CC BY
5
ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП'ЮТЕРШ ТЕХНОЛОГИ
УДК 334.75:519.83:514.18
е.о. лдоньев
Запорiзький нацюнальний унiверситет
В.М. ВЕРЕЩАГЛ
Мелiтопольський державний педагопчний унiверситет iM. Б. Хмельницького
ЗАСТОСУВАННЯ ПОВЕРХОНЬ В1ДГУКУ ПРИ МОДЕЛЮВАНН1 СТАЛОГО ЕНЕРГЕТИЧНОГО РОЗВИТКУ М1СТ
У cmami розглядаеться проблема багатофакторного моделювання сталого енергетичного розвитку Miст. Для виршення даноi проблеми пропонуеться споаб формалiзованого геометричного моделювання поверхт, що вiдображае процеси двопараметрично'1' змти одного фактору, який входить до складу факторiв економiчноi моделi. Вихiдною iнформацiею для побудови поверхнi вiдгуку, що вiдображае змiну фактору, е статистичш дат, отриманi за результатами спостереження за цим фактором. Мiнiмальна кшьюсть зафжсованих статистичних спостережень повинна бути не меншою, нiж дев 'ять: три уздовж одного параметру та три уздовж другого параметру. Треба зауважити, що можна побудувати поверхню, що вiдображае змту фактору, i з меншою кшьюстю вихiдних даних, але при цьому буде зростати похибка вiдтворення змiни фактору, i це питання знаходиться за межами матерiалу даноi статтi. В статтi розглядаеться виведення точкових рiвнянь, що вiдображають поверхню змти фактору для вихiдних статистичних даних у кiлькостi 3x3, 3x4 и 4x4, тобто, вiдповiдно, дев'ять, дванадцять та шiстнадцять вихiдних статистичних вимiрювань за р1зних умов.
Ключовi слова: стткий розвиток, поверхня вiдгуку, економiчнi фактори, економiчна модель.
Е.А. ЛДОНЬЕВ
Запорожский национальный университет
В.М. ВЕРЕЩАГЛ
Мелитопольский государственный педагогический университет им. Б. Хмельницкого
ПРИМЕНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОТКЛИКА ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ УСТОЙЧИВОГО ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ГОРОДОВ
В статье рассматривается проблема многофакторного моделирования устойчивого энергетического развития городов. Для решения этой проблемы предлагается способ формализованного геометрического моделирования поверхности, отражающей процессы двухпараметрического изменения одного фактора, входящего в состав факторов экономической модели. Исходной информацией для построения поверхности отклика, отражающей изменения фактора, являются статистические данные, полученные в результате наблюдений за этим фактором. Минимальное количество зафиксированных статистических наблюдений должно быть не менее девяти: три вдоль одного параметра и три вдоль другого параметра. Следует заметить, что можно построить поверхность, отражающую изменения фактора, и с меньшим количеством исходных данных, но при этом будет увеличиваться погрешность воспроизводства изменений фактора, и этот вопрос находится за пределами материала данной статьи. В статье рассматривается вывод точечных уравнений, отражающих поверхность изменения фактора для исходных статистических данных в количестве 3x3, 3x4 та 4x4, то есть, соответственно, девять, двенадцать и шестнадцать исходных статистических измерений в разных условиях.
Ключевые слова: устойчивое развитие, поверхность отклика, экономические факторы, экономическая модель.
Y.O. ADON'YEV
Zaporizhzhya National University
V.M. VERESHCHYAGA
Melitopol State Pedagogical University named after B. Khmelnitsky
RESPONSE SURFACE USING IN MODELLING OF SUSTAINABLE ENERGY DEVELOPMENT OF CITIES
The article depicts the problem of multivariate modeling of cities sustainable energy development. To solve this problem this article provides a method formalized geometric modeling surface that reflects the processes two-parametric change one factor that is part of the factors of economic model. The background for the construction of the response surface, reflecting the change factor is statistical data received on the results of monitoring of this
factor. The minimum number of fixed statistical surveys should be not less than nine: three along one parameter and three along the second parameter. Note that it is possible to build a surface that reflects the change factor using less input data, but it will increase the error changes reproducting a factor, and this issue is beyond the material of this article. In the article the withdrawal point equations reflecting change factor surface for the input statistics of the number 3x3, 3x4 and 4x4, that is, respectively, nine, twelve and sixteen output statistical measurements under different conditions.
Keywords: sustainable development, surface response, economic factors, the economic model.
Постановка проблеми
В тепершнш час паливно-енергетичний комплекс Украши працюе, фактично, у кризових умовах. Зокрема, житлово-комунальне господарство (ЖКГ), як один i3 основних споживачiв енергоресурав, характеризуеться вкрай неефективним енергоспоживанням, високими втратами, зношеними мережами та обладнанням. Для реформування енергосистеми ЖКГ необхiдне залучення значних iнвестицiй, в тому числ з iноземних джерел. Наразi, найбшьш ефективним е пiдхiд, заснований на принципах сталого розвитку територiй. В цьому випадку, при визначеннi портфелю прюритетних iнвестицiйних проектiв, необхiдно одночасно враховувати велику кiлькiсть економiчних, еколопчних та соцiальних факторiв в розрiзi довгострокового планування. Економiко-математичнi моделi, покладеш в основу систем шдтримки прийняття таких управлiнських рiшень, е складними та багатофакторними. Основною проблемою моделювання сталого енергетичного розвитку е велика варiативнiсть набору вихвдних факторiв, в залежносп ввд особливостей конкретного населеного пункту (мюта). Змiна кiлькостi та якосп факторiв моделi завжди призводить до И перебудови, що практично означае створення ново! моделi. Це е суттевою вадою процесу моделювання. Тому модель, розроблена для одного мюта, не може бути напряму (без складно! переробки) застосована для шшого мюта. Таким чином, розробка ушверсального методу багатофакторного моделювання, який дозволить змшювати набори вихiдних факторiв без ютотно1 змiни структури модел^ е актуальною.
Анаш останшх дослщжень i публiкацiй
Проблеми моделювання, вимоги до моделей, яш були розглянуп вище, знаходяться у вiдповiдностi до проаналiзованих результатiв дослiджень [1-8]. Окремо слад ввдзначити методику швидко! оцшки енергетичного розвитку мiст, розроблену Всесвишм банком [9]. Основнi показники мюта, що дослвджуеться, вводяться до бази даних i порiвнюються з аналопчними показниками iнших мiст. На пiдставi цього визначаються галузi мiського господарства, реалiзацiя iнвестпроектiв в яких дасть максимальний ефект. Для цих галузей система пропонуе набори готових проекпв, якi вже були успiшно реалiзованi в iнших мiстах. Однак, цей метод виведення за аналопею або порiвняння е дуже загальним i приблизним, вiн враховуе тiльки головш фактори. Багато iндивiдуальних, значущих для кожного конкретного мюта, факторiв залишаються поза увагою, що може привести до неоптимального використання iнвестицiй. Враховуючи усе сказане вiдносно методу виведення за аналопею, здобуваемо додаткове тдтвердження того, що поставлена мета створення узагальнено! модел^ яка не змiнюеться при якiснiй та кiлькiснiй змш факторiв, е актуальною. Бiльш доцшьним е застосування поверхонь вiдгуку [10], що являють собою функцш одного або декшькох факторiв, мiрнiсть яких визначаеться розмiрнiстю процесу, що включае цi фактори. Для побудови поверхш ввдгуку спочатку необхiдно визначити li каркас, складовою якого е лшп. Розглянемо побудову параболи другого ступеня у якостi лшп каркасу поверхш ввдгуку, виведення яко! наведемо за результатами дослщжень [11]. Нехай три довшьш точки А, В, С визначають площину для
Рис. 1 Геометрична схема визначення змiнюваноí точки М, що проби-ас через yd точки параболи
Пояснимо алгоритм побудови точки М параболи.
1. Точки А 1В з'еднуемо, дютаемо в1др1зок [AB].
2. Визначаемо невласну точку С „ ввдношенням tC =
1£Л BA
TA
3. Змшювану точку Т перемщуемо змшою параметру t =-,0 < I < 1.
BA
4. СТс - пряма, що визначае невласну точку См.
5. AKN\CTC .
6. K = AN П BC .
7. N = AK П т||KTC .
8. M = BN П ТМ||СТс .
У раз1, якщо прийняти tC = —; t = 1 — V, tC = 1 — tC, то точкове р1вняння для зм1нювано! точки М
матиме вигляд:
M = (А — C ) (1 — 2t) + (С — B )t (1 — 2t) + C
(1)
Застосовуючи (1) для геометрично! схеми (рис.2), у якш уздовж ребер А1 прийнято параметр U, а уздовж ребра М1М2М3 - параметр V.
У робот1 [12] отримано, точкове р1вняння змшювано! криво! М1М2М3, яке 1 е точковим р1внянням шукано! поверхш вщгуку:
М = [ А11и (1 — 2и) + 4 А12ии + A13u(2u — 1)]у (1 — 2v) +
+ 4[А21и (1 — 2и) + 4 А22ый + А23и (2и — 1)]уу + (3)
+ [А31и (1 — 2и) + 4 А32ии + А33и(2и — 1)]у(2у — 1).
Як бачимо, сегмент поверхш М (3), побудований на дев'яти дшсних точках з дов1льно обраними трьома невласними точками. У робот1 [10] було здобуте точкове р1вняння на баз1 шютнадцяти дшсних точок (рис. 3), ребрами поверхш якого е граф1ки полшом1в третього ступеня, 1 змшювано! криво! М1М2М3М4.
А
13
Ал
А
11
131
Рис. 2 Геометрична схема поверхш ввдгуку для одного фактора
А
11
Рис. 3 Геометрична схема сегменту поверхш ввдгуку, побудованого на базi 16-ти дшсних опорних точок
Точкове р1вняння для змшювано! точки М, що знаходиться на дуз1 М1М2М3М4, вщповвдае точковому р1внянню поверхш вщгуку для фактору, що розглядаеться, та мае вигляд:
3 3 9 3
И = ИV(1 — 3у)(1 — -V) + 9И2уу (1 — -V) + -И3УУ(3У — 1) + И4У(3У — 1)(-V — 1) ,
або у розкритому, вщносно М1, вигляд1:
_ 3 _ 3 9 _
М = [Лии (1 - 3и)(1 — и) + 9Л12ии (1 - — и) + — Л13ии (3и -1) +
3 3 3
+ Л14и(3и -1)(-и - 1)]у (1 - 3у)(1 - - V) + 9[Л21и(1 - 3и)(1 - -и) +
_ 3 9 _ 3 _ 3
+ 9Л22ии (1 - — и) + — Л23ии (3и -1) + Л24и (3и -1)(— и -1)^ (1 - — V) +
9 _ 3 _ 3 9
+—[ Л31и (1 - 3и )(1 - — и ) + 9 Л32ии (1 - — и) + — Л33 (3и -1) + (4)
3 _ _ 3
+ Л34и (3и -1)(— и - 1)]VV ^ -1) + [Л41и (1 - 3и)(1 - — и) +
_ 3 9 _ + 9 Л42ии (1 - — и) + — Л43ии (3и -1) +
33 + Л44и(3и -1)(-и - 1)]v(3v -1)(-V -1).
Точковi рiвняння (3) i (4) е доволi складними за рахунок того, що для 1хнього здобуття виконувалось об'еднання простих точкових форм з подальшими 1х перетвореннями. На наш погляд, бiльш рацiональним е послщовний розв'язок простих точкових форм, коли попередш розрахунки включаються до подальшого виконання.
В уах задачах, якi запропонованi до розв'язання у цiй статгi, використовуеться геометричний апарат точкового БН-числення [13], що являе собою геометрш ввдношень однорвдних об'ектiв, основою яких е просте вiдношення трьох точок прямо!.
Формулювання мети дослiдження
Цiллю запропонованих дослвджень, що являють собою розвиток проаналiзованих вище, е розробка, для окремого фактору, нового способу моделювання, у якому виконуеться послвдовно декшька простих розрахунк1в замiсть одного складного. Для цього створено узагальнену формалiзовану геометричну модель економiчного процесу, яка дозволяе, без змши 11 структури, варшвати к1льк1сно та як1сно факторами зi змiнною кiлькiстю властивостей (параметрiв) у цих факторах. Такий шдхвд дозволяе спростити процес моделювання сталого енергетичного розвитку мiст, уникнути помилок при створенш складного точкового продукту i зменшити час виконання розрахуншв.
Виклад основного матер1алу досл1дження
Подшення складного шнцевого точкового рiвняння на декшька простих, яш необхвдно виконати послщовно, назвемо способом точкових агрегапв [13]. Дамо визначення точкового агрегату.
Точковий агрегат - це сукупнють точкових форм, що розташоваш та виконуються у визначенiй послiдовностi, яка збертаеться i для розрахунк1в уах параметрiв фактору, що моделюеться. Покажемо створення точкових агрегатiв на прикладах, що розглядалися вище. Точкове рiвняння (1) отримано при
умовi, що 1с = 1, якщо узяти довiльним де 0</с<1, тобто дискретно фiксуе значення 1с у
визначених межах, то (1) буде мати вигляд:
1 -1 1 -1 t t М = [ Л2(1 -1 + ЛВ[(1 -1)-^--(1 -1)(— +1)] + ЛС (1 -1)— +
1с 1с 1 ^ С с
+ ВС(1 -1)-^- + В2(1 -1)(^ -1) + В(Л - В)]/(Л - В).
1с1с 1
Точковий агрегат, що в^пов1дае (5), запишемо у виглядi послiдовноi сукупност ~1С = 1гс '¿гс = 1 - 1гс ;0 < Г < 1; 1 = ; = 1 -;0 < < 1; ТГс = (В - Л)1Гс + А;Т = (В - Л)1, + Л;
= С - В1Гс ; н = (Кг - Т^ ){Т8 - Л) + т ; (6)
г 1 ' гс т - л 5'
1тс хгс
(5)
т - В)(Мгс - В)
[ ™
М 5 -, + В.
Л - В
За допомогою сукупносп (6) дiстанемо дугу параболи, хордою яко! е вiдрiзок АВ. Нехай кожна з точок симплексу А, В, С визначаеться десятьма параметрами А(РА1, РА2, ..., РА9, РА10), В(РВ1, ..., РВ10),
C(PC1, ..., Pew), тодi необхiдно для кожного з десяти парамет^в вiдповiдно скласти p03paxyHK0Bi сукупносп для прийнятих trc=const, ts=const.
trc = const; ts = const; trc = const; ts = const;
PTci = (PBi - P/4i )trc + P/4i; PTi = (PBi - P/4i )ts + P.4i;
Pfi =
Pci - PB t
Bi rc
t
PM =
(Pri - PTJ )(PTi - P4i)
PtJ - P
P
ль
(7)
Р _ (РТ7 - Р1И )(РМ - Р1И ) + р
Рм_ _ (Р* - ) +Рв'.
Змiнюючи 7 _ 1,10, здобудемо ус десять параметрiв РМ1,...,РМ9,РМ10, що визначають точку М процесу. Для побудови поверхш ввдгуку, що вiдповiдаe рис. 2, необхщно прийняти з (6) А=Ап:А 21А 31; В=А12А22А32; С=А13А23А33 i, застосувавши тричi (6), визначити ребра А11А12А13, А21А22А23, А31А32А33, вiдповiдно, для визначення змшюваних точок М1, М2, М3, положення яких розраховуються при умовi, що и 1=и2=и3. Якщо прийняти А=М1; В=М2; С=М3 i застосувати точковий агрегат (6), то отримаемо змiнювану точку М, значення яко! вiдповiдатиме значенню з точкового рiвняння (3). Таким чином, схематично точковий агрегат, що вщповщае (3), можна вiдобразити:
М1 = застосувати (6) до точок А и, А12, А13; М2 = застосувати (6) до точок А21, А22, А23; М3 = застосувати (6) до точок А31, А32, А33; М = застосувати (6) до точок М1, М2, М3.
(8)
1з застосуванням точкових агрегатiв стае можливим розв'язувати задачi побудови поверхонь вщгуку шляхом застосування комбiнацiй (рис. 4, рис. 5).
¿13
Mi ^^
А
Aii
А
А14 А?4
Aii А21
А31
А41
Рис. 4. Комбинация 3x4
Рис. 5. Комбинация 4x3
Для комбшацш 3x4 (рис. 4) необхвдно застосувати точковий агрегат (6) чотири рази, а попм скористатися точковим рiвнянням (4). Для комбшацп 4x3 (рис. 5) необхщно три рази застосувати для точок Ад, А12, А 73, А14 точкове рiвняння аналогiчне (4) i визначити точки М1, М2, М3, а потiм до них застосувати точковий агрегат аналопчний (6). При цьому, для кожно! з комбiнацiй не потрiбно виводити точкове рiвняння i переписувати програмну реалiзацiю.
Висновки
За результатами дослщжень був запропонований спосiб точкових агрегапв, який дозволяе з попередньо визначеною щ№нютю дискретно подати поверхню вщгуку щодо змiни фактору будь-якого процесу. Вихщними даними для способу точкових агрегапв е емпiрично визначенi стани процесу, зняття яких рiвномiрно розподшене в усiй областi визначення цього процесу. Застосування способу точкових агрегапв спрощуе розрахунки через замiну одше! складно! точково! форми на декшька простих, що поспiль виконуються. За рахунок цього, спрощуеться програмна реалiзацiя розрахункiв та скорочуються витрати комп'ютерних ресурСв, стае можливим виконувати рiзнi комбiнацi! щодо кiлькостi вихiдних даних, не змшюючи модулi програм. За рахунок застосування точкового БН-числення кшьшсть параметрiв, що визначають фактор, може бути будь-якою i змiнюватись у ходi проведення комп'ютерних експериментiв. Програмна реалiзацiя, при цьому, не змшиться, змiниться тiльки кiлькiсть циклiв. Одною iз головних
переваг запропонованого способу побудови поверхонь ввдгуку е те, що для кожного з фактор1в вони будуються окремо, без встановлення взаемозалежностей одного фактора вщ шшого. Хоча, тсля побудови поверхонь ввдгуку для дешлькох фактор1в завжди е можливють встановити певш взаемозалежносп м1ж ними. Така можливють е дуже важливою у дослвдженнях процеав шляхом моделювання та проведення комп'ютерних експерименпв, яш потребують кшьшсно! та яшсно! змши фактор1в.
Запропоноваш споаб побудови поверхш ввдгуку та споаб точкових агрегапв, що реал1зован1 за допомогою геометричного апарату точкового БН-числення, на наш погляд, мають перспективи застосування у моделюванш сталого енергетичного розвитку територш (мют) завдяки тому, що через оптимшцгю кожного фактору окремо можна знайти оптимальне ршення для всього процесу, який моделюеться.
Перелiк використаноТ лiтератури
1. Катренко А.В. Системний анал1з об'ектш та процеав комп'ютершцд / А.В. Катренко. - Льв1в: Науковий свгг - 2000, 2003. - 424 с.
2. Старр М. Управление производством: Пер. с англ. / М. Старр - М.: Прогресс, 1968. - 398 с.
3. Соколицин С.А. Организация и оперативное управление машиностроительным производством / С.А. Соколицин, Б.И. Кузин - Л.: Машиностроение, 1988 - 527 с.
4. Козловский В.А. Производственный и операционный менеджмент / В.А. Козловский, Т.В. Маркина, В.М. Макаров - СПб.: Специальная литература, 1998 - 366 с.
5. Краснощеков П.С. Принципы построения моделей / П.С. Краснощеков, А.А. Петров - М.: Изд-во МГУ, 1983. - 264 с.
6. Петров А.А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент / А.А. Петров - М.: Наука, 1996. -327 с.
7. Петров А.А. Опыт математического моделирования экономики / А.А. Петров, И.Г. Поспелов, А.А. Шананин - М.: Энергоиздат, 1996. - 544 с.
8. Самарский А.А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры [2-е изд., испр.] / А.А. Самарский, А.П. Михайлов - М.: Физматгиз, 2001. - 320 с.
9. Tool for Rapid Assessment of City Energy (TRACE): Helping Cities Use Energy Efficiently [Electronic resource] — Mode of access: http://www.esmap.org/TRACE
10. Радев С.Ю., Верещага В.М. Побудова поверхш вщгуку в БН-численш для геометричного моделювання процеав. / С.Ю. Радев, В.М. Верещага // Матерiали II-i Мiжнародноi науково-практично! конференци студенпв, асшранпв та молодих вчених "Прикладна геометргя, дизайн та об'екти шгелектуально! власносп".- К.: Д1Я, 2013 р. - Випуск 2. - с. 167-171.
11. Бумага А.1. Точкове рiвняння дуги параболи другого порядку / А.1. Бумага // М1жввдомчий науково-техшчний збiрник "Прикладна геометрiя та шженерна графша". - К.: КНУБА, 2012. - Випуск 90. -С. 49-52.
12. Кучеренко В.В. Формалiзованi геометричш моделi нерегулярно! поверхш для гшеркшьшсно! дискретно! скшчено! множини точок : дис. ... канд. техн. наук : 05.01.01 / Вадим Владимирович Кучеренко; Дншр. нац. ун-т.- Дншропетровськ, 2013. - 187с.
13. Точечное исчисление / И.Г. Балюба, В.М. Найдыш [под ред. Верещаги В.М.] // Мелитополь: Изд-во МГПУ имени Богдана Хмельницкого, 2015. - 234 с.
