CC BY
8
ПРИКЛАДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ _ТЕХНОЛОГИИ_
УДК 514.18
Н.М. АУШЕВА, А.Г. ГУР1Н
Нацюнальний техшчний унгверситет Укра1ни "Кшвський полiтехнiчний шститут"
МОДЕЛЮВАННЯ ПЛОСКИХ С1ТОК НА ОСНОВ1 1ЗОТРОПНИХ В-СПЛАЙН1В
У po6omi пропонуеться модифiкацiя перiодичного В-сплайну з нормалiзованою параметризащею для формування кривих з нульовою довжиною. Точки характеристичного многокутника визначаються у комплексному виглядi. Визначено умови для формування iзотропних кривих. Побудова стки здтснюеться на основi замши параметра 1зотропно'( криво'1 на комплексну змтну. Доведено, що стка буде ортогональною та iзотермiчною.
Ключовi слова: плост атки, iзотропна крива, перiодичний В-сплайн, нормалгзована параметризащя, крива третього порядку.
Н.Н. АУШЕВА, А.Л. ГУРИН
Национальний технический университет Украины "Киевский политехнический институт"
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОСКИХ СЕТОК НА ОСНОВЕ ИЗОТРОПНЫХ В-СПЛАЙНОВ
В работе предлагается модификация периодического В-сплайна с нормализованной параметризацией для формирования кривых с нулевой длиной. Точки характеристического многоугольника определяются в комплексном виде. Определены условия для формирования изотропных кривых. Построение сетки осуществляется на основе замены параметра изотропной кривой на комплексную переменную. Доказано, что сетка будет ортогональной и изотермической.
Ключевые слова: плоские сетки, изотропная кривая, периодический В-сплайн, нормализованная параметризация, кривая третьего порядка.
N.M. AUSHEVA, A.L. GURIN
National Technical University of Ukraine "Kyiv Polytechnic Institute"
MODELING OF PLANE GRIDS BASED ON ISOTROPIC B-SPLINES
Modification of a periodic B-spline having normalized parameterization is proposed in the paper for the purpose offorming zero length curves. Appropriate points of the characteristic polygon are determined as complex-valued ones. Conditions for the formation of isotropic curves have been determined. Building of the grid is realized by way of substitution of an isotropic curve parameter with a complex-valued variable. It has been proved that the grid is to be orthogonal and isothermal.
Keywords: plane grids, isotropic curve, periodic B-spline, normalized parameterization, cubic curve.
Постановка проблеми
При конструюванш поверхонь виникае проблема вщнесення поверхонь до конкретних титв координатных сггок, яш володгють специф!чними властивостями. Ц властивосп надають нов! можливосп у процеа спрощування вираз1в для першо! та друго! квадратичних форм. З ще! точки зору дуже перспективним е виявлення основних законом!рностей впливу !зотропних характеристик на побудову координатних плоских сггок. Дослщження проводились стосовно моделювання !зотропних кривих у вигляд! Без'е [1] та дробово-рацюнальних кривих [2]. Доцшьно провести дослгдження стосовно моделювання !зотропних кривих у вигляд! В-сплайшв.
Анаш останшх дослщжень
У робот! [2] дослщжуеться побудова плоских сток на основ! дробово-рацюнальних кривих нульово! довжини. Знайдеш умови для формування плоско! !зотропно! криво! та !зотропно! сГтки на площиш. Дослгдження просторових !зотропних сггок у комплексному простор! описано в робот! [3]. Дисертацшш дослщження [4] присвячено конструюванню i перетворенню поверхонь i3 збереженням ортогональних сггок координатних лшш та лшш кривини. Автором роб!т [5-7] пропонуеться використовувати !зотропш крив! для моделювання мшмальних поверхонь. 1зотропн! крив! моделюються у форм! Без'е. Дослгджуються властивост! характеристичних многокутникгв.
Формулювання цiлей статт (постановка завдання)
Побудова плоско! сгтки на основ! напрямно!, що задаеться сегментом !зотропно! криво! перюдичного В-сплайну з нормал!зованою параметризащею.
Основна частина
Нехай задана певна iзотропна плоска крива ). Моделювання будь-яких iзотропних кривих будемо проводити за допомогою завдання дшсних характеристик точок та визначення уявних: Г/ Re ^ Г/ Im . Для побудови сггки використаемо iзотропну криву як напрямну криву. Для цього
шдставимо замють параметра / певну комплексну змшну и+1У: /=ы+п>.
Оберемо в якосп iзотропно! криво! перюдичний 5-сплайн з нормалiзованою параметризацiею. Вщомо, що перiодичний 5-сплайн з нормалiзованою параметризацiею являе собою сукупнiсть сегменпв, базиснi функцп яких приведенi до штервалу параметра (0 < t < 1) та е однаковими.
г/(t)=6 •
t3, t2, t,1
-1 3 -3 1" Г/
3 - 6 3 0 Г/+1
- 3 0 3 0 Г/+2
1 4 1 0 Г/+3
(1)
(0 < t < 1)
де j - к1льк1сть сегментiв криво! 5-сплайну,
г/, Г/ +1, Г/ + 2, г/+3- реперш точки характеристичного чотирикутника.
Типовий сегмент криво! перюдичного 5-сплайну четвертого порядку з нормалiзованою параметризацiею мае вигляд:
(2)
Г/ ^) = - (гj (-t3 + 3t2 - 3t +1) + Г/+1 (3t3 - 6t2 + 4) + Гj+2 (-3t3 + 3t2 + 3t +1) + Г/+3t3).
Будемо задавати координати точок характеристичного чотирикутника у комплексному виглядг
4+1 = |Ке(X/+1) ± г \miXj+1) Яе(у/+1) ± г 1т(у/+1) ], j = 0..3. (3)
Для побудови перюдичного 5-сплайну вiдокремлюеться дiйсна частини [6]. При такому пiдходi на формування криво! не впливае уявна складова комплексних складових. Визначимо умови iзотропностi для обраного 5-сплайну.
Розглянемо моделювання просторово! iзотропно! модифжовано! криво! перiодичного 5-сплайну четвертого порядку на основi рiвняння (3).
Для цього вiзьмемо квадрат виразу (3) та шдставимо в умову iзотропностi кривих [6]. Будемо мати:
X [4 (/ + +12 + +22 + Г/ +32 )• t4 + (г/2 + 4г/ +12 + Г/ +22 )• t2 + (/ + Г/ +22)] = 0. (4)
Г=X, у, 7
Умова (4) буде виконуватись та не залежати ввд значення параметра, якщо коефщенти при вах степенях t дорiвнюють 0. Тобто одержимо рiвняння:
хГ2
+ 9г/+12 + 9Г
2
1+2 + Г/+3
2
= 0,
Г = X, у, 7
X (Г/2 + 4г1+12 + Г/+22) = 0,
Г=X, у, 7
% Г/ + 22) = 0.
(5)
X(о2- 2
■/ ' '/+2
Г = X, у, 7
Вираз (5) визначае умови iзотропностi просторового модифiкованого сегмента криво! перюдичного нормалiзованого 5-сплайну четвертого порядку (2).
Розглянемо моделювання плоского iзотропного модифжованого сегмента криво! перiодичного нормалiзованого 5-сплайну четвертого порядку. З урахуванням виразiв (5) ординати реперних точок будуть визначатися наступним чином:
1 ,
у/+1 = 2(у/ + у/+2 + - 2ixj+1 + +2Х
У/+2 = у/ + - +2,
у/+3 = у/ - 3у/+1 + 3у/+2 + «/ - ^/+1 + ^/+2 - «/+3. або пiсля спрощення:
у/+1 = у/ +Кxj - xj+Д
у/+2 = у/ + г(xj - xj+2),
у/+3 = у/ + г(xj - xj+3).
(6)
Видшимо окремо дшсну Яе(у - ) та уявну 1ш(у) частини та будемо задавати на площиш плоску дшсну криву. У цьому випадку шлыасты умов збшышитыся в два рази. Для визначення вах координат необх1дно додати ще дв1 умови, а саме уявш частини вектору х- . В результат! одержимо:
1ш(ху+1) = - Яе( у -) + Яе( у-+1) + 1ш(ху), 1т( у j+1) = Яе( Xj) - Яе( Xj+1) + 1ш(уу), 1ш(ху + 2) = - Яе( у-) + Яе( у j+2) + 1ш(ху), 1т( у-+2) = Яе( х-) - Яе( х-+2) + 1ш(уу), 1ш(Ху-+3) = - Яе( у-) + Яе( у-+3) + 1ш(х-), 1ш( у j+3) = Яе( х-) - Яе( Xj+3) + 1ш(у-).
Побудуемо плоску сику на основ! !зотропного перюдичного нормал1зованого 5-сплайну четвертого порядку з конформною замшою параметра. Для цыого шдставимо в р1вняння (2) вирази (7) та
? = и + /V :
1 3 2 3 2
х- (и + /V) = — (х- (-(и + /V) + 3(и + /V) - 3(и + /V) +1) + х-+1 (3(и + /V) - 6(и + /V) + 4) +
3 2 3
Xj+2 (-3(и + /V) + 3(и + /V) + 3(и + /V) +1) + Xj+3 (и + /V) ), (9)
13 2 3
Уj (и + /V) =—(yj (-(и + /V) + 3(и + /V) - 3(и + /V) +1) + (у- + iXj - iXj+1 )(3(и + /V) -
2 3 2
6(и + IV) + 4) + (Уj + iXj - iXj+2)(-3(и + IV) + 3(и + IV) + 3(и + /V) +1) +
3
(yj + iXj - iXj+3)(и + /V) ,
Ввдокремимо дшсну частину ввд одержано! функцп (9). Визначимо внутршню геометрш побудовано! атки. Для цыого розрахуемо коефщенти першо! квадратично! форми, яш дадуты змогу оц!нити довжини сегменпв кривих, кути м!ж кривими та площ! областей на с!тц!. Для цыого в!зымемо частинн! похвдш ввд Яе(х(и + /V)), Яе(у(и + /V)). Пор!вняемо одержан! пох!дн!:
ху] (и> ^ = Уи] (и> ^ , Xv(]+1)(Щ ^ = Уи(]+1)(Щ ^ Xv(]+2)(и' ^ = уи(]+2)(Щv), х^ (и,V) = -у-(и,V) , хи(- +1)(и,V) = -Уv(] +1)(и,V), хИ(]+2)(и,V) = -Уv(]+2)(и,V) .
Одержан! р!вняння пвдставимо у вирази для першо! квадратично! форми: ¥,- = хи; (и, V)XV,- (и, V) + уш (и, V)Уvj (и, V) = хш (и, V)у- (и, V) - уи; (и, V)хи; (и, V) = 0 ,
(10)
2 2 2 2 = х- (u, + ущ(u, v) = Уvj(u, v) + ущ v) ,
2 2 2 2 01 = Xvi (и, V) + Уvi (и, V) = Ущ] (и, V) + Уvi (и, V) .
(11)
'] .XV] ^^^ ¿'V]'
З р!вняння (10) видно, що Е - = О -, а ¥ - = 0 .
Значення = 0 означае, що побудована сггка е ортогональною, а Е- = О- - !зотерм!чною.
Приклад. Побудуемо ортогоналыну та !зотерм!чну плоску стку. Для побудови с!тки використаемо !зотропну криву сегменту пер!одичного нормал!зованого 5-сплайну четвертого порядку. 5-сплайн задаетыся вершинами В),В1,В2,В3 В4,В5,Вб,В7, де перш! ! останн! три вершини - кратн!, та складаетыся з п'яти сегмент!в. Задано таш значення вершин:
Яе( х0) = Яе( х1) = Яе( х2) = 1.0, Яе( х3) = 4.0, Яе( х4) = 3.0, Яе( х5) = Яе( х6) = Яе( х7) = 6.0, Яе( У0) = Яе(у1) = Яе(у2) = 1.0, Яе( У3) = 2.0, Яе(у4) = 4.0, Яе( У5) = Яе(у6) = Яе(у7) = 5.0,
1ш(х0) = 2.0, 1ш(у0) = 2.0.
Розрахуемо значення уявних частин на основ! виразу (7):
1ш(х0) = 1ш(х1) = 1ш(х2) = 2.0,1ш(х3) = 3.0,1ш(х4) = 5.0,1ш(х5) = 1ш(х6) = 1ш(х7) = 6.0, 1ш(у0) = 1ш(у1) = 1ш(у2) = 2.0,1ш(у3) = -1.0,1ш(у4) = 0,1ш(у5) = 1ш(у6) = 1ш(у7) = -3.0.
Сегменти криво! !зотропного модифшованого 5-сплайну маюты наступний вигляд:
\x0(t) = 0.5Г3 +1.0 [ у0 ^) = 0.166666t3 +1.0
\x1(t) = -1.166667t3 + 1.5Г2 + 1.5Г +1.5 [ y1(t) = 0.5Г2 + 0.5Г +1.1666667
\x2(t) = 1.33333Г3 -2^2 +1 + 3.333337 [у2(^ = -0.33333t3 + 0.5Г2 + 1.5Г + 2.166667
\ x3(t) = -1.166667г3 + 2t2 +1 + 3.666667 [ y3(t) = -0.5Г2 + 1.5Г + 3.833333
\x4(t) = 0.5Г3 - 1.5t2 + 1.5Г + 5.5
[у4(0 = 0.166667t3 - 0.5t2 + 05 + 4.833333
при / = 0, при / = 1, при / = 2, при / = 3,
при / = 4.
(12)
Побудуемо сегмент криво! В-сплайну, та ортогональну iзотермiчну плоску стку. Вiзьмемо сегмент
/=2.
Сегмент криво! iзотропного перiодичного нормалiзованого В-сплайну зображений на рис.1а. За результатом розрахунку виразiв (12) побудуемо iзотропний перюдичний нормалiзований В-сплайн четвертого порядку з кратними вершинами. 5-сплайн, що складаеться з п'яти сегментiв Г/ ^), j = 0..4 ,
зображено на рис. 16.
" В5
Сегмент криво! В-сплайну / /]=2), вершини характеристичного / / чот
чотирикутника - В2, В3 ,В4
Б«, В7
В2 , 2 .1 4 5 С) В0?ВьВ2]-|-,-1-,-1-,-1] 2 4 5 (> а) б)
Рис. 1. а) Сегмент кривоК 1зотропного пер1одичного нормал1зованого В-сплайну четвертого порядку (/=2) б )1зотропний пер1одичний В-сплайн четвертого порядку з нормал1зованою параметризищею
Щдставимо отриманi значення у вираз (8). Розрахуемо ортогональну iзотермiчну плоску сигсу, для сегменту криво! при /=2. Результат зображено на рис.2.
2 2.5 3 3.5 4 Рис. 2. Ортогональна 1зотерм1чна плоска сика на основ1 кривоК В-сплайну (сегмент /=2)
Розрахуемо ортогональш iзотермiчнi плосш атки для iнших сегментiв криво! модифжованого 5-сплайну. В1зьмемо значения /=().1.3.4. Отриманий результат зображено на рис.3.
—I 1 I—1—г^1—Г
0.6 0.8 1.0 1.2
а)
в)
о-
б)
г-п-
4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 62 г)
Рис. 3. Ортогональш 1зотерм1чш плоск сики на основ1 сегмент1в кривоТ перюдичного В-сплайну а) сегмент кривоТ у=0 , б) сегмент кривоТ у=1, в) сегмент кривоТ у=3, г) сегмент кривоТ у=4.
Висновки
Дослщження показали, що модифiкацiя перiодичного нормалiзованого 5-сплайну четвертого порядку на основi iзотропно! криво! дозволяе будувати плосш сiтки, як1 володiють властивостями ортогональносп та iзотермiчностi. Форму ciток визначае уявний характеристичний чотирикутник. Подальшi дослщження пов'язанi з моделюванням порцiй поверхонь з застосуванням розробленого пiдходу.
Список використаноТ л1тератури
1. Аушева Н.М. Побудова поверхонь з ортогональними координатними сггками на основi iзотропних кривих / Н.М. Аушева, А.А. Демчишин // „Прикладна геометрiя та шженерна графжа".- К.:КНУБА, 2013- Вип.91.-С.2-7.
2. Аушева Н.М. Моделювання плоских сггок на основi дробово-рацiональних iзотропних кривих / Н.М. Аушева//Журнал «Технолопчний аудит та резерви виробництва»:Науковi шдсумки 2013.-Т.6,№°4(14).-Редакшя «Сх1дно-£вропейського журналу передових технологш»-С.41-43.
3. Норден А.П. Теория поверхностей / А.П. Норден. - М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1956. - 260 с.
4. Дзюба В.В. Конструювання i перетворення поверхонь iз збереженням лiнiй кривини: автореф. дис... канд. техн. наук: 05.01.01 / В.В. Дзюба. - К.: КНУБА, 2008. - 21 с.
5. Аушева Н.М. Моделювання мшмальних поверхонь Безе / Н.М. Аушева // Прикладна геометрiя та iнженерна графжа. Пращ / Тавршський державний агротехнолопчний унiверситет - Вип.4, т.50.-Мелiтополь: ТДАТУ, 2011. - С.105-109.
6. Аyшевa H. М. 1зотропш бaгaтокyтники iзотропниx кривиx Без е I Н.М. Аyшевa II Miжвiдомчий нayково-теxнiчний збiрник „Прикладна геометрiя та шженерна графжа".-Вип.88.-К.:КНУБА, 2011р.-С.57-61.
7. Аyшевa Н.М. Kонстрyювaння плоско1' криво1' Без'е з уявними довжинами xaрaктеристичного многокyтникa/ Н.М. Аyшевa II Прикладна геометрiя та iнженернa грaфiкa. Прaцi I Тавршський державний aгротеxнологiчний yнiверситет - Вип.4, т.58.-Mелiтополь: ТДАТУ, 2014. - С.8-1З.
