Факторизационное представление и описание корневых множеств аналитических в верхней полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК - 517.53/.55

ФАКТОРИЗАЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ОПИСАНИЕ КОРНЕВЫХ МНОЖЕСТВ АНАЛИТИЧЕСКИХ В ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ФУНКЦИЙ С МАЖОРАНТОЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПОРЯДКА

Е.Г. Родикова

В статье получено полное описание корневых множеств аналитических в верхней полуплоскости функций из класса (с ) и построено факторизационное представление указанного класса функций, когда мажоранта *) имеет бесконечный порядок.

Ключевые слова. Аналитические функции, верхняя полуплоскость, корневые множества, нули, факторизационное представление.

Пусть С - верхняя полуплоскость комплексной ПЛОСКОСТИ С , т_е. с = {2 6 с 1т2 > °}, ( ) -

множество всех аналитических в С функций. Пусть далее *) - монотонно возрастающая положительная функция на ®+ _ I-0,^ 6 С ®+). Введем в рассмотрение класс функций

X"(с+) = | / Е Н (С *) :1п| / (;)| < лг -х( В/1;|), 2 е с*}

?

лг, Вг /

где / / - некоторые положительные константы, зависящие только от .

Определение. Функцию ' ', для которой

х -Я'( х) lim----- = +<»

х^+» Я(х)

х)

(1)

назовем весовой функцией.

Л ” ^с+>1

В статье получено полное описание корневых множеств функций из класса я ' ' и построено

факторизационное представление указанного класса функций при условии, что *) - весовая функция.

Исследованию корневых множеств и построению факторизационных представлений различных классов аналитических функций посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных ученых (см., например, [1]-[12]). В классах целых функций вышеуказанная задача решалась в работе [1] американских математиков Л. Рубеля и Б. Тейлора. Корневые множества довольно общих классов голоморфных функций изучались в работах Б.Н. Хабибуллина (см., например, [2], [3]). Но методы, используемые в [2], [3], в отличие от методов, применяемых в данной статье, не позволяют в явном виде построить голоморфную функцию с заданными нулями, и тем более получить факторизационные представления исследуемых классов. В работе [9] Ф.А. Шамояна получено полное описание вещественных корней целых и аналитических в круге функций, допускающих в рассматриваемой области оценку

1п|/(2)|< СГ -1(|2\)

?

где *) - весовая функция, С/ - некоторая положительная константа, зависящая только от /. В работе автора [10] указанный результат распространен на класс аналитических в полуплоскости функций.

Формулировка и доказательство основных утверждений

Доказательство основного результата основано на следующем вспомогательном утверждении:

Лемма. Пусть ^^ - весоваяфункция, С ®+),

С А( Вг

I = о

. Тогда

-да

r

/

Доказательство.

I =

1____1_

2 ~2

x r

ІЛ

Ja( Bt) dt

/ л Л. / . Л.

2j —Ja( Bt) dtdx = 2j —Ja( Bt) dtdx

x

p p

x

p p

Найдем предел отношения

r 1 x 2j —3 J A( Bt) dtdx

lim p p. . г^ш A( Br) h

Воспользуемся правилом Лопиталя:

r

Ja( Bt) dt

lim

r

= lim

A( Br )

= lim

Br2 A' ( Br ) - r A ( Br ) r^+o> B 2 r2 A"( Br ) + BrA'( Br )-A( Br )

1

B2r 2Aff( Br) / A( Br) + BrA'( Br) / A( Br) -1'

t2A4t) tÄ"(t) tÄ'(t)

lim---V1 = lim—-V1 •= ,v/ + <ю

Ho t^+“ A( t) r A( t) A( t)

Действительно, снова применяя правило Лопиталя и учитывая условие (1), получаем:

tX( tÄ'( t) + tÄ"( t) tÄ"( t)

—-^-==кт—v 7 . . v 7 1 +=hm—+да

^^t) t^+“ ^/(0 t^+“ t)

lim

t

T.e.

lim- , 4 A(i)

= + <ю

Поэтому вычисляемый предел (2) равен нулю. Лемма доказана.

Основными результатами данной работы являются теоремы 1, 2.

Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:

К }П, = ГпеЮ" , П Є ^ -

V п}П=1 , точек из верхней полуплоскости является

х г( с+).

1) последовательность

корневым множеством некоторой ненулевой функции из класса

2) 3^ > 0: У Я >1 СПраведливо

I

p<r„ < R

R

(3)

С {z }+Г

гдезначение 1 зависит только отпоследовательности к п}п~1

f (z )е x ;(С+)

Теорема 2. Каждую функцию 4 ' v ’

можно представить в виде

+W

f (z) = exp(G(z))хПNP„ (z>zn)

аналитическую в замкнутой полуплоскости

С

(4)

Е ( 2,) = П Ыр„ ( 2,)

причем бесконечное произведение п=1 равномерно сходится на компактных

подмножествах С , афункции 6ХР^^ и Е(2) также принадлежат классу ^ ), где

ЛТ i \ 1 _ Z /Z 'Pr 1

NP. (z> zn ) = 7—^ • exP £ -

1 z /zn j=1 J

f Ґ \ z j f \ z J ^ > Pn ln_A(c\z.)

z z ln2

V V n V n J /

c > 0

G ( г ) = — [ Ь (*, г ) *) + 1И ( г )

л1 „

И (2 )е Н (С)

имеет вещественные теилороеские

коэффициенты, Ь ( *, 2 ) =

г

!//(*) = Нт 11п|/ (* + ¡У)|А*

1

* < 1,

*

Рп +1

п -1 < И < п.

(6)

Докажем импликацию

Доказательство теоремы 1.

1)^ 2). Для любого 0 ПОЛОЖИМ /е(/^2 ^, 2 е С4

Очевидно, что функция

- аналитическая на множестве

ге 1 г е п

1 7 п - нули функции

в полукольце

{2:1т 2 >-е}

*■ } . Обозначим через

Крг = ^ е С+ : 0 <р< 2 < г|

. Применим к

формулу Карлемана для верхней полуплоскости (см. [4], с. 291):

X

Р<Г <г

"1 _ !_л ~ 2 г г

\ Гк 'у

1 П

эт§к — [ 1п/(гет ) в1пвАв

пг{ 1 4 71

■—г П - ^

2^ ■* I * г

А (Ъ Я) = -1т^1-}1п /в (р*) ■

где 0

1п |/е (*)| ■ I/е (-*)| А* + А (/е , г\ с1в = О (1)

«\| ре,в е-вЛ

часть формулы, учитывая принадлежность функции •’ классу

Я Р /

х;(с+):

при . Оценим правую

¡Т11п1 л(г е*)| ®1п»А»+¿1 (- г? ) 1п1 /-(* )М /*(-* )1 *+лл/»,г)-

<

2ЛЯ(В(г + е)) л г( 1 1 ^ / / ч\ / \

------^-----+ 7Д 7 - Г2 )*( В ( * + *)) А + ЛЛ Л- Г )•

р

Откуда

I

р<Т <г

Переходя к пределу при & ^ 0 ^, получаем:

1 _ Т_

V гк г2 J

ЗтЯ, ^ 2 ЛЯ( В(Г + £)) + Л1 Г _ _! В ( * + е)) А* + ЛР( /e, г ).

пг П^ \ * Г )

Р 4 у

I

Р<Гк <г

2лл(Вг) л;Г1 1

^г тт ■Ч *2 г2

К

^ = г,е1вк, к = 1, п

где

- нули функции

] I - Г2|^(Вх)А

* = ОI

в полукольце Г А( Вг

|я( В*) А* + Лр( /, г) К.

Р,Г

ТС " V * г

Но с учетом леммы р

I

Р<Гк <г

V г

Бт 9к < с

у , поэтому Я( Вг)

Я=7 КоЯ

Положим теперь 2 . Подбирая нули только из р, , получим требуемое неравенство:

V sín0n < c Á(c2R)

р£ь rn 1 R .

Установим обратную импликацию , т.е. 2) ^ ^. Рассмотрим функцию

E (z ,z« )=П np„ (zz«)

n=1

N (z z ) \z 1, z = r e'e", n є 14

Pn\ ’ n' ПППеїїКПЯРТГ.Я raRRHP.TRnM (5)* n>n=!’ n n ’ -

(7)

E(z,zn),

где Р”у определяется равенством (5), * п>п=\ п п - нули функции ^ ’ п> с

условием (3). Докажем сходимость произведения (7) в верхней полуплоскости и его принадлежность

Х?(С+) п

классу Л ' ’. Рассмотрим

1п Iе (z, 2п ^=Е1п1 нр„ (z, 2п)|-

п=1

Разобьем ряд (8) на две части:

Z (ии )|= Zln

(8)

N

n=1

21 z\<1 zn

+ 2 ln

2І z\>1 zn|

N

Итак, пусть

|z/zj < 1/2 ln

I ln

2 z < zn

N„

Np\ = ln|1 “ z / zn\-ln|1 - z / zn\ + Re Z 1 (( z / zn )1 -( z / zn ¥ )

J=11

= -Re Z 1 (( z / zn У -( z / zn У ) + Re Z ""1 (( z / zn У -( z / zn У )•

1=11 1=11

+да 1 / ч _ +да

-Re Z Z -((z 1 znУ-(z/znУ) Z Z -1 (r 1 rnУsi1 sinjQ<

2 z|-I zn Ь' Pn +1 1 2| z|zn \=J Pn +1 1

\Pn +1

2 z < z„ V^/

2c, c > 0.

образом, ряд (8), а следовательно, и бесконечное произведение (7) при компактных подмножествах ^ .

Ь/2п| > 1/2

Пустьтеперь I п| .

В монографии Н.В. Говорова [5, с. 35] доказано, что

X 1п\М,(2, 2, )| < 2-1|гГ • I ^

z/z I <1/2

Таким сходятся на любых

z„\<2 z

z„ < 2 z

Сходимость ряда (9) очевидна ввиду ограниченности суммы, то есть установим, что

Z ln \Nfn ^, zn)\ ^ С1Я(С2 И)

Р<\zn\ <2|И

Введём функцию ?/■ \ V sin 0.

S (r) = Z

z І < 2 z

(9)

• Перейдем к оценке последней

(10)

0<p<r„ <r rn

Нетрудно видеть, что

S (r )-

причём её скачки совпадают с точками

монотонно растущая кусочно-постоянная функция на r, n = 1,2,...

= Pn

(11)

(р, +«)

Неравенство (9) с учетом обозначения (11) при ^ “n можно переписать в виде:

X 1пК.(2, г')

|<2| г\

< 2

Рп +1

)

т^п-1

гіе/

УРп +1

•л.

І1

Далее, проинтегрировав в 1 по частям, с учетом (3) получим оценку:

Л(С2 |2|)

2Рп \г\

Подставив полученную оценку в (9), получим требуемое неравенство (10).

Е(2,)е X:(С*)

(13)

Объединяя оба случая, получаем доказана полностью.

т.е. требуемую импликацию. Теорема 1

XГ(с*)

В теореме 2 построено факторизационное представление функций из класса Аналогичная задача решалась в работах Хейфица А.И. [11], Хачатаряна И.О. [12]. Однако в них не был получен результат окончательного характера (не доказана принадлежность каждого фактора, входящего в представление, рассматриваемому классу).

Доказательство теоремы 2.

Аналогичным образом, как и при доказательстве теоремы 1, можно показать, что

Е ( ^ ^п )=П МР„ ( ^ ^ )

п=1

3 (г)

X г( с+)

сходится и принадлежит классу " 4 ’ . Обозначим через % 2' отношение

X г( с+)

Е() %(2НIС I %(2)

V ’ п> . Очевидно, ' '. Докажем принадлежность функции * V ' классу

Для функции % (2^ в точке 2 _ 1Я /2 запишем формулу Неванлинны (см., например, [5]):

1п

ё

ґіЯ

(

і "

—I 2^

-11п

\ч|<Я 3/4 х Я2

Я(іЯ/2-) Я2 -2к1Я/2

Я2 -гкіЯ/2 Я(іЯ/2-гк)

+

3/4 х Я2

\Яе'в - іЯ/2

Яе-ів - іЯ /2

1п I ё ( Я егЄ)| ёв

(14)

1 я

+і \ тт ^

я - Я

Я/2

\і - іЯ /2|

Я2 х Я/2 Я2 - іЯ/2х і

1п |ё (і )|ё.

Очевидно, что первое слагаемое в правой части выражения отрицательно. Поэтому (14) равносильно неравенству 1Я

1п

ё

Теперь покажем, что ядра, стоящие под знаком интегралов 1 и 2 неотрицательны.

(15)

3/4х Я2

3/4х Я2

Яе,в - іЯ /2 0 <в <ж

Ке ’в - іЯ /2

при

Я/2

Я2 х Я/2

3Я

2 (9/16 + еоэ2в) ] Я2 - і2)

> 0

|і - іЯ/2|2 Я2 - іЯ/2х і2 8 (і2 + Я2/4)(Я2 + і2/4)

> 0

при

- Я < і < Я

п „ V* > 0 1п * < 1п+ * 1п+ * = тах (1п *,0}

С учетом последних замечании и так как , где 1 }, получим

ln

следующую оценку для 1п

iR glT

g

iR

flnlg(Reie)U-----sing 2 ,de + — 2 2 .

J0 1 ' 7,( 9/16 + cos2 в) 8^Jr (t2 + R 2/4)(R2 +12/4)

4ж

3R

(R2-t2)

ln + |g (t )| dt.

Оценим теперь каждое из слагаемых в правой части неравенства отдельно. Оценим ^1. Так как

1п| % (Яею )| = 1п I / (Яе1в )| - 1п |Е| < 1п+1 / (Яе1в )| - 1п+ \Е\ + 1п“ |е|

Л

и cos в> 0, то

J1 < — [ln Ig(Rei0)|smGdG < 3n * 1 v 71

<

J_

Ъж

V о

Jln+1 f (Re,e )|sinGdG - Jln+ EsinGdG + Jln= |E|smGdG — (J( + ( + JJ

Поскольку

f ( z )e X“( c+)

TO

J1 = jln+ f (Re-) slnOdO < c1l(c2R)

Оценим сверху

A n

J2 = J- J ln - E ( Reie )| slnddd

Для этого применим к функции Е(22п) формулу Карлемана для верхней полуплоскости (см.,

Iе (2, 2п )|=1

например, [4]), учитывая, что

1 п

на

Л

V rk R J

1

sin#, ---fln\E(R^6) slnddd

k jiRi 1 V 7|

+const

Так как все слагаемые в левой части равенства положительны, и

1п \Е\ = 1п+ \Е\ - 1п “ \Е\

где

ln+ х = max {ln х,0} ln- x _ 1/ln^

x

, получаем оценку:

ж Я 0

в силу того, что Поэтому

— I"ln E(Re!6)|slnddd fln+ E(Re!6)|slnddd + const < ^ 2 ^

:Ri I V 'I JiRi I V 'I R

E ( Z zn )e XI

J2 = — j In“ E ( Re'e)\slnddd < cxk( c2 R )

3^ 0

Ъ ^ V* > 0 - 1п+ * < 1п_ * т3 < т2

Оценим теперь сверху интеграл 1 . 1ак как , то ^ , то есть

J3 = jln+ E(Rei6)|slnddd < J2 < c,A(c2R)

J1 = —( J + J + J)

Суммируя 3n

,получим

k

4 і

J1 = -—Iln|g(ReiS)|sinddd < CjA(c2R)

J2 =

3R

8^ _■[ (t2 + R 2/4)( R2 +12/4) Рассмотрим интеграл R v v ’

Напомним, что g ( z ) = f ( z ) / E ( z,Z" ).

Vt e M |g (t)| = | f (t)|

(R2 -12)

( R2 -12)

ln + \g (t )| dt

Следовательно,

J 2 =

. Поэтому с учетом леммы R, ! !

8Г I (t 2 + R 2/4)( R 2 +12/4)ln ‘If (t »1d * 2c •R i 17 - RJln ‘If (t * f (Ч >1dt

Я( c2t) dt = o (Я( c2 R)),

1 _ _1Л t2 R2

С с

где ’ 2 - произвольные положительные постоянные. Значит,

^ 2 = О (¿( С2 К ))

С учетом оценок (16) и (17) неравенство (15) примет вид:

ln

(iR }

g

ч 2 У

< с,Л( c2 R)

g (z)

g (z )e x:(с+)

Учитывая аналитичность функции ' ', из (18) заключаем, что

exp (±G (z))

Докажем теперь принадлежность функции v 4 рассматриваемому классу

g(z) „ „

4 ' в криволинеинои полуполосе

Q.e + iy :0 < |у-0|<я7^'(х)}

¥{х) = InЯ(х), в е[0,^/2 -г], £ > 0. Очевидно> что g(z) е н(Пв) и ln |g (z)| < с1Я(с2 |z|), Vz eQ0

По теореме H.K. Никольского (см. [13], с. 40, теорема 1(1); см. также [14, 15]) ln |g (z )|>-c^( c2 |z|), Vz eQ0

Объединяя неравенства (19), (20), получаем:

ln |g(z)| < с1Я(c2 |z|), Vz eQ0

X

Рассмотрим функцию

где

что эквивалентно

|ReG(z)| < с7Я(c2 |z|), Vz eQ6

Неравенство (21) с помощью поворота распространить на всю верхнюю полуплоскость.

м=ы

w = em z

вокруг начала координат на угол

Я

, получим +

Учитывая также, что

|Re G (z )| < с1Я( с2 |z|), Vz е С

Неравенство (22) эквивалентно

exp (±G (z ))е 1;(с+)

Теорема 2 доказана полностью.

Работа выполнена под научнымруководством д. ф.-м. н., профессора Ф.А. Шамояна.

(16)

(17)

(18)

Т( с+).

(19)

(20)

(21)

0 можно

majorant ^ ^x ^ and factorization representation of this class are obtained in this article.

The key words. Analytic functions, an upper half plane, zero-sets, factorization.

Список литературы

1. Rubel L.A., Taylor B.A. Fourier series method for meromorphic and entire functions // Bull. Soc. Math. Frence. 1968. V.96. P. 53 - 96.

2. Хабибуллин Б.Н. Нулевые подмножества, представление мероморфных функций и характеристика Р. Неванлинны // Мат. сб. 2(2006). Т. 197. С. 117-136.

3. Хабибуллин Б.Н. Последовательности нулей голоморфных функций, представление мероморфных функций и гармонические миноранты // Мат. сб. 2(2007). Т. 198. С.121-160.

4. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956. 632с.

5. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. М.: Наука, ГИТТЛ, 1986. 238 с.

6. Джрбашян М.М. Теория факторизации и граничных свойств мероморфных функций в круге // УМН, 28:4(172). 1973. С. 3-14.

7. Шамоян Ф.А. О нулях аналитических в круге функций с заданной мажорантой вблизи его границы // Мат. заметки. - Т.85 - вып. 2(2009). С. 300-312.

8. Быков С.В., Шамоян Ф.А. О нулях целых функций с мажорантой бесконечного порядка // Алгебра и анализ. Санкт-Петербургское отделение Института математики РАН им. В.А. Стеклова. 6(2009). Т. 21 С. 66-79.

9. Шамоян Ф.А. Вещественные корни для некоторых классов аналитических функций с мажорантой бесконечного порядка // В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. 38. (Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 376), СПб, 2010. с. 176-180.

Ю.Родикова Е.Г. О характеризации вещественных корней в правой полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы XII Международной научной конференции. Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2011. Вып. 12. с. 250-252.

11.Хейфиц А.И. Представление аналитических в открытой полуплоскости функций бесконечного порядка // Изв. АН АрмССР, 6(6), 1971. с. 472-476.

12.Хачатарян И.О. Представление мероморфных функций бесконечного порядка в полуплоскости // Изв. АНАрмССР, 18(2), 1965. с. 15-24.

13.Никольский Н.К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа. Труды Матем. института им. В.А. Стеклова.Л.: Наука, 1974, т. 120. 272 с.

14.Красичков-Терновский И.Ф. Оценка субгармонической разности субгармонических функций. I, Матем. сб., 102(144), №2, 1977, 216-247.

15.Красичков-Терновский И.Ф. Оценки для субгармонической разности субгармонических функций. II, Матем. сб., 103(145), №1(5), 1977, 69-111.

Об авторе

Родикова Е.Г.- аспирант Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского , [email protected].