Характеризация некоторых классов субгармонических в круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ СТЕПЕННОЙ РОСТ ВБЛИЗИ ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ

О.В. Охлупина

В работе получено полное описание класса субгармонических функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной порядок роста при приближении к единичной окружности.

Ключевые слова: субгармоническая функция, характеристика Неванлинны, потенциал, гармоническая функция.

Предварительные сведения

Введем следующие обозначения. Пусть О = {: < 1} - единичный круг на

комплексной плоскости, Г - его граница. Пусть Ж (О ) - множество субгармонических в О функций.

Если функция и е 8Н (О), то символом Т(г,и ) обозначим характеристику Р. Неванлинны субгармонической функции и (см. [1]):

1 ж / \ Т (г, и )= — {и+ (ге'Ф ,

где 0 < г < 1, и+(г) = тах{0,и(г)}.

Для а > 0 рассмотрим класс *$>На (О) функций и , субгармонических в единичном

с

круге О , для которых справедлива следующая оценка Т(г, и )< -, 0 < Г < 1, С -

(1 - г)

некоторая положительная константа, зависящая только от и .

При а = 0 по классическому результату Р.Неванлинны класс SH0 (О) совпадает с классом функций и , допускающих в единичном круге О следующее представление:

и (z )= jj log

Z - z

1 - z z

1 p 1 - Ul'

dm(z

dy (q),

(i)

2р —Р |1 - е—д 1\

где у(д) - функция ограниченной вариации на [— Р;Р], мера /и(£) удовлетворяет условию {{(1 — |£| (£ )<+¥ .

О

При а > 0 метод, применяемый Р.Неванлинной не проходит, так как функции класса SHa (О) могут не иметь граничных значений на единичной окружности.

Основная цель статьи - получить аналог представления (1) в случае произвольных а > 0 . Для этого введем еще несколько обозначений.

Пусть ге О, £ ф 0, / >—1, тогда (см. [2]):

A (z, Z ) =

1 --

Z

exp

b (i-I«12J log

1-

z

p

i - \b+2 (1 - lz)

dm2 (t)

(2)

Символом В^ обозначим класс О.Бесова на единичной окружности Г, т.е.:

|Л2У

в

1,¥ 5

1 D y

y е L1 [- p;p]: J-dt <+¥

t

0 I е

где А]¥(е'в ) = ¥(е'{в+>) —2у(е10)+ у(е'(в—°), 0 е [- Г е [0;1]. Сформулируем основной результат статьи.

Теорема. Класс функций 8Иа (О) совпадает с классом функций и , допускающих следующее представление в О :

u

(z) = JJlogIÄß (z)dm(z)+ Re

D

1 p y (e'e) de 2pJ

-,(1 - e-e z)

(3)

где г е О, У (е10) - произвольная вещественнозначная функция из класса В^ Ь > а — 1, а >—1, т (С ) - неотрицательная борелевская мера в О , удовлетворяющая

¥

ß-a+1,

условию

: n(r)<

Q

(1 - r)

a+1

где n ( r ) = m (Dr).

Замечание. В случае, когда функция u имеет вид: u(z)= log f (z) , где z e D, f

- аналитическая функция в D, представление, аналогичное представлению (3), получено в работе [3].

Доказательство вспомогательных утверждений

В этом разделе предположим, что u (z) является субгармонической в D

функцией, которая гармонична в некоторой окрестности точки ноль, причем u ( 0) = 0. Следующая лемма установлена в работе [4].

Лемма 1. Пусть z ,Z e D, Z ^ 0, b >_1, A^ (z,Z) - вышеуказанный фактор в произведении М. М. Джрбашяна. Тогда справедлива оценка:

ln

Äß (z ,z )|< С

1 - z I2

.ß+2

1 - z z

(4)

Лемма 2. Пусть uk ( z ) > uk+1 ( z), z e D - монотонно убывающая последовательность субгармонических функций, uk ( z) ® u ( z) в D . Тогда "j e C0¥(D)выполняется равенство: lim ^ j(Z )Auk (Z )dm2 (Z )= J j(Z )dm(Z ),

D'

D'

где т - мера Рисса субгармонической функции и , О' С О, supp^ с О'.

Доказательство. Пусть О' = Ог ,0 < Г < 1. Используем представление Рисса:

д&, дп

u

u

ъ (z )= J ln |z - z| Duk (z )dm2 (z)+ J^ (z, z )uk (z )ds

Dr dDr зП

(z )=J ln iz - zd m (z)+ J 3g (z, z )u (z )ds.

D„

3D,

Поэтому "ф е с0¥ (Ог) имеем:

{(и (2) — ик (С ))ДФ(2)<т2 (2) =

D,

= j jlnZ -z|dm(Z)-jln|Z -z|Duk(Z)dm2(Z) Dj(z)dm2(z)

+

D, V D,

D,

+ j Jin(u(Z)-Uk(Z))<*

Dr \3Dr

Dj (z )dm2 (z) = I1 +12

дп

Докажем, что /2 ® 0 при к ® +¥.

/2| <{/! (ик (С ) — и (С )) Ф (2 )| т (г )

Ог дОг °п

Так как разность ик (С ) — и (С ) ^ 0 и монотонно стремится к нулю, то:

Л (Z )

dg

дп

(ик — и ) монотонно стремится к нулю. По теореме Леви (см. [5]):

/2 ® 0, к Таким же образом, {|ф ( 2 )|(uk ( 2) — и ( 2 )) <т2 ( 2 )® 0.

Dr

Следовательно, /2 ® 0 при к . Т.е.

J J ln |Z - z Dj (z )dm2 (z )

D, V D,

d m (Z)

kim¥ J DUk (Z ) J ln lZ - z j (z )dm2 (z ) dm2 (Z )

Dr

Dr

По следствию из формулы Грина:

{1п|С — 2Дф(2)<т2 (2) = Ф(С), "ф е С¥ (Ог).

Dr

(5)

Используя равенство (5), получим:

к®т { ф(с К (С )Рт2 (с )={ ф(с )<и (с ).

Ог Ог

Что и доказывает лемму.

Лемма 3. Пусть и е БН а (О), Ог ={2 : 2 < г}, 0 < г < 1, п(г) = и(Ог). Тогда имеет место оценка:

С1

п

(r )£

(1 - r)

a+1 '

(6)

Доказательство. Пусть сначала и е БНа (О) • С(2)(О). Ди - лапласиан

г Р

функции и, п (г) = {{ Ди (е1(р )<ф<, 0 < г < 1.

0 -p

Рассмотрим круг радиуса р : 0 < р < 1. Тогда имеет место следующее равенство (см. [6], с. 274):

p p

р21 u ( р е1<р ) Лу = | |1п —Ли ( ге1<р ) гЛгЛу. (7)

—л —л о г

л

Так как и(0) = 0, то, по теореме о среднем, | и (ге1(р)Лу > 0, а также, учитывая

—л

что и (г) £ и + (г), получим:

л р л л

111п —Ли ( ге1<р) гЛгЛу £ р21 и +( р е1<р) Лу £ | и +( р е1<р) Лу.

-p о

1 л С

Учитывая, что Т ( г, и ) =- ! и+ ( ге1 у £-, 0 £ г < 1

' V 7 2л л 1 Г У (1 — г)а

получим

следующую оценку:

p p

JJln —Du(re1j)rdrdj £ J u +(pe1j)dj

<

-p о

C

(1 - p)°

(8)

Рассмотрим левую часть последнего неравенства.

р л

р(у \_ Г1 ^ р г

J J ln —Du (re1j) rdrdj = J ln ^ J Du (re1j) dj =

-p о r 0 r -p

p (r p Л r p

= J ln ppd I J J Du (te1j) djtdt = ln pp J J Du (te1j) djtdt

0 r V 0 -p 0 r 0 -p

p 1 ( r p Л p 1 ( r p 4

+J -1 JJDu (te1j) djtdt dr = J -1 JJDu (te1j) djtdt

+

r

0 ' V 0 -p

0 0 V 0-p

r p

Учитывая, что /Л (Ог) = Ли (1е1 у )= п (г), а также оценку (8), получим:

0 -p

Г п (г )£ С

I-иг £-—. Оценим снизу интеграл в левой части последнего неравенства:

J г /1 \

C

(1 - p У

(1 - p) i n (r) i /и

>J—^-dr > J n(r)dr >

0 r p 1-p

n

p -

1 - p 1 - p Л (3p -1 v 1 - p

f~L ~ 1 \

= n

\ ^ J

f 1

\ ^ J

\ ^ J

3р — 1 , , С,

С помощью замены -= Г получим, что п (г )£_-~—т. Покажем, что из

(1 — Г)

последнего неравенства следует сходимость интеграла 1

I = |(1 — ?) Лп() при Ь > а — 1. Пусть Я - произвольное число из интервала (0;1) .

0

Я

Проинтегрируем интеграл I' = |(1 — ?) Лп(?) по частям. Тогда будем предполагать,

0

что Я - точка непрерывности функции.

2

/' = {(1 — I)3+2<п() = (1 — I)3+2пк)|* + (/ + 2){(1 — I)3+1П()< <

0 0

<(1 — * )3+2 п (*) + С (/){< С(1 — * С + С (0 )Г*С< = V ) \ ) (1 — ()а+1 (1 — *)а+1 ^{(1 — (^

= С (1 — * )—а+1 + С1.

*

Очевидно, что при * ® 1 — 0 /' = {(1 — ?) <п() остается ограниченным, поэтому

0

1

интеграл / = {(1 — ?) <п () сходится.

0

То есть для и е БНа (О) • С(2) (О) лемма доказана.

Для доказательства леммы в общем случае применим лемму 2. Рассмотрим последовательность бесконечно дифференцируемых субгармонических функций ик(2),

которые, убывая, сходятся к субгармонической функции и(2) внутри О при к ®+¥

(см. [7], с. 51). При этом Дик слабо сходятся к </Л, где /Л - представляющая мера в

разложении Рисса субгармонической функции и (см. [8]). Применим формулу (7) к данной последовательности:

П п р

р2 { ип ( ре1ф ) = { {1п —Дип ( ге1ф ) Мгс1ф.

r

-p -p 0

Применяя рассуждения, изложенные выше и формулу Иенсена (см., например, [1], §3.9),

С

получим: п (г )<

va+1 '

(1 - r)

1

Следовательно, и J(1 -1) dn (t) < +¥, b > a -1 . Что и требовалось доказать.

0

Лемма 4. Пусть и - произвольная субгармоническая функция в D , допускающая представление: и(z) = JJlog|Ap (z,Z ))m(( ) + h(z), где z e D, b > a -1, a>-1,

D

m (() - неотрицательная борелевская мера в D, удовлетворяющая условию

п(r)<-a+1, п(r) = m(Dr), Dr = {z: |z| < r}, 0 < r < 1, h(z) - гармоническая

(1 - r)

p C

функция, для которой справедлива оценка: I h( re'j )\dj <-—. Тогда

i1 v 71 (1 - r)

U e SHa(D).

Доказательство. Пусть Vp (z) = J ln Ap (z,Z )) m (( ).

D

Тогда и(z) = Vp (z) + h(z).

Так как U (z )< и + (z), а также, учитывая оценку из леммы 1, запишем:

Vb (z )< V+(z )< с J

f . ^b+2

1 - \z\

u

1 - C z

\ I I /

■ (z) £ |h (z ) + V+ (z) £ |h (z )| + с J

d m (Z )• Тогда:

\b+2

D

1 - Z

1 - C z|

d m (C)

Проинтегрируем обе части неравенства по р по отрезку [—л; л]:

2 N Ь+2

1—СI2

J u + ( re1j )dj £ J h ( re1j ) |dj + с J

v

1 - C z

d m (C)

у

dj. (9)

0

Первый интеграл в левой части по предположению допускает оценку:

" С

£-. Установим принадлежность потенциала V классу SHa (О),

С

\а '

I \к (ге'р) Лр

—Л ^ (1 — г )

1 л

а именно:- I ¥й (ге1 р )Лр £

2л —I "Г* (1 — Г у

Из неравенства (9) имеем:

1 » л (1—с |2 V

2л I Vь ( ге1 р )*р +2 и Л (С )

vb+2

-p d |1 - C re

1 j

\b+2

, } г(1—1С12) „ (с)

Положим I =11-ц-Ь+тУ Л (С ). Изменяя порядок интегрирования и учитывая

-p d |1 - C re

оценку:

dj

JH

-p 1 - C re

с (b)

b+2

£(1 - ICI r)

b+1

(10)

выводим:

(1 - IC I2)

1 £J , ILdm(C)

(11)

«(1 — Г |С|)

Приступим к оценке последнего интеграла. Для этого воспользуемся диадическим разбиением единичного круга, т.е. пусть к е Z+, Лк = <! г :1---т £ Ы < 1 —

\k+1

. Тогда

очевидно, что О = • Лк . Поэтому из оценки (11) получаем:

к=0

(—\с I2 У+2

I £ С (ь Л (С).

k=0 D k

(1 - r | C| )b+1

Пусть теперь г - произвольное число из (0; 1), 1 — — < г < 1 — ^И+Г

, т г (1—1С12)+2 < (С) т г (1—1С12+2 < (С) , , / -(С)+ Т Я-(С) = /1 + /2

тогда

k=0 А.

о - r Z)

k=п+1 А,

(1 - r I )'

Рассмотрим первое слагаемое. В этом случае подынтегральное выражение допускает следующую оценку:

+2 / /+2

(1 — 1С12)" —IС12Г < 1 1СI (1—г С] +1- (1—|с|

С учетом этого и оценки

Л (Д к )<т

C

1

1 a+1

C • 2

k (a+1)

получим:

V V

00

I1 <SJ(1 - IZ|)d m (Z )<£( i) m (А k )< C ¿1 1

k=0 Dk k=0 V 2 0 k=0 V 2

1

2 0

•2

k (a+1)

k=0 4^ /

= CV 2ka = C1 • 2(1) <

C1

к=0 (1 — г)

Перейдем аналогично к оценке второго слагаемого /2 . / 2\/+2

¥ (1 — |£| ) ¥ 2—к (/+2) 2к(а+1)

Ит—^Ь+^Л (С )< С Е '

(12)

k=п+1 А k

(1 - r I )

k=п+1

(1 - r)

b+1

vb-a+1

C

¥ 2-k((+2-a-1) ¥ 2-k((-a+1) (1 - r )b

= с V 2_=с V 2_=C-_-_=_

^ L-i (л \b+1 ^ L-i /, \b+1 ^ (Л \b+1 /■, Y

(1 - r ) k=п+1 (1 - r) (1 - r) (1 - r)

k=п+1

и

Следовательно, потенциал V/ е БНа (О). Что и доказывает лемму, то есть БНа (О ) .

Доказательство теоремы

Докажем теорему при условии, что функция и гармонична в некоторой малой окрестности точки ноль. При этом и ( 0) = 0.

1) Необходимость. Пусть и е БНа (О). Покажем сначала, что и допускает

п С

представление и ( 2 ) = V/ ( 2 ) + И ( 2 ), где { И ( геФ ) <-- и V/ е БНа (О).

—п1 (1 — г)

Рассмотрим разность и ( 2 ) — V/ ( 2 ) = И (2 ) и установим, что она является гармонической функцией.

Пусть Ог - круг радиуса г, 0 < г < 1. По теореме Рисса для Ог:

u (z ) = V (z) + Jln 1С - zdm(Z), где V (z) - гармоническая функция

Dr

J lnZ — z^m(Z)- субгармоническая функция.

в z < r,

D„

ln

Преобразуем выражение:

( z ,Z )| = ln \\Af ( z, Z )|

Z — z

Z — z

A (z,Z )|

ln M^ = ln

Z—z

IZ -

1—z

Z

exp

ln^Z^ + ln |Z \Z—zl

—1J

тг J

z ;

Л 1 in \ (1 — t ) ln 1—t

V 11 / Z

p D (l — tz)

- \1+2

dm2 (t)

ln

IZ — z" IZI

• exp

Re

1J

7Г J

Л 1 in ^ (1 — t ) ln 1—t

V 11 / Z

D

(L — * )

- \P+2

dm2 (t)

v ^

\\

J 0

ln ft+Re

1J

7Г J

Л 1 in ^ (1 — t ) ln 1—t

V 11 / Z

.1+2

p D (l — tz)

h(z) = u(z)—Jln|(z,Z)dm(Z) =

dm2 (t)

D„

u

(z)— J In|Z — z| + lnZL + Re<

Л 1 in ^ (1 — t ) ln 1—t

V 11 / Z

1J

p D (1—tz)

dm2 (t)

d m (Z)

=u (z)—Jln |Z — zd m (Z)—Jln -Z-d m (Z )—

Dr Dr \Z |

J Re

Dr

1J

7Г J

Л 1 in (1 — t ) ln 1—t

V 11 / Z

D

/ - ,1+2 ( — tz )

dm2 (t)

d m (Z )•

J In yL|dm (( ) < +¥ . Это следует из того, что

(0 )

> —¥ ^ +¥> ■

V (0 ) = —J ln| Ai (0, Z )d m (Z И ln jLd m (Z )•

D D \Z |

Re

1 J-

p D

(l - I'l2 )b In 1-1

V 11 / _

/ - 4b+2

(l - tz)

dm2 (t)

- гармоническая функция. Учитывая, что Г

произвольное из (0;1), получаем, что И(г) = и(г) — 11п А^ (г,С)(С) является

D„

гармонической функцией в О .

Покажем, что гармоническая функция И (г) удовлетворяет условию:

" С

J h (relj) dj

<

(1 - r )"

Рассмотрим разность И(г) = и (г) —11п Ар (г)^¡Л(С ).

D

Так как и(г) < и +(г), то, согласно предыдущим рассуждениям, получим:

' 2 N Ь+2

1—С|

h + (z) < u + (z) + V+ (z) < u + (z) + с J

D

1 - С z

d m (_ )•

Проинтегрируем обе части неравенства по р от — л до Л :

11 я л

J h+ (relj )dj < J u + (relj )dj + с J

J

D

i - _ 12 1 - _ z

я+2

d m (_)

dj •

/I-

Применим теорему о среднем значении: —¥< 2 лИ (0) < ^ И (ге'р )р .

—л

Далее воспользуемся тем, что И ( г ) = И+( г ) — И (г ):

л л л

2лИ(0)< |[И+(гв1р) — И~(гегр)]йр = |И+(гв1р)р — |И~(гегр)р,

—л —л —л

л л

2лИ(0)+ |И~(гегр)р< |И+(гвгр)р;.

—л —л

Учитывая, что \И ( г )|< И+( г ) + И (г), получим:

л л

| |и (гегр )| р < | И+(гегр ) р + С1.

В результате, J h ( reip )^j < J u + ( reip )d j + с J

i - l_l2 1 - _ z

+2

d m (_)

dj + C1 •

По условию теоремы, поскольку и Е 8На (О), то первый интеграл оценивается:

) и+ (те1<р <-—, а второй интеграл оценивается таким же образом по леммам 3

-я (1 - Г)

я с

и

4. Следовательно, J |h (re1<p )| dj <

(1 — r)

a '

r)

Остается показать, что h (z ) = Re

2p J Л — q \P+1

где

1 1 (1 -л)'

у Е Н • В1 , Н - класс Харди. Сначала заметим справедливость следующего

1, p

равенства:

У (z) 2яi —я eq — z 2я —я (1 — ze~q) ; ° 1 — e"qz (1 — e-*Л1+1

.(1 - хе"Л )' 1 - ех" (1 - е-« х) г е О.

1

Пусть у (х) = )(1 - г)Р 1к(х)&, г Е О. Покажем, что

о

у (егв ) Е В£+1 ( Ь > а -1) . Достаточно получить оценку:

я

| \у{к)(регвЪв <--С__ (о < г < 1), где к е N: к > р - а +1.

-я1 (1 - г )

Действительно: 1

у(к} (х) = )(1 - г)Р-11кН(к] (х)сИ. Поэтому:

о

) \у(к} (регв < }(1 - г)р ) \к{к> (грегв Жг.

-я 0 -я

я С

Так как ) \к ( ре< ) < <-- (0 < р < 1) , то

-я (1 - р )

^ 1 (1 - г)р

) у(к} (регв Мв < С М-'—тЛг . Следовательно,

1 •'(1 - р г)

—я 0

я

С

) у(к^(ре'в\шв <-к-р + . По известной теореме (см. [9], с. 198), так как

-V 1 (1 - р)

1 я у (егв )

функция у Е ВР-а+1, а ВР-а+1 С Н , то у (Х) = — ) (1 - е~гв2в .

Поэтому h (z ) = Re

1 p -i- f 9тг J

y ()

2p i (l - e z)

u(z) = JJlog1(z_ )dm(_ ) + Re

D

Так как y e H1 и

b+i

de

Итак, если u e SHa (D), то

1 J y(ele)dd

2p

P (l - e "ie z)

, т.е. верно представление (3).

I ^^q=2P Jy ( )e=Q (у )'

то

£/г^*=£ / в—Со (у )■

2л л (1 — е~1в 2) 2л—Р (1 — е~1в 2)

Следовательно, — - вещественнозначная функция, кроме того, мера ¡Л удовлетворяет условию теоремы по лемме 3.

2) Перейдем к доказательству достаточности. Оно следует непосредственно из предыдущего пункта и леммы 4.

Пусть функция и допускает представление (3). Покажем, что и Е БИа (О).

Учитывая сказанное ранее, остается установить, что

—()

h (z ) = Re

1 л ± f

9тг J

rde

SHa (D), где y (eiq )e BJ

-a+l '

2л—л (1 — е"-^ Ь+1

Для этого приведем лемму из работы [3]: если и (г) - гармоническая в О и

v

(г) - гармонически сопряжена с и , V(0) = 0, то из

А _ . „ м / . С (А)

J u (relj) dj <

a > 0, 0 < r < l вытекает J v(relj)^j <

(1 — Г Г " (1 — Г)

Воспользуемся следствием из этой леммы: Пусть /(г) = и (г) + IV(г), / Е И,, V (0 ) = 0, и (е1р )е В(у > 0 ), тогда / (е1р )е В^. Из этого вытекает: — = —1 + — 2, —1 Е И1, — 2 Е И1.

« (г ) = 2Л77-Í-:W = + 2— (е- ) — — (0).

2P-P (l- e-tz ) * 2p_P (I- e-'z )

i J k(eЬ <ilr J J J^^SUe+p J yО+2 J y(0

-p -p -p l e z -p -p

l p

Так как \y (0)| < — J \y ( )e , то

1 я я я U2W (eq) я It1—a+1 с

- J |g(e)\ie <с J J <с. J L-hп+Ldt < jr-f •

2я —я —я —я |1 — e r| —я |1 — e r (1 — r)

h ( z ) = Re{g ( z )}.

Теорема доказана.

In the paper a characterization of some classes of subharmonic functions in the unit disk having sedate growth near the unit circle is obtained.

The key words: subharmonic function, characteristic of Nevanlinna, potential, harmonic function.

Список литературы

1. Хейман У. Субгармонические функции / У. Хейман, П. Кеннеди // М.: Мир. 1980.

2. Джрбашян, М.М. К проблеме представимости аналитических функций / М.М. Джрбашян // Сообщ. Института матем. и мех. АН Арм. ССР. Вып. 2. 1948.

3. Shamoyan, F.A., Shubabko, E.N. Parametrical representations of some classes of holomorphic functions in the disk // Operator Theory: Advanced and Applications. Vol. 113, 2000.

4. Шамоян Ф. А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и Характеризация нулей аналитических функций с мажорантой конечного роста / Ф.А. Шамоян // Известия АН Арм. ССР, математика, т. 13, №5. С. 405-422, 1978.

5. Сакс, С. Теория интеграла / С. Сакс // М.: изд-во Факториал-Пресс. С. 496. 2004.

6. Кусис. П. Введение в теорию пространств Hp. Пер. с англ. П. Кусис // М.: Мир.

1984.

7. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных / Л.И. Ронкин // Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука». 1971.

8. Ландкоф, Н.С. Основы современной теории потенциала / Н.С. Ландкоф // М.: «Наука». 1966.

9. Трибель Х. Теория функциональных пространств / Х. Трибель // М.: Мир. 1980.

Об авторе

О.В. Охлупина - асс. Брянской государственной инженерно-технологической академии, helga131081 @yandex.ru