Научная статья на тему 'Об условии Бляшке в полуплоскости'

Об условии Бляшке в полуплоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
104
17
Поделиться
Ключевые слова
ЕДИНИЧНЫЙ КРУГ / АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ / БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ / УСЛОВИЕ БЛЯШКЕ / УГОЛ ШТОЛЬЦА

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Быков С. В.

В работе получено необходимое и достаточное условие на весовую функцию, при котором корневые множества каждой голоморфной функции из соответствующего весового класса функций удовлетворяют условию Бляшке.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Быков С. В.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Об условии Бляшке в полуплоскости»

УДК 517.3

ОБ УСЛОВИИ БЛЯШКЕ В ПОЛУПЛОСКОСТИ

СВ. Быков

В работе получено необходимое и достаточное условие на весовую функцию, при котором корневые множества каждой голоморфной функции из соответствующего весового класса функций удовлетворяют условию Бляшке.

Ключевые слова: единичный круг, аналитическая функция, бесконечное произведение, условие Бляшке, угол Штольца.

Пусть О = {г е □ : < 1} и функция р - монотонно растущая на множестве [1; +<») . Обозначим через Х( (Б) - класс функций:

X ¥(D ) = ]/ е H (D): ln| f (z)| < Cf • j

f 1 ö

v1 -I z 0

z е DL

где С у - положительная константа, зависящая только от функции f , если / е Х(¥ (Б), то 2Г ={г еБ: / (г) = 0}.

Хорошо известно, что если р (х) ° 1, х е (1; +<»), то есть X" = Н¥ (Н ¥ - множество всех

{Ч +¥

zk } 1 С D можно

~<р

}+¥ k=

представить в виде % ^ для некоторой функции У е Н¥ тогда и только тогда, когда выполняется условие Бляшке

£(1 - |Zk|)<+¥ . (1)

k=1

В то же время, как было установлено в работе [5], для произвольной функции j, для которойвыполняется условие lim j (x) = +¥ , существует функция f е X(D) , такая что

f ° {zk }k=1 = zf' при этом К1 - Izk I) = .

k=1

Но ещё в 1945 году М. М. Джрбашяном в работах [2], [3] было установлено, что если р (х) = 1п х,

*=

х е (1; +<») и если / е , причём / (1к ) = 0, / ° 0, а находятся в некотором угле

1к 1 удовлетворяет условию Бляшке (1). В дальнейшем, такое же утверждение было установлено в работе Г. Шапиро и А. Шильдса (см. [6]) при р(х) = ха,

0 < а <1 . Как отмечено в этой работе, Д. Ж. Ньюмен выдвинул следующую гипотезу: если 2

функция р удовлетворяет условию

[ р | —1— |йх <+¥, (2)

0 I1 - х 0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

то вышеуказанное свойство нулей функции / е Х^ - расположение нулей в некотором угле Штольца - удовлетворяет условию Бляшке (1). Отметим, что если сделать замену переменной в

интеграле (2) I = —1— то получим, что сходимость интеграла (4) эквива-лентна условию 1 - х

7 j (u)

l^^du < +¥. (3)

1 u

И, наконец, в работе [5] Б. И. Каремблюмом и У. Хейманом было установлено, что для того, чтобы для каждой функции / е X( , / ° 0, /(1к) = 0, к = 1,2,... из того, что точки

{ч +<х>

1к }к 1 находятся в некотором угле Штольца следовало условие Бляшке, необходимо и достаточно, чтобы

0 1

1

1 - X

1 - X

dx < +¥ (4)

или

U dx <+¥ . (5)

1 . X3

+aj ( u )

Нетрудно привести примеры функции р , для которых [ —^-^-йи < +¥ и одновременно

1 и2

¥ р (и)йи = . Например, р (и) =-и——, где 1 < я < +¥ . Очевидно, что ¥ Р (и^йи < +¥ в

^ и3 ' (1п2и)2я 2 1 и2

1

С р (и)

тоже время I . / —йи < +¥ только при

1 V и

1 < я < +¥ и только при таких я . Справедливо более точное утверждение.

Лемма 1. Пусть р - монотонно возрастающая положительная функция на (1; +¥) такая, что

, j (x) N j (x)

J J з dx < +¥, тогда I v2 'dt < +¥ • i \ x i x

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Доказательство.

Сначала заметим, что из сходимости интеграла | .1 (р(X)dx < +¥ следует, что

1

x3

lim L j (x)dx = 0 . Но поскольку

Ri+j J V У

R®+¥ •> II Y' R * Л

j (xZ^T 7 dx = j(R)

dx j .jjL

R ' X R\X

R

j (R)

то отсюда следует, что —-—- i 0 при R i +¥.

R

R

Следовательно, -> C0 > 0 при всех R е (l; +j) . Тогда

j (R) 0

Nj~Xr dx=T9 • j=fx=J ¥ • * co.j

f j (x) 7 j (x)

Ввиду сходимости интеграла J J —dx, следует сходимость интеграла J —\^-dt.

x3 ^^^ ^^ ^ J x2

Лемма доказана•

Основным результатом статьи является следующая теорема.

Оказывается, что гипотеза Д. Ж. Ньюмана верна в полуплоскости в следующем смысле:

Теорема 1. Обозначим через Xj (□ + ) - класс функций, аналитических в □ +, для которых ln| f (z)| £ C^ -j (|z|), где Cf - положительная константа, зависящая только от функции f

j' (x) • x

при этом j е □ 1 (l; +j) и a = lim——— , где 0 < aj <+¥ • Тогда для того, чтобы

j xi+j j (x) j

f е Xj(□ +), f (iyk ) = 0, k = 1,2,..., f 0 следовала ^ — <+¥ необходимо и

k=1 Ук

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

достаточно, чтобы

+f j (x)

i x

Доказательство данной теоремы основано на нескольких вспомогательных утверждениях: Лемма 2. Бесконечное произведение

+ ¥

+ ¥

+ ¥

+ ¥

Bp (Z ,Z k) = П Ap (Z ,Z k) = n

k=1

k=1

2 Jk (i + Z)

1--^ .exp^J. -.

i (Zk + i)[Zk - Z JJ 7 [i (Zk + i)[Zk - ZJ

Y

2 Jk (i + Z)

(6) сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах □ + тогда и только тогда, когда сходится ряд

E( Im Z k)

= +Zk

p+1

\p+1

(7)

Доказательство.

Сначала докажем утверждение: если бесконечное произведение (6) сходится, то и ряд (7) также сходится.

Заметим, что из абсолютной равномерной сходимости бесконечного произведения Вр (£, £ к) на комплексных подмножествах □ + следует абсолютная сходимость бесконечного произведения

k=1

Вр а с к)=П

к

где £к = хк +1ук, к = 1,2,... Положим

+мГ1 „ 4jk ^

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Z k +i

,|2

0

p1 • exp e-

7=1 J

f \J ^ 1 f 4 j '

Z k +i

2

4 Jk

\Z k + i

2 ' k

A. =

1 --

4 Jk

(Jk +1)

p 1

• exp E~

j=1 j

f Y

4 Jk

"(Jk +1)2

k = 1,2,...,

р 1

то есть Ак = (1 - ак ) • exp Е — • а]к . Таким образом, из условия леммы следует, что бесконечное

J=1 J

произведение П Ак сходится, поэтому, Ак ® 1 при к ® +<х>, то есть ак ® 0 при к ® +<х> . к =1

Следовательно, существует такое к0 е □ , что при к > к0 справедливо неравенство 0 < ак < -2. Тогда из сходимости бесконечного произведения (6) следует абсолютная сходимость ряда

+ ¥ +¥ f p 1 ElnAk =E ln(1 -ak) + E1

k=1 k=1 I j=1 J

Отсюда следует, что:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1

1

1

1

InAk = ln(1-ak) + E-• aj =-E-• aj +E-• aj =- E "'

j=1 J j=1 J j=1 J j=p+1 J

ak .

f

\

,p+1

a

p+i

Из этой оценки сразу следует, что 1п АЛ = - 1п Ак > ——, то есть —— < 1п АЛ . Следовательно

р +1 р +1

из абсолютной сходимости ряда ^ 1п Ак следует сходимость ряда ^ ар+1, то есть ряд

k=1

k=1

p+1

Im Z k)p

-+ сходится.

k=1 I/+Zi

p+1

Теперь докажем обратное утверждение, то есть из сходимости ряда (7) следует абсолютная и равномерная сходимость бесконечного произведения (6) на комплексных подмножествах □ +.

Положим wk (С ) =-Ук ( . С)—_, С е □ . Обозначим через Е- произвольный компакт

(Ск +' ){Ск- С)' +

в □ + . Тогда существуют 6 = 6 (Е) > 0 и Я = Я (Е) такие, что "С е Е: |£| < Я и 1тС > 6 . Поэтому учитывая сходимость ряда (7) можем утверждать, что существует к = к0 (Е) е □ так, что

w.

(Z )|<1 при k > k0 (E).

Пусть Ak (Z) = (1 -Wk (Z))• expJ-(wk (Z)/, "Z e E, k > k0.

j=i j

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Тогда, учитывая оценку к (С) , получим:

|Ak (Z )| =

(1 - Wk (Z ))• exp JI (Wk (Z)/

j=i j

= exp

>f Re (ln (1 - Wk (Z))) + !-(Wk (Z))

j=1 j

= exp

f f

Re

V V j

+¥ 1

X1 (Wk (Z))

=p+1j

w

00

, Z e E.

Поэтому |1 - Ак (С )| = Теперь, заметим, что

1 - exp

f f Re

V

+¥ 1

X 1 (Wk (Z))

j=p+1j

00

X

j=p+1

-j (Wk (Z ))'

<

Wk (Z)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

p-

jp+1 ¥

-•l^ < p+1 w

p+1

Учитывая, что ряд (7) равномерно сходится на множестве Е, получим то, что требовалось доказать.

Лемма доказана.

Следующая лемма является аналогом оценки произведения Вейерштрасса для функции

B.

p •

Лемма 3. Пусть задана последовательность к }к = из верхней полуплоскости, для которой ряд (7) сходится. Тогда бесконечное произведение (6) Вр (С, £к ) сходится, и причём

ln\Bp(Z,Zk)| £ 2p+2 •E

k=1

2 Jk (i + Z )

i (Z k + i)(Z k - Z 0

p+1

(8)

Доказательство.

Положим yk (Z, Zk) =

2 Jk (i + Z)

i (Z k + i)[ Z k - Z 0

тогда

p 1

Ap(Z,Zk) = (1 - Vk(Z,Zk))• expE-•(Vk(Z,Zk))7.

j =1 J

Предположим сначала, что к (С, ск ) <-. Тогда, выбирая главную ветвь логарифма, получим:

р 1

1п Ар (С, С к) = 1п (1 - Vk (С, С к) ) + Е - •( ^ (С, С к))7 •

7=1 ]

Разлагая тогда логарифм в степенной ряд, и учитывая оценку |ук (С, Ск )| < —

получаем, что ln IAp (Z, Zk)| £ E Vk (Z, Zk )|7 £ 2 • Vk (Z, Zk)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

p+1

j=p+1

Если же |ук (С, Ск )| > -2, учитывая, что при х > 0 справедливо неравенство 1п (х +1) <

х, имеем:

Ap (Z, Z k )| =

(1 - Vk (Z, Z k) )• exp E1 •( Vk (Z, Z k))

j=1 J

£

£(1 + Vk (Z, Z k )| )• exp E1 • Vk (Z, Z k )|7 = exp ln (1 + V (Z, Z k )| ) + E1' К (Z, Z k )|7

j=1 J j=1 J

£ exp Ivk(Z,Zk)

p+1

f p 1 1 ^

2 p-1+E1--1-1-

J \vk (Z, Zk )|p+1-7

£ exp I Vk (Z, Z k Г" 2 p+2

Отсюда непосредственно следует утверждение леммы и оценка данного бесконечного произведения.

Лемма доказана.

TT j' (x )• x

Лемма 4. Пусть a = lim —^-r^-— < +¥, р - произвольное натуральное число, такое, что p > аф .

j У j (x)

/ \ / \ j(x)

Тогда существует x0 = x0 (p) такое, что функция f (x) = —монотонно убывает при x > x0. Доказательство.

j ( x)

Вычислим производную функции f (x) = —:

j (x)• j'(x^ x ■

f! (x) = j' (x )• xP - p • xp-1 • j' (x ) = j' (x )• x - p • j (x )= V j (x)

p

x2p xp+1 xp+1

р'(х)-х , ч р'(х)- х , ч Очевидно, что 4 7— < р при х > х0 (р), а это и означает, что 4 7--р < 0 при х > х0 (р)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Р(х) Р(х)

. Поэтому, понятно, что у! (х) < 0 при х > х0 (р). А это и означает, что функция у (х) = р ) монотонно убывает при х > х0.

Лемма доказана.

Доказательство теоремы.

Докажем сначала, что если Г Р ( )^х < +¥ , то из условия У е X" (□ + ),

* х2 р

, . +¥ 1 у(¡Ук) = 0, к = 1,2,..., У ° 0, Ук > 6 > 0, к = 1,2,..., следует, что £ — <+¥ .

к =1 ук

Указанное утверждение можно вывести из формулы Карлемана (см. например, [1]). Действительно, пусть 0 < р < Я < +¥, СЯ р : {г е □ + : р < < Я}.

Положим у ( г ) = у ( г + ¡^ ), ^ > 0. Тогда функция у ( г) является аналитической в полуплоскости □ ^ {г е □ 1т г > —. Поэтому можно применить к функции у (г) формулу Карлемана:

Г 1 г. Л • ~ 1 Г,

У---V • sin Qn =— Г ln f(Re,e)L sin Qd0 +

^ _ r R2 n >\

0<p< rn < R

n

pR

0

+М i]• lnl f (re'e+ih)ld q+¿/V 1 - R2 ) н f (t+ih)N f (ih-t) dt,

0 V 0 p ^ J

где zk = гке'вк, к = 1,2,...- нули функции f в кольце Cp,R.

Теперь заметим, что из оценки 1п |/(г)| < С/ ■ р (|) следует, что

1п|/(г + щ)| < С/ ■ р(|г + щ\) < С/ ■ р(ц + ). Учитывая эту оценку, получаем:

E

0<р< rn £ R

f 1 r.. ^ . е £ 2Cf j(R + h) • sin 0n £- J

r R

V n 0

pR

2CfRf1 1

2p"-f[ 7 " R7 N ? + h) dt + Im

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

f -¿е ¿е Л e pe

2p ■

P R2

• ln

f (peie + ih)| d е.

Теперь, переходя к пределу при 0, и подбирая р таким образом, чтобы / (р^9) ^ 0, для всех 0е (0; р], получим следующую оценку:

E

0<p<rn £ R

1 p

+ ^ f 2p •

f 1 - ^ r R

V n 0

Pe

• sin en £ +Cf ff 1 - ± ф )dt+

p V

R

P Rz

ln f (peie)|d e.

Учитывая, что каждое слагаемое в левой части неравенства неотрицательно, из этой оценки непосредственно следует, что

E

0<p< Jn £R

Jn R

£ 2C jR) + CLf jO

£ f • R p f t2

dt.

Следовательно,

y R

0<p<yn £| V-У* Л 0

E

R

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

£ 2Cf +^ f f dt+A (p.. f)

(9)

Теперь заметим, что при р< у < —, имеем: —— > —---= 3—

" 2' уп —2 " уи 4 уп 2 4 уи

В итоге из неравенства (9), окончательно, получим:

3 у 1

4' Г< —У

3• e -1 £2Cf-jiRi+C^A

л - R p J t2

p< Уп

р (х)

Но из условия монотонности функции р и сходимости интеграла [ —^-^-йх следует, что

х2

Urn ^ = 0.

R ®+¥> R

2Я Р (х) 2К сЬс 2Я Р (х)

Действительно, | —® 0 при Я ® +да . Поэтому, р (Я) • | —у < | —, то есть

Я х Я х Я х

Р—^ < Г Р ( . Тогда устремляя Я ® +¥, получим свойство (10).

2Я { х2

Переходя к пределу при Я ® +¥, получим:

£ ±<^

^ V Г I

Р< У. <+™ п р

И, таким образом, необходимость доказана.

Р (х)

Теперь докажем достаточность, то есть, что если Г —= +<<, то существует функция

1 х2

у из класса Х< (□ + ), такая, что у ° 0, причём у (¡ук ) = 0, к = 1,2,..., для которой

+¥ 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

£- = +¥ .

к=1 ук

Построим соответствующую функцию в виде бесконечного произведения из леммы 1.8. Разобьём

+ ¥ / \ полуось на полузамкнутые интервалы [1; +<) = и Дк , где Ак = {у :2к < у < 2к+1} . Построим

последовательность ук следующим образом: ук = 2к, причём кратность ук равна Р (2к , где

Г 1 Т +< Р (х Ь ^ 1

[а ] - целая часть а. Т огда если I —\r~dt = +<, то £ — = +<.

1 х к=1 ук

Действительно, для любого 1 < д < +<

=£ ^=£1^, (11)

Тогда из равенства (11), получаем:

j t2 ^ j t2

1 k=0 д, ' k=0 2k 1

Г фt=y

i I k=0 2

Устремляя q ®+<, учитывая (11), получим:

- j (2k+1) « j (2k ) ~ 1

X^^=+<, то есть У—= +¥.

k=0 2 k =1 2 k=1 yk

Докажем, что в этих условиях произведение Bp (Z, iyn) сходится при p > af , где af = lim

. j/(x) •x

Р (х)

на компактных подмножествах в полуплоскости □ +, при этом 1п |Вр (С,¡уп )| < Су ■ Р(|С |) при всех

С е □ +.

Воспользуемся оценкой (8) из леммы 3 для произведения B (Z, iyn), то есть

ln \ßp (Z, zk )| £ 2 p+2 -£

2 yk (i + Z )

i (Z k + i)[ Z k - Z 0

p+i

Положим С = х +1у, Ск = Iук, к = 1,2,..., тогда последнюю оценку можно записать в виде

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2Ук Vх2 + (у +1)2

ln Bp(х + iy,iyk) £ 2p+2

(Ук +1)2 -Vх2 + (y + Ук )2

p+i

Перейдём к оценке последней суммы:

•=X

к=1

УсУ+1)

2 2 2 ' х

ö p+i

V( y+Ук)

2 2 2 ' х

=XX

к=1 у, еАk V

p+i

С (y +1)2 + х2 ö 2

(У + yk )2 + х2

0

(12)

Напомним, что А к - полузамкнутый интервал , А к = {у :2к < у < 2к+1} .

Пусть |С| = |х + /у| удовлетворяет оценке 2п < |С| < 2п+1, то есть |С| еАп, где п - фиксированное натуральное число, тогда согласно выбора последовательности {ук }+_ из (12) следует, что

I £ 2p+2 j (2k )

■)" (p+i)

£

((yk + У )2 + х 2)

С-X j ( 2k )

■)" (p+i)

p+1

2 k=0

2k + У )2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

p+i 2 \ 2

= С-(Ii + 12 ),

где Ii =X j (2k)

)»(p+i)

k=0

((2k + У )2

p+i 2 1 2

+ ЗД

, 12 = X j (2k )

yn ( p+i)

k=n+i

((2k + У )2

p+i '

2 I 2

Оценим каждую сумму в отдельности. Ясно, что

Ii = X j (2k)-

■>n( p+i)

£

k=0

(х2 + y2 + 2k+i - y + 4k)

p+i

2 k =0

Xj ( 2k )-

•>n( p+i)

(4n + 4k + 2k+ y)

. (13)

Но поскольку 2k+1 • y < 2k+1 • 2n+1, то есть 2k+1 • y < 2k+4 • 4 < 4n+1 при k < n , то из оценки (13) получаем, что:

n( p + 1)

Ii £X j(2')-^ = X j(2')■

Теперь заметим, что j e □ 1 (1; +¥ и lim j (x) X = аш < +¥. Отсюда, как установлено выше,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

x®¥ j(x) j

нетрудно вывести оценки

j (x) < Ce • xaj +e при x > 1, Ce > 0,

где £ > 0 - произвольное положительное число и оценку

j (2x) £ Cj • j(x)

И f'j(xh TT j (2k) ^ j(2k)

И поэтому J -p+fdx < +¥ при p > ap, при этом £ _к)p|1) < у k(p ++1-a -£) < +< ,

k=0 2

k 2k(P+1) ik(p+1-Qj-e)

если р +1 -аР -е > 0, то есть при р > аР -1.

Поэтому, сходимость бесконечного произведения Вр (С, ¡уп), согласно лемме 2, обеспечена. Докажем, что

п

£Р(2к)< Ср • Р(2п). (15)

k=0

Действительно, сначала отметим, что £ j (2к ) < 2 | j ^ )dt, к = 0,1,..., n .

' " „к t

k=0

Поэтому

У j ( 2k )< 22J t.

k=0

Положим

J (y) = i ^t.

(16)

(17)

j ^ (x) • x

Докажем, что если lim—-= a < +<, то J(y)□ j(y) при y i +<. Для этого применим

xi< j(x) j

правило Лопиталя:

j (y)

lim J (y) = lim y = 1 = 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

y®+< j (y) y®+< j' (y) j7 (y)• У Qj

У®+¥

j (y)

Поэтому при y > y0 (e ), имеем:

f 1 ^ --e

v 0

j (y )< J (y)

<

f 1 ö

v 0

j (y)

то есть можно найти такие константы С1, С2 > 0 так, что

с • j(y)< J(y)< C2 • j(y), у е[1; +<).

Следовательно, из оценки (16), вытекает, что

£Р(2к)<С • Р(2.+1).

к=0

Учитывая оценку (14), окончательно получим:

/1 <С •£Р(2к)<С• Р(2п)<С• Р(|СI).

Оценим 17.

12 = X j ( 2k )

k=n+1

yn (p+1)

(( + У

X j(2k)■

p+1 2 k=n+1

•>n( p+1)

X j ( 2k )

yn ( p+1)

( x2 + y2 + 2k+1 • y + 4k )

p+1 2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

<

k=n+1

(I 12 _ k+1 . i \ 2 k=n+1

\Z\ + 2k+1 • y + 4M 2

X j (2")-

•>n( p+1)

p+1 2

-) 2 к=.+1 (4. + 4к)

Теперь, учитывая, что 4п + 4к + 2п+к+1 < 2 • (4п + 4к ) и из оценки (19), получаем:

12 <X j ( 2k )•

\p+1

k=n+1

2n + 2k

<

+ ЗД 1

2n(p+1)+1 •X j(2k^

k=n+1

k (p+1)

Аналогично, как выше, используем неравенство к^ 1) < 2р • | , и поэтому

2 2к 1

Р ( 2к ) 2г+1 Р (г)

2к (р+1) 2к г р+2

Из оценки (20), выводим /2 < 2п(р+1)+1+р ^ Г Р )

Ef —dt, то есть

J tp+2

12 < 2'

n+1)( p+1)

I

J tp+2

(19)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(20)

(21)

где р - произвольное целое число, для которой

+< Р ( 2 к )

k=0

2k (p+1)

< +¥.

Продолжим оценку интеграла (21). Предположим, что х е (1; +<), х > х0 (р). Обозначив х = 2" получим, что :

12 < X' -.J ^

2

X

Положив Ji (х) = j ^p+jdt и y (х) = ^^, х е (i; +<ю) .

J (x)

Докажем, что lim —= C0 > 0. Для этого применим правило Лопиталя:

x®+¥ y (x)

J (х)

lim = - lim

j (х)

p+2

= - lim

j (х)

p+2

х®+¥ y (х) х®+¥ j' (х)-х^1 -(p +i)-хp -j(х) (х)-х-(p + i)-j(х)

х

■2( p+i)

r2( p+i)

j (х)

= - lim

rp+2

= - lim

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

i

j' (х)-х-(p +1)-j(х)J - хр j' (х)-х - +1) av -(p +i)

r2( p+1)

i

j (х) j (х)

> 0. Следовательно, J1 (x) < C0 • —P-p- при x > x0, или xp+1 • J1 (x) < C0 • j(x),

Р +1 - ар

х е (1; +_) . Из оценки (22), выводим,

12 < С • р (\С\).

Объединяя оценки (18) и (23), окончательно получаем, что

1п|Вр (С,гук)|< С•р(|С|).

(23)

Теорема доказана.

Замечание 1. В теореме предполагалось, что af > 0. Однако, указанное условие не существенно. Например, если aj = 0 , то вместо веса j(x) можно подобрать j 1 (x) = xe + j (x) , где 0 < e < 1, и теорему можно будет доказать аналогичным образом но уже для Xjf , очевидно, что Xj с , а условие af < 0 можно заменить условием

□ - j' (x)• x

am = lim —^r— < +¥ . j (x )

Замечание 2. В доказательстве теоремы предполагалось, что р е □ 1 (1; +_) . Однако, это не

/ ч 2г р ()

нарушает общность, поскольку если р 1 (х) = I —, то легко видеть, что

ln 2 - j (х) £ j1 (х) £ ln2 - j(2х)

+ ¥ Р (х) +м Р ( 2 х) +м р (г)

поэтому | 'ёх < 1п2 • | 2 'ёх = 21п2 • | г < +<. Ясно, что Х( с X< , поэтому если

1 х 1 х 2 г

тт- ¥ т/ ¥

теорема верна для ХР 1 , то она справедлива также и для класса ХР .

In this article the necessary and sufficient condition to weight function, on which nullity sets of every holomorphic function from proper class satisfy Blaschke's condition is received.

The key words: unit disk, аnalytic functions, infinity production, Blashke s condition, angle of Schtolz.

Список литературы

1. Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы. 1986. С. 29-41.

2. Джрбашян М.М. О представимости некоторых классов мероморфных функций в единичном круге // Докл. АН АрмССР.945. Т. 3, №1. С. 3-9.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3. Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций. Сообщ. Института математики и механики АН Арм. ССР. 1948. Т. 3. С. 3-40.

4. Bagemihl F, Erdos P. and Seidel, Sur quelques proprietes frontiers des functions holomorphes definies par cartains produits dans le cercle - unite. Ann. Sci. Ecole Norm. sup (3) 70, 1953, pp. 135-147.

5. Hayman W. K. and Korenblum B. А critical growth rate for functions Regular in a disk. Michigan Math. Journal, Vol. 27, 1980, pp. 21-29.

6. Shapiro H. S. and A. Shields On the zeros of functions with finite Dirichlet integral and some related function spaces. Math. Z. Vol. 80, 1962, pp. 217-229.

Об авторе

С.В. Быков - асс. кафедры мат. анализа Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского,е-таП: Ь serecha@mai1.ru.