CC BY
13
УДК 514.18
В.М. ВЕРЕЩАГА, О.М. ПАВЛЕНКО
Мелгтопольський державний педагопчний ушверситет iM.. Б. Хмельницького
ГЕОМЕТРИЧНИЙ АЛГОРИТМ ВИЗНАЧЕННЯ ТОЧКИ ДОТИКУ
У результатi використання властивостей метричного оператора трьох точок прямо!, на плоскт кривш, що задана точковим рiвнянням, визначаеться точка дотику з прямою, яка проведена i3 довшьно! точки, що розташована поза межами цiеi криво!.
Ключовi слова: властивкть метричного оператора, точкове рiвняння кривоi, дотична, точка
дотику.
В.М. ВЕРЕЩАГА, А.М. ПАВЛЕНКО
Мелитопольский государственный педагогический университет им. Б. Хмельницкого
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТОЧКИ КАСАНИЯ
В результате использования свойства метрического оператора трёх точек прямой, на плоской кривой, заданной уравнением в точечной форме, определяется точка касания с прямой, которая проведена из произвольной точки, расположенной за пределами этой кривой.
Ключевые слова: свойство метрического оператора, точечное уравнение кривой, касательная, точка касания.
V.M. VERASHAGA, O.M. PAVLENKO
Melitopol State Pedagogical University named after Bogdan Khmelnitsky
GEOMETRIC ALGORITHM POINT OF CONTACT
As a result of the properties of the metric operator of three straight points on a plane curve given by the equation in point form, determined by the point of tangency with the line that carried out from an arbitrary point, which is located outside of the curve.
Keywords: property metric operator equation of the curve point, the tangent point of tangency.
Постановка проблеми
Ввдо]ш традицшш методи побудови дотично! розроблеш для аналогичных, графiчних i таке шше способiв задания кривих. У раз^ якщо крива задана точковим рiвнянням, традицшш методи визначення дотичних не працюють. Тому для плоских кривих, що задаш рiвнянням у точковш формi (точковим рiвнянням) [2, 3], необхвдно розробляти методи, яш дозволяють будувати дотичну до криво!.
Аналiз останшх дослвджень та публшацш
У дисертацшних дослщжениях Конопацького £.В., Давиденка 1.П. та !хшх наукових керiвникiв Верещаги В.М. i Балюби 1.Г. було розв'язано задачу побудови дотично! у точщ на кривiй, що задана точковим рiвияниям. При цьому застосовувалося диференцiювания точкового рiвияния i знаходилося точкове рiвияния для похщно!. Знаходжения точкового рiвияния для похвдно! iнколи викликае певнi труднощi. Тому у данш статтi пропонуеться шший пiдхiд для побудови дотично! до криво!.
Формулювання мети досл1джень
Визначити у точковш формi точку дотику прямо! i криво!, що задана точковим рiвнянням, коли пряма проходить через дов№ну точку, яка не належить заданiй кривiй.
Викладення основного матерiалу дослiджень
Нехай у симплекс А1А2А3 точковим рiвияниям (1) задана плоска крива М (рис.1):
М = (А2 - A1)p(t) + (Аз - A1)q(t) + Av (1)
У площиш цiе!' криво! (1) дов№но обираемо (рис.1) точку А у тому ж таки симплексi А1А2А3. Точкове рiвияния (2) точки А матиме виг ляд:
А = (А2 - Ai)Pa + (A3 - Ai)qA + Ai. (2)
На рис.1 буквою Т позначено шукану точку дотику прямо! АТ до криво! М. Змшюваш точки, позначеш лгтерами МВ i МС.
А,
Для визначення точки дотику Т, скористаемося властивютю метричного оператора трьох точок прямо! [1], яку викладемо у ввдповщносп до геометрично! схеми (рис.1). У цiй властивосп визначаеться, що дотримання рiвностi метричного оператора £МВ мС та кореня квадратного з добутку метричних операторiв ИМвМв • ИМсМс , забезпечуе площу ДАМВ МС, яка дорiвнюе нулю. Враховуючи це, змiнюемо положення точок МВ та МС, залишаючи повсякчас !х на кривiй М, то у момент !хнього ствпадання МВ = МС = Т , утворюеться точка дотику Т. З геометрично! точки зору це вщповщае рiвностi в1,^зк1в АМВ = АМС = АТ. Використовуючи (1) визначимо точки МВ, рiвняння 3 та МС, рiвняння 4:
МВ = (А2 - А1)р(Св) + (¿з - Л!)д(Св) + (3)
Мс = (А2 - А1)р(Сс) + (Лз - АЖ^) + А . (4)
Або у шшому виглядi:
МВ = А1(1 - р(Св) - Ч^в)) + А2Р(СВ) + А,?(*В) ; (5)
МС = А1(1 - р(^) - Ч^С)) + А2Р^С) + ¿з?(*с) . (6) Аналопчним чином визначаемо точку доступу Т:
Т = А1(1 - р(^) - 9(СТ)) + А2Р(Ст) + Лз^Ьг) . (7)
Враховуючи згадану вище властивiсть метричного оператора трьох точок прямо!:
= / ^ / МВМС ¿-^МоМо ¿—I
А
МвМв
А
■<МсМс
(8)
та застосовуючи ^-теорему [1] для вимiрювання площею Д А1А2Аз площ двох трикутнишв ДАМВТ i ДАМСТ , та поставивши вимогу, щоб площi 5АМвТ i 5АМсТ дорiвнювали нулю, дютанемо два визначника (9) та (10), що дорiвнюють нулю:
1 -Рл Рл
1 - р(^в) - Ч(^В) Р(*В) чОв) = 0
1 - рОг) - чОг) Р0г ) Ч^тО
1 -Рл - ^ Рл
1 - Р(^с) - Ч^с) р(^с ) ) = 0
1 - р(£г) - ?(£г) р(^) )
Розв'язавши систему точкових рiвнянь вiдносно р(£г) та ^(¿т), отримаемо значения параметрiв, що визначають точку дотику Т, у якш пряма АТ дотикаеться до криво! М.
Висновки
Знаходження точки дотику прямо! з кривою, що задаш точковими рiвняннями, використовуючи при цьому, властивють метричного оператору трьох точок прямо!, надае iнший шдхвд визначення дотично! до криво!, який не використовуе диференцшвання по параметру точкового рiвняння криво! М.
Список використаноТ лiтератури
1. Балюба И.Г. Точечное исчисление: учебное пособие / И.Г. Балюба, В.М. Найдыш; под ред. В.М. Верещаги. - Мелитополь: МГПУ им. Б. Хмельницкого, 2015. - 236 с.
2. Балюба И.Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01 / Иван Григорьевич Балюба. - Макеевка: МИСИ, 1995. - 227 с.
3. Найдыш В.М. Алгебра БН-исчисления / В.М. Найдыш, И.Г.Балюба // Прикладна геометрiя та шженерна графгеа. - К.:КНУБА, 2012. - Вип.90. - С. 210-215.
