Геометрическое моделирование торсовых поверхностей с двумя параболическими направляющими, в рамках аппарата БН-исчисления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.18

А.1. Л1ТВ1НОВ, А.В. НАЙДИШ, 1.Г. БАЛЮБА

Мелiтопольський державний педагопчний унiверситет iM. Б. Хмельницького

ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТОРСОВИХ ПОВЕРХОНЬ 13 ДВОМА ПАРАБОЛ1ЧНИМИ НАПРЯМНИМИ, В РАМКАХ АПАРАТУ БН-ЧИСЛЕННЯ

Засобами апарату БН-числення дослгджено споаб геометричного моделювання торсових поверхонь i3 двома параболгчними напрямними, що належать площинам, як перетинаються. Також отримано точковi ргвняння, як визначають торсовi поверхнг з наперед заданими властивостями.

Ключовi слова: торсова поверхня, парабола, напрямна, дуга криво'1, апарат БН-числення, паралельт

вiсi.

А.И. ЛИТВИНОВ, А.В. НАЙДЫШ, 1.Г. БАЛЮБА

Мелитопольский государственный педагогический университет им. Б.Хмельницкого

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТОРСОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ДВУМЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИМИ НАПРАВЛЯЮЩИМИ, В РАМКАХ АППАРАТА БН-ИСЧИСЛЕНИЯ

Средствами аппарата БН-исчисления, исследован способ геометрического моделирования торсовых поверхностей с двумя параболическими направляющими, которые принадлежат пересекающимся плоскостям. Также получены точечные уравнения, которые определяют торсовые поверхности с наперед заданными свойствами.

Ключевые слова: торсовая поверхность, парабола, направляющая, дуга кривой, аппарат БН-исчисления, параллельные оси.

A.I. LITVINOV, A.V. NAYDYSH, I.G. BALUBA

Melitopol State Pedagogical University named after Bohdan Khmelnitsky

GEOMETRIC MODELING OF THE TORSION SURFACES WITH TWO PARABOLIC GUIDES BY THE BN-CALCULUS APPARATUS

The method of geometric modeling of the torsion surfaces with two parabolic guides, which lie in intersecting planes, is investigation by means of the BN-calculus apparatus. The points equations, that define the torsion surface with predetermined conditions, are obtained also.

Keywords: torsion surface, parabola, guide, arc curve, BN-calculus, parallel axis.

Постановка проблеми

Завдяки властивостям, яш дають можлив1сть розгорнення на поверхню без складок та розрив1в, торсовi поверхш добре зарекомендували себе у рiзних галузях промисловосп. Для проведения дослщжень та шженерних розрахуншв необхщно мати шструментарш, що дозволяе швидко та точно змоделювати поверхню.

На поточному рiвнi розвитку апарату БН-числення актуальною проблемою е отримання способiв та методiв аналогичного опису торсових поверхонь i 1х систематизащя. Знайдеш ршення дозволять значно розширити шструментарш апарату, по-новому розглянути прикладш задачi моделювання торав та розширити можливосп для 1х використання.

Аналiз останшх досл1джень та публiкацiй

Питаннями геометричного моделювання торсових поверхонь займались видатш вченi, зокрема Обухова В.С., Щдгорний О.Л., Пилипака С.Ф., Несвiдомiн В.М., Кривошапко С.Ф., Балюба 1.Г. та ш..

Найбiльш повно та систематично питання алгоритмiв конструюваиия, аиалiтичного опису i класиф1кацп торсових поверхонь виклав у сво1й робот "Энциклопедия аналитических поверхностей" [1] професор Кривошапко. У робот1 надано практично вс можлив1 види торсових поверхонь, 1х векторш та параметричш форми задання. Однак, конструювання поверхонь таким чином призводить до формування складних систем 1з тригонометричних р1внянь, що, у свою чергу, потребуе значних витрат розрахункових ресурав.

Важливо ввдзначити дисертацшш дослвдження Балюби 1.Г. [2], як1 дозволили створити апарат БН-числення, що ввдкрив нов1 можливосл у геометричному моделюванш об'екпв. Його учнями, а саме Конопацьким £.В. та Давиденко 1.П. у працях [3, 4] було суттево розширено шструментарш апарату. 1х науков1 здобутки надали можлив1сть аналп'ичного опису кривих, яш е основою побудови р1зномаштних торсових поверхонь.

Близькими до теми статп е дослщження Несвщомша В.М. [5] в обласп побудови складних геометричних моделей, зокрема торсових поверхонь. У цш робот було визначено перелiк недолiкiв методiв синтетично1' геометрiï, таких як велика трудомютшсть процесу, ручне виконання графiчних побудов та недостатня точнiсть, що в загалом сповiльнюе конструювання моделей. Усунення цих недолiкiв можливо тшьки i3 використанням сучасних iнформацiйних технологш.

Формулювання цiлей досл1дження Побудувати геометричш моделi торсових поверхонь з двома параболiчними напрямними, що належать рiзним площинам, якi перетинаються, та отримати 1х аналiтичний опис у БН-численш.

Викладення основного матерiалу дослiдження 1. Торсова поверхня з двома параболами, оа яких перетинаються.

Нехай задано симплекс ABCD (рис. 1). Вщповвдно до алгоритму, представленому у робот [1], розглянемо параболу D1KD2, що розташована у симплексi D1DD2, який належить гранi BDC та параболу A1KA2 , що розташована у симплекс A1AA2 , яка належить граш BAC. Зпдно iз типом шукано1 торсовоï поверхнi осi параболiчних напрямних повинш перетинатись. У нашому випадку граш BDC i BAC перетинаються у ребрi BC , а отже i оа параболiчних напрямних, що знаходяться на вiдповiдних гранях -перетинаються, що забезпечуе виконання заданоï умови.

У симплексi D1DD2 визначимо дугу параболи Di KD2 як криву одного ввдношення [4] i задамо ïï наступним точковим рiвнянням:

" " (1)

Рис. 1. Геометрична схема конструювання торса з двома параболами, ос1 котрих перетинаються

_ 2 _ 2 K = D1 ■ u + 2D ■ u ■ u + D2 ■ u .

B + D D + C

Визначимо точки Di и D2 як середини в^^зшв BD и DC , отже Di =-, а D2 =-

Пвдставимо значения точок Di та D2 до рiвняння (1):

K =

Шсля перетворень отримаемо:

B + D 2

_2 _

u + 2Duu +

D + C 2

K = B— + D 2

-2 2 u . _ u

--+ 2uu +--

22

+cu2 .

2

(2)

(3)

У симплека A1AA2 точки Л1 i A2 також визначенi як середини вiдрiзкiв BA i AC вщповщно. Звiдси, аналопчно визначимо рiвняння для параболи :

2'

N = B— + A 2

-2

u . _ u

--+ 2uu +--

22

+cu2 .

2

Рiвняння твiрноï торсово1' поверхш визначимо як точкове рiвняння прямо1':

M = K ■ v + N ■ v .

П1дставимо рiвняння (3) и (4) до рiвняння (5) та шсля перетворень отримаемо:

M = A

-2 2 u _ u

--+ 2uu +--

22

-2 2

v + B^- + C^- + D 22

-2 2 u _ u

--+ 2uu +--

22

Представимо точкове рiвняння (6) у параметричному виглядi:

xM = xA

-2 2 u . _ u

--+ 2uu +--

22

-2 2 u u

v + xB~ + xC — + xD

v.

2

-2

u . _ u

--+ 2uu +--

22

(4)

(5)

(6)

(7)

2

u

v

УM = УA

^ = 7,Л

-2 2 u . _ u

--+ 2uu +--

2 2

"-2 2" u . _ u

--+ 2uu +--

2 2

-2 2 u u

V + УВ— + УC — + УD

-2 2 " _ u u

V + + ^у + zD

-2 2 u . _ u

--+ 2uu +--

22

-2 2 u . _ u

--+ 2uu +--

22

V .

Результат роботи р1вняння (6) зображено на рис. 2.

20-

10-

-10-

-20-1

"15-1и -5 в ПТТГТ^О 8(1 100

Рис. 2. Торсова поверхня 1з двома параболами, ос1 яких перетинаються

2. Торсова поверхня з двома параболами, що належать площинам, яш перетинаються, але з паралельними осями.

Нехай задано симплекс ABCD (рис. 3.). Вщповвдно до алгоритму, наданому у робот [1],

розглянемо в1др1зок ElE, що належить граш DCB, 1 в1др1зок AlCl, що належить граш ACB . Точки El 1 E визначеш як середини ребер DB и DC, утворюючи середню лшш трикутника DCB, зввдси випливае, що ElE || BC . Точки Al и ^ визначеш як середини ребер AB и AC, утворюючи середню лшш трикутника ACB, звщси випливае, що в1др1зок Al Cl || BC. Зпдно 1з властивютю паралельносп прямих, якщо ElE || BC { AlCl || BC, то ElE || AlCl, а отже в1с1 ElE та AlCl парабол DlKBl и ANB паралельш. Перша необхвдна умова юнування поверхш виконана.

Зпдно 1з типом шукано! торсово! поверхш парабол1чш напрямш мають належати площинам, яш перетинаються. У нашому випадку парабола Dl^Bl належить граш DCB, а парабола ANB належить граш ACB, яш в свою чергу перетинаються у ребр1 BC, що забезпечуе виконання друго! необхвдно! умови юнування поверхш.

У симплека DlEBl визначимо дугу параболи DlKBl як криву одного вщношення [4] 1 задамо И наступним точковим р1внянням:

Рис. 3. Геометрична схема конструювання торса 1з двома параболами, що належать до площин, як1 перетинаються, але з паралельними осями

—2

2

K = Dl • u + 2E • u • u + В1 • u . Точки El 1 E визначеш як середини ребер DB и DC, отже El =

(8)

D + В

та E =

D + C

. Точки

2 2

Dl 1 В1 визначеш як середини в1др1зшв DEl и ElB в1дпов1дно. Зввдси:

V

Б =

Б + Е Б + Вч,„ 3Б + В „ £1 + В Б + В Б + 3В

-- = (Б +--) /2 —-, В1 —-= (--+ В) / 2 —-. Шдставимо значения

2 2 4 1 2 2 4

точок Б\, Е и В1 до рiвняння (8): К —

Шсля перетворень отримаемо: К — Б

3Б + В • и 2 + 2 Б + С • и • и + Б + 3В •и2

4 2 4

3и 2

_ и2

+ ии +--

4 4

+ Сии + В

■з 2 -2

3и и - + -

(9)

(10)

А + В 2

^ А + С

i С ——-—. Визначимо дугу параболи АЫВ як криву одного вадношення [4] i задамо точковим рiвиянням, тдставив значення точок А1 и С\.

44

У симплексi АС1В точки А1 и С1 визначимо як середини вiдрiзкiв АВ и АС, а отже, А1 =

1 и М.

N — А • и 2 + 2

А + С 2

_ 2 • и • и + В • и .

Шсля перетворень отримаемо:

_ _ 2

N — Аи + Сии + Ви .

Рiвняння твiрноl торсово! поверхш визначимо як точкове рiвняння прямо!:

М — К • V + N • V.

Пвдставимо рiвияния (10) и (13) до рiвняння (13) та шсля перетворень отримаемо:

М — А^ + В

2— и V +

и 2 -2 ^

3и и -+ —

4 4

V

V

+ Сии + Б

о 2 -2

3и _ и

--+ ии +--

44

V .

Представимо точкове рiвняння (14) у параметричному виглядi:

Хм — Х дUV + Хв

ХМ = У А^ + У В

Хм — + г В

2-и V +

(1 2 -2 ^

3и и +

V

/

2_ и 2v +

2-и V +

44

(ъ 2 -2 ^

3и и -+ —

4 4

V /

и 2 -2 ^

3и и -+ —

44

V

V

2

+ ХСии + Хб

+ УСии + У Б

+ гСии+ ¿п

3и2 _ и 2

--+ ии +--

44

■з 2 -2

3и _ и

--+ ии +--

44

2 -2 3и _ и

--+ ии +--

44

V.

Результат роботи рiвняння (14) зображено на рис. 4.

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

О 10 20 50 40 50

40 \ / 20

Рис. 4. Торсова поверхня 1з двома параболами, що лежать у площинах, яК перетинаються, але з паралельними осями

V

V

Висновки

Побудовано геометричш моделi торсових поверхонь з двома параболiчними напрямними, що належать рiзним площинам, як1 перетинаються та сформовано ïx аналiтичний опис у БН-численш. Отриманi точковi рiвняння розширили iнструментарiй апарату БН-числення та дозволяють розглядати прикладнi задачi, що стосуються зазначених у статтi титв торсових поверхонь. Зокрема, цi результати дозволяють використовувати у якосп напрямних iншi кривi другого порядку.

Зменшення кiлькостi тригонометричних функцiй в аналогичному описi та його обсягу дозволило зменшити розрахункову похибку та тдвищити швидшсть розрахуншв.

У подальшому плануеться дослiджувати пiдклас торсових поверхонь iз двома плоскими напрямними кривими з метою виявлення бiльш досконалоï класифжаци та розробки вiдповiдниx способiв моделювання поверхонь.

Список використано'1 лггератури

1. Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. -М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2010. - 560 с.

2. Балюба И.Г Конструктивная геометрия многообразий на основе точечного исчисления: автореф. дис. на соискание учен. степени доктора техн. наук : 05.01.01 "Прикладна геометрiя, шженерна графка" / 1ван Григорович. - К.: КГТУСА, 1995. - 36 с.

3. Конопацький £.В. Геометричне моделювання алгебраïчниx кривих та ïx використання при конструюваннi поверхонь у точковому численнi Балюби-Найдиша: автореф. дис. на здоб. наук. ступеня канд. техн. наук : 05.01.01 "Прикладна геометрiя, шженерна графка" / £вген Вiкторович Конопацький; М-во аграрноï полiтики та продовольства Украши, Тавршський держ. агротеxнологiчний ун-т. - Мелитополь, 2012. - 26 с.

4. Давиденко 1.П. Конструювання поверхонь просторових форм методом рухомого симплексу: дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01 / 1ван Петрович Давиденко; Донбаська нацюнальна академiя будiвництва та архггектури. - Донецьк, 2012. - 169 с.

5. Несвщомш В.М. Комп'ютерш моделi синтетично1' геометрiï: автореф. дис. ... докт. техн. наук: 05.01.01 / Вктор Миколайович Несвiдомiн; КНУБА. - Кив, 2008. - 34 с.