О нулевых множествах некоторых весовых классов аналитических в круге функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

О НУЛЕВЫХ МНОЖЕСТВАХ НЕКОТОРЫХ ВЕСОВЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ3

Ф.А. Шамоян, В.А. Беднаж, О.В. Приходько

В первой части работы найдены достаточные условия на последовательность {zk }+= , при которых указанная последовательность является нулевым множеством класса И.И. Привалова при p < 1, найденное условие близко к необходимому.

Вторая часть статьи посвящена уточнению основного результата Б. Хэнсона из работы [1]. В указанной работе было получено необходимое условие на корневые множества класса Ba у в случае, когда нули функции расположены в угле Штольца с вершиной в точке z = 1.

Установлено, что указанное условие является и достаточным, причем и в том случае, когда нули функции произвольным образом распределены по кругу, а на функцию у накладывается более слабое ограничение.

Ключевые слова: голоморфные функции, единичный круг, корневое множество, характеристика Р. Неван-линны, класс Привалова, весовые классы.

Пусть D =^ : < 1} - единичный круг. Обозначим через H (D) - множество всех

аналитических в круге D функций. Пусть далее

M (г, f )= тах ^ (z)|, г е [0,1), 1п + х = тах (1п х,0).

Щ £г<1 1 1 х>0

В статье мы исследуем свойства корневых множеств функций из классов П( р) И.И. Привалова (см.[2]):

Р (1п + Г (гв® ) P

0< г <1 2р

n(p ) =

f є H(D): sup 2- | (in + f

d" < +¥

и весовых классов:

B,

f є H (D) : I in M (r, f )(l - r )a y (l - r )dr

< +¥

где a >-1, а функция y определяется равенством

y (t ) = exp j-J ^ dU

(1)

є (t) - измеримая ограниченная функция на [0,1).

Легко видеть, что при p > 1 класс И.И. Привалова входит в класс Р. Неванлинны (см. [3]), и поэтому корневые множества этого класса описываются хорошо известным условием Бляшке. Но при p < 1 условие Бляшке для корневых множеств класса П(p) уже не является

необходимым условием.

Основными результатами статьи являются доказательства следующих двух утверждений:

Теорема 1. Если f еП( p), 0 < p < 1 и f (Zk ) = 0, к = 1,2, • , f (z) ° 0, то ряд

¥ 1

^(1 -\т.к |) р < +¥ при произвольном є > 0. Обратно, существует функция f еП( р)

к=1

3 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ:№09-01-97517

и последовательность {zk jj^, zk е D, k = 1,2, • , такие, что f (zk ) = 0, k = 1,2, • , f ( z 0, z ^ Zj, k = 1,2, • , и в тоже время

1+ e

1

1 -\zh

: +¥,

Е(!-|^I)р •1п

к=1

\ У

для произвольного е > 0.

Теорема 2. Пусть {ги}+=¥ - произвольная последовательность из (1), Вау - вышеуказанное весовое пространство аналитических в Б функций, причём у имеет пред-

Iе (и )|

ставление (1), где sup

о £ u <s a +1

£ q < 1 при достаточно малых 8 > 0. Тогда для того, чтобы

(2)

существовала функция f из класса Baw, f ( zn ) = 0, f ( z )^ 0 при z Ф zn, n = 1,2,* , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

+ ¥

2(1 - Zn| )a + 1y (1 - Zn |)<+¥.

n=1

Для доказательства этих результатов приведём ряд вспомогательных утверждений. Лемма 1 (см. [4]). Пусть V (z ) - субгармоническая неотрицательная суммируемая в D функция, 0 < p £ 1, -1 < b < +¥, тогда имеет место оценка

К1 - z l)b V (z ) dm2 (z ) £ c ( p )-J(1 - z |)bp+2 p -2 -VP (z ) dm2(z ).

D

D

Введём бесконечное произведение, исследуемое в работе [5]:

b +

жЬ ( Z zk ) = П

k=1

+¥ i \ 1 --L

V

exp

/

ж

■л

0 -ж

(1 - р2 )b ln - р 0

V / zk -p d р d0

(л -i0 \b +2

(1 - р e 10 z )

Функция Жр (z, zk) сходится на компактных подмножествах единичного круга тогда и только тогда, когда

'¥ \Р +2

2(1 -|zj|Г <+¥

(3)

k=1

Лемма 2 (см. [6]). Если ряд (3) сходится, то для бесконечного произведения Жр (z, zk) справедлива оценка:

ln

жь (z, zk )£ C 2

k =1

1 -\zh

1 - zkz

b +2

z е D.

Доказательство теоремы 1. Используя равенство Йенсена (см. [2]), имеем:

f ni£l dt=-!'

0 t 2ж

0-p

f ln f ( rej )

dj.

(4)

(5)

Не ограничивая общности, предположили / (0 ) = 1 и как обычно п(г)={еагё zk, ^к| £ {} , 0 £ г < 1. Из равенства (5) получаем

іт* л < —^ і1п+1/ (геф)

йф

(6)

-Г

\а

Умножим неравенство (6) на (1 - г) , а >—1, и проинтегрируем по г е [0,1), получа-

ем:

|(1 - г )а і ( 1 гйгйї < ——і і (1 - г )а • 1п + / (геф)

0 0 1 —Г 0 -Р

+ I

гйгйф.

Так как функция 1п + | / (z)| - субгармоническая и неотрицательная, то возводя обе части неравенства в степень р и используя лемму 1, приходим к оценке:

(1 г п( + \ У 1 Ж . р

/ (гег^)) тётёф.

і(і - г )а і ( 1 гйгйї < с (р )і і (1 - г )ар+2р 2^(іп+

ч0 0 ^ 0 0 -г

Таким образом,

і

п (ґ 1 < % (р )Г Г Г (1 г )«р+—р-— Лп+

і(і - г)а і гйгй < С (р) і і (1 - г )'

0 0 t V0 -г

Следовательно,

гйгйф

1

1р)

:С (р) зир

0<г <1

0<г <1

( Г 1 — /

ірп+ / (геф) р ) йф р И X

у-Г V

і(1 - г)'

ар+—р -—

гйг

1

X

I1 - г)

а р+—р-1

а р + — р -1

1

С1 р ).

(7)

Очевидно, что если /еП(р), то интеграл сходится при условии (а + 2)р — 1 > 0, то есть (а + 2) р > 1 или а > — — 2.

р

Из неравенства (7) получаем

1 гп (г)

Поэтому,

р. .а С П(І) / ч 1

і (1 - г) і гйгйі < <%1 (р) при всех а >----------------2.

1 а Гп (г) 1 1 (1 — г)а+1 п (г)

Г(1 — г)а Г-^-гёгЖ = —— р^ёг £ с .

л ^ г а +1 ^ г

0 0 0

Снова интегрируя вышеуказанное неравенство по частям, будем иметь

1

і (1 - г )а+— йп (г) < с1, если а >— - 2.

Таким образом,

2(1 — | Zk| )а+2 <+¥

к=1

11

при условии а >-2 . Положив а =-2 + е , получим первое утверждение теоремы, то

рр

¥1

есть сходимость ряда 2(1 — \т.к |) р < +¥ при произвольном е > 0 .

k=1

1

0

Докажем второе утверждение теоремы, т.е. что существует функция / еП( р), / (2) ° 0, и последовательность \_Zfr }к , zk е Б , к = 1,2, • , такая, что / (zk) = 0, к = 1,2, • ,

1+Є

Е(1 -| гк I) р •1п

к=1

1 - 2к

= +¥ .

Положим gpe = ехр

2п і

, z е Б , е - достаточно малое положитель-

(1 - 2 ) р • 1п

V1 -

ное число, причем выбрана главная ветвь степенной функции ж . Докажем, что gp е еП( р)

при всех е > 0 .

Действительно, имеем:

,, (гем)

<

с

1 1+е / \

1 - геір р • 1п р е

г -

V

,0 < г < 1, р є [-ж, п],

поэтому,

К1п + 8р,е (гем)) йР < С I

І1 - геір

/ \

• 1п1+е е

г -

V /

йр.

Нетрудно видеть, что

<

/ \ — / \

г - • 1п1+е е 1 - ем • 1п1+е е

V 1 - геір ) V 1 - ер ' 0

при г > 2 ,

а 1 - еір = 2 • р Біп —

2

и поскольку, ж < р < —ж, то 2

р

Біп — 2

>

Таким образом,

|(1п + 8р,е (геМ)) йР < с|

йр

0 Р (1п ер )

Следовательно, gp е еП( р) при всех е > 0 .

Найдём нули функции /р е (z ) = gp е (z) — 1. Очевидно, что

2ж/ 2жг

/р е (2к ) = 0 о ехР-

1+Є

= 1 о

1+е

■ = 2пік, к є □ .

(1 - 2к) р •1п Р

1 - гк

к

(1 - 2к ) р •1п р

1 - гк

к

Теперь выберем только вещественные и положительные члены этой последовательности из (0,1), тогда

1

1

1+е

(1 -\2к I)р •1п

1 -\2ь

■ к, к є N, т.е. (1 - ^к |)р • 1п

1

1 -

= -1, кє Н. к

Поскольку zk = гк ,0 < тк < 1, то ясно, что

1+е

2(1 -12к 0р •1п

к=1

_____1_

1 -1

= +¥ , "е > 0.

Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2: Пусть }+= - последовательность комплексных чисел

таких, что zn е Б , п = 1,2,» , и выполняется условие (2). Рассмотрим вышеуказанное бесконечное произведение при ¡5 = 2p. Как установлено в [5], произведение Ж2p имеет вид

+ ¥ —

п

2 р

( \ ГГ (2п 2)

( 2 2п ) = Ц^^-----еХР і

п=1 1 - 2п2

2 р-1

-.р-1 і

2)

і=1 7

/ _

1

2п ( 2п - 2 ) 1 -

V

где р > а +1, р є N .

Для удобства в дальнейшем обозначим его через пр.

Перепишем указанное бесконечное произведение в следующем виде:

п=1

1

і2 Л

1 -

ехР

2 р-1

1 - |2п, 1 -

V

(8)

Заметим, что оно обращается в нуль только в точках zn, п = 1,2,» , и равномерно схо-

дится внутри Б тогда и только тогда, когда 2(1 — zn|)2Р <+¥ . Используя оценку (4), получаем:

п=1

1п

п р (^ 2п )|< с12

п=1

1 -

2р

Пусть г = гем и 2п = гпе1Ц>п . Тогда

= г еірп п п

1п

п р (^ 2п )|< с12

(> - г2)

2р

п=1

2 р

+ ¥

< С2 27

п=1

(1 - гп )

2р

1 - гпгег (р м

Следовательно, для 1п М (г, пр) имеет место оценка:

(1 - гпг )2 + 4гпг БІп2 М—М

р

1п М ( г, п р )< С2 2

(1 - гп )2р

(9)

п=1 (1 - гпг )2 р

Умножим (9) на (1 - г )а у (1 - г) и проинтегрируем по г :

1 (1-г 1

^ - гпг 0

Г (1 - г)

1 + ¥ 1

11п М (г, п р )(1 - г )а у (1 - г ) йг < С2 2(1 - гп )2 р I

0 п=1 0 I

у (1 - г) йг .

(10)

0 (1 - гпг )2р

у (1 - г) йг =

1 (1 - )а

2 р У (1 - г ) йг + М----------------------------------У (1 - г ) йг = А +1 2 .

0 (1 - гпг ) гп (1 - гпг )

Оценим каждый из интегралов ¡1 и ¡2:

гп /1 - \а гп

1) ¡1 = 1,—Г^2рУ (1 - г)йг < |(1 - г )а-2р У (1 - г)йг.

0 (1 - гпг ) 0

Делаем замену і = 1 - г, получаем: ¡1 < | іа 2ру (і)йі.

1-г

п

1

Покажем, что | іа-2ру (і)йі < С'(1 -гп )а 2р+1у (1 -гп).

1-г

I іа-2ру (і)йі =---------1-----іа-2р+у (і)

_г а 2 р + 1

1 1 1

-------1- I іа-2р+У(іу =

1-г а - 2р +11 ппп

=-----1-----у (1)-------1-(1 -гп)а 2р+у (1 -гп)------------------1- I іа 2р+1у'(іу

а - 2 р +1 ^ а - 2 р + Г п' к ’ а - 2 р + 11-г ^

<

<

2 р-

1 - 1 1

-----(1 -гп)а 2р+1у(1 -гп)+------------а іа-2р+1у'(і)йі при достаточно боль-

-а-1 2 р-а-1/

1-г

ших р .

Но у'(ї )= у (і)——, тогда

- >а-2ру(і )йі < ^р^ (>- г» )а-2р+'у (>- г»)+^р-атт 1 р р <*=

1-г 1—г

± 'п ± 'п

=2^ ( - '* )2 р+‘у(1 - '* >+) ^ ^(і )'е )йі

отсюда получаем 1

а <а-2 ру (і)

1-г

2 р 1 - е (і)

2 р-а-1

1

йі < 2р-а-1(1 - г”)а-2 р+у(1 - г”) -

(12)

Подбирая р таким образом, чтобы 1

е (і)

а іа-2у (і)

1-г

2 р-а-1

йі > I іа-2ру (і)

< 2, получаем:

1-г

1 -

1 - е (і)

2 р-а-1 Тогда из неравенства (12) следует

¡1 < С '(1 - г„ Г2 р+1 у (1 - г„).

е (<)

2 р-а-1

Л 1 1

йі > 2 | іа~2ру(і) йі.

1—г

(13)

1 (1 - г )а 1 1

2) 12 = |т-----------------------^у(1 - г) йг <7—^ |(1 - г )а у(1 - г) йг.

гп (1 - гпг) (1 - гп ) гп

1-г

Делаем замену і = 1 - г, получаем: ¡2 <

(1 - гп )

2 р

а іау (і)йі.

1-г

Покажем, что | іау (і )йі < С"(1 - гп )а+1у (1 - гп).

1-г

а ,ау (і)й‘ ^‘^ум. -^ а 'а+у(')йі=

1-г 1-г

• п 1 п

0 а +1 0

1-г

а +1

0

0

поскольку в условиях теоремы lim ta + y (t) = 0 .

t®0

e (t)

Воспользовавшись соотношением, y'(t ) = у (t )•——, имеем

1-г

1-r

j fy (t )Л = (1 - ,, )»+‘y (1 - r„ )-j t“+V (t).

1

1-r

a +

отсюда получаем

-(1 -()a+)(1 -()--) j tay(t).e(t)dt,

1 a +1 *

1-r

j tay (t)

e (t)

1 + —'-L

a +1

v

dt ■■

1 (1 - rn )a+1V (1 - rn ).

a +1

Ещё раз, используя условие теоремы ^, приходим к оценке

e (t) |e (t)|

1+^~ > 1 -^^> 1 -

a +1

a +1

q при достаточно малом

1-r

j taV (t)

1+

e (t) a +1

dt

1-r

> j tay (t)(1 -q)dt,

т. е.

‘j't aV (t )dt £ -iq (1 - r„ )a+V (1 - Гп ) .

i 1 - q

Следовательно,

12 £ С '(1 - r„ )a-2 p+ly (1 - r„).

Из неравенств (2), (10), (11), (13), (14) окончательно выводим

(14)

j In M (г, p p )(1 - r )a y (1 - r) dr < С 2(1 - rn )a+1 y (1 - rn )<+¥.

0 n=1

Таким образом, функция p (z, zn), определяемая равенством (8), удовлетворяет всем

условиям теоремы.

Теорема 2 доказана

Фактически при доказательстве второй части теоремы 2 установлено следующее утверждение:

Теорема 2'. Пусть функция у удовлетворяет условиям теоремы 2, {zn}+=¥ - произ-

+ ¥ 1

вольная последовательность из D. Тогда если 1(1 -I Znl)“ +У (1 "I zn I) <+¥, то можно по-

П=1

строить функцию f из класса Ba у такую, что f (zn) = 0, f (z) ф 0 при z Ф zn, n = 1,2,*

In the first part of paper the sufficient conditions on a sequence {zk }+=¥ are found, at which the specified sequence is zero set of a class I.I. Privalov for p < 1, condition is be necessary.

The second part of paper is devoted to specification of the basic result. Hanson from job [3]. In the specified job the necessary condition on root sets of a class Ba у in a case was received, when the zero of function are located in a corner Stolz with top in a point z = 1.

Is established, that the specified condition is also sufficient, and and in that case, when the zero of function are arbitrarily distributed on a disk, and on function у weaker restriction is imposed.

The key words: holomorphic of function, individual disk, root set, class of Privalov, characteristic of Nevanlinna , weight classes.

0

Список литературы

1. Hanson B. The zero distribution of holomorphic functions on the unit disc. London Math. Soc. (3), 51 (1985), pp. 339-368.

2. Привалов И.И. Субгармонические функции. М.-Л., 1937. 200 с.

3. Хейман У.К. Мероморфные функции. Пер. с англ. М.: Мир, 1966. 288 с.

4. Шамоян Ф.А. Диагональные отображения и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Сибирский математический журнал, 1990. Т.3. С. 197-215.

5. Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций // Сообщение института математики и механики, 1948. Вып.2. С.1-51.

6. Шамоян Ф.А. О нулях аналитических в круге функций, растущих вблизи его границы // Изв. АН Армянской ССР. Т.18 №1, 1983. С. 215-227.

Об авторах

Ф.А. Шамоян - докт. физ-мат. наук, проф., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, [email protected].

В.А. Беднаж - канд. физ-мат. наук, ст. преподаватель, Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, [email protected].

О.В. Приходько - ассистент, Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, [email protected].