CC BY
10
УДК 514.18
Д.В. СШРИЦЕВ, А.В. НАЙДИШ
Мелггопольський державний педагопчний ушверситет iMeHi Богдана Хмельницького
ПРЕДСТАВЛЕННЯ ПЛОСКО1 ДИСКРЕТНО1 КРИВО1
У po6omi розглядаеться pi3Hi способи представлення дискретно представлено'1' кривоi (ДПК).В якостi nараметрiв моделювання використовуються як лiнiйнi, так i кутовi параметри. Наведено параметричне представлення дискретноi криво'1', а також алгоритм визначення кутових параметрiв для неоднозначних ДПК.
Ключовi слова: дискретно представлена крива (ДПК), дискретний точковий ряд, суnровiдна ламана лiнiя, визначення кутових параметрiв.
Д.В. СШИРИНЦЕВ, А.В. НАЙДЫШ
Мелитопольский государственный педагогический университет имени Богдана Хмельницкого
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЛОСКОЙ ДИСКРЕТНОЙ КРИВОЙ
В работе рассматриваются различные способы представления дискретно представленной кривой (ДПК). В качестве параметров моделирования используются как линейные, так и угловые параметры. Приведены параметрическое представление дискретной кривой, а также алгоритм определения угловых параметров для неоднозначных ДПК.
Ключевые слова: дискретно представленная кривая (ДПК), дискретный точечный ряд, сопроводительная ломаная линия, определение угловых параметров.
SPIRINTSEV D., NAYDYSH A.
Melitopol State Pedagogical University named after Bogdan Khmelnitsky
REPRESENTATION OF THE PLANE DISCRETE CURVE
Different methods of representing a discretely presented curve (DPC) are considered in this paper. As modeling parameters, both linear and angular parameters are used. The parametric representation of the discrete curve is presented, as well as the algorithm for determining the angular parameters for ambiguous DPC.
Keywords: discretely presented curve (DPC), discrete point series, accompanying broken line, determination of angular parameters.
Постановка проблеми
При моделюванш процеав i явищ використовують експериментальш даш, яш, як правило, мають дискретний характер. Тим самим замють деяко! неперервно! криво! m, що ввдображае неперервну зм^ процесу, маемо !! дискретний аналог, тобто дискретно представлену криву (ДПК). Геометричною основою ДПК е дискретний точковий ряд (ДТР), а сама ДПК це ДТР та алгоритм побудови дов№них промiжних точок мiж вузлами вщомого ДТР з метою як можна точшшого представлення шукано! неперервно! криво! [1]. Данш алгоритми складають основу дискретно! штерполяцп, одним з напрямк1в яко! е варiативне дискретне геометричне моделювання (ВДГМ), завданням якого е встановлення взаемозв'язк1в мiж рiзними характеристиками i параметрами модельованого явища шляхом дослвдження адекватних геометричних схем i розробки вiдповiдних розрахункових алгоритмiв. Однак, перш шж розробляти адекватнi геометричнi схеми та розробляти ввдповщш розрахунковi алгоритми, необхвдно обрати вiдповiдний спосiб дискретного подання вихiдно! дискретно представлено! криво!, осшльки подальшi дослiдження та точнють отриманих результатiв напряму будуть залежати ввд цього.
Аналiз останшх дослвджень i публiкацiй В результатi експериментальних дослiджень або деяких теоретичних розрахуншв отримуемо ДТР. Головним допущениям ДГМ е безпомилковiсть цих даних. За цих умов характер криво! буде тим краще вщслщкований, чим щшьшшим буде точковий ряд та чим вщповщшшим алгоритму ДГМ буде обрано спосiб представлення ДПК. В Мелтгопол^ починаючи з 80-х рок1в ХХ столитя в рамках Мелiтопольсько! школи прикладно! геометрi! було сформувався новий напрямок - дискретне геометричне моделювання (ДГМ), який пiзнiше було трансформовано в ВДГМ. Актуальнiсть цього обумовлена наявшстю певного класу задач, для розв'язання яких не пристосованi вiдомi неперервнi методи традицiйного моделювання, але вони успiшно розв'язуються методами ВДГМ [1]. У публжащях [1-4, 6] були висвилеш основнi поняття, властивосл, геометричт аспекти та загальнi напрямки розвитку ВДГМ, однак, проведенi у цих роботах дослвдження ще мають перспективи подальшого розвитку та потребують систематизацi!.
Мета дослщження
Розглянути основш способи представления ДПК та основi лшшних та кутових параметрiв як для однозначних так i неоднозначних кривих.
Викладення основного матер1алу дослвдження
Розглянемо дов1льний точковий ряд (рис. 1), точки якого для наочносп з'еднаш ланками супров1дног ламаног л1нИ (СЛЛ) [1]. II розглядають як досить грубе кусково-лiнiйне наближення криво! т, похибка А якого оцшюеться як максимальне вiдхилення уздовж ос Оу точок криво! т вщ вiдповiдних ланок СЛЛ, та дозволяе оцiнити точнiсть методу моделювання, що
використовуеться.
Характеристики довiльного ДТР можна подiлити на лiнiйнi та кутовi. До лгншних характеристик в загальному випадку можна вiднести
координати вих1дних точок -(ху, уу), 7 = 0; п , довжини ланок СЛЛ - Ц, 7 = 0;п, та перевищенням ординат
Рис. 1. ДПК з показаними кутовими параметрами.
сусвдшх точок - Ay- = y- +i — y-,i = 0;n — 1, а у випадку р1вном1рного !х розташування, ще й крок сггки
h = x- — x- —i = const, i = 1;n . До кутових характеристик вщносять кути нахилу ланок до oci Ox - а-,
i = 0,3 i кути сумiжностi ланок - у-, i = 1,3 (рис. 1). ^TOBi параметри в процес дискретного геометричного моделювання останнiм часом займають все бiльш лiдируючi позицп завдяки притаманним !м наступним властивостям:
- кутовi параметри графiчно! моделi не залежать ввд масштабу зображення;
- конфiгурацiя i положення ДПК вщносно системи координат, зокрема, многозначшсть !! вiдносно осi Ох, не впливае на процес моделювання;
- можливють отримання в багатьох випадках бiльш простих моделей;
- можливють шдвищення точностi моделювання i таке шше.
Однак, при цьому це варто зменшувати можливостi дискретного геометричного моделювання на основi лiнiйних параметрiв, оск1льки в деяких випадках доцшьшше використовувати саме !х (рiзницевi рiвняння [1]).
Основним способом завдання дискретно! криво! на площиш е завдання !! точкового ряду значеннями координат !! вузлiв. Таке завдання аналопчне табличному завданню деяко! функцп та ввдповщае природнiй методицi побудови точок. Крiм того даний спосiб завдання дозволяе визначити вс лiнiйнi та кутовi параметри вихщно! ДПК. На рис. 2 наведено приклад дискретно! криво!, задано! даним способом, на якому, для наочносп вузли з'еднанш СЛЛ та зображено лише першi 4 точки.
Однак це не единий споаб завдання дискретно! криво!. Одними iз поширених способiв завдання ДПК
е: завдання перевищеннями ординат суадшх точок - Ay- = у- +1 — у-,i = 0;n — 1 (рис. 3), та у виглад купв ai нахилу ланок СЛЛ до ос Ох (рис. 4). Вочевидь, що для однозначного завдання ДПК за заданими графiками Ay- (рис. 3) та а- (рис. 4) треба задати початкову точку (х0,у0), при цьому вважаемо вщомими значения абсцис ДТР.
Вхццп данш:
(Xy,Vy),7 = 0;77
i 0 1 2 3 n
x i x 0 x 1 x2 x3 xn
yi y 0 У1 У2 У3 Уп
Xj Х4
Рис. 2. Завдання ДПК значеннями координат вузл1в.
Якщо взяти за основу значения купв сумгжносп суадшх ланок СЛЛ [1]: у^ = аг- - аг- _1 ,1 = 1;п _ 1, то можна запропонувати ще один споаб завдання ДПК. При цьому, для однозначного И завдання необхщно завдання двох його сусiднiх точок, наприклад (х0,у0) та (х 1 ,у1). Приклад запропонованого способу наведено на рис. 5.
Вхвдш данш:
(х0,уо),{Хг, Ау,}, 1 = 0;п _ 1
7 0 1 2 п_1
X г X 0 X1 X 2 хп-1
X, Ауг Ау 0 Ау 1 Ау 2 Ау„л
Рис.3. Завдання ДПК перевищеннями ординат сусiднiх точок.
Вхвдш даннi:
(х0,уо), К, а1}, 1 = 0;п _ 1
7 0 1 2 п_1
Хг х 0 X1 X 2 xn—1
а{ а0 а! а2 ап_ 1
Рис.4. Завдання ДПК кутами нахилу ланок СЛЛ до ос Ох.
Вихвдш даннi:
(х о, у о), (х 1, у 1), у1,1 = 1;п _ 1
7 1 2 3 п_1
Гг Го 71 Г2 Гп_ 1
Рис. 5. Завдання ДПК кутами сумiжностi.
Крiм зазначених способiв, також можна завдавати ДПК за допомогою значень довжин ланок СЛЛ. При цьому в якостi другого параметра може виступати як перевищення ординат сусвдшх точок (Ау7-), кути нахилу ланок СЛЛ до оа Ох (а 7), так i кути сумiжностi (у^). Крiм того, для побудови означеним способом ДПК необхвдно ще задати початкову точку (х0, у0).
Означенi способи е досить дieвими при завданнi однозначних ДПК. Для багатозначних ДПК вони також придатш, однак, при цьому необхвдно або використовувати iншi формули визначення характеристик ДТР (див. нижче), або представляти багатозначну ДПК двома однозначними параметричними рядами (х=Д/) та у=/(/)) на цiлочисловiй рiвномiрнiй сiтцi, де в якосп параметра виступае номер точки /. На рис. 6 наведено приклад параметрично представлено! криво!, яка зображена на рис. 2.
Вихвдш данш:
х(7), у(7), 7 = 0;п
7 0 1 2 3 п
X г х 0 х 1 х2 хз хп
у* у 0 у 1 У2 Уз Уп
3 4
Рис. 6. Параметричне завдання ДПК.
За характером змши рядiв х(/), у(/), 7 = 0;п можна судити про опорш точки дискретно! криво!. Параметричне представлення криво! дозволяе спростити процес моделювання неоднозначних ДПК як за рахунок рiвномiрно! сiтки, так i за рахунок застосування методiв моделювання однозначних ДПК. Головною перешкодою при моделюванш багатозначних ДПК е наявшсть вертикальних дотичних, яким ввдповвдають точки екстремуму графiка х(/). При моделюванш на нерiвномiрнiй сiтцi, у порiвняннi з рiвномiрною, виникають деяш обчислювальнi труднощi [1]. Одним iз можливих рiшень дано! задачi е точне аналггичне визначення характеристик ДТР. Розглянемо це питання деталь шше.
Як вже було сказано рашше, до кутових характеристик ввдносять кути нахилу ланок до оа Ох -а1 i кути сумiжностi ланок СЛЛ - у1 (рис. 1).
Питанням визначення кутових характеристик займалось багато вчених, в тому чи^ вчеш Мел1топольсько! школи прикладно! геометрi! [1-4, 6]. Можна кути а^ нахилу ланок супровiдно! ломано! лшп (СЛЛ) ДПК до оа Ох визначати за вже ввдомою формулою:
а7 = агс81п£-ш—— = агсБт 1
7 ¡7 ¡7
(1)
де ¡г =^(х 7+1 - х7) + (У7+1 - У7) - довжина ланкн (7,7 +1) СЛЛ, а значення кута сумiжностi за формулою:
у- = а- -а ,, 7 = 1,п -1 (2)
' I I 7-1
Запропонована схема е простою та зручною у використаннi при визначеннi купв а7 нахилу СЛЛ для однозначних ввдносно осi Ох ДПК.
Також для визначення купв а7, 7 = 1,п -1 можна використовувати б№ш складну схему (рис. 7), на якш зображенi кути нахил1в ланок ввднесеш до початку координат (т. О )[4]. Використовуючи дану
схему кути а можна визначити наступним чином:
ак = а при Дх, Ду > 0, ат = а при Дх > 0, Ду < 0,
,0
ар = -90 + а при Дх < 0, Ду < 0, ад =-1800 +а при Дх < 0, Ду > 0, де Дх = хI+1 - х^, Ду = у+1 - у{, а значення купв а визначаються за формулою (1).
(3)
Наведена схема визначення купв нахилу а^ ланок СЛЛ ДПК до оа Ох е бшьш вдосконаленою у порiвняннi з (1), але мае певнi меж1 застосування (для неоднозначних кривих у випадках коли значення купв
нахилу а^ по модулю не перевищують 270°). Покажемо це на приклащ дискретно представленого точкового ряду, який зображено на рис. 8. Кутовими характеристиками даного ряду е кути нахилу ланок до осп Ох («г,-, / = 0,6) та кути
сумiжностi ланок (у^ , 1 = 0,6). Якщо послiдовно визначати значення купв аI, 1 = 0,6 зпдно зi схемою (3), то для дшянок 0-1, 1-2, 2-3, 3-4, 4-5 шяких особливостей не буде спостертатись. Однак, якщо продовжити розрахунки а1 за формулою (3) для дмнок криво! 5-6 та 6-7, то замють значень купв
нахилу ланок а^ i а6 отримаемо
* *
значення купв СС5 i а6 як1 не е кутами нахилу даних ланок. Отже, використовувати формули (3) для розрахунку кутiв нахилу кривих, яш мають складну форму, не завжди е можливим.
Тому запропонуемо
наступний споаб визначення кутових характеристик вихвдного точкового ряду. Як вiдомо [5], кут в (рис. 9, а), м1ж прямими а1х + ¿1 у + С1 = 0 i а 2 х + ¿2 У + с2 = 0, визначаеться за формулою:
0^2 + Ь1Ь2 л/(а2 + ¿12 ) (а2 + ¿2 ) '
Проведемо через три иосладовш точки ряду 1 -1,1,1 +1 двi умовнi прямi 1 i 2 (рис. 9, б). Тодi за формулою (6) також можна визначити кут в мiж ними, чисельне значення якого вщповвдае куту сумiжностi у^ в 1 -о! точцi. Так само можна
.V
Рис. 8. Кутов1 параметры СЛЛ ДПК.
cosв = -
(6)
Рис. 9. До визначення кута сум1жност1 ланок СЛЛ ДПК.
визначати значення купв сумiжностi для будь-яко! точки 1 = 1,п -1 заданого ДТР. Тому, при розглядi геометричних характеристик вихвдного точкового ряду значення кутiв сумiжностi будемо визначати за формулою:
( \
0102 + Ь1Ь2 ^(а2 + ¿12 )' (а 2 + ¿2 )
У; = ± arccos
1 = 1, п -1,
(7)
де а1 ,а2 ,¿>1 ,¿2 - коефщенти рiвнянь прямих, що проходять через розглянутi точки ряду;
а1 = У7 - У7-1 а2 = У+1 - У
и , и , (8)
¿1 = х-1 - х ¿2 = х - х+1
тут х7-1 ,У7-1, х^,У1 i +1 ,У7 +1 - координати точок 7 -1, 7, 7 +1 вих1дного точкового ряду.
Визначивши за формулою (9), яка е узагальненням схеми (3), значения кута нахилу першо! ланки
а0, i обчисливши значення купв сумiжиостi /7, 7 = 1,п -1 за формулою (7), в залежносп ввд геометричних характеристик криво!, можна, використовуючи формулу (2), визначити значення шших купв нахилу ланок а7, 7 = 1,п -1 для будь-якого вихвдного точкового ряду: У1 - У0
а0 = агс81п—-—, якщо Ах1 = [х1 - х0] > 0,
¡0
0 У1 - У0 а0 =-180 -агс81п-, якщо Ах1 = [х1 -х0] <0.
(9)
0
«1 = Yl + а0
а = Y2 + а
(10)
an-1 =Yn-1 + an - 2.
Таким чином, використовуючи формули (7)-(10), можна отримувати значення кутових геометричних характеристик вихщного ДТР, заданого сукупшстю точок (Xj,y), i = 0; n в декартовш системi координат.
Отриман формули дозволять задавати ДПК не тшьки однозначних, а й неоднозначних ДПК довiльноi форми, та при цьому не буде необхiдностi в вiзуальнiй корекцй' кутових характеристик криво! для неоднозначних кривих.
Висновки
В робот! розглянуто основнi способи представления ДПК на основi лiнiйних та кутових параметрiв, якi можуть використовуватись як для однозначних так i для неоднозначних кривих. Було запропоновано ефективний споСб представлення ДПК дов№но! конфiгурацii' на основi кутових параметрiв, необх1дних для завдаиия ДПК. Правильно обраний спосiб представлення ДПК дозволить тдвищити точнiсть та спростити процес побудови довiльних пром1жних точок м1ж вузлами вiдомого ДТР з метою як можна точшшого представлення шукано! неперервно! криво!.
Список використаноТ лггератури
1. Найдиш В.М. Основи прикладно! дискретно! геометрп / В.М. Найдиш, В.М. Верещага, А.В. Найдиш, В.М. Малина. - Меллополь: ТДАТУ, 2007. - 194 с.
2. Верещага В.М. Дискретно-параметричний метод геометричного моделювання кривих лiнiй i поверхонь: дис. ... доктора техн. наук: 05.01.01 / Верещага Вжтор Михайлович. - Мелиополь, 1996. - 320 с.
3. Щербина В.М. Геометричне моделювання спiралеподiбних дискретно представлених кривих лшш: дис. ... канддата. техн. наук: 05.01.01 / Щербина Вжтор Михайлович.- Мелггополь, 2003. - 192 с.
4. Лебедев В.О. Дискретна штерполяц1я дискретно представлених кривих лшш на основi купв згущення. автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук: спец. 05.01.01 / В.О. Лебедев. - Мелпополь, 2004. - 22 с.
5. Фокс А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: Пер. с англ. / А. Фокс, М. Пратт - М.: Мир, 1982. - 304 с.
6. Найдиш В.М. Варiативна схема згущення ДПК на основi кутових параметрiв з використанням додаткових умов. / В.М. Найдиш, Д.В. Сшршцев // Пращ Тавршсько! державно! агротехшчно! академи. -Вип. 35.- Мелггополь: ТДАТА, 2007. - С.3-9.
