CC BY
10
ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП'ЮТЕРН1 ТЕХНОЛОГ!!
УДК 514.18
е.о. лдоньев
Запорiзький нацiональний унiверситет
В.М. ВЕРЕЩАГА
Мелiтопольський державний педагопчний унiверситет iм. Б. Хмельницького
ОСОБЛИВОСТ1 Б-Л1Н1Й, Б-ПОВЕРХОНЬ, ВИЗНАЧЕННЯ, ПЕРЕВАГИ ТА МОЖЛИВОСТ1 ЗАСТОСУВАННЯ У КОМПОЗИЦ1ЙНОМУ МЕТОД1 ГЕОМЕТРИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ
Надано визначення Б-лжй, Б-поверхонь у точковому численнi Балюби-Найдиша. Показано вiдмiннiсть способу Iхнього моделювання вiд методiв моделювання лтт та поверхонь у традицштй математицi. Ця вiдмiннiсть полягае у застосувант геометрично'г' iнтерполяцii замкть ттерполяци з використанням традицшних алгебрагчних методiв. Наведено приклади точкових рiвнянь лтш та поверхонь. Вказано на переваги використання Б-лтт та Б-поверхонь у композицшному методi геометричного моделювання багатофакторних проце^в. Одтею з особливостей методу е те, що рiвняння геометричних ф^ур отримуються у результатi встановлення внутрiшнiх зв 'язюв мiж базовими точками симплексу i змтювано'г' точки геометрично'г' ф^ури, оминаючи, при цьому, аналiтичнi методи моделювання, тобто, встановлення геометричних зв 'язюв мiж елементами ф^ури передуюе аналiтичним ознакам ф^ри. Такий пiдхiд авторами названо "геометро-математичним апаратом" формалгзаци розв'язку. Показан тдходи до геометрично'г' формалгзаци багатофакторних ситуацт та процеав. Вказаш переваги застосування точкового БН-числення дозволяють у композицшному методi геометричного моделювання багатофакторних процесiв не обмежувати кшьюсть факторiв, включених до моделi.
Ключовi слова: Б^тя, Б-поверхня, композицшний метод геометричного моделювання, багатофакторш процеси.
Е.А. АДОНЬЕВ
Запорожский национальный университет
В.М. ВЕРЕЩАГА
Мелитопольский государственный педагогический университет им. Б. Хмельницкого
ОСОБЕННОСТИ Б-ЛИНИЙ, Б-ПОВЕРХНОСТЕЙ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРЕИМУЩЕСТВА И ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ В КОМПОЗИЦИОННОМ МЕТОДЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
Дано определение Б-линий, Б-поверхностей в точечном исчислении Балюбы-Найдыша. Показано отличие способа их моделирования от методов моделирования линий и поверхностей в традиционной математике. Это отличие заключается в применении геометрической интерполяции вместо интерполяции с использованием традиционных алгебраических методов. Приведены примеры точечных уравнений линий и поверхностей. Показаны преимущества применения Б-линий и Б-поверхностей в композиционном методе геометрического моделирования многофакторных процессов. Одной из особенностей метода является то, что уравнения геометрических фигур получаются в результате установления внутренних связей между базовыми точками симплекса и изменяемой точки геометрической фигуры, избегая, при этом, аналитические методы моделирования, то есть, установление геометрических связей между элементами фигуры предшествует аналитическим признакам фигуры. Такой подход авторами назван "геометро-математическим аппаратом" формализации связей. Показаны подходы к геометрической формализации многофакторных ситуаций и процессов. Указанные преимущества точечного БН-исчисления позволяют в композиционном методе геометрического моделирования многофакторных процессов не ограничивать количество факторов, включенных в модель.
Ключевые слова: Б-линия, Б-поверхность, композиционный метод геометрического моделирования, многофакторные процессы.
Y.O. ADON'YEV
Zaporizhzhya National University
V.M. VERESHYAGA
Melitopol State Pedagogical University named after B. Khmelnitsky
FEATURES OF B-LINES, B-SURFACES, DEFINITIONS, ADVANTAGES AND OPPORTUNITIES OF APPLICATION IN THE COMPOSITE METHOD OF GEOMETRICAL MODELING
A definition of B-lines, B-surfaces in the Balyba-Naidysh point calculus is given. The method of their modeling differs from the methods of modeling lines and surfaces in traditional mathematics. This difference consists in applying geometric interpolation instead of interpolation using traditional algebraic methods. Examples ofpoint equations of lines and surfaces are given. The advantages of using B-lines and B-surfaces in the composite method of geometric modeling of multifactor processes are shown. One of the features of the method is that the equations of geometric figures are obtained as a result of establishing internal connections between the base points of the simplex and the variable point of the geometric figure, while avoiding the analytical modeling methods, that is, the establishment of geometric relationships between the elements of the figure precedes the analytical features of the figure. This approach was called the "geometrical-mathematical apparatus" of the formalization of connections by the authors. Approaches to the geometric formalization of multifactorial situations and processes are shown. The indicated advantages ofpoint BN-calculus allow in the composite method of geometric modeling of multifactor processes not to limit the number of factors included to the model.
Key words: B-line, B-surface, composite method of geometric modeling, multifactor processes.
Постановка проблеми
У pi3Hm галузях, з метою прийняття обгрунтованих управлшських ршень, часто виникае проблема поеднання велико! кшькосп фiзично рiзнорiдних факторiв. Iснуючi алгебра!чш методи кореляци вихвдних факторiв висувають певш обмеження за шльшстю та яшстю вихвдних факторiв. Усунення таких обмежень е актуальною проблемою, яку можна розв'язати з використанням композицшного методу формалiзованого геометричного моделювання. Однак, на разi недостатня популяризащя цього методу викликае певш труднощi при його застосуванш За результатами доповщей з цього питання на конференщях i семшарах, з'явилася вдея про необхвдшсть додаткових пояснень з питань точкового БН-числення та його використання у композицшному методi геометричного моделювання багатофакторних процеав.
AH^i3 останшх дослщжень i публiкацiй
Як ввдомо з математично! теорп оптимального управлшня [7], управлiння лiнiями та поверхнями ввдбуваеться за допомогою функцiй та параметрiв. 1дею управлiння геометричними фцурами шляхом змiни вихвдних точок вперше висловив I.I. Котов у 1975 рощ, а сформулював l! В.М. Найдиш [8]. Тiльки з виконанням дослiджень у роботах [9-10] та виданням наукового посiбника [11] з'явилася можливють повернутися до дослвджень щодо управлiння формою геометричних фiгур за щеею I.I. Котова та В.М. Найдиша, а авторам ще! статл вдалося наблизитися до розв'язання проблеми управлшня формою геометричних фггур вихвдними точками, що входять до !х складу. Щдгрунтям для розробки композицшного методу геометричного моделювання стало точкове БН-числення [11].
Формулювання мети дослiдження
У порiвняннi з вiдомими методами визначення лшш та поверхонь показати переваги !хнього формування у точковому БН-численнi, з метою популяризацп композицiйного методу геометричного моделювання багатофакторних ситуацш та процеав.
Викладення основного матерiалу дослiдження
Зазвичай, дослiджуванi геометричнi фiгури (об'екти), у б№шосп випадк1в, ввдносять до деяко! системи координат, у результатi чого, розв'язок геометричних питань зводиться до дослвдження рiвнянь, як1 зв'язують координати точок, що вщносяться до дослщжувано! геометрично! фiгури. Переваги аналiтичних методiв дослiдження вiдомi i не викликають сумнiвiв. Однак, при цьому, сам геометричний об'ект та внутрiшнi зв'язки мiж його елементами вiдходять на другий план, внаслвдок чого, втрачаеться наочнiсть, а разом з тим, i психологiчна геометрична впевненiсть у тому, що за аналитикою геометрично! фггури непросто побачити геометричний характер розв'язку. Наприклад, лiнiя другого порядку [1-2] - плоска лшя, декартовi прямокутнi координати точок яко! задовольняють алгебра!чному рiвнянню другого степеня
2 2
a^x + 2a12 xy + й22У + 2«13 x + 2o2^y + 033 = 0 (1)
Рiвняння (1), за допомогою паралельного переносу та повороту системи координат на певний кут, може бути приведено до каношчного виду, за записом якого визначаеться вид криво! другого порядку. Однак, для визначення виду та класу лшп другого порядку не обов'язково приводити рiвняння (1) до каношчного вигляду через застосування геометричних перетворень (паралельного переносу та повороту),
тому що незмшними е iнварiанти визначено! криво! другого порядку. За допомогою цих iнварiантiв, складених iз коефiцiентiв рiвняння (1), визначаються види лiнiй другого порядку, чи вони е такими, що розпадаються (А=0), або такими, що не розпадаються (Л^0), чи вони е центральними (5^0), або нецентральними (5=0).
Другий приклад: поверхня другого порядку [1-2] - це множина точок тривимiрного дiйсного або комплексного простору, координати яких, у декартовiй прямокутнш системi координат, задовольняють алгебра!чному рiвнянню 2-го степеня:
Як i у попередньому прикладi, дослiдження поверхнi другого порядку може бути виконано без приведения рiвняння (2) до одного з 17 можливих рiвнянь каношчного вигляду. Таке дослвдження виконуеться шляхом спшьного розглядання значень основних iнварiаитiв, як1 не змiнюються у результат афiнних перетворень для визначено! криво! (2), у загальному випадку, визначають поверхню другого порядку з точшстю до руху евклвдового простору. Якщо вiдповiднi iнварiаити двох поверхонь е рiвними, то так1 поверхиi можна сумiстити за результатами перемiщень. Тобто, так поверхиi е еквiвалентними до групи перемiщень у просторi, яш називають метрично еквiвалентними.
Як бачимо з наведених приклащв, множини точок (1) i (2) е ввднесеними до декартово! системи координат i дослвдження !'хшх форм ввдбуваеться у аналогичному виглядi через iнварiаити вщносно перетворень.
I навпаки, у точковому БН-численш усi геометричнi фiгури мають точковi рiвияния вiдносно вiдповiдних симплексiв, обраних у афшнш системi координат, при цьому, точковi рiвияния записують для просторово! геометрично! схеми розв'язку не у координатнш, а у точковш формi. Наприклад, розглянемо вiдрiзок прямо! АВ у декартовш системi координат 0хуг (рис.1). Координати вихiдних точок якого вiдомi А(ха, уА, гА), В(хв, ув, гв). Необх1дно визначити точковi рiвияння для множини точок М, що належать цьому в^^зку АВ, використовуючи внутрiшнi зв'язки мiж вихвдними точками А i В, що визначають симплекс, та змiнюваною точкою М.
ацх + а22 У + «зз г + 2а^ ху + 2а^ хг + 2а2з yz + 2а^ х + 2а24 у + 2аз4 г + а44 = 0 (2)
.2
,2
.2
Ъ
В
X
Рис. 1. Геометрична схема для визначення точки М в1др1зку АВ.
У вщповвдносп до [з], рiвняння вiдрiзку АВ у симплекс А, В матиме вигляд:
М = (В - А) + А, 0 < г < 1,
(з)
або у iншому виглядi:
М = А(1 - г) + Вг ^ М = Аг + Вг,
де г - параметр, що доповнюе параметр / до одинищ.
У точковому рiвняннi (4) значения t та / е частинами вщ одиницi, тобто t +1 = 1.
Якщо у точковому рiвняннi (3) зняти обмеження 0 < t < 1, то отримаемо не вiдрiзок АВ, а пряму АВ в цшому. Виходячи з (4), можна дати визначення для прямо! лши у точковому БН-численнi.
Визначення 1. Пряма лiнiя у точковому БН-численш - це множина точок М, що визначаються як сума вщсотшв вiд базових точок А та В симплекса АВ, при умовi 0 < t < 1.
Вiзьмемо t=0.5, тодi t = 0.5 , у ввдповщносп до (4) визначаемо точку М= 0.5А+0.5В. З точки зору традицшно! математики це рiвняния не мае сенсу, а у точковому БН-численш воно означае необхщшсть визначити вiдповiднi до над координатами цих точок, тобто:
хм=0.5ха+0.5хв; ум=0.5уа+0.5ув; zм=0.5zл+0.5zв.
Це означае, що точка М знаходиться всередиш вiдрiзку АВ. Таке е можливим, тому що точкове БН-числення побудоване на iнварiантах ввдносно афiнних перетворень.
Другий приклад. Розглянемо лiнiю другого порядку (параболу), у вщповщносп до [3-5] и точкове рiвияния мае наступний вигляд:
М = А111 (1 - 20 + А124п + А13^ -1), 0 < t < 1, (5)
Позначимо Р1 = t(1 - 2t); ql = 4tt; г = t^ -1), тодi (5) запишемо:
М = АПР1 + А12 Я1 + А13Г1, (6)
де А11, А12, А13 - три дшсш точки, через як1 проходить парабола, як е точками, що визначають симплекс на площинi.
Обов'язкова вимога: р1 +д 1 +г1 =1, тобто параметрир 1, q1, г1 е частинами одиницi.
Аналогiчним чином можна отримати рiвняння для iнших лiнiй другого порядку [6] у локальному симплека, яш будуть аналогiчнi рiвиянню (6).
Виходячи з (6) та вимог щодо не!, дамо визначення для лшш другого порядку у точковому БН-численш.
Визначення 2. Лшя другого порядку у точковому БН-численш - це множина точок М, що визначаеться як сума ввдсотшв ввд базових трьох точок симплекса, при умов^ що сума параметрiв
р 1 +ql+rl =1.
Координати точки М, що е змiнюваною для лши другого порядку, визначаються з координатних
рiвнянь:
хм = хи Р1 + xl2ql + х1зг1 ум = У11Р1 + у 12 ql + У1зг1 ^ = ^1Р1 + zl2 ql + zlзrl
Як бачимо, точкове БН-числення надае новий спосiб задання лiнiй i поверхонь (покажемо дал^, який полягае у тому, що кожнш точцi з множини, що утворюе певну геометричну фiгуру, вщповщае свiй набiр часток вiд базових точок симплексу, а сума цих часток завжди дорiвнюе одиницi. Такий пiдхiд щодо визначення лiнiй та поверхонь нами було названо композицшним, який не потребуе розв'язання системи рiвнянь для визначення коефiцiентiв, яш забезпечують 1хне проходження через наперед задаш точки. А це, у свою чергу, мае велике практичне значення для геометрично! формал1зацп багатофакторних ситуацш та процесiв.
Оск1льки точковi рiвияния геометричних фiгур отриманi у результата встановлення внутрiшнiх зв'язк1в мiж базовими точками симплексу i змiнюваио! точки геометрично! фiгури, оминаючи, при цьому, аналiтичнi методи моделювання, тобто, без встановлення геометричних зв'язшв мiж елементами фiгури передують анал1тичним ознакам фiгури, то такий пiдхiд нами названо "геометро-математичним апаратом" формалiзацi! розв'язку.
Розглянемо, у точковому БН-численш, формування точкового рiвияння поверхнi, що проходить через дев'ять наперед визначених дшсних точок, яш подамо у виглядi матрицi (7):
А11 А12 А13
М = А21 А22 А23
А31 А32 Азз
Геометрична схема, що ввдповвдае матрищ (7), подана на рис. 2.
Рис. 2. Схема утворення сегменту Б-поверхт
Цей сегмент поверхш, який складаеться 1з чотирьох чарунок, нами названо Б-поверхнею (Балюби поверхнею), щоб в1др1зняти геометро-математичний споСб його утворення. Вш не включае геометричних (миттевих перетворень, поворопв 1 таке шше) перетворень афшно! або будь-яко! шшо! групи. Сегмент Б-поверхш мае одне р1вняння поверхш, яка проходить через дев'ять, наперед заданих (7), точок. Дал1 покажемо споСб формування сегменту Б-поверхш
Тршки точок за стовпчиками 1 рядками визначимо дугами парабол, точков1 р1вняння яких мають
вигляд:
М = А(2г2 - 3г +1) + С(4г - 4г2) + Б(2г2 - í)> 0 < г < 1, (8)
Позначимо Р1 = 2г2 - 3г +1; 41 = 4г - 4г2; п = 2г2 - г. (9)
Основною вимогою для (8) е те, що Р1 + ^ + Г1 = 1, перев1римо:
Р1 + д1 + п = (2г2 - 4г2 + 2г2) + (-3г + 4г - г) +1 = 1.
Якщо прийняти и та V за параметри сегменту Б-поверхш, що утворюеться дугами парабол (8) та позначити:
2 2 2 Р1 = 2и - 3и +1; = 4и - 4и ; г\ = 2и - и; (10)
2 2 2 Р2 = 2v - 3v +1; ^2 = 4v - 4v ; Г2 = 2v - V;
та застосувати схему утворення функцш-параметр1в [3]:
Р1 41 Г1 Р2
Р1 41 Г1 42
Р1 41 Г1 г2
у якш кожний рядок л1во! матрищ помножуеться на ввдповщний елемент право! матрищ - стовпчика, то отримаемо функци-параметри а^:
aii = P1P2; ai2 = q\Pi; ai3 = q\P2; a2i = Pi<?2 ; a22 = qq ; a23 = rii2 ; a3i = Pir2; a32 = qir2; азз = rir2-
Поставивши (10) у (12), отримаемо функцп-параметри ü-. у розгорнутому виглядi: aii = (2u2 - 3u + i)(2v2 - 3v +1); ai2 = (4u - 4u2)(2v2 - 3v +1);
(i2)
ai3 = (2u2 - u)(2v2 - 3v + i); a22 = (4u - 4u2)(4v- 4v2); a3i = (2u2 - 3u + i)(2v2 - v);
a2i = (2u2 -3u + i)(4v- 4v2); a23 = (2u2 - u)(4v - 4v2); a32 = (4u - 4u2)(2v2 - v);
(i3)
a33 = (2u2 -u)(2v2 - v).
Поеднавши вихiднi значенняAj матрицi (7) з вщповщними значениями функцiй-параметрiв aj (i2), (13), отримаемо точкове рiвияния сегменту поверхнi М.
M = Aiiaii + Ai2 ai2 + Ai3ai3 + A2ia2i + A22 a22 + A23a23 + A3ia3i + A32a32 + A33a33, або скорочено
M = X Ajaj; 0 < u,v < i. i, j=i
(i4)
Як бачимо з (14), кожна точка М noBepxHi (14) е сумою добутк1в вiдсоткiв, поданих функщями-параметрами aj , помножених на вщповщну вихiдну точку Ay .
Визначення 3. Поверхня будь-якого порядку, класу, виду, що побудована за наперед заданими вихвдними точками у точковому БН-численнi - е оргашзованою множиною точок М, яш визначаються як
3
сума добутшв вiдсоткiв (значень функцiй-параметрiв) на вщповвдш вихiднi точки, за умови, що ^ ay = 1.
i, j=1
Для визначення координат змiнюваноl точки М необхвдно використати параметричнi рiвняння для кожно! з координат простору En, у яких функци-параметри вiдповiдають (13). Наприклад, для E3:
3 3 3
хм =Z xijaij; ум =Z yjaj; zM =Z zjaj; 0 -u v -1. (15) i,j=1 i,j=1 i, j=1
У робот [3] було доведено твердження, у якому йдеться про те, що якщо суперпозицiя X/
i, j=i
aii ai2 ai3
елеменпв матрицi A = a2i a22 a23 дорiвнюе одиницi, а визначник detA
a3i a32 a33
на будь-яких вихiдних даних Aj е Б-поверхнею.
Таким чином, точкове рiвияния поверхиi (14) виконуе iнтерполяцiю дев'яти вихiдних точок, яке отримано у результатi геометрично! формалiзацiï з використанням геометро-математичного апарату точкового БН-числення, оминаючи, при цьому, алгебрш'чш методи iнтерполяцiï, як1 передбачають розв'язання системи рiвиянь для визначення штерполяцшних коефiцiентiв.
Якщо з (14) i (15) прибрати обмеження 0 < u,v < i, то щ точковi рiвияния будуть виконувати екстраполяцiю для Aj у обох напрямках u ,v, або у одному з них.
Загалом, поверхня (14) е поверхнею четвертого порядку, форму яко'' можна змiнювати, змiнюючи значення точок A j, тому що функцп-параметри ü- визначають значення вщсотшв, за допомогою яких кожна з вихвдних точок Aj приймае участь у створеннi поверхнi М. Питання управлшня формою поверхнi М
через зм1ну точок А $ зовСм не дослвджене, тому що воно пльки виникло, при розробщ запропонованого тут композицшного методу геометричного моделювання.
Введен! поняття Б-лшп (Балюби лшп), Б-поверхш (Балюби поверхш), як1 уперше були ним отримаш без використання алгебра!чних метод1в штерполяцп у глобальнш систем! координат.
Б-фцури (Б-лшп, Б-поверхш) подаються у вигляд! точкових р1внянь, як1 отримано у результат! геометрично! формал!заци у точковому БН-численн!
Таким чином, Б-фиури не е окремим видом, класом, типом, тощо лшш або поверхонь, Б-фиури е шшим способом подання цих лшш, поверхонь у вигляд! композицп ввдсотшв а л в1д вих1дних точок А
Тому застосування термшв "Б-лшя", "Б-крива", "Б-поверхня" не означае якихось особливих лшш та поверхонь, вживання цих термшв вказуе на шший споСб утворення ввдомих лшш та поверхонь.
Виникае питания: "Навщо це потр1бно, коли розроблено достатньо ввдомих метод1в геометричного моделювання?" Р1ч у т1м, що подання вщомих геометричних ф1гур у точковш форм! надае ряд переваг, таких, як незалежшсть параметр1в, ¡хня незмшшсть при проектуванш на ос простору, у ф1гур1 одночасно поеднуються два погляди: як метричного простору з1 соею внутршньою метрикою (т.з. внутршня геометр1я), так 1 ф1гури, що розглядаються у глобальнш систем! координат у простор! (т.з. зовшшня геометр1я).
Висновки
Таким чином, точкове БН-числення надае новий споСб побудови л1н1й 1 поверхонь, який полягае у тому, що кожшй точц1 з множини, що утворюе певну геометричну ф1гуру, в1дпов1дае св1й наб1р часток в!д базових точок симплексу. При цьому, необх1дною умовою е р1вн1сть одинищ суми цих. Такий п1дх1д щодо визначення геометричних ф1гур нами було названо композицшним. Композиц1йний метод геометричного моделювання не потребуе розв'язання системи р1внянь для визначення коеф1ц1ент1в, яш забезпечують !хне проходження через наперед задан! точки. Це мае велике практичне значення для геометрично! формал1заци багатофакторних ситуац!й та процес!в. Точков! рiвияния геометричних ф!гур отриман! шляхом встановлення внутр!шн!х зв'язк!в м!ж базовими точками симплексу ! змiнюваио! точки ф!гури без використання анал!тичних метод!в моделювання, тобто, без встановлення геометричних зв'язшв м!ж елементами ф!гури. Такий шдхвд нами названо "геометро-математичним апаратом" формал!зац!! розв'язку задач!. Вказан! переваги точкового БН-числення при застосуванн! у композицшному метод! геометричного моделювання багатофакторних процеСв дозволяють: 1) не обмежувати к1льк1сть фактор!в, включених до модел!, через в!дсутн!сть алгебра!чних метод!в кореляци; 2) отримувати модель та розв'язок у простор!, з можлив!стю подальшого !х анал!зу на проекц!ях, як одно-, так ! двом!рних; 3) розкладати задачу багатовим!рного простору на необх!дну к!льк!сть одно-, двох- або тривим!рних, що набагато спрощуе процес моделювання.
Список використано'1 лггератури
1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. - М.: Наука, - 1968. - 912 с.
2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии, 11-е изд. / Н.В. Ефимов. - М.: Наука, 1972. -272 с.
3. Адоньев £.О. Композицшний метод геометричного моделювання: суть, особливост! та перспективи застосування / £.О. Адоньев // Сучасн! проблеми моделювання. - Мелтгополь: Видавництво МДПУ !м. Б. Хмельницького, 2017. - Вип. 8. - С. 3-14.
4. Адоньев £.О. Алгоритм формування моделей багатофакторних процеСв композиц!йного методу / £.О. Адоньев, В.М. Верещага, А.В. Найдиш // Зб!рник доповвдей У1-о! Всеукра!нсько! науково-практично! конференцп студент!в, асп!рант!в та молодих вчених "Прикладна геометр!я, дизайн, об'екти штелектуально! власност! та !нновац!йна д!яльн!сть студенпв та молодих вчених" (м. Ки!в, 28-29 квiтия 2017 р.). - К.: НТУУ "КП1", 2017. - Вип. 6. - С. 12- 18.
5. Адоньев £.О. Застосування поверхонь вщгуку при моделюванш сталого енергетичного розвитку м!ст / £.О. Адоньев, В.М. Верещага // Вюник Херсонського нац!онального техн!чного ун!верситету. - Херсон: ХНТУ, 2016. - Вип. 3(58). - С. 471-476.
6. Давиденко 1.П. Конструювання поверхонь просторових форм методом рухомого симплексу: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01 / 1.П. Давиденко; Тавр. держ. агротехнолог. ун-т. - Мелитополь, 2012. -23 с.
7. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. - М.: Советская энциклопедия, 1984. -Т.4. -1216 с.
8. Найдыш В.М. Методы и алгоритмы формирования поверхностей и обводов по заданным дифференциально-геометрическим условиям: дис. ... докт. техн. наук: 05.01.01 / Владимир Михайлович Найдыш; Мелитопольский институт механизации сельского хозяйства, - 1982. - 512 с.
9. Верещага В.М. Дискретно-параметрический метод геометрического моделирования кривых линий и поверхностей: дис. ... докт. техн. наук: 05.01.01 / Виктор Михайлович Верещага; МИМСХ -Мелитополь. - 1996. - 320 с.
10. Балюба И.Г. Конструктивная геометрия многообразий на основе точечного исчисления: автореф. дис. ... докт. техн. наук: 05.01.01 / Иван Григорьевич Балюба. - К.: КГТУСА, 1995. - 36 с.
11. Точечное исчисление / И.Г. Балюба, В.М. Найдыш [под ред. В.М. Верещаги]. - Мелитополь: Изд-во МГПУ имени Богдана Хмельницкого, 2015. - 234 с.
