CC BY
10
УДК 514.18
О.В. ДУБЩЩА
Мел™польський державний педагопчний ушверситет iMeHi Богдана Хмельницького
е.А. ГАВРИЛЕНКО, Ю.В. ХОЛОДНЯК
Таврiйський державний агротехнологiчний ушверситет
КОНТРОЛЬ ЗАКОНОМ1РНОСТ1 ЗМ1НИ КРИВИНИ НА Д1ЛЯНЦ1 КУБ1ЧНОГО
В-СПЛАЙНА
У po6omi запропоновано cnoci6 формування дшянки кубiчного В-сплайна i3 забезпеченням монотонноi змти кривини через контроль nараметрiв базисних трикутниюв. Запропоновано споаб визначення радiусiв кривини в граничних точках дуги В-сплайна через параметри контрольного багатокутника. Запропоновано способи корегування контрольного багатокутника з метою забезпечення монотонной змти кривини вздовж кривой.
Ключовi слова: ку6iчний В-сплайн, дискретно представлена крива (ДПК), контрольний багатокутник, базисний трикутник (БТ), кривина.
Е.В. ДУБИНИНА
Мелитопольский государственный педагогический университет имени Богдана Хмельницкого
Е.А. ГАВРИЛЕНКО, Ю.В. ХОЛОДНЯК
Таврический государственный агротехнологический университет
КОНТРОЛЬ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ КРИВИЗНЫ НА УЧАСТКЕ КУБИЧЕСКОГО В-
СПЛАЙНА
В работе предложен способ формирования участка кубическим В-сплайном с обеспечением монотонного изменения кривизны через контроль параметров базисных треугольников. Предложен способ определения радиусов кривизны в граничных точках дуги В-сплайна через параметры контрольного многоугольника. Предложены способы корректировки контрольного многоугольника с целью обеспечения монотонного изменения кривизны вдоль кривой.
Ключевые слова: кубический В-сплайн, дискретно представленная кривая (ДПК), контрольный многоугольник, базисный треугольник, кривизна.
O.V. DUBININA
Melitopol State Pedagogical University named after Bohdan Khmelnytsky
E.A. GAVRILENKO, Yu.V. KHOLODNYAK
Tavria State Agrotechnological University
CHECKING THE REGULARITY OF CHANGING CURVATURE ON THE PART OF THE CUBIC B- SPLINE
This article describes the method for forming the part of the curve with a cubic B-spline, with a monotone change in the curvature through the control of the base triangles parameter's. The method of determining the curvature radii in the boundary points of the B-spline arc through the parameters of the control polygon is proposed. Methods of correction of the control polygon are proposed in order to provide a monotonic change in the curvature along the curve.
Keywords: a cubic B-spline, a discrete curve, a control polygon, a basic triangle, a curvature.
Постановка проблеми
Формування складних поверхонь, заданих дискретним лшйчатим каркасом, е важливим завданням геометричного моделювання. Властивосп одновим1рних обвод1в, яш е лишними елементами каркасу, визначають функцюнальш властивосп поверхш. Наприклад, при моделюванш динам1чних поверхонь, призначенням яких взаемод1я i3 середовищем (канал двигуна внутршнього згоряння, лопатка турбши, крило лтака та шш1), вимоги до лишних елеменпв - другий порядок гладкосп обводу при мшмальнш шлькосл особливих точок (точки змши опуклосп-вви-нутосп та точки змши напряму зростання - зменшення значення кривини вздовж криво!). Б^шють сучасних пакетiв геометричного моделювання для побудови одновимiрних обводiв використовують кубiчний В-сплайн. Коригування закономiрностi змiни кривини уздовж В-сплайна можливо в ручному режима А саме, на екраш монiтора за допомогою мишi через параметри контрольного багатокутника змiнюеться закономiрнiсть змiни кривизни уздовж сплайна. При цьому орiентуемося на фантом графша змiни кривини. Забезпечення контролю змши кривини уздовж
обводу, який складаеться з велико! кшькосп вузл1в, в ручному режим! виявляеться трудомютким, а часом -неможливим. Розробка шструмента, який дозволить в автоматизованому режим! забезпечити заданий характер змши кривини вздовж куб1чного В-сплайна, надасть можливють ефективно моделювати поверхш !з заданими функцюнальними властивостями.
Анaлiз останшх дослiджень i публiкацiй
В робот! [3] дослвджено положения дотичних у вих1дних точках, при яких задача формування обводу з монотонною змшою кривини мае розв'язок. Форма базисного трикутника (БТ), обмеженого дотичними до обводу, вздовж якого рад1уси кривини монотонно зростають, та вщповщною хордою супроводжуючо! ламано!' лши (СЛЛ), повинна вщповщати умовг
a <b (1)
де a, b - довжини сторш БТ, яш належать дотичним до обводу, при цьому сторона з довжиною a вщповщае вузлу з меншим рад1усом кривини.
Виконання умови (1) необхвдно забезпечити незалежно ввд того, дшянками яких кривих формуеться
обвщ.
В [1] розглянуто метод под1лу сплайна за алгоритмом Кокса де Бура та криво! Без'е за допомогою алгоритму де Кастельжо. Якщо куб1чний В-сплайн визначае контрольний багатокутник, що складаеться з трьох ланок, то В-сплайн щентичний куб!чнш кривш Без'е. В цьому випадку, подш В-сплайна можливо здшснити за допомогою алгоритму де Кастельжо. Якщо контрольний багатокутник, який задае неоднорщний куб1чний В-сплайн складаеться з трьох ланок, то визначити будь-яку точку на В-сплайш можливо за допомогою алгоритму де Кастельжо. Кожна ланка контрольного багатокутника под1ляеться у сшввщношенш u : (1 — u), де 0 < u < 1. З'еднавши точки, що подшяють ланки, отримуемо в1др1зки, як1 також д1лимо у сп1вв1дношенн1 u : (1 — u). К1льк1сть крок1в под1лу в1др1зк1в за алгоритмом де Кастельжо дор1внюе к1лькост1 ланок контрольного багатокутника сплайна. В результат! виконання алгоритму отримуемо точку( т. А ), яка належить сплайну, та два контрольш багатокутники, кожний з яких задае д!лянку вих!дно! криво!.
Завдаиия В-сплайна через контрольн! точки носить дискретний характер та забезпечуе гнучшсть управлiния його формою. П1дх!д до управлшня В-сплайном через контрольн! точки близький до формування дискретно представлено! криво! на основ! вихвдного точкового ряду. Задача формування геометричних образ!в, як! задан! впорядкованою множиною точок може бути розв'язана вар!ативним дискретним геометричним моделюванням (ВДГМ). Основн! принципи та напрямки ВДГМ сформульован! в [2].
Мета дослвдження
Запропонувати споаб визначення закону зм!ни кривини вздовж куб!чного В-сплайна, заданого вих!дними контрольними точками. Розробити спос!б корегування точок, що задають В-сплайн, з метою забезпечення монотонно! зм!ни кривини вздовж криво!.
Викладення основного мaтерiaлу дослвдження
Дискретно представлена крива (ДПК), вздовж яко! рад!уси кривини монотонно зростають, формуеться на основ! впорядковано! множини точок [i...ri]. Назначимо у вузлах ДПК дотичт, в таких положеннях, як! дозволяють сформувати кожну д!лянку криво! з монотонною зм!ною кривини [3]. Отримуемо ланцюг БТ, кожний з яких в!дпов!дае умов! (1). Контрольний багатокутник, що задае В-сплайн, поеднуемо з базисним трикутником. Розглянемо i-ий БТ та умови, при яких можливо сформувати д!лянку ДПК куб!чним В-сплайном. Дотичн!, як! утворюють БТ, ti та ti+1 проходять через контрольн! точки багатокутника, що задае В-сплайн, P0, Pi та P2, P3 в!дпов!дно (див. рис. 1).
В точках i та i+i, як! обмежують д!лянку сплайна, можуть бути задан! значення кривини ДПК.
Дугу В-сплайна, яка визначае дшянку ДПК, задаемо, назначивши положення ланки багатокутника
PiP2. Ланка PiP2 визначае положення точки А, що належить сплайну, та дотичну tA в ц!й точц!. В першому приближенн! ланка PiP2 встановлюеться паралельно хорд! P0P3. В цьому випадку точц! А
ввдповвдае значення параметру р!вняння В-сплайна u = —, а дотична tA паралельна хорд! БТ P0P3.
3
Дотична t знаходиться на вщсташ —И в!д хорди P0P3, де h - ввдстань в!д хорди P0P3 до ланки P—P2 багатокутника POP—P2P3.
Рис. 1. Оцшка характеристик В-сплайна через параметри базисних трикутниКв
*=4 12
де S - площа БТ згущення; I - довжина основи БТ згущення.
За алгоритмом де Кастельжо розд!ляемо вих!дну дугу В-сплайна на дшянки, кожнiй з яких вiдповiдаe контрольний багатокутник та поеднаний з ним БТ згущення.
Необх!дною умовою монотонно! змши кривини вздовж В-сплайна е вщповщшсть параметрiв скiльки завгодно великого числа БТ згущення умовi (1). Максимально можливе вiдхилення сформованого В-сплайна в!д криво! з монотонною змшою кривини будемо оцiнювати за допомогою коефщенту:
Якщо БТ згущення, якому вiдповiдае максимальне значення коефiцiенту к, не перевищуе наперед задане значення та при цьому форма вах БТ згущення вiдповiдае умовi (1), задачу формування В-сплайна з монотонною змшою кривини будемо вважати виконаною.
Ланцюг, який складаеться з будь-яко! кiлькостi БТ згущення, вiдповiдае задачi формування В-сплайна з монотонною змшою кривини, якщо перший та останнш БТ ланцюга в!дпов!дають умовi (1).
Якщо форма будь-якого БТ згущення не вщповщае (1) та при цьому значення коефщенту недостатньо мало, необх!дно зм!нити форму В-сплайна, корегуючи положення середньо!' ланки вих!дного контрольного багатокутника.
На першому етапi корегування змшюемо положення середньо! ланки Р\Р2, яка залишаеться паралельною основ! БТ Р0Р3. Якщо умова (1) не виконуеться в першому БТ згущення (на рис. 1 це БТ Р0Т1А), ланку Р1Р2 перемiщуемо в напрямку хорди Р0Р3. При цьому змшюеться форма вс!х БТ згущення ланцюга. Крайне положення середньо! ланки наступае тод!, коли останнiй БТ згущення стае рiвнобедреним. Якщо останнiй БТ згущення не в!дпов!дае умов! (1) - середня ланка змiщуеться у зворотному напрямку.
Досл!димо, як положення дотично! визначае рад!уси кривини у точках 7 та 7+1, що обмежують д!лянку сплайна.
Для криво!, що задана параметричними р!вняннями, рад!ус кривини визначаеться за формулою:
,3
К
г'(и)[
г' (и) X г "(и) |
де г(и) - вектор-функц!я криво!.
Виразивши першу та другу пох!дну сплайна через рад!ус-вектори контрольних точок [1], отримуемо формули визначення рад!ус!в кривини у крайшх точках д!лянки 7 та 7+1 (Кг та Ш+1 в!дпов!дно):
К
31 г1 - г0
,3
2 |(г1 - го) х (г2 - г )1'
К
7+1
3 1 г3 - г2
2 | (г2 - г1) х (г3 - г2 )1
Виразивши рад!ус-вектори через параметри контрольного багатокутника, отримуемо:
3
В1СНИК ХНТУ №3(62), 2017р., ТОМ 2 ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА _КОМП'ЮТЕРШ ТЕХНОЛОГИ
я = Зс3 я = 3 г + 4^2
де с - довжина ланки Р0Р1 контрольного багатокутника (див. рис.1); й — довжина ланки Р2Р3; та S2 -площi трикутник1в Р0Р1Р2 та Р1Р2Р3 вiдповiдно.
При формуваннi обводу другого порядку гладкосп необхвдно забезпечити рiвнiсть радiусiв кривини в шнцевш точц1 попередньо! та першiй точщ наступно! дiлянки.
Якщо при змщент середньо!' ланки Р1Р2 паралельно хордi Р0Р3 перший та останнiй БТ згущення досягають рiвнобедреностi, то корегування параметрiв ланцюга виконуемо змiною кута нахилу середньо! ланки Р1Р2 до хорди Р0Р3.
При корегуваннi першого БТ згущення повертаемо середню ланку Р1Р2 таким чином, щоб ланка Р0Р1 контрольного багатокутника зменшувалася, а ланка Р2Р3 збiльшувалася (рис. 2). При корегуванш останнього БТ згущення - д1емо навпаки.
Якщо тсля виконання корегувань, сформувати дiлянку ДПК з монотонною змiною кривини дугою одного В-сплайна неможливо, дiлянка формуеться як складена крива другого порядку гладкосп, що складаеться з двох та б№ше дiлянок В-сплайна. В цьому випадку БТ згущення формуються за допомогою алгоритму Кокса де Бура.
Висновки
В робот запропоновано спосiб формування дiлянки кубiчного В-сплайна iз забезпеченням монотонно! змши кривини вздовж криво! при накладених граничних умовах на координати граничних точок та положения дотичних в них.
Запропоновано споаб, який дозволяе визначити закономiрнiсть змiни кривини вздовж кубiчного В-сплайна, що визначаеться контрольним багатокутником. Запропоновано спосiб визначення радiусiв кривини в граничних точках дуги В-сплайна через параметри контрольного багатокутника. Запропоновано способи корегування контрольного багатокутника з метою забезпечення монотонно! змши кривини вздовж криво!.
Завданням майбутшх дослщжень е формування обводу другого порядку гладкосп з монотонною змшою кривини, дмнки якого складаються з В-сплайна, що може складатися з довшьно! кiлькостi дiлянок.
Список використаноТ лггератури
1. Ли Кунву. Основы САПР CAD/CAM/CAE / Кунву Ли. - СПб. : Питер, 2004. - 560 с.
2. Найдиш В.М. Дискретна штерполяц1я / В. М. Найдиш. - Мелгтополь: Люкс, 2008. - 250 с.
3. Холодняк Ю.В. Вариативное дискретное геометрическое моделирование обводов на основе базисных треугольников по заданному изменению кривизны: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01 / Ю.В. Холодняк. - Мелитополь, 2016. - 24 с.
