Теплицевы и вольтерровы операторы в весовых соболевских пространствах голоморфных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК - 517.5

ТЕПЛИЦЕВЫ И ВОЛЬТЕРРОВЫ ОПЕРАТОРЫ В ВЕСОВЫХ СОБОЛЕВСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

Ф.А. Шамоян

В статье исследуются тёплицевы и вольтерровы операторы в весовых соболевских пространствах голоморфных в круге функций.

Ключевые слова: теплицевы операторы, пространства Соболева, каноническое представление,

аналитические функции, операторы Волътерра.

Введение

Пусть С - комплексная плоскость, и = (— е С : |—| < 1} - единичный круг на С ,

Т = ди = (— е С : |—| = 1} - его граница. Обозначим через Н(и) - множество всех голоморфных

в и функций, Нр = Нр (и) (0 < р < ) - класс Харди в единичном круге и .

Хорошо известно следующее мультипликативное представление класса Харди Нр (и):

I е Нр (и) тогда и только тогда, когда I допускает факторизацию:

+ад — Я г0 . 1^/7 ^ I

I(—) = П — - * Г^1 ехр[_ 1 ге 2 йМ#)]еХР[— | гв 2 1п|/(е'в)\6 ] 2 еи, (1)

к=11 - —к—\—к\ Ле -2 2^Ле -2

где [ —к - произвольная последовательность из единичного круга и,

удовлетворяющая условию Бляшке, - неотрицательная сингулярная мера на [~л;л~], т е Z + .

+вд — Я ег@ |

Функцию I = —т ехр[— -----а ^(0)] (— еи), назовем внутренней

к=11 - —к—\—к\ Л е' - —

1 п егв + —

частью функции I, а функцию Qf = ехр[-| ^-1п|I(е1в)|йд] (— еи) - внешней частью

2^ ~^е —

функции I.

Говорят, что внутренняя функция 11 делит внутреннюю функцию 12, если —- е Нш .

11

Одно из основных свойств факторизации (1) заключается в том, что если I е Нр (и) и I

I I

делит внутреннюю часть I, то есть — е Н (и), то — е Нр.

Отметим важную особенность: указанным свойством обладают не только функции из класса Нр (и), но и гораздо более узкие классы функций. Нетривиальный результат такого рода был впервые получен Л. Карлесоном (см. [1]), который доказал, что данным свойством обладает класс голоморфных функций с конечным интегралом Дирихле, то есть класс О.

Следующим шагом в этом направлении являлся результат Б.И. Коренблюма (см. [2]), показавшего справедливость аналогичного утверждения для класса голоморфных в и функций, п-

я производная которых принадлежит классу Харди Н 2 : Н- = (I: I(и) е Н2} .

Отметим, что в указанных работах обоих авторов существенно используется гильбертовость рассматриваемых пространств. Как в работе Л. Карлесона, так и в работе Б.И.

Коренблюма фактически устанавливается, что если I е О или I е Н2, и I(а) = 0, то оператор

I и г \ а - —а

ва (I) = —, где Ьа (—) =----— -г—г, является сжатием в указанных подпространствах.

Ьа 1 - а— а

Не случайно, что в работе [3] Б.И. Коренблюмом была поставлена задача: обладает ли вышеуказанным свойством класс голоморфных в и функций, принадлежащих гельдеровскому

Л а 1

-а .

Дальнейшие достижения в этом направлении принадлежат Ленинградской математической школе. В работах В.П. Хавина [4] и Ф.А. Шамояна [5] независимо друг от друга было установлено,

что не только классы Л“ , но и многие классы голоморфных в круге функций, гладких вплоть до его границы, обладают свойством деления на внутреннюю функцию. В данных работах предложен простой метод, основанный на элементарных свойствах интеграла типа Коши (по сути, на свойствах теплицевых операторов), позволяющих доказать результаты вышеуказанного типа для подавляющих классов голоморфных в круге функций, гладких вплоть до его границы.

Например, в работе [5] было установлено: если СО - функция типа модуля непрерывности,

удовлетворяющая условию Бари-Стечкина и Л(о”) - класс голоморфных в единичном круге функций I, П -я производная которых в замкнутом круге имеет модуль непрерывности со(1,8), удовлетворяющий условию (X)(I,S) < с^а (8), то этому же условию удовлетворяет модуль непрерывности интеграла типа Коши

Т,(3)(2)=2-1є и

/ТГ! Г — -7

2,Я1Т С — (2)

при всех к е Н " .

В работах автора в дальнейшем для серии пространств дано полное описание тех к е 1} (Т), для которых оператор Тк оставляет инвариантными соответствующие классы голоморфных в круге функций, гладких вплоть до его границы.

Другие подходы к вопросам деления были предложены в работах С.А. Виноградова и Н.А. Широкова (см. [6], [7]), К.М. Дьяконова (см. [8]). Обзор этих результатов приведен в монографиях [7],

[9].

В работах автора [10], [11] ограниченность теплицевых операторов в пространстве С.Л. Соболева аналитических функций Л^ (п) (определение класса Л^ (п) приводится ниже) при р = 1 сводится к доказательству ограниченности сопряженного оператора в пространстве А. Зигмунда. Как установлено в этих работах, ограниченность оператора Тк эквивалентна ограниченности оператора типа Вольтерра:

1 —

Вк (I)(—) = — [ (— - г)П 1к(г)g(П)(г)dt, — е и, в пространстве Л^. п!о

Указанное утверждение (см. [11], лемма 8) в качестве основного результата было переоткрыто в статье [12], спустя почти 35 лет после публикации работы [11]. Отметим также работы [13], [14], где были также переоткрыты результаты работ [11], [16].

В этой статье мы установим ограниченность операторов Тк в пространствах Л^ (п) при

0 < р < \,а > -1. При 1 < р < теоремы подобного рода были анонсированы в работах [10],

[15].

§1. Формулировка и доказательство основного результата статьи

Для дальнейшего изложения результатов работы нам понадобятся следующие обозначения и определения. Пусть р > -1, г - функция Эйлера. Оператором дробного дифференцирования Римана-Лиувилля порядка Р назовем оператор

БрI(—) = у г(к + 1 +1) а—, — е и,

ыГ(£ + 1)Г(к +1) к ’ ’

где / Є Н(и), /(2) = ^ ак2к; обратный оператор обозначим

к=0

, ^Г(к + 1)Г(1 + і)а

3 () £1 Г (к + р +1)

'-акгк, г є и.

1 В 1981 году на международной конференции по теории функций в Будапеште, посвященной 100-летию Ф. Рисса и Ф. Фейера, в беседе с автором и М.М. Джрбашяном В.К. Дзядык сообщил, что указанная проблема была поставлена на его семинаре в конце 60-х годов прошлого столетия.

При 0 < р < 1, а >-1 символом Ара обозначим класс голоморфных в и функций I , для которых

(

Dß+lf (z) = O

\

1

о ^+2

ß+2---------

(1 - z ) Р

a+2

и її її ---- (У + 2

/ A, = sup D/z)(1 - z) p , p>----------------1.

* zeU p

При a > — 1 введём в рассмотрение пространства A£ и A* (n):

( Vp

aI = {/ eH(U)::\\/\\APg I J|/(z)|p (1 -Iz\)adm2(z) <+^},

“ V U J

A? (n) = {/ є H(U): Dn/ є A? },

I/I =1 \Dni

IIJ IIa^T(n) II J a? ■

Основным результатом работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема. Пусть 0 < p < 1. Тогда

1) Если (п + 1) p <а + 2, то следующиеутверждения равносильны:

а) Th является ограниченным оператором в пространстве A£ (п) ;

б) h допускает представление h = h + h, где D nh2 еАра, hx - мультипликатор пространства Apa (n).

2) Если (n + 1) p =a + 2 и h є H", то следующиеутверждения равносильны:

a) Th действует в пространстве Ap (n) ;

6)

sup

\h'( z )|(1 -I z|)

1

Vp

ln-

V 1 -Iz у

< +<ю.

3) Если (n + 1)p > а + 2, то Th действует в пространстве Ap (n) тогда и только

тогда, когда h = h + h2, где hi е A(n), h2 e Я" .

Доказательство теоремы основано на нескольких вспомогательных утверждениях.

Лемма 1. Если n е Z+, (п + 1) p <а + 2, D ~пу е Кра, 0 < p < 1, то у е Я ”.

Доказательство непосредственно следует из определения обратного оператора

D~ß, ß> 0.

Следующая лемма следует из результатов работы автора [17].

Лемма 2. Пусть 0 < p < 1, а > — 1. Тогда, если предел

1 71 ----------------

Ф(/) = lim — Г f (ре«1 )g (ре1в )d9

р^1-0 2ж J

—Ж

существует и представляет собой линейный непрерывный функционал на пространстве Ap (n) , где g е Я (U), то функция

1 z

w( z) = 7—пГ i(z “t )n1 g(t )dt (n -1)!0

принадлежит классу Kpa.

Следующее утверждение установлено в работах автора [11], [16].

Лемма 3. Пусть Mi - класс А. Зигмунда в U , то есть

Л* = {f е H(U) о С(U и Г): f (Ce1 *) - 2f (e1*) + f (^г*) < C/ | i |, С = elt, с нормой

II л*

llfll л = suP 1 D2f (z) 1 (1“ 1 z |< +“)} •

zeU

Тогда следующиеутверждения эквивалентны:

1) ОператорВолътерра

1 z

Bh (f)(z ) = —— f (z -1)n-1 h(t )g'n)(t )dt, z E U, (n - 1)!J0

ограничен в пространстве Л*.

f

2) A e Hш : sup \h'(z)|(1- | z |)ln

1-1 —!,

Доказательство теоремы. Мы докажем только пункты 1) и 2), поскольку пункт 3) легко вывести из результатов работ [11], [13]. Отметим также статью [15], где установлен аналог пункта

3) для кратных теплицевых операторов.

Итак, докажем 1): а) ^ б). Пусть Тк действует в пространстве Л^ (п) , (п + 1)р < а + 2 . Покажем, что функцию к можно представить в виде к = к1 + к2, где О Пк2 е Ара , к1 -мультипликатор пространства Лра (п).

Поскольку Тк действует в пространстве Л^ (п) , то

\\Т^\лр(п) - И^ШИА(п^ 1 е Л (П).

Но учитывая, что оператор £ (I)(—) = I(—), V— е и, является ограниченным оператором в Лра (п) , получаем

|Тк (/)(0) !< с(р^|/||л, (п),

то есть ф(/)=Тк (I )(0) является ограниченным линейным функционалом в пространстве Л^(п). Поэтому, используя результаты работы [17], можно найти функцию g такую, что О ~п g е Ара и

7Т ______7Т

Тк (/ )(°)=/1 (р—"к (р—")ав = IОп/(регв)° ~ ng (ре'в)ав.

Теперь заметим, что

T (f )(0) = 2^1 f (е'•)h( е,в)de Уf е ^(n),

-п

тоесть lirn 2-J f(p e,e)~g{pe;Pjde = -Lj/( e'e)h( ег e)d0 Vf e A^(n). p 0 2^ 2^

Положим в последнем равенстве / = , £ eU, me Z+ , и учтем лемму 1, получим:

7Т __^7Т _^

lim — \pmeime g[pew )de = lim — f eime g(e"' )с/в =

p^1-0 2rcJ v ’ р^1-0 2ж] V ’

-П -n

= — f ешв h( егв)de , m = 0,1,2,... 2^ J v '

-Ж

Следовательно, функция h ^ ele ^ = h ( ele ^ — g ( elв ^ принадлежит классу Харди Я1 в единичном

круге U , поэтому h ( е,в^ = е,в^ + h ( е,в^, где h2 ( е1в^ = g ( elffSj , 9е\-я,я\, при

этом

Б ик2 еК.

Если мы докажем, что оператор Т— является ограниченным оператором в Лр{н) при

П 2

условии, что Б ик 2є Ара , то этим докажем, что к 1 является мультипликатором в пространстве Лр (и). Следовательно, для доказательства а) ^ б) остается установить ограниченность оператора Тк2 ' Л (") при условии, ЧТО Б "к2 .

Отметим, что для любого / є Лр(и) Тк(/)(г) = к1 (г)/(г)+ Т— (/)(г), 2 є и . Поэтому,

если Тк и Т— являются ограниченными операторами в Лр (и), то оператор М(/)(г) = И1 (г)/(г),

к2

т є и, тоже является ограниченным оператором в пространстве Лр (и), то есть И1 -

мультипликатор пространства Лр (и).

Приступим к доказательству ограниченности оператора Т— в Лр(и). Воспользуемся

к 2

интегральным представлением класса Л^ (0) = Л^ (см. [18]), согласно которому

/(т )=^±! /1(1 -р:Г/ (р (^«>-ч.

п 0 -*• (1 - ре' г)

Отсюда нетрудно вывести интегральное представление функции / через функции

Бп/(г) при и є 2+ :

/ (г) = С (и, т )} }(' В /{ре Ур м^ > и),

0 -л (1 - ре 1 г)

где С = РЄ'в, Ри(^) - некоторый многочлен степени т — и (см., например, [19]). Здесь и в дальнейшем, С(...) будем обозначать положительную, зависящую от указанного аргумента константу, при этом одна и та же константа может иметь разные значения в одном и том же выражении.

Следовательно, с учетом (2)

, , 1 гМС)г(1 - И!) т°и/(ре") Р &)

Т- (/) (г) =---П4 + 7 4-- ёт2 (и)“С- (3)

2т Т С- г и (1 - ИС) 2_ и

Напомним, что “т2 (И) - плоская мера Лебега в круге и .

Поменяем порядок интегрирования в равенстве (3), получим:

^ <3 >(г Я1 -IИ| 2) т°и/ ^') ¡(е^ИхГ 2и ('У

Преобразуем внутренний интеграл:

г ик)) аг_±_г и&)т “г-

‘ ^ “ 2я |(С-г)(1 -ИСТ2-” ^ 2т >(^ _ г )(1 -,( ^ “

= _ 1 Г к 2(с)р(гс)Гт+3~и“ї

2т | (1 г)(С- И)т

\т + 2 - и

к 2(0Р(и с)“С

2тТ(1-ег)(С-и) 2и

Р(у) - снова некоторый многочлен от . Поэтому из равенства (4) окончательно получаем:

И 2(5) Р ( ^ (1 -

т+1-и)

(5)

Теперь для оценки I(¡С, —) применим в равенстве (5) формулу Лейбница. Тогда

, О- —) = _у п С1иЛ (О

¿—I (л Т \т+к - п + 2 ’

к=о (1 - г—) где к2 (г) = к 2(и)Р (|и|2), г еи.

Возвращаясь к равенству (3), окончательно получаем:

т+1-п ’(1 - И2)тБп/(и)~(к) (и)

ТИ2 (/)(г)=c(m, и)Е ст+1-и

к=0 и V1 '

“т2 (и ).

-т \т+2-п—к - И—)

Для доказательства ограниченности оператора Т остаётся доказать ограниченность

к 2

операторов вида

(1 - И2) у/( И ) /?2( к) ( И )

В2 И( — ) = |--------,1 - \т+2-к--------^2 (И), — е и,

и (1 - И— )

в пространстве Лр = Лр (0) при всех 0 < к < т +1 - п, О пк 2еЛ^,, к е 2+.

Для этого применим методику работы [17]. Разобьем круг в виде объединения криволинейных прямоугольников

1

1 ПЇ

ж

2? і -> і ц+1 ’ 2?

і = -2? ,...,2Н-1.

Тогда

„ , ^р - *-1,. (1-^|Г1 ^ |~‘ (С)

Въ,_ «№) I, 7«т. 2 - к )„

?=0 1=-2 А ?, і і1“^

И поэтому

(1 +1) ]

2? I

“т2 (С) .

+ш 2? -1

{КИ(г) (1 -|г1 )““т2(г)^ЕЕтахК1 -|с|Г+2рИО|р\%(с)|р2

.(1 - |г|)“^т2 (г)

— |( т+2-к) р У |1 -С2

(6)

Для оценки последнего интеграла воспользуемся элементарными неравенствами (см. [18])

С (Я)

Г “т2 ( г )

Л I — |Я

и 1

<

о-\(\)

Я> 2;

С (я) 1п^ С (Я), А< 2.

Х = 2; (*)

Поэтому из (6) окончательно получаем:

+ю 2Ч-1

\\Вн1 М(—) (1 -I—1)“^(—сЕЕтах((1 ~Ш+2+ к(0|ря2к)(0

=0 / -2 ^еЛ«,1

при условии (т + 2 - к) р >а + 2.

Теперь заметим, что в условиях пункта 1) теоремы и по лемме 1 к2 е Нш , и следовательно,

¿21 >(?)

<

С

\к

(1 -К1)'

Учитывая оценку (7), из (8) получаем:

11В к2М(—) (1 -1—IГ йт2 (—сЁ Е тдах ((1 - К1Г+2 к (01р) -СI (1 _ К1Г+2 к )1Р ^ 2)•

(8)

В последнем неравенстве мы воспользовались теоремой 4 из работы [17]. Пункт 1) установлен при условии (т + 2 — к) р >а + 2.

ос ^ 2

Пусть теперь (т + 2 - к)р = а + 2 , то есть к = т + 2-----------. Так как т - достаточно

р

большое натуральное число, можно предположить, что т + 2 > 2

1. Тогда из условия

о - пк 2еК легко вывести оценку

<

С

\п+к+1—

-, — е и.

я 2к >(—)

/ I |\п

(1 -1—I) р

Следовательно, неравенство (7) принимает вид:

(9)

\\Ви(у){—) (1 -1—I)“йт2(—)^сЕЕ™«

(1 “КГ+2 р 1П1

И01

с

(1-К1)

(п+к+1) р-а-2

<

21 -1

1=е 1 -2 ,1 у

^сЕЕтах к (01р (1-К1)1

т+1-п-к) р+а+2 1

1п-

1 -с|

(10)

Но по условию т + 2 — к =-----------, (п + 1)р <а + 2, поэтому р {т +1 — к — п) =

р

= р (т + 2 - к - п -1)= р

- п -1

р

= а + 2 — р (п +1) . Тогда в условиях пункта 1),

р( т+1-п-к К 1

1п-—< С, V С £ и . Снова возвращаясь к оценке (10) и применяя теорему 4 из

(1 -К1)

[17], окончательно получаем:

+ю 2? -1

IВя2М(—) (1 -1—I)“йт2(—)^сЕЕ тах(к(£)1р(1 -К1Г2)-СI к2)1р(!- К1Г^2)

Ц' ?=е 1 1,1 4 7 Ц

Перейдем к третьему случаю: (т + 2 — к)р < 2 + а . Тогда для ¿2к) остается в силе оценка (9). Поэтому с учетом (7) приходим к неравенству

+ш 21 -1

\\\ М(—) (1 -I—I)“^т2(—сЕЕ™х(к(0|р •(1 -|£|)

ц 1=0 1=-2ч ^ 1,/ ^

тр+2 р-р( п+к+1)+а+2

=c s t ma* И)іp •(,p1”*14

s,-f\ 7_ ^ q,і '

q=0 і=-2q

î-k )+a+2

Ц\М(—)| (1 -I—1)“^(—)^с.[ИОГ•(1 -1с|)“.

и и

Таким образом пункт 1) теоремы доказан полностью.

Перейдем к доказательству пункта 2).

Утверждения этого пункта при р = 1 с применением леммы 3 установлены в работах автора [10], [11]. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что 0 < р < 1. Докажем сначала импликацию а) ^ б). Итак, пусть к е Н “ ,

Т (I)(—) = ^-7I, — еЦ.

2пг Т С, — —

л р { \ л ы + 2

является ограниченным оператором в пространстве Ла I п 1, при этом п +1 =-------.

Р

Положим

3а ( г ) =

-, а, г є и .

__ \т-п

(1 - а— )

т - достаточно большое натуральное число, с(а) - константа, зависящая только от а, точное значение которой выбираем в дальнейшем. Ясно, что

:{а")ап{т -п)...(т +1)^1 - |а|2)

3[и ](г ) = ■

Уа (1 - аг)"

Положим

с(а) = (аи (т-и)...(т +1)) . Тогда

а+2

Р

а, г є и .

3 (и) ( г ) =

а \ ) /л — \т

(1 - аг ]

Вычислим норму функции / в пространстве Л^ (и). Учитывая, что

(11)

(12)

11/1

Л« (и)

ЦБ" (/)(г)| (1 -|2\У “т2 (г)

легко заметить

/ а

Л а

Лра (и

И /аи)| (1 -і г\у “т2 (г)

где С (а, и) - положительное число, зависящее только ОТ а И и .

Поскольку оператор Тк является ограниченным оператором из Ла (и) В Ла (и) , ТО

ІІТ ( / 1Р < ІІТ ||Р II / ||Р

II к\-'а'\\Л’‘ (и) “II ИН РЛл? (и )•

II Т \\Р Т Т

Перейдем к оценке нормы /I , , через а є и .

II \\А.ауи)

Учитывая (12), имеем:

Р

/ Р —

ІІ-Мл* (и) _ с

(1 - \а\2 У1' “ (1 -Iг|)°

11 ---------1, _ "р-----------^2 (г) .

її — 1 1 - аг\

Применяя оценку (*), окончательно получаем: II г ІІР / \ сх ^ 2

шА (и) - с2 (", р ) пРивсех т >■

"АТ ( Положим

Р

Р(г) = Т, (/)(г) = -іт//а , г ,

2т і ^ — г

(15)

и перейдем к установлению явного вида функции Р через символ оператора Т,, то есть через функцию / . Ясно, что

а+2 Р

(С- г )

2^/ Т (1 - ас)"Р (С- г )

(16)

Напомним, что с (а) определяется из равенства (11). Теперь выразим интеграл (16) через функцию к в явном виде:

>(г)= п\с(а^ -|а|2)" Р • т1-!

ЖГ

2»Т (1 - аС)"Р (Г- г)“

-¿с =

и !с ( а )^1 - |а|21 п !с (а )^1 - |а|21

2x4 (С-а)ти(1 -Сг)и

( /(О ' (т - и-1)

1(1 -С г Г У

(17)

где Я(С) = к(С)Ст 1, С . Отметим, что единственным ограничением на т является

условие тр > а + 2 или, учитывая, что а + 2 = (п + 1)р, т > п +1, то есть т — п > 1.

Пусть т = п + 2 . Тогда равенство (17) можно записать в виде

К2) = и!с(а)(1 - 1а12У и 1 [тгу^п

К1 -Сг)

:(1)

?!с(а )(]

= и!с(а II1 - \а\

Ь[(а) ,1 (а )г (и +1)

Л

(1 - а г )”+1 (1 - а г )”

или

р (и

/ ч / ч/ | ,2\ Ща) (и + 1)с(а),| (а)

(г) = и!с(а)(1 - а ) + л -\и+2 , г є и .

(1 - аг) (1 - аг)

Следовательно,

//'(а) (и +1) с (а)^1 - |а|2 ^/гДа)|

__ іи+1

- аг\

__ іи+ 2

11 - аг\

Р(и) (г )

г є и .

и!с ( а )^1 - |а|2 | —

Отсюда, учитывая оценку (14) и ограниченность Т, , приходим к неравенству

Л _ |г|2Г

(и! с (а))Р (1 -\а\2 ^а)|Р Г _ (и+1)¿"2 (г) <

и 1 - аг\

и

<

Л _\z\2 у*

((п +1) с (а))p (l - \а\2 ) ^ (а)|p f dm2 (z) + с (п, p).

и 1 - az\

Теперь, применяя равенство а + 2 = (n + l)p, а + 2 + p = (n + 2)p, приходим к оценке

(; - N ) r\K{а )|p 1n—

; ^с (n, p)

I)p

о < N < 1.

То есть

1

h'(а )|(; - 1а1 )i }p - с2 (n, p )

ИЛИ

suplА;(а)|(1 - |а|f ln ' |Р < +œ .

аеи у 1 а J

Импликация а) ^ б) установлена.

Перейдем к доказательству б) ^ а). Указанное утверждение доказывается аналогично пункту 1). Проведя аналогичные рассуждения, как выше, легко установить, что утверждение б) ^ а) пункта 2) будет вытекать из ограниченности оператора

Г(1 - и2 )m t ) Щ)

Bh W){ Z) = P----------(1 - \m+2 - s--dt, z eU ,

U ^ _ tz )

в пространстве Ap при соответствующем условии (9) на h (t), 0 < s < m +1 — n .

Снова разбивая круг на диадические прямоугольники A ql , имеем

IlBh W(z)|pi1 -|z|)“dm2(z

U

( (1 -| z| )“ dm2 (z)A

+Ю 2q -1

* с£ s |(1 - и 2 f" KOI? s>W|p j ^

q=0 l=-2q Д. , U 1

— i( m+2-s) p

vи I1 - tz\ J

dm2 ( t ).

(18)

Учитывая оценку (8), из (18) выводим

| к М(—) (1 -—1)“^т2 (—)^ сЁ £ К1 - И2 )тр+2р2 к(01 р|~

и 1 ?=01=-24

если (т + 2-5]р >а + 2.

Значит, как и выше

| \ВЯ (у)(—) р^ (—)^ с К1 - И2) \у(И)\Р Лт2 (И).

и и

Пусть теперь [т + 2 — 5]р = а + 2. Тогда из (18) получим

тр+2р-2

1

(m+2-s ) p-a-2 2

dm2 (t )

j \Bl (^)(z)| i1 -lzl)adm2 (z)^ сЛ^м(0| i1 - H) И0Г 1n13üdm2(t).

TJ TT A |i I

io из ус. h s ^ ( z )

(19)

Но из условий теоремы легко вывести с

(1 -I z| ) ■

Поэтому

BS

f 1 Tp ln—^

. 1 - z. .

V II/

W Ap - Ci(1 “I Zl)p(m+2 SJ^ Z)lp dm2 ( z) ,

U

У '"Р ^ c\И Ар • (21)

др 11' "Л!р '

Теперь заметим, что в условиях пункта 2) случай [m + 2 — sJp <а + 2 невозможен. Действительно, поскольку а + 2 = (n + l)p, 0 < s < m +1 — n, то последняя оценка равносильна

ос ^ 2

неравенству 0 < s < m +1----------------Ъ1 или p{m + 2 - s )>а + 2, что противоречит

Р

вышеуказанному условию.

Объединяя оценки (19) и (21), получим импликацию б) ^ а) пункта 2) теоремы.

Теорема доказана полностью.

In the paper gives a complete description of those function h for which the Toeplitz and Volterra operators with symbols h be a bounded operators in weighted Sobolev spaces of holomorphic functions in the unit disc.

The key words: Toeplitz operators, Sobolev spaces, canonical factorization, analytic functions, Volterra operators.

Список литературы

1. Carleson L. On the Zeros of Functions with Bounded Dirichlet Integral // Math. Z. 1952. №3. PP. 289295.

2. Коренблюм Б.И. Об одном экстремальном свойстве внешних функций // Мат.заметки. 1971. Т. 10. №1. С. 53-66.

3. Коренблюм Б.И. О функциях, голоморфных в круге и гладких вплоть до его границы // ДАН СССР. 1971. Т. 200. №1. С. 24-27.

4. Хавин В.П. О факторизации аналитических функций гладких вплоть до границы // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР. 1971. Т.22. С. 202-205.

5. Шамоян Ф.А. Деление на внутреннюю функцию в некоторых пространствах функций, аналитических в круге // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР. 1971. Т.22. С. 206-208.

6. Виноградов С.А., Широков Н.А. О факторизации функций с производной из Ир //

Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР. 1971. Т.22. С. 8-27.

7. Shirokov N.A. Analytic functions Smooth up to the boundary // Lect. Notes Math. 1988. №1312. PP.

213.

8. Dyakonov K.M. Division and multiplication by Inner functions and Embedding theorems for spaces of analytic functions // Amer. J. Math. 1983. V.115. PP. 881-902.

9. Шамоян Ф.А., Шубабко E.H. Введение в теорию весовых Lp -классов мероморфных функций. Брянск: Изд-во БГУ, 2010. 150 с.

10. Shamoyan F.A. Toeplitz operators and division by an Inner function in some spaces of

analytical functions // Amer. Math. Soc. Transl. 1986. V.133. PP. 5-10.

11. Шамоян Ф.А. Об ограниченности одного класса операторов, связанных с делимостью аналитических функций // Известия АН АрмССР. Серия математическая. 1973. Т.8. №16. С. 474490.

12. Songxiao L., Stevo S. Volterra type operators from Zygmund space into Bloch spaces // J. Concr. Appl. Math. 2008. V. 6, №2. PP. 199-207.

13. Jonson S., Peetre J., Semmes A. On action of Hankel and Toeplitz operators on some function space // Duke Math. Journ. 1984. V.51. PP. 937-958.

14. Zhu K. Multipliers of BMO in the Bergman metric with applications to Toeplitz operators // Journ. of function analysis. 1989. V.87, №1. PP. 31-50.

15. Шамоян Ф.А., Арутюнян А.В. Тёплицевы операторы в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // ДАН АрмССР. 1990. Т. 91. №4. С. 147-151.

16. Шамоян Ф.А. Об одном классе операторов, связанных с факторизацией аналитических функций // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР. 1974. Т.39. С. 200-206.

17. Шамоян Ф.А. Диагональные отображения и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Сибирский математический журнал. 1990. Т.31. №2. С. 197-215.

18. Djrbshian A.E., Shamoyan F.A. Topics in the theory of Apa spaces. Leipzig: BSB Teubner. 1988. 200

p.

19. Tkachenko N.M., Shamoyan F.A. The Hardy-Littlewood theorem and the operator of

harmonic conjugate in some classes of simply connected domains with rectifiable boundary // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. 2009. V. 5, №2. C. 192-210.

Об авторе

Шамоян Ф.А. - доктор физико-математических наук, профессор Брянского

государственного университета имени академика И.Г. Петровского, shamoyanfa@yandex. ru.