ki-if.+k- - .r}+ut .{U.}
+
+ j/qy Mt)+ j/a- ]a Tm .Tp -j/i-]}qn - вiльний член системи дискретних рiвнянь (14); - вектор неув'язки за температурою; k - номер ггерацп на кожному кроцi штегрування
j^TT k+1}
за часом
. / ]}=x *№ )u>c -]}+ j/j - ]k}
вшьний член системи дискретних ршнянь
(15); j^UZk 1} - вектор неув'язки за електричним потенщалом.
Тут лшеаризащя (15) е необов'язковою, але li виконання пояснюеться отриманням одна-ково! форми запису систем дискретних рiвнянь.
Системи лшеаризованих рiвнянь (14) i (15) можна також переписати вщносно вузлових
невщомих 5T i SU , вщповщно. Наприклад, у разi нелiнiйностi, що викликана температурною залежнiстю ср, р, X, а, % , будемо мати такi системи лшеаризованих рiвнянь: - для рiвняння теплопровщносп
де
к j=[kij
'di(Tk
к к }=R} i,
j = 1, N ,
(^k) /Ч\1 г {da(тк) Тк + i(Tk )+[k, ]
-j/a i }
da (Tk
V
dT
i
a i]
\
dT
Tk +aT)] + |cj]Cp'"k ^"k
' i
(16)
у
Дт
dT
Tp - матриця системи, що вщповщае глобальним номерам вузлiв;
T
e=1
-([С w' i+
kj-Wk ))Tk W r(fi ljv£7(-tu
+ {/ 6 + {/t ^(Tn }Гр - {/ e )}/и J - вектор вшьних членiв вiдносно глобальних номерам вуз-
л1в;
- для piBMHM електропровiдностi
Jjs^j }={$*} i, j = 1N, (17)
Де Aif J=\kjj Ш) - матриця системи, що вщповщае глобальним номерам вузлiв; \kx( ^J^T^ ){U( e)}+{/je )}jn } - вектор вшьних члешв вiдносно глобальних номерiв
e=1
вузлiв.
Матрицi Ay J i \Aj J e розрiдженими, тому для !х формування та подальшого розв'язання
систем лiнiйних алгебричних рiвнянь (16) i (17) зазвичай використовуеться, наприклад, с^ч-кова !х форма [12], що також значно мiнiмiзуe вимоги до обчислювальних ресурсiв.
Системи лшеаризованих рiвнянь (16) i (17) на кожному крощ iтерацiй розв'язуються по-
слiдовно вiдносно pTk+1} i pUk+1}, вщповщно, а шукана температура i потенцiал у вузлах
розрахунково! сггки визначаеться за формулами
{Tk+1}=&к }+ {pTk+1} i = 1N;
{uU+1}={uUikj+pu^1 ji i = 1N, (18)
де N - кiлькiсть вузлiв у розрахунковiй областi.
При цьому система рiвнянь (17) для електропровщносп розв'язуеться першою в ггера-цшному циклi розв'язання задачi тепло-електропровiдностi.
Критерieм отримання числового розв'язку вихщно! задачi на кожному часовому кроцi е виконання умови
ÖT
k+1
< sT, i = 1, N, (19)
де вт - задана точнють розрахунку поля температури, К.
При цьому точнiсть визначення електричного потенщалу, яка е не пршою за температуру, встановлюсться автоматично.
Програмна реалiзацiя числово! методики та тести. Дискретизащю областi О можна здш-снювати чотиригранними або шестигранними лiнiйними СЕ з вюьмома та чотирма вузлами, вiдповiдно. Для виконання тестування викладено! у робот числово! методики використано тет-раедш СЕ. Дискретизацiя розрахунково! областi проведена за допомогою вiльно вiдкритого програмного забезпечення для автоматизовано! генерацi!' шток Gmsh [13], а для вiзуалiзацi!' ре-зультатiв розрахункiв застосовано - ParaView [14], який також е вшьно вiдкритим програмним кодом.
Програмна реалiзацiя числово! методики виконана на мовi програмування системи Mathcad [15]. Ощнка точностi розрахункiв проведена за допомогою порiвняння з точними (ана-лггичними) та числовими розв'язками задач, отриманими за допомогою шшого програмного забезпечення. У якост геометричного об'екта обрано цилшдр за рiзних комбiнацiй задання граничних умов конвективного типу для рiвняння теплопровщносп та умов Дирихле та Неймана для рiвняння електропровщносп за умов стацiонарного та нестащонарного розподiлу полiв температури, для яких юнують точнi розв'язки у разi лiнiйних задач [16].
Числова модель тепло-електропровщносп являе собою четверту частину цилшдра, яку побудовано за допомогою спещального geo-файлу у програмi Gmsh, та виконано !! дискретизащю на тетраедш СЕ.
Тестування розробленого у середовищi Mathcad програмного забезпечення для розв'язання зв'язано! нестащонарно! задачi тепло-електропровiдностi (1)-(7) iзотропного сере-довища проведено за декiлькома тестами, що включають лiнiйнi та нелшшш задачi.
Тест 1. Стацюнарна лшшна задача тепло-електропровiдностi цилiндра радiусом 0,05 м та висотою 0,1 м з коефщентом теплопровiдностi 12 Вт/(мК), електропровiдностi 500 См/м за граничних умов для I, II i III роду на торцях та 6i4Hrn сторош для piB^Hb електропровiдностi та теплопровiдностi, вiдповiдно: нижнш торець U = 0 В; верхнш торець jn = 2500/5000/10000 А/м2; бiчна сторона а = 15 Вт/(м2К), tp1 = 35 °С (табл. 1).
Таблиця 1
Результати порiвняння за тестом 1
Тип розв'язку t -1 jn = 2500 А/м2 t -1 jn = 5000 А/м2 t -1 jn = 10000 А/м2
Точний розв'язок [16] 55,827-56,478 118,309-120,912 368,235-378,649
Mathcad - авторський код, вузлiв 1218, СЕ - 4804 55,795-56,451 118,18-120,804 367,721-378.214
qv, Вт/м3 1,25404 5,0404 2,0405
Похибка, % 0,068-0,058 0,11-0,09 0,14-0,11
Примггка. tcm., t - температура стiнки та центру цилшдра, вiдповiдно, °С.
Тест 2. Стацюнарна нелшшна задача тепло-електропровiдностi цилшдра радiусом 0,05 м та висотою 0,1 м теплопровщнютю X(t) = 159,218е_1,116х10 t Вт/(мК), електропровщнютю
за граничних умов для
X(t) = 73086,2 - 7,032 • 10"914 + 5,188 • 10"513 -1,381-10"112 + 136,36t См/м I, II i III роду на торцях та бiчнiй сторош для рiвнянь електропровщносп i теплопровщносп, вiдповiдно: нижнiй торець U = 0 В; верхнш торець jn = 0,5 • 105 /0,1 • 106/0,2-106 А/м2; 6i4^ сторона а = 15 Вт/(м2-К), tp1 = 35 °С (табл. 2).
Таблиця 2
Результати порiвняння за тестом 2
Тип розв'язку jn = 0,5 •Ю5 А/м2 jn = 0,1 •Ю6 А/м2 jn = 0,2 •Ю6 А/м2
t -1 °С U max , В t -1 °С U max , В t -1 °С U max , В
Matlab [17] 85,2385,35 0,0602 207,04207,46 0,1032 612,71614,27 0,1732
Mathcad - авто-рський код, вузлiв 1218, СЕ - 4804 84,7184,85 0,0597 208,36209,04 0,1042 610,07618,7 0,1729
Похибка, % 0,61-0,59 0,83 0,64-0,77 0,97 0,43-0,72 0,17
Тест 3. Нестацюнарна нелiнiйна задача тепло-електропровщносп цилiндра радiусом
0.05 м та висотою 0,1 м з коефщентом теплопровщносп X (t ) = 159,218е"1,116х10- t Вт/(мК), ма-совою iзобарною теплоeмнiстю cp(t) = 712,2 + 2,933 х10-713 -1,444 х10-312 + 2,406t Дж/(кг-К), густиною p(t) = 1853 - 5,453 х10-512 - 0,127t кг/м3 та електропровiднiстю
X(t)= 73086,2 - 7,032 • 10-914 + 5,188 • 10-513 -1,381 • 10-1t2 + 136,36t См/м за граничних умов для
1, II i III родiв на торцях та бiчнiй сторонi для рiвнянь електропровiдностi та теплопровiдностi, вщповщно: нижнiй торець U = 0 В; верхнш торець jn = 105 А/м2; торцi та бiчна сторона а = 15 Вт/(м2К), tp1 = 35 °С. Початкова температура t0 = 35 °С. (табл. 3).
Таблиця 3
Результати nopiB^HM за тестом 3
[fem. - )/Umax , °С/В
Час, год 0,5 1 2 3 4
Matlab [17] (115,96116,39)/ 0,1148 (141,22141,80)/ 0,1114 (154,17154,84)/ 0,1098 (156,16156,84)/ 0,1096 (156,47157,15)/ 0,1096
Mathcad - МСЕ, авторський код, 120 кроюв за часом, вузлiв 1218, СЕ - 4804 (116,71 -117,22)/ 0,1147 (141,58 -142,28)/ 0,1114 (154,13154,94)/ 0,1099 (156,05156,87)/ 0.1096 (156,35157,18)/ 0,1096
Похибка, % (0,65-0,71)/0,087 (0,26-0,34)/0,0 (0,03-0,07)/0,08 (0,07-0,02)/0,0 (0,08-0,02)/0,0
Результати числового моделювання за тестом 3 з використанням розробленого програм-ного забезпечення наведено на рисунку.
и, В рО.ПО
1|0.082
10.055
Е
10.027 -0.000
а б
Рисунок - Результати числового моделювання за тестом 3 на 4 год: а - поле темпе-
ратури; б - поле електричного потенщалу
Анатз порiвняння результатiв показуе, що даш моделювання за розробленим програмним забезпеченням збтаються з аналiтичними та числовими розв'язками, що отримаш з використанням програмного забезпечення Matlab. При цьому максимальне значення похибки визначення температури i електричного потенцiалу не перевищуе 0,2-0,83% залежно вiд умов задача
Висновки
На базi методу скшченних елементiв та лшеаризацп за методом Ньютона розроблено чи-слову методику та програмне забезпечення для розв'язання нелшшно! нестащонарно! задачi тепло-електропровщносп та виконано зiставлення результатiв числових експерименив за тестами, для яких юнують точнi розв'язки, та з даними, отриманими за допомогою програмних продукпв Matlab. Встановлено, що максимальне значення похибки визначення температури i електричного потенщалу не перевищуе 0,2-0,83% залежно вщ умов задача
Серiя: Техшчш науки ISSN 2225-6733
Подальшi дослiдження доцшьно продовжити у напрямку розробки методики та алгорит-
MiB розв'язання контактних задач тепло-електропровщносп з врахуванням с^чково! форми
запису матрицi системи лшеаризованих дискретних рiвнянь та мiнiмiзацil ширини стрiчки.
Список використаних джерел:
1. Моделирование термоэлектрической системы генерирования тепловой и электрической энергии / В.Я. Михайловский, Л.Т. Струтинская, Е.В. Чайковская // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. - 2005. - № 4. - С. 27-30.
2. Ярымбаш Д.С. Идентификация электрических параметров печной петли мощных печей гра-фитации / Д.С. Ярымбаш // Электротехника и электромеханика. - 2012. - № 1. - С. 49-54.
3. Yune Y.G. Transient Nonlinear Thermal Runaway Effects in Carbon Graphite Electrical Brushes / Y.G. Yune, M.D. Bryant // IEEE Transactions on Components Hybrids and Manufacturing Technology. - 1988. - Vol. 11, № 1. - P. 91-100.
4. Temperature evolution during field activated sintering / A. Zavaliangos, J. Zhang, M. Krammer, J R. Groza // Materials Science and Engineering. - 2004. - Vol. 379, Iss. 1-2. - P. 218-228.
5. Кучерявая И.Н. Компьютерное моделирование электротепловых процессов в полимерной изоляции кабеля с воздушным включением при возникновении единичного частичного разряда / И.Н. Кучерявая // Техшчна електродинамша. - 2011. - № 5. - С. 18-24.
6. Study by simulation of the effect of temperature on the appearance of partial discharges in gaseous cavities contained in the insulator of high voltage cable / T. Seghir, A. Nouar, K. Lefkaier, D. Mahi // Power Tech Conference Proceedings. - Bologna, 2003. - Р. 718-721.
7. A numerical method for transient simulation of metallurgical compound electrodes / A. Bermudez, J. Bullon, F. Pena, P. Salgado // Finite Elements in Analysis and Design. - 2003. - Vol. 39, Iss. 4. - P. 283-299.
8. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич ; пер. с англ. ; под ред. Б.Е. Победри. - М. : Мир, 1975. - 541 с.
9. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд ; пер. с англ. А.А. Шестакова ; под ред. Б.Е. Победри. - М. : Мир, 1979. - 392 с.
10. Карвацький А.Я. Метод скшченних елеменив у задачах мехашки суцшьних середовищ. Програмна реалiзацiя та вiзуалiзацiя результата : навчальний пошбник. - К. : НТУУ «КП1» ВП1 ВПК «Полггехшка», 2015. - 392 c.
11. Самарский А.А. Разностные методы решения задач газовой динамики / А.А. Самарский, Ю.П. Попов. - М. : Наука, 1980. - 352 с.
12. Джордж А. Численное решение больших разреженных систем уравнений / А. Джордж, Дж. Лю ; пер. с англ. Х.Д. Икрамова. - М. : Мир, 1984. - 334 с.
13. Gmsh. a three-dimensional finite element mesh generator with built-in pre- and post-processing facilities [Электронный ресурс]. - (http://geuz. org/gmsh/).
14. ParaView. An open-source, multi-platform data analysis and visualization application [Электронный ресурс]. - (http://www.paraview.org/).
15. Mathcad. Engineering math software that allows perform, analyze, and share your most vital calculations [Электронный ресурс]. - (http://www.ptc.com/engineering-math-software/mathcad/).
16. Исаченко В.П. Теплопередача : учебник для вузов / В.П. Исаченко, В.А. Осипова, А.С. Су-комел. - М. : Энергоиздат, 1981. - 416 с.
17. Matlab. The Language of Technical Computing [Электронный ресурс]. -(http://www.mathworks.com/products/matlab/).
Bibliography:
1. Simulation of the thermoelectric system for generating heat and electricity / V.Ya. Mykhay-lovskiy, L.T. Strutynskaya, E.B. Chaykovskaya // Technology and design in electronic equipment. - 2005. - № 4. - P. 27-30. (Rus.)
2. Yarymbash D.S. Identification of the electrical parameters of the circuit loop of powerful furnaces graphitization / D.S. Yarymbash // Electrical engineering & electromechanics. - 2012. - № 1. -P. 49-54. (Rus.)
3. Yune Y.G. Transient Nonlinear Thermal Runaway Effects in Carbon Graphite Electrical Brushes / Y.G. Yune, M.D. Bryant // IEEE Transactions on Components Hybrids and Manufacturing Tech-
Серiя: Техшчш науки ISSN 2225-6733
nology. - 1988. - Vol. 11, № 1. - P. 91-100.
4. Temperature evolution during field activated sintering / A. Zavaliangos, J. Zhang, M. Krammer, J R. Groza // Materials Science and Engineering. - 2004. - Vol. 379, Iss. 1-2. - P. 218-228.
5. Kucheryavaya I.N. Computer modeling of electrothermal processes in polyethylene insulation of cable with air inclusion at single partial discharge / I.N. Kucheryavaya // Technical electrodynamics. - 2011. - №5. - P. 18-24. (Rus.)
6. Study by simulation of the effect of temperature on the appearance of partial discharges in gaseous cavities contained in the insulator of high voltage cable / T. Seghir, A. Nouar, K. Lefkaier, D. Mahi // Power Tech Conference Proceedings. - Bologna, 2003. - Р. 718-721.
7. A numerical method for transient simulation of metallurgical compound electrodes / A. Bermudez, J. Bullon, F. Pena, P. Salgado // Finite Elements in Analysis and Design. - 2003. - Vol. 39, Iss. 4. - P. 283-299.
8. Zenkevich A. The method of finite elements in technique / A. Zenkevich ; translation with eng. ; under the edit. B E. Pobedry. - M. : Myr, 1975. - 541 p. (Rus.)
9. Seherlynd L. Application of the method of finite elements / L. Seherlynd ; translation with eng. A.A. Shestakova ; under the edit. B E. Pobedry. - M. : Myr, 1979. - 392 p. (Rus.)
10. Karvatskii A.Ya. Finite element method in problems of continuum mechanics. Software implementation and results visualization : education guidance. - K. : NTUU «KPI» PPI PPC «Politeh-nika», 2015. - 392 p. (Ukr.)
11. Samarskyj A.A. Difference methods for solving problems of gas dynamics / A.A. Samarskyj, Yu.P. Popov. - M. : Nauka, 1980. - 352 p. (Rus.)
12. George A. The numerical solution of large sparse systems of equations / A. George, J. Liu ; translation with eng. H.D. Ykramova. - M. : Myr, 1984. - 334 p. (Rus.)
13. Gmsh. a three-dimensional finite element mesh generator with built-in pre- and post-processing facilities. - Access mode: http://geuz.org/gmsh/.
14. ParaView. An open-source, multi-platform data analysis and visualization application [Electronic resource]. - (http://www.paraview.org/).
15. Mathcad. Engineering math software that allows perform, analyze, and share your most vital calculations [Electronic resource]. - (http://www.ptc.com/engineering-math-software/mathcad/).
16. Ysachenko V.P. Heat transfer : tutorial for high schools / V.P. Ysachenko, V.A. Osypova, A.S. Sukomel. - M. : Enerhoyzdat, 1981. - 416 p. (Rus.)
17. Matlab. The Language of Technical Computing [Electronic resource]. -(http://www.mathworks.com/products/matlab/).
Рецензент: 1.О. Мшульонок
д-р техн. наук, проф., НТУУ «КП1»
Стаття надшшла 25.05.2016
