Научная статья на тему 'Факторизационное представление и описание корневых множеств аналитических в верхней полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка'

Факторизационное представление и описание корневых множеств аналитических в верхней полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
64
14
Поделиться
Ключевые слова
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ / ВЕРХНЯЯ ПОЛУПЛОСКОСТЬ / КОРНЕВЫЕ МНОЖЕСТВА / НУЛИ / ФАКТОРИЗАЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ / ANALYTIC FUNCTIONS / AN UPPER HALF PLANE / ZERO-SETS / FACTORIZATION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Родикова Е. Г.

В статье получено полное описание корневых множеств аналитических в верхней полуплоскости функций из класса и построено факторизационное представление указанного класса функций, когда мажоранта имеет бесконечный порядок.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Родикова Е. Г.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Full description of zero sets of analytic in the upper half plane functions from class with infinite order of majorantand factorization representation of this class are obtained in this article.

Текст научной работы на тему «Факторизационное представление и описание корневых множеств аналитических в верхней полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка»

УДК - 517.53/.55

ФАКТОРИЗАЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ОПИСАНИЕ КОРНЕВЫХ МНОЖЕСТВ АНАЛИТИЧЕСКИХ В ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ФУНКЦИЙ С МАЖОРАНТОЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПОРЯДКА

Е.Г. Родикова

В статье получено полное описание корневых множеств аналитических в верхней полуплоскости функций из класса (с ) и построено факторизационное представление указанного класса функций, когда мажоранта *) имеет бесконечный порядок.

Ключевые слова. Аналитические функции, верхняя полуплоскость, корневые множества, нули, факторизационное представление.

Пусть С - верхняя полуплоскость комплексной ПЛОСКОСТИ С , т_е. с = {2 6 с 1т2 > °}, ( ) -

множество всех аналитических в С функций. Пусть далее *) - монотонно возрастающая положительная функция на ®+ _ I-0,^ 6 С ®+). Введем в рассмотрение класс функций

X"(с+) = | / Е Н (С *) :1п| / (;)| < лг -х( В/1;|), 2 е с*}

?

лг, Вг /

где / / - некоторые положительные константы, зависящие только от .

Определение. Функцию ' ', для которой

х -Я'( х) lim----- = +<»

х^+» Я(х)

х)

(1)

назовем весовой функцией.

Л ” ^с+>1

В статье получено полное описание корневых множеств функций из класса я ' ' и построено

факторизационное представление указанного класса функций при условии, что *) - весовая функция.

Исследованию корневых множеств и построению факторизационных представлений различных классов аналитических функций посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных ученых (см., например, [1]-[12]). В классах целых функций вышеуказанная задача решалась в работе [1] американских математиков Л. Рубеля и Б. Тейлора. Корневые множества довольно общих классов голоморфных функций изучались в работах Б.Н. Хабибуллина (см., например, [2], [3]). Но методы, используемые в [2], [3], в отличие от методов, применяемых в данной статье, не позволяют в явном виде построить голоморфную функцию с заданными нулями, и тем более получить факторизационные представления исследуемых классов. В работе [9] Ф.А. Шамояна получено полное описание вещественных корней целых и аналитических в круге функций, допускающих в рассматриваемой области оценку

1п|/(2)|< СГ -1(|2\)

?

где *) - весовая функция, С/ - некоторая положительная константа, зависящая только от /. В работе автора [10] указанный результат распространен на класс аналитических в полуплоскости функций.

Формулировка и доказательство основных утверждений

Доказательство основного результата основано на следующем вспомогательном утверждении:

Лемма. Пусть ^^ - весоваяфункция, С ®+),

С А( Вг

I = о

. Тогда

-да

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

r

/

Доказательство.

I =

1____1_

2 ~2

x r

ІЛ

Ja( Bt) dt

/ л Л. / . Л.

2j —Ja( Bt) dtdx = 2j —Ja( Bt) dtdx

x

p p

x

p p

Найдем предел отношения

r 1 x 2j —3 J A( Bt) dtdx

lim p p. . г^ш A( Br) h

Воспользуемся правилом Лопиталя:

r

Ja( Bt) dt

lim

r

= lim

A( Br )

= lim

Br2 A' ( Br ) - r A ( Br ) r^+o> B 2 r2 A"( Br ) + BrA'( Br )-A( Br )

1

B2r 2Aff( Br) / A( Br) + BrA'( Br) / A( Br) -1'

t2A4t) tÄ"(t) tÄ'(t)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

lim---V1 = lim—-V1 •= ,v/ + <ю

Ho t^+“ A( t) r A( t) A( t)

Действительно, снова применяя правило Лопиталя и учитывая условие (1), получаем:

tX( tÄ'( t) + tÄ"( t) tÄ"( t)

—-^-==кт—v 7 . . v 7 1 +=hm—+да

^^t) t^+“ ^/(0 t^+“ t)

lim

t

T.e.

lim- , 4 A(i)

= + <ю

Поэтому вычисляемый предел (2) равен нулю. Лемма доказана.

Основными результатами данной работы являются теоремы 1, 2.

Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:

К }П, = ГпеЮ" , П Є ^ -

V п}П=1 , точек из верхней полуплоскости является

х г( с+).

1) последовательность

корневым множеством некоторой ненулевой функции из класса

2) 3^ > 0: У Я >1 СПраведливо

I

p<r„ < R

R

(3)

С {z }+Г

гдезначение 1 зависит только отпоследовательности к п}п~1

f (z )е x ;(С+)

Теорема 2. Каждую функцию 4 ' v ’

можно представить в виде

+W

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

f (z) = exp(G(z))хПNP„ (z>zn)

аналитическую в замкнутой полуплоскости

С

(4)

Е ( 2,) = П Ыр„ ( 2,)

причем бесконечное произведение п=1 равномерно сходится на компактных

подмножествах С , афункции 6ХР^^ и Е(2) также принадлежат классу ^ ), где

ЛТ i \ 1 _ Z /Z 'Pr 1

NP. (z> zn ) = 7—^ • exP £ -

1 z /zn j=1 J

f Ґ \ z j f \ z J ^ > Pn ln_A(c\z.)

z z ln2

V V n V n J /

c > 0

G ( г ) = — [ Ь (*, г ) *) + 1И ( г )

л1 „

И (2 )е Н (С)

имеет вещественные теилороеские

коэффициенты, Ь ( *, 2 ) =

г

!//(*) = Нт 11п|/ (* + ¡У)|А*

1

* < 1,

*

Рп +1

п -1 < И < п.

(6)

Докажем импликацию

Доказательство теоремы 1.

1)^ 2). Для любого 0 ПОЛОЖИМ /е(/^2 ^, 2 е С4

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Очевидно, что функция

- аналитическая на множестве

ге 1 г е п

1 7 п - нули функции

в полукольце

{2:1т 2 >-е}

*■ } . Обозначим через

Крг = ^ е С+ : 0 <р< 2 < г|

. Применим к

формулу Карлемана для верхней полуплоскости (см. [4], с. 291):

X

Р<Г <г

"1 _ !_л ~ 2 г г

\ Гк 'у

1 П

эт§к — [ 1п/(гет ) в1пвАв

пг{ 1 4 71

■—г П - ^

2^ ■* I * г

А (Ъ Я) = -1т^1-}1п /в (р*) ■

где 0

1п |/е (*)| ■ I/е (-*)| А* + А (/е , г\ с1в = О (1)

«\| ре,в е-вЛ

часть формулы, учитывая принадлежность функции •’ классу

Я Р /

х;(с+):

при . Оценим правую

¡Т11п1 л(г е*)| ®1п»А»+¿1 (- г? ) 1п1 /-(* )М /*(-* )1 *+лл/»,г)-

<

2ЛЯ(В(г + е)) л г( 1 1 ^ / / ч\ / \

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

------^-----+ 7Д 7 - Г2 )*( В ( * + *)) А + ЛЛ Л- Г )•

р

Откуда

I

р<Т <г

Переходя к пределу при & ^ 0 ^, получаем:

1 _ Т_

V гк г2 J

ЗтЯ, ^ 2 ЛЯ( В(Г + £)) + Л1 Г _ _! В ( * + е)) А* + ЛР( /e, г ).

пг П^ \ * Г )

Р 4 у

I

Р<Гк <г

2лл(Вг) л;Г1 1

^г тт ■Ч *2 г2

К

^ = г,е1вк, к = 1, п

где

- нули функции

] I - Г2|^(Вх)А

* = ОI

в полукольце Г А( Вг

|я( В*) А* + Лр( /, г) К.

Р,Г

ТС " V * г

Но с учетом леммы р

I

Р<Гк <г

V г

Бт 9к < с

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

у , поэтому Я( Вг)

Я=7 КоЯ

Положим теперь 2 . Подбирая нули только из р, , получим требуемое неравенство:

V sín0n < c Á(c2R)

р£ь rn 1 R .

Установим обратную импликацию , т.е. 2) ^ ^. Рассмотрим функцию

E (z ,z« )=П np„ (zz«)

n=1

N (z z ) \z 1, z = r e'e", n є 14

Pn\ ’ n' ПППеїїКПЯРТГ.Я raRRHP.TRnM (5)* n>n=!’ n n ’ -

(7)

E(z,zn),

где Р”у определяется равенством (5), * п>п=\ п п - нули функции ^ ’ п> с

условием (3). Докажем сходимость произведения (7) в верхней полуплоскости и его принадлежность

Х?(С+) п

классу Л ' ’. Рассмотрим

1п Iе (z, 2п ^=Е1п1 нр„ (z, 2п)|-

п=1

Разобьем ряд (8) на две части:

Z (ии )|= Zln

(8)

N

n=1

21 z\<1 zn

+ 2 ln

2І z\>1 zn|

N

Итак, пусть

|z/zj < 1/2 ln

I ln

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2 z < zn

N„

Np\ = ln|1 “ z / zn\-ln|1 - z / zn\ + Re Z 1 (( z / zn )1 -( z / zn ¥ )

J=11

= -Re Z 1 (( z / zn У -( z / zn У ) + Re Z ""1 (( z / zn У -( z / zn У )•

1=11 1=11

+да 1 / ч _ +да

-Re Z Z -((z 1 znУ-(z/znУ) Z Z -1 (r 1 rnУsi1 sinjQ<

2 z|-I zn Ь' Pn +1 1 2| z|zn \=J Pn +1 1

\Pn +1

2 z < z„ V^/

2c, c > 0.

образом, ряд (8), а следовательно, и бесконечное произведение (7) при компактных подмножествах ^ .

Ь/2п| > 1/2

Пустьтеперь I п| .

В монографии Н.В. Говорова [5, с. 35] доказано, что

X 1п\М,(2, 2, )| < 2-1|гГ • I ^

z/z I <1/2

Таким сходятся на любых

z„\<2 z

z„ < 2 z

Сходимость ряда (9) очевидна ввиду ограниченности суммы, то есть установим, что

Z ln \Nfn ^, zn)\ ^ С1Я(С2 И)

Р<\zn\ <2|И

Введём функцию ?/■ \ V sin 0.

S (r) = Z

z І < 2 z

(9)

• Перейдем к оценке последней

(10)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0<p<r„ <r rn

Нетрудно видеть, что

S (r )-

причём её скачки совпадают с точками

монотонно растущая кусочно-постоянная функция на r, n = 1,2,...

= Pn

(11)

(р, +«)

Неравенство (9) с учетом обозначения (11) при ^ “n можно переписать в виде:

X 1пК.(2, г')

|<2| г\

< 2

Рп +1

)

т^п-1

гіе/

УРп +1

•л.

І1

Далее, проинтегрировав в 1 по частям, с учетом (3) получим оценку:

Л(С2 |2|)

2Рп \г\

Подставив полученную оценку в (9), получим требуемое неравенство (10).

Е(2,)е X:(С*)

(13)

Объединяя оба случая, получаем доказана полностью.

т.е. требуемую импликацию. Теорема 1

XГ(с*)

В теореме 2 построено факторизационное представление функций из класса Аналогичная задача решалась в работах Хейфица А.И. [11], Хачатаряна И.О. [12]. Однако в них не был получен результат окончательного характера (не доказана принадлежность каждого фактора, входящего в представление, рассматриваемому классу).

Доказательство теоремы 2.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Аналогичным образом, как и при доказательстве теоремы 1, можно показать, что

Е ( ^ ^п )=П МР„ ( ^ ^ )

п=1

3 (г)

X г( с+)

сходится и принадлежит классу " 4 ’ . Обозначим через % 2' отношение

X г( с+)

Е() %(2НIС I %(2)

V ’ п> . Очевидно, ' '. Докажем принадлежность функции * V ' классу

Для функции % (2^ в точке 2 _ 1Я /2 запишем формулу Неванлинны (см., например, [5]):

1п

ё

ґіЯ

(

і "

—I 2^

-11п

\ч|<Я 3/4 х Я2

Я(іЯ/2-) Я2 -2к1Я/2

Я2 -гкіЯ/2 Я(іЯ/2-гк)

+

3/4 х Я2

\Яе'в - іЯ/2

Яе-ів - іЯ /2

1п I ё ( Я егЄ)| ёв

(14)

1 я

+і \ тт ^

я - Я

Я/2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

\і - іЯ /2|

Я2 х Я/2 Я2 - іЯ/2х і

1п |ё (і )|ё.

Очевидно, что первое слагаемое в правой части выражения отрицательно. Поэтому (14) равносильно неравенству 1Я

1п

ё

Теперь покажем, что ядра, стоящие под знаком интегралов 1 и 2 неотрицательны.

(15)

3/4х Я2

3/4х Я2

Яе,в - іЯ /2 0 <в <ж

Ке ’в - іЯ /2

при

Я/2

Я2 х Я/2

2 (9/16 + еоэ2в) ] Я2 - і2)

> 0

|і - іЯ/2|2 Я2 - іЯ/2х і2 8 (і2 + Я2/4)(Я2 + і2/4)

> 0

при

- Я < і < Я

п „ V* > 0 1п * < 1п+ * 1п+ * = тах (1п *,0}

С учетом последних замечании и так как , где 1 }, получим

ln

следующую оценку для 1п

iR glT

g

iR

flnlg(Reie)U-----sing 2 ,de + — 2 2 .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

J0 1 ' 7,( 9/16 + cos2 в) 8^Jr (t2 + R 2/4)(R2 +12/4)

3R

(R2-t2)

ln + |g (t )| dt.

Оценим теперь каждое из слагаемых в правой части неравенства отдельно. Оценим ^1. Так как

1п| % (Яею )| = 1п I / (Яе1в )| - 1п |Е| < 1п+1 / (Яе1в )| - 1п+ \Е\ + 1п“ |е|

Л

и cos в> 0, то

J1 < — [ln Ig(Rei0)|smGdG < 3n * 1 v 71

<

J_

Ъж

V о

Jln+1 f (Re,e )|sinGdG - Jln+ EsinGdG + Jln= |E|smGdG — (J( + ( + JJ

Поскольку

f ( z )e X“( c+)

TO

J1 = jln+ f (Re-) slnOdO < c1l(c2R)

Оценим сверху

A n

J2 = J- J ln - E ( Reie )| slnddd

Для этого применим к функции Е(22п) формулу Карлемана для верхней полуплоскости (см.,

Iе (2, 2п )|=1

например, [4]), учитывая, что

1 п

на

Л

V rk R J

1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

sin#, ---fln\E(R^6) slnddd

k jiRi 1 V 7|

+const

Так как все слагаемые в левой части равенства положительны, и

1п \Е\ = 1п+ \Е\ - 1п “ \Е\

где

ln+ х = max {ln х,0} ln- x _ 1/ln^

x

, получаем оценку:

ж Я 0

в силу того, что Поэтому

— I"ln E(Re!6)|slnddd fln+ E(Re!6)|slnddd + const < ^ 2 ^

:Ri I V 'I JiRi I V 'I R

E ( Z zn )e XI

J2 = — j In“ E ( Re'e)\slnddd < cxk( c2 R )

3^ 0

Ъ ^ V* > 0 - 1п+ * < 1п_ * т3 < т2

Оценим теперь сверху интеграл 1 . 1ак как , то ^ , то есть

J3 = jln+ E(Rei6)|slnddd < J2 < c,A(c2R)

J1 = —( J + J + J)

Суммируя 3n

,получим

k

4 і

J1 = -—Iln|g(ReiS)|sinddd < CjA(c2R)

J2 =

3R

8^ _■[ (t2 + R 2/4)( R2 +12/4) Рассмотрим интеграл R v v ’

Напомним, что g ( z ) = f ( z ) / E ( z,Z" ).

Vt e M |g (t)| = | f (t)|

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(R2 -12)

( R2 -12)

ln + \g (t )| dt

Следовательно,

J 2 =

. Поэтому с учетом леммы R, ! !

8Г I (t 2 + R 2/4)( R 2 +12/4)ln ‘If (t »1d * 2c •R i 17 - RJln ‘If (t * f (Ч >1dt

Я( c2t) dt = o (Я( c2 R)),

1 _ _1Л t2 R2

С с

где ’ 2 - произвольные положительные постоянные. Значит,

^ 2 = О (¿( С2 К ))

С учетом оценок (16) и (17) неравенство (15) примет вид:

ln

(iR }

g

ч 2 У

< с,Л( c2 R)

g (z)

g (z )e x:(с+)

Учитывая аналитичность функции ' ', из (18) заключаем, что

exp (±G (z))

Докажем теперь принадлежность функции v 4 рассматриваемому классу

g(z) „ „

4 ' в криволинеинои полуполосе

Q.e + iy :0 < |у-0|<я7^'(х)}

¥{х) = InЯ(х), в е[0,^/2 -г], £ > 0. Очевидно> что g(z) е н(Пв) и ln |g (z)| < с1Я(с2 |z|), Vz eQ0

По теореме H.K. Никольского (см. [13], с. 40, теорема 1(1); см. также [14, 15]) ln |g (z )|>-c^( c2 |z|), Vz eQ0

Объединяя неравенства (19), (20), получаем:

ln |g(z)| < с1Я(c2 |z|), Vz eQ0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

X

Рассмотрим функцию

где

что эквивалентно

|ReG(z)| < с7Я(c2 |z|), Vz eQ6

Неравенство (21) с помощью поворота распространить на всю верхнюю полуплоскость.

м=ы

w = em z

вокруг начала координат на угол

Я

, получим +

Учитывая также, что

|Re G (z )| < с1Я( с2 |z|), Vz е С

Неравенство (22) эквивалентно

exp (±G (z ))е 1;(с+)

Теорема 2 доказана полностью.

Работа выполнена под научнымруководством д. ф.-м. н., профессора Ф.А. Шамояна.

(16)

(17)

(18)

Т( с+).

(19)

(20)

(21)

0 можно

majorant ^ ^x ^ and factorization representation of this class are obtained in this article.

The key words. Analytic functions, an upper half plane, zero-sets, factorization.

Список литературы

1. Rubel L.A., Taylor B.A. Fourier series method for meromorphic and entire functions // Bull. Soc. Math. Frence. 1968. V.96. P. 53 - 96.

2. Хабибуллин Б.Н. Нулевые подмножества, представление мероморфных функций и характеристика Р. Неванлинны // Мат. сб. 2(2006). Т. 197. С. 117-136.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3. Хабибуллин Б.Н. Последовательности нулей голоморфных функций, представление мероморфных функций и гармонические миноранты // Мат. сб. 2(2007). Т. 198. С.121-160.

4. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956. 632с.

5. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. М.: Наука, ГИТТЛ, 1986. 238 с.

6. Джрбашян М.М. Теория факторизации и граничных свойств мероморфных функций в круге // УМН, 28:4(172). 1973. С. 3-14.

7. Шамоян Ф.А. О нулях аналитических в круге функций с заданной мажорантой вблизи его границы // Мат. заметки. - Т.85 - вып. 2(2009). С. 300-312.

8. Быков С.В., Шамоян Ф.А. О нулях целых функций с мажорантой бесконечного порядка // Алгебра и анализ. Санкт-Петербургское отделение Института математики РАН им. В.А. Стеклова. 6(2009). Т. 21 С. 66-79.

9. Шамоян Ф.А. Вещественные корни для некоторых классов аналитических функций с мажорантой бесконечного порядка // В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. 38. (Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 376), СПб, 2010. с. 176-180.

Ю.Родикова Е.Г. О характеризации вещественных корней в правой полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы XII Международной научной конференции. Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2011. Вып. 12. с. 250-252.

11.Хейфиц А.И. Представление аналитических в открытой полуплоскости функций бесконечного порядка // Изв. АН АрмССР, 6(6), 1971. с. 472-476.

12.Хачатарян И.О. Представление мероморфных функций бесконечного порядка в полуплоскости // Изв. АНАрмССР, 18(2), 1965. с. 15-24.

13.Никольский Н.К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа. Труды Матем. института им. В.А. Стеклова.Л.: Наука, 1974, т. 120. 272 с.

14.Красичков-Терновский И.Ф. Оценка субгармонической разности субгармонических функций. I, Матем. сб., 102(144), №2, 1977, 216-247.

15.Красичков-Терновский И.Ф. Оценки для субгармонической разности субгармонических функций. II, Матем. сб., 103(145), №1(5), 1977, 69-111.

Об авторе

Родикова Е.Г.- аспирант Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского , evheny@yandex.ru.