Об одном классе внутренних функций в полупространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 4 (2015). С. 133-145.

УДК 517.53

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ВНУТРЕННИХ ФУНКЦИЙ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

Ф.А. ШАМОЯН

Посвящается памяти профессора Игоря Федоровича Красичкова-Терновского

Аннотация. В статье получены необходимые и достаточные условия на весовую вектор-функцию, при которых заданная внутренняя функция является слабо обратимой в весовом пространстве голоморфных функций в трубчатой области. Ключевые слова: слабая обратимость, весовые пространства, трубчатая область.

Mathematics Subject Classification: 32А36, 32А37, 47А16, 47А15, 42В35

ВВЕДЕНИЕ

Пусть Cn - n-мерное комплексное пространство, G - некоторая область в Cn, H (G) -множество всех аналитических в G функций, H(G) - множество всех ограниченных аналитических функций в G. Предположим, что X - некоторое топологическое подпространство пространства H (G), в котором H(G) составляет всюду плотное множество, операторы Sz (f) = f (z), z E G, и Ыф (f) = ^f, ф E H^, f E X, являются ограниченными операторами в X.

Определение. Пусть f E X, и существует последовательность fm E H^ (G), такая что lim fmf = 1, причем сходимость имеет место в топологии пространства X,

тогда функцию f назовем слабо обратимой в пространстве X.

Таким образом, f слабо обратима в X, если множество H(G) f всюду плотно в пространстве X.

Отметим, что вопросы слабой обратимости в конкретных функциональных пространствах связаны с широким кругом задач нескольких дисциплин: от теории дифференциальных операторов и их обобщений до абстрактного гармонического анализа [1].

Слабая обратимость в одномерном случае была исследована в классической работе М. В. Келдыша [2], где установлено, что существует функция f E H(D), f (z) = 0, z E D = {z E C1 : |z| < 1} , не являющаяся слабо обратимой в пространстве Бергмана:

(D)=|f E H (D): |f ||ap(d) = ^J |f (z)|p dm2 (z)j <

где m2 - плоская мера Лебега.

Важную роль в этих построениях сыграла внутренняя функция S (z) = exp ( — +

1 - z/'

z Е D.

F.A. Shamoyan, On a class of inner functions in a half-space. © Шлмоян Ф.А. 2015.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект 1.1704.2014К) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект 13-01-97508). Поступила 12 октябя 2015 г.

В работах А. Берлинга [3] и Н. Никольского [4] была исследована слабая обратимость функции Б в весовом пространстве

К = |/е Н (Я): ||/Пар = |/(г)|р ^ ¿т (г^ <

В этих работах, при некоторых ограничениях на регулярность роста установлено, что для слабой обратимости функции Б в пространстве А^, 1 < р < необходимо

и достаточно, чтобы

1

v(ж)'

X3

2

¿Ж = + ГС).

1

Учитывая, что функция Б аналитическая всюду, кроме точки г = 1, в работе автора и его аспиранта И. Геворкяна [5] было исследована слабая обратимость функции Б в пространстве

К =< / е н (Я): П/Пар = I I I/(г)|Р ехр (-р ( (г )| < 1 < р<

В работе [5] установлено, что, в отличие от (1), необходимым и достаточным условием слабой обратимости функции Б в А^, 0 < р < является

¿Ж = +- (2)

1

Очевидно, что из условия (2) следует (1), но обратное неверно.

В недавней работе [6] было предложено новое доказательство вышеуказанных результатов А. Берлинга, Н. Никольского и Геворкяна - Шамояна в случае р = 2, основанное на хорошо известной теореме о короне.

В данной работе мы исследуем вопросы указанного типа в многомерных бесконечных областях (трубчатых).

§1. ФОРМУЛИРОВКИ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ УТВЕРЖДЕНИЙ

Для изложения основных результатов работы введем также следующие обозначения: Пусть Р(ж) = (р1(ж1), ...,рп(жп)), ж = (ж1,...,жп), - вектор-функция, определенная на = {ж = (ж1, ...,жп) е Еп,ж3- > 0, ] = 1,п} , С+ - трубчатая область с основанием , т.е. С+ = {г = (г1 ,...,гп) е Сп : (/тг1,...,1тгп) е М+} . Пусть далее

АР (С

/ е н

а9

(

\С

|/(г)|рехр (—Р (|г|)) ^ (г)

<+

/

где г = (г1,...,гп), ехр (—Р (|г|)) := П ехр (— р3- 1)); ¿т2п - 2п-мерная мера Лебега

3 = 1

в С+.

x

В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что р3- (ж) = J —-— 3 = 1,п, где

1

ш3- определены на := Е+, причем ш3- (¿) (£ ^ 1 < 3 < п. Такие функции

назовем весовыми, а вектор-функции вида Р = (р1, ...,рп) - весовыми вектор-функциями. Множество всех весовых вектор-функций обозначим через П.

Основными результатами статьи являются доказательства следующих двух утверждений:

n

Теорема 1. Пусть а = (а1 , ...,ап) € Е+, г = (г1 , ...,гп) € С+, аг = ^ а3-,

3 = 1

Ба (г) = ехр ^г £ а3, г = (гь ...,гга) € С+, Р = (р1, ...,р„) € П. Тогда

1) следующие утверждения равносильны:

а) функция Ба слабо обратима в пространстве Ар при некотором д = д0, 1 < до <

б) Баслабо обратима в пространстве Ар при всех 0 < д <

в)

[ Рз (*)

J t2 1

-dt = j = 1,n; (3)

2) Если хоть один из интегралов в (3) сходится, то функция Ба не является слабо обратимой в любом пространстве Ар, 0 < д <

Теорема 2. Пусть P = (p1 , ...,pn) - вектор-функция из П, f E Hx (С-п), где -п = {z = (zi, ...,zn) : Imzj > —n, j = 1~П} , f (z) = 0, z E C-„, 0 < s < 1. Пусть Ыт = sup {|lnf (z)|mexp (—sP (|z|))}, где выбрана главная ветвь логарифма.

ze с+

Тогда если

X 1

V ._=

^ mm

т=1

'то функция f слабо обратима в пространстве Ар (С+) при всех 0 < д <

Замечание 1. Отметим, что условия f € Н^ (С+) и f (г) = 0, г € С+, не являются

достаточными для слабой обратимости функции f в пространстве Ар (С+

Действительно, исходя из результатов работы [8], нетрудно установить, что функции вида fa (г) = ехр ( - V] —— ), г = (гь...,гга) € С+, а = (аь...,а„) € Ега,

V 3=1 - 3

с = (с1,..., сп) € не являются слабо обратимыми в пространстве Ар (С+) .

Замечание 2. Если ряд (4) сходится, а функция f совпадает с функцией Ба, то из теоремы 1 следует, что функция f не будет слабо обратимой в пространстве Ар (С+), при всех д > 0, поскольку сходимость ряда (4) эквивалентна сходимости интегралов (3) (см. [12]).

Перед доказательством теорем 1 и 2 приведем следующие вспомогательные утверждения.

Пусть к = (кь...,кга) - некоторая перестановка чисел (1, 2, ...,п), п € N, 1 < т < п. Тогда кортежем порядка т назовем вектор с координатами (к1,...,кт). Множество всех кортежей порядка т обозначим через Кт. Ясно, что если 1 < г, т < п, то равенство (к1,..., кг) = (й1, ..., вт) выполняется тогда и только тогда, когда г = т, вг = кг, г = 1,т.

Лемма 1. Пусть / € Н (С++), к = (^ , ...,кт) € Кт, / = (-1,...,-п) € С++, причем / = ¿к5, если 3 = к^ при некотором kj € Кт, и / = г, если 3 = к, 3 = 1, п. Предположим, что Р = (р1, ...,рп) - весовая вектор-функция, Р € П. Тогда если 0 < 5 < то справедлива оценка

|/ (/)|в ехр (-Р (2 |/|)) < / I/ (С)Г ехр (-Р (|<|)) (С), (5)

П У^ ип(2) ^=1

где /п (//) = <| С = (С1,..., <„) € С++ : |<» - /| < ,3 = М .

-ш-7

Доказательство. Не умаляя общности, можно предположить, что 3 = kj, 1 < 3 < т. Тогда /п (/) = {С = «1,..., <„) : Ю - -j| < |, 1 < 3 < т , Ю - г| < 1 ,т +1 < 3 < п Учитывая п-субгармоничность функции |/ (£)|5, С € С++, получаем

22т

|/(/)|в <—^ |/ (С)Г dШ2n (С),

j=1

У'

где / = (-1,..., -т, г,..., г). Заметим теперь, что если ( € /п, £ = ((1,..., (п), то |-j - ^| <

1 2;

-j = х + гу, 3 = 1, ш, и |г — ^| < ^, если 3 = ш + 1, п.

Поэтому М < ^| - М < Ю1 < 1 + ^ < 3 ^1, 3 = 1ГШ; 2 < | < 2, 3 = ш +1,п. Следовательно, справедливо

ехр (-р- (3 |) ) < ехр (-р (Ю1)) < ехр (-р- (^ ) , С = «1,..., <п) € /п (/) ,3 = М.

(7)

Используя оценки (6), (7), приходим к неравенству

|/(//)Г ех^ 3 = |/ (-1,...,-т,г,...,г)|" ехР ^ Pj(^3 |-j ^ < 2т 2 Х

¿=1 Уз

х/ |/(С)Г ехр - (Р (К|)) ^Ш2п (С) < / |/(С)Гехр (-Р (|<|)) ^ (С). (8)

и"(2) П С+

Лемма доказана.

Следующее утверждение при п = 1 установлено в работе М.М. Джрбашяна [9] (см. также [10]).

Лемма 2. Пусть Р = (р1, ...,рп) - весовая вектор-функция, 1 < д < Тогда следу-

ющие утверждения эквивалентны:

1) множество всех алгебраических многочленов от -1,..., -п составляет всюду плотное множество в Ачр (С+);

2) выполняются условия (3) теоремы 1, причем если хоть один из интегралов в (3) сходится, то множество многочленов не является плотным в пространстве Ар (С++) для произвольного 0 < д <

Доказательство. Пусть 1 < д < Докажем лемму 2 при п =2, при остальных п

основные моменты доказательства сохраняются.

Пусть

' ( \ *

4 (С+) := f € Б (С+)

I ^ (С)|д ехр (—Р (1С|)) ¿т (С) \с+ )

< + > ,

где Б - множество всех измеримых функций на С+, а д' = -. Предположим

+ д — 1

д € Ьр (С+) , такая что

I д (<1,<2) Ск1 Ск2е-Р1(|С1|)-Р2(|С2|)^т4 ((1,(2) = 0,к =(к1,к2) € (9)

с+

Докажем, что

I д (С1, С2) f ((1,(2) е-Р1( 1 ^ )-Р2( 1 С2 1 ^ «1, <2) = 0 (10)

с+

для всех f € Ар (С+).

Пусть д ((1) = J д ((1,(2) ехр (— р2 (|С21)) ¿т ((2). Очевидно, что д ((1) - почти всюду

конечная функция. Докажем, что д (^1) € (С+). Из неравенства Гельдера имеем

д'

|д (С1)|д' е-Р1(|С1|)^т2 (6)=/ ( I |д (С1,С2)| в-Р2(|С2|)^т2 ((2)) е-Р1(|С1^т2 (С1) <

С+

< У |д ((1,(2) Г е-Р2(|С2|)в-Р1(|С1|)^т4 ((1,(2) I у е-Р2(|С2|)^т2 (С2) I <

с+ \с+ /

< сопв*У |д (С1) |д' е-Р1(|С1|)^т2 (С1) <

с+

Следовательно, по теореме М.М. Джрбашяна (см. [9])

I («1) f «1) е-Р1(|С1|)^т2 (С1) = 0, (11)

с+

для произвольного f € Ар (С+) .

Заметим, что точно таким же образом доказывается, что если f € Ар (С+), то функция

/ (С1) = J f ((1, (2) ехр (—р2 (|С21)) ^т,2 ((2) принадлежит классу Ар1 (С+). Поэтому, приме-

с+

няя теорему М. М. Джрбашяна, получим, что

/ д «1) 7«1) ¿т (С1) = 0,

с+

то есть

У д ((1,(2) f ((1,(2) ехр (— Р1 (|<1|))ехр(—Р2 (|С21)) ¿т ((1,(2) = 0.

с+

Из этого равенства и теоремы Хана-Банаха следует первая часть леммы.

Перейдем к доказательству второй части. Из леммы 1 следует, что если многочлены

т

„(т^ к

, то существует последовательность многочленов р т ( —) — / „к

плотны в Ар (С++), то существует последовательность многочленов Рт (—) ^ ^ „кт)—'

к=1

— € С+, таких что ша^ Рт (—) - / (—) ехр(-р7- (| — |)) > = 0, 1 < 3 < п, для любого

¿ес+ I J

/ € АЦ (С+), тогда по теореме М. М. Джрбашяна У ^ = +о (см. [9], [10]).

1

Следующая лемма установлена в работе [11].

Лемма 3. Пусть р - весовая функция, такая что

/ ^ л < +о

О

Предположим, что С - внешняя функция в полуплоскости С+, имеющая вид

С (—)=ехр(-П _/Цft-+-LIP++ít2*) - € С+.

Тогда существует положительное число с, такое что

ехр (-ср (3 | — |)) < |С (—)| < ехр (-р (| — |)) ,— € С+. (12)

§2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ СТАТЬИ

Перейдем к доказательству теоремы 1. Сначала докажем первый пункт теоремы

в) ^ б). _

Пусть 1 < д < +оо, а = (а1, ...,ап), > 0,3 = 1,п. Обозначим через Ед (Ба) замыкание множества НЦ (С+) Ба в пространстве Ар (С+). Для доказательства этой части теоремы достаточно установить, что 1 € ея (Ба).

Пусть Ф - линейный непрерывный функционал, ортогональный к еч (Ба). Докажем,

что Ф (1) = 0. Предположим, что Ф порождается некоторой функцией Ф € ьяр (С+), где 1 1

—I--= 1, тогда

д д

Ф (Ба^) = I вга2^ (—) Ф (—) е-р(|г|)^Ш2п (—) = 0,

С+

при всех ^ € НЦ (С+), а также при ^ (—1,...,—п) = —т1...—т^, ш = (т1,...,шп) € Z+.

Пусть г € [0,1], положим б1 (г) = I ега1421+г22Ф (—) е-р(|2|^Ш2п (—), где / = (—2, —з,..., —п),

С+

/ = (а2,...,ап). Ясно, что

е1т) (г) = I ега1214+г22 (г„1—1)т Ф (—) в(-Р1(|21|)-ч5(|2|))^Ш2п (—),

С+

где ехр (-Р (|/|)) = ехр (-р^ (| —21) ... - рп (|—п|)). Очевидно, что

е1т) (1) = 0, ш € Z+. (13)

Докажем, что функция е принадлежит квазианалитическому классу на отрезке [0,1] (см. [12]). Действительно, применяя неравенство Гельдера, имеем

е(1т) (*) < /ехр(—р1 (|*1|)) |а1|т Ы™ |Ф(*)| ехр (—Р (|(|)) ^ (г) <

^ |ai|m j / e(-pi(|zi|)) |zi|mq dm2 (zi) I x

x

(

3(-Pi(|zi|))

|^(z)| e(-i5(|z|))dm2n-2 (z)

\

VC

V:

n — 1

+

dm2 (z)

/

Снова применяя неравенство Гельдера, приходим к оценке

е1т) (*) < |а1|т I / |тд е(-Р1(|г1|))^т2 (г) ) х

(

х

(

e

(-Pi(|zi|))

\c+

|Ф (z)|q/ e(-p5(|z|))dm2n-2 (z)

\

V+—1

\

dm2n (z)

(

e(-p5(|z|))dm2n-2 (z)

/ V:

<

< Ci Mm \ |zi|mq e(-pi(|zi|))dm2 (zi)

\

|Ф (z)|q/ e(-P(|z|))dm2n (z)

\c

'14)

/

Пусть теперь 8 - произвольное положительное число 8 € (0,1). Тогда из последней оценки имеем

eim) (t)| < C2 |ai|m sup (rme-fpi(r)) jj e-(i-<5)pi(|z|)dm2 (z)

= C2 |ai|msup (rme-qpi(r)) j j j e-(i-<5)pi(|p|)pdpd^ | = C3 |«i|msup (rme-qpi(r))

0 0

Итак, окончательно получаем:

eim) (t) < C3 |ai|m Ы„

где Mm = sup (Vme-qpi(r)).

r>0 V '

Теперь используем теорему Карлемана-Островского (см. [12]) о квазианалитичности

класса

CX (Mm) = E CX [0, 1] : |^(m) (t)| < AmMm}

q

q

q

согласно которой необходимым и достаточным условием квазианалитичности класса (Мт) является

Г 1п Т (г)

-^г = (15)

где Т (г) = вир —- (см. [12]).

г>1 Мт

/Р1 (г)

—-— ^г рав-

г2

1

носильна условию (15). Следовательно, функция е (*) принадлежит квазианалитическому классу Карлемана-Островского на отрезке [0,1]. Ввиду условия (13), имеем е1 (*) = 0, € [0,1], то есть е1 (0) = 0. Таким образом,

/ е--вде-р <И>4и2„И =

с+

Положим

е2(*) = / е-га2224-г"2Г^(г)е"Р2(|22|)-/'(|2|)^т2га(г),

где а и г определяются как и выше.

Копируя вышеприведенные рассуждения, получим, что е2(0) = 0. Повторяя эти рассуждения п — 1 раз, получим, что

[ Ф(г)е"р(|2|)^т2„(г) = 0,

то есть Ф (1) = 0.

По теореме Хана-Банаха 1 € (£а).

Итак, доказательство импликации в) ^ б) установлено при условии д > 1. Но учитывая, что для произвольного / € Н^ (С+) , 0 < д < 1,

||/Б« — (С+) - ||/5« — 1^А1р (С+)

1-9

(

\с+ )

получим доказательство этой импликации полностью. Продолжим доказательство теоремы 1.

Импликация б) ^ в) очевидна. Поэтому нами установлено в) ^ б) ^ а). Чтобы доказать первый пункт теоремы, остается установить импликацию а) ^ в).

Очевидно, что импликация а) ^ в) первого пункта непосредственно следует из второго пункта теоремы. Поэтому перейдем к доказательству второго пункта.

Итак, пусть существует некоторое к = (к1,..., кт) € Кт, такое что

[ (*)

У *2 1

^ < 3 = 1,т. (3)

Не умаляя общности, будем считать, что к = 3,3 = 1,т.

По функциям рз ,3 = 1,т, как в лемме 3, построим совокупность внешних функций * (г)=ехр( —4! /^М+МЛ| ,з = ^

\ —те

Положим также ( (

* (г) = I! Су (гз) = ехр ( ^ £ ( / )) , г = (*, •••, *т) € С™

3=1 \ 3=1

V—оо

Используя лемму 3, получим

(т \ / т \

—с £ рз (9 |гз < |С (г )| < ехр £ р,- (3 , г = (л, ...,*„) € Ст, (16)

при некотором положительном с.

Пусть теперь, вопреки утверждению второго пункта, существует последовательность Ш+=°1 , А € Н(С+), такая что

кИгг1о ¡ДБа — (с+) = 0 (17)

Используя лемму 1, получаем

л (г1,...,гт,г,...,г) Ба (¿1,..., г,..., г) — 1|д х ехр ^ — ^ ру (2 ^ <

< ^ х||ДБа — 1||д , =(г1,...,гт,г,...,г) € С/. (18)

п у

у=1

2 (с+) у

Из оценок (16) и (18) непосредственно следует, что

л (г1,...,гт,г,...,г) Ба (гь ..., гт, г,..., г) — 1|д х |С (г1,...,гт)| <

< ^ х ||ДБа — 1||д , .г =(г1,...,гт) € С/. (19)

пу

у=1

.2 АР(С+)

у

В частности, из оценки (19) непосредственно следует

л (ж1 + г,Ж2 + г,..., ж™ + г, г,..., г) Ба (ж + г,Ж2 + г, ...,Хт + г,г, ...,г) — 1|д х х |С (ж1 + г,Ж2 + г, ...,Хт + г)| < 1,

при к > к0.

Следовательно,

л (ж1 + г, ...,жт + г, г, ...,г)|д | с (ж1 + г, ..., жт + г) | | Ба (ж1 + г, ..., жт + г,г,...,г)| <

< |С (ж + г)|к (ХТг)Ба (ж+1) — 1Г + |С (ж + г)| < 1 + |С (ж + г)| , (20)

где ж + г = (ж1 + г, ж2 + г,..., жт + г, г, г..., г) € Ст.

Очевидно, что из оценки (16) следует, что |С (г)| < 1 при всех г € Ст, кроме того

п д

|Ба (ж + г) |д = ехр г ^^ ау (жу + г)

у=1

ехр ( — д^а') < 1 у=1

Положив A = exp I — q ^^ a,jj , из (20) получаем

q

то есть

Поскольку функция

x + г) |G (x + г)| < 2A, x + г) |G (x + г)|1 < (2A)1.

F(z) = f (z + г) (G (z + г))1 = 1, 2,...,

(21)

в полупространстве C^ представима интегралом Пуассона (см. [13], [14]), при этом

1)

f (z + i)|q |G (z + г)| < 2A, (22)

G H(Cm, то мы получим оценку (21) в полупространстве C^, то есть

при всех z = (zi,...,zm) G Cm. Учитывая, что

- ^ iaj zj + ^ aj

lim f (zi,...,zm,i,...,i) = e j=1 j=m+1 , (zi,...,zm) G Cm и переходя к пределу в неравенстве (22), окончательно получим

m n \ m

exp^ qajyj + q ^ aj < 2A хД exp(cpj (3 |zj |)); (zi,..., zm) G C

+ •

(23)

j=1 j=m+1

Но из (3) следует, что

j=i

lim pjiM = o,j = I"m, y

что невозможно ввиду оценки (23). Теорема 1 доказана.

Перейдем к доказательству теоремы 2. Сначала докажем, что если f G H° f (z) = 0,z G C+ U Rn, при некотором n > 0, то функция (ln f )m , где выбрана главная ветвь логарифма, принадлежит классу ApP (C+) , 1 < q < P G П.

Действительно, не умаляя общности, можно предположить, что |f (z)| < 1,z G C-n. Поэтому (функция Ф (z) = —г ln f (z — г0) удовлетворяет условию /шФ (z) > 0, при этом Ф G H (C% ) . Положим ö = П и применим формулу типа формулы Шварца для функции

-п

Ф в C+ (см.[13]) Получим

Ф(z)

2гп

п

(2п) ./ j=i \zj j Rn j=i

г + zj

z^ tj У г I t

x ln , „ ,, + г arg f (г).

Поэтому

|ln f |z — г0|| <

(2n)n

Rn

п

j=i

г I zj

zj ^j

г + tj

|f (t)|

ln

1

|f (t — ¿ö)|

dt + c0.

Теперь, используя элементарную оценку

sup teR

г - t

z - t

|z — г| + |z + г| 2/mz

m

2

1

где z E C+ (см. [12]), получим

|ln |f (z — ij)|| < / П (l.._t— (i + t )) x in f-1^ <

(2п)"У |i - t, ||z, — t, | (i + ti)J |f (t — ij)|

< «Лг/ II (1 + |zj|)/ x II sup

(2n)R. Rn п (1+j " eR

j=i

i — tj

zj tj

<

<

2n

(2n)n Ц

(1 + W)'|zj — 1|z|zj + 11

2/mzj

]=i Rn 11 V" 1 "J

j=i

Л ln_i_

X / n dti...dtn,t = (ti,...,tn).

П (1 + t2

Таким образом, окончательно получим

|ln |f (z — ij)||< const f ,'n 17('-,Я| dt хД ii+iiiU < constU

fs_ dt X II ii+iziQ < constП íi+lzil!)

Rn n (1+ t2) M ^ " M ......

j=i

Положим в последнем неравенстве Z = z — ij. Тогда если ImZj > 0, то Imzj > j, 1 < j < n. Следовательно,

|'n |f (Z) || < const J] (1 | ^ < const J] il+j^, Z E C+. (24)

j=i J fc=i

В последнем неравенстве мы воспользовались оценкой (см. [13])

in

-dti...dtn < t = (ti,..., tn).

2

n „ ti...dtn < t =(ti,...,tn)

Rn п(1 +12) j=i

Из оценки (24) мы получим, что функция Фт (г) = (1п / (г))т принадлежит классу Ар (С+) при всех 1 < д < Теперь применим схему доказательства теоремы 1. Пусть

1 < д <

Положим снова

е (*) = / Л (С) Ф (С) е-р(К|)^т2п (С), 0 < * < 1,

где выбрана главная ветвь степенной функции, а Ф - произвольная функция из Ар (С/ 1 1

—I--= 1, причем

д д'

/ Ф(С) Р (С) е-р(|^|)^т2п (С) = 0,

С+

для произвольного Р € (/). Напомним, что (/) - замыкание множества Н(С+) / в пространстве Ар Сп+ . Ясно, что

е(т) (*) = / Л (С) (1п / (С))т Ф (С) е-р(К|)^т2п (С).

С+

Как и при доказательстве теоремы 1, докажем, что е(т) (1) = 0, т = 0,1...

Действительно,

е(т) (1)= / / (С)(1п / (С))т е-р(|^|)^Ш2„ (С).

Поэтому для произвольной последовательности {/} € Н(С+) имеем

НЛ/ — /Фт 1 Ар(С+) < ||/^ 11/^ — Фт 1 Ар(с+) ,

где Фт = (1п /)т , т € Z+.

Как было установлено выше, Фт € Ар (С+) , поэтому можно подобрать последовательность {/€ (С+) так, что ||/ — ФтНА^(си) ^ 0 при к ^ т = 1, 2...

Итак, / (1п /)т € Е (/). Перейдем к оценке е(т) (*) на отрезке [0,1]. Имеем

|е(т) (*)|< [ |/ (С)||1п / (С)Г |Ф(С )1 е"р(|^т2„ (С).

Теперь воспользуемся оценкой

|/(С)|< (I/(С)1 + 1) < 2, С € с+,* € [0,1].

Тогда

|е(т) (*)| < 2 [ |1п/ (()|т |Ф(С)1 е"Р(К|)^т2„ (С).

Применяя неравенство Гельдера, приходим к оценке

(

!е(т) (¿)| < 2 (

\

X

|1п / (С)Г е"9Р(К|)^т2„ (С)

1

\

)

/

х

|Ф (С)Г' е"9'Р(|С|)^т2„ (С)

Следовательно, если 0 < в < 1, то

(

|е(т) (*)| < 2

(|1п / (С)Г е-*Р(|С|))4 х е(-*(1"*)р(|с|))^т2„ (С)

\С

X

/

X

\

|Ф(С)Г' е-?,р(|С|)^т2„ (С)

<

/

< 2М„

\

е-(?(1-«)р(К|))^т2„ (С)

\

|Ф(С)Г' е-?,р(|С|)^т2„ (С)

/

где в € (0,1).

Учитывая, что Р € П, окончательно получаем

|е(т) (*)| < АтМт,т € Z+,t € [0,1].

9

9

9

Остается использовать условие e(m) (1) = 0, m = 0,1,.... При этом из расходимости ряда следует, что e принадлежит квазианалитическому классу Карлемана - Островского (см. [12]). Поэтому e (0) = 0. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. N.K. Nikolski Operators, functions and system: An easy reading, Providence. RI:Amer. Math. Soc. 2001. 1; (Math. Surveys and monograph, 92. 498 pp.

2. Келдыш М.В. Sur ¡'approximation en moyenne par polynomes les functions d'une variable complexe // Мат. сб., 16:1. 1945. C. 1-20.

3. A. Beurling A critical topology in harmonic analysis on semigroups // Acta. Math. 1964. 112:3-4.P. 213-215.

4. Никольский Н.К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа // Труды МИАН СССР им. В.А. Стеклова, 120. 1974. C. 3-270.

5. Геворкян И.М., Шамоян Ф.А. О слабой обратимости в пространствах аналитических в круге функций, допускающих рост вблизи его границы // ДАН Арм.ССР. 82:4. 1986. C. 156-159.

6. O. El-Fallah, K. Kellay, K. Seip Cyclicity of singular inner functions from the corona theorem // Journal of the institute of Mathematics of Jossieu. 2012. 11: 6. P. 815-824.

7. Гарнет Дж. Ограниченные аналитические функции. M.: Мир, 1984.

8. Шамоян Ф.А. Слабо обратимые элементы в весовых анизотропных пространствах аналитических в поликруге функций // Мат. сборник, 193. 2002. C. 143-161.

9. Джрбашян М.М. Метрические признаки полноты систем полиномов при взвешан-ном приближении // ДАН СССР. 1949. 56:6. C. 1034-1040.

10. Мергелян С.Н. Весовые приближения многочленами // Успехи мат. наук. 1956. 9:5. C. 107-152.

11. Шамоян Ф.А. О слабой обратимости в весовых пространствах аналитических функций // Изв. РАН, сер. Матем. 60:5. 1996. C. 191-201.

12. P. Koosis The Logarithmic Integral, I. Cambridge university Press. 2004.

13. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике, 2-ое изд. М.: Наука, 1979.

14. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. 1974.

Файзо Агитович Шамоян, Научно-исследовательская лаборатория комплексного и функционального анализа, Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского,, ул. Бежицкая, 14, 241036, г. Брянск, Россия E-mail: [email protected]