Устойчивость (под)последовательностей нулей для классов голоморфных функций умеренного роста в единичном круге Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 3 (2011). С. 152-163.

УДК 517.547

УСТОЙЧИВОСТЬ (ПОД)ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НУЛЕЙ ДЛЯ КЛАССОВ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ УМЕРЕННОГО РОСТА В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ

Ф.Б. ХАБИБУЛЛИН

Аннотация. Пусть Л = (Лк) и Г = (Yk) — две последовательности точек в единичном круге D := {z G C: |z| < 1} комплексной плоскости C, H — некоторое весовое пространство голоморфных функций на D. Допустим, что Л — подпоследовательность нулей некоторой ненулевой функции из H. В работе даются условия близости последовательности Г к последовательности Л, при которых последовательность Г — последовательность нулей для некоторой голоморфной функции из пространства H D H. Пространство H может быть несколько больше, чем H.

Ключевые слова: голоморфная функция, единичный круг, весовое пространство, последовательность нулей, подпоследовательность нулей, сдвиг нулей, устойчивость последовательности нулей.

1. Введение. Основные «радиальные» результаты

Как обычно, N, R и C — множества натуральных, вещественных и комплексных чисел или их геометрические интерперетации; D := {z G C: |z| < 1} — единичный круг.

Пусть Л = (Ak)keN — последовательность комплексных точек, возможно повторяющихся конечное число раз, в единичном круге D и Л не имеет предельных точек в D; H — некоторый класс голоморфных в D функций.

Множество, или последовательность, всех нулей голоморфной в D ненулевой функции f (пишем f ф 0), перенумерованную с учетом кратности (каждая точка в D считается столько раз, какова кратность нуля функции f в этой точке), обозначаем Zero/. Л — последовательность нулей, или нулевое множество, для класса H, если существует ненулевая функция f G H такая, что Zero/ = Л.

Последовательность Л — подпоследовательность нулей, или нулевое подмножество, для класса H, если существует ненулевая функция f G H, обращающаяся в нуль на Л в том смысле, что кратность нуля функции f в каждой точке из П не меньше числа повторений этой точки в последовательности Л. Если H — линейное пространство, то подпоследовательность нулей для H называем также последовательностью, или множеством, неединственности для H.

Всюду положительность числа, функции, меры и т.п. понимаем как ^ 0, а > 0 суть -строгая положительность; аналогичное соглашение предлагается и для отрицательности. Для a G R, как обычно, a+ := max{a, 0}, [a] — целая часть числа a, а для a > 0 полагаем log+ a := max{log a, 0}, loga a := (log a) . Если функция f не равна тождественно значению a G [-то, +то], то пишем f ф a.

F.B. Khabibullin, Stability of sequences of zeros for classes of holomorphic functions of MODERATE growth IN THE UNIT DISK.

© ХАБИБУЛЛИН Ф.Б. 2011.

Работа поддержана РФФИ, грант 09-01-00046а.

Поступила 15 июля 2011 г.

Для подмножества О С С через О, дО и ^^б', О) обозначаем соответственно замыкание О, границу множества О и евклидово расстояние от подмножества Б С С до О.

Пространство всех голоморфных в области О функций обозначаем через Но1(О). Рассматриваются следующие весовые классы голоморфных в единичном круге функций.

Пусть М: О ^ [-^, +го). Класс всех функций / € Но1(О), удовлетворяющих оценке |/(г)| ^ Cf ехр М(г), г € О, где Cf ^ 0 — постоянная, обозначаем Но1(О; М).

Естественно ожидать (см., к примеру теоремы устойчивости из [1, §§ 18, 19] и результат Д. Льюкинга [2, Теорема 6]), что если Л С О — (под)последовательность нулей для некоторого класса голоморфных функций Н С Но1(О), то при достаточно «малых сдвигах» точек Лк в точки 7^ другой последовательности точек Г := (7^) последняя образует (под)последовательность нулей для некоторого, возможно более широкого, класса Н 3 Н голоморфных в О функций. Основные результаты работы представляют собой явную количественную форму этого наблюдения: для весовых пространств Н голоморфных функций, порожденных классами вида Но1(О; М), исследуется вопрос о переходе подпоследовательности нулей Л для Н при ее малом сдвиге уже в последовательность нулей Г для некоторого пространства Н 3 Н, мало отличающегося от Н или даже совпадающего с Н. Для нашего исследования привлекается симбиоз результатов из [1], [3]-[5]. Часть результатов без доказательств обсуждалась в [6], [7]. Здесь и далее мы не останавливаемся более подробно на истории вопроса, поскольку она достаточно детально освещена в работах [1] и [3]. Отметим лишь простой результат, следующий из теоремы Неванлинны (см. [8], [9]) 1920-х гг. для классической алгебры Н:= Но1(О; 0) ограниченных голоморфных функций в О. По известной теореме Неванлинны об описание (под)последовательностей нулей для алгебры Н°° последовательность Л — последовательность нулей для Несли и только если ^2(1 — |Л&|) < +го . Отсюда мгновенно следует

Теорема Неванлинны (устойчивости для Нте). Пусть Л := (Лк)кен и Г := (7^)ке^ — последовательности точек в О, а Л — подпоследовательность нулей для НЕсли

N

то Г — последовательность нулей для НХ.

Через ^(¿) обозначаем открытый круг с центром в нуле радиуса Для меры V, определенной в круге ^(¿), полагаем vrad(í) := v(D(í)).

Основной наш интерес будет сосредоточен на трех типах классов функций (не обязательно алгебрах!), определяемых достаточно медленно растущими вблизи единичной окружности дО весами М (грубо говоря, медленнее функции г ^ 1/(1 — |г|) при г дО). Определим их здесь сначала для произвольных весовых функций М: О ^ [—го, +го) .

(А) Через АХ обозначаем класс функций f Є НоІ(О), удовлетворяющих оценке

для некоторых положительных постоянных Cf,Cf. Если М — положительная функция, то — алгебра. В частности, если Ишвир^дщ М(г) = +го, эту алгебру иначе можно определить как

г Є С

(1)

АХ := {/

< +ГО >.

(Н1) Пусть М — положительная функция. Пространство

Нм := У Но1(0; сМ)

(3)

0^с<1

состоит из функций f Е Hol(D), удовлетворяющих ограничению

|f (z)| ^ С/ exp(/M(z)), z Е D, (4)

с некоторыми положительными постоянными С/ < 1 и С/ > 0. В частности, если limsup^dro M(z) = +го, это пространство иначе можно определить как

:= |f Е Hol(D): limsupl0Mlf’(f)l < 1|. (5)

^ z^ao M (z) J

(Hiog) Пространство Hm+log определялось в [1] как множество всех голоморфных в D функций f, удовлетворяющих ограничению

lf (z)l < С/(Г-1|3)' expM(z), z Е D,

с некоторыми постоянными С/ ,С/ ^ 0. Иначе это довольно «жесткое» пространство

можно определить как

log |f (z)| - M(z)

Hm+iog := <{ f G Hol(D): limsup-------------1------ < +то f . (6)

z^oo log Y-Tjzj

Всюду далее на весовую функцию р ф -то, по которой и будут выбираться веса M в зависимости от результатов, всегда будет накладываться условие умеренного роста

г 1 /*2п

/ / p(tei6>) d0 dt < +то. (7)

Jo Jo

Если при этом p — субгармоническая функция с мерой Рисса vp := Ар ^ 0, где оператор Лапласа действует в смысле теории обобщенных функций, то условие (7) эквивалентно ограничению (см. начало доказательства [3, теорема 2])

А (1 - t)2 dvpad(t) < +то, Vp(t) := vp(D(t)). (8)

o

Так, для радиальной функции р, для которой по определению p(z) = р(|z|) при всех z G D, условие умеренного роста (7) выглядит совсем просто:

i p(t) dt < +то. (9)

o

Кроме того, будут накладываться и определенные условия регулярности вида 1 i'2п 1

— Р (z + е( 1 — |z|)e*) + a log-----—г ^ bp(z) + C, z G D, (10)

2n Jo 1 - |z|

где a, b, C — некоторые постоянные, границы выбора которых будут обусловлены конкретными рассматриваемыми пространствами и методом работы [1]. Для радиальной возрастающей функции p это условие регулярности у нас будет выглядеть как

р (t + е(1 - t)) + a log ^ 1 ^ bp(t) + C, 0 ^ t< 1. (11)

Простейшими примерами радиальных возрастающих неограниченных весов p, удовлетворяющих одновременно условиям вида (9) и (11), могут служить

[L]: логарифмический вес р: z i—> loga pj-, а > 0, z G D,

[P]: степенной вес p: z i—> ------, д , 0 < в < 1, z E D.

(1 -|z |)^ И ’

Следует отметить, что для алгебр А° с весовыми функциями вида [P], когда в > 1, законченные описания нулевых множеств были получены еще Ф. А. Шамояном в [10], а для «жестких» пространств Hol(D; M), где M — это логарифмический вес из [L] с 0 < а < 1 полное описание последовательностей нулей было дано К. Сейпом в [11]. В то же время для рассматриваемых в данной работе даже конкретных пространств и алгебр, определяемых весовыми функциями вида [L] и [P] соответственно с а ^ 1 и 0 < в ^ 1, еще немало открытых вопросов по описанию нулевых множеств и их устойчивости.

Сначала для лучшей обозримости приведем сводку упрощенных результатов работы для радиальной функции р. При условии умеренного роста (9) введем добавочную функцию

bp(r) := y~— J (1 - t) ф^) = y~— J р^) dt - р(г), 0 ^ r< 1, (12)

где сходимости интегралов обеспечены условием умеренного роста (9) и первым равенством в (25) из Леммы 1, доказанной в следующем разделе 2.

Теорема 1 (устойчивости для радиального веса). Пусть Л = (A&)&ен и Г = (7^)^^^ — две последовательности точек в D и

• функция р: [0,1) ^ [0, +то) — возрастающая непрерывная справа в нуле;

• композиция р о exp выпукла на (-то, 0), т. е. функция р выпукла относительно логарифмической функции;

• выполнено условие умеренного роста (9);

• функция р продолжена на D как радиальная, а именно: р^) ф р(|z|), z G D.

Тогда

(Sa) если для a =1 и некоторых постоянных £ G (0,1), b, C ^ 0 выполнено радиальное условие регулярности (11) веса р, а также

limsup ----|Ak r. | .—рт < +то, (13)

k—o 1 max{|Ak ^ |y& |}

и Л — подпоследовательность нулей для алгебры А°, то Г — последовательность нулей для алгебры АО, определяемой весом M = р + bp;

(S1) если при a =1 для любого b > 1 найдутся постоянные £ G (0,1) и C ^ 0, с которыми выполнено радиальное условие регулярности (11) веса р, а также

lim ------|Ak - Yk|--- = 0, (14)

fc-oo 1 - max(|Afc|, |7fc|} , ( )

и Л — подпоследовательность нулей для пространства Hp , то найдется постоянная с < 1, для которой Г — последовательность нулей для пространства Hol(D; M) с функцией M := ср + Bcbp, где Bc ^ 0 — некоторая постоянной.

(Slog) Если при b =1 для некоторых постоянных £ G (0,1), строго отрицательной a < 0 и C ^ 0 выполнено радиальное условие регулярности (11) веса р, а также

| Ak - 7fc| < ,„ (15)

/ 1--------гг;—тл—гг < +то, (15)

1 - max{|Afc|, |7fc|}

и Л — подпоследовательность нулей для Hol(D; р), то Г — последовательность нулей для пространства HM+log c M = р + Bbp, где B ^ 0 — некоторая постоянная.

Утверждения (Sa), (S1), (Siog) этой теоремы устойчивости — следствия соответственно Теорем 2, 3 и 4 (см. обоснования после их доказательств).

Замечание 1. Условия возрастания, непрерывности справа в нуле и выпуклости относительно логарифмической функции на функцию р в Теореме 1 обеспечивают субгармоничность продолженной функции р: z ^ р^), z G D, в единичном круге.

Замечание 2. Для положительной возрастающей к +то функции p на (0,1) условие ее выпуклости относительно логарифмической функции на всем интервале (0,1) и непрерывности ее справа в нуле в Теореме устойчивости refth:r можно заменить на одно более слабое условие выпуклости функции p относительно логарифмической функции на каком-либо интервале (¿о, 1), где 0 < t0 < 1. Действительно, в этом случае мы можем продолжить функцию p на отрезок [0, ¿0] по правилу p(t) := lim inft ^ ¿0 + 0p(t). Продолженная таким образом функция p уже будет удовлетворять всем условиям Теоремы устойчивости 1, а пространства голоморфных функций, определенные через (2), (5), (6) по функции p = M, те же, что и определенные по продолженной функции p пространства из (A), (Hp), (Hiog).

2. Нерадиальная теорема об устойчивости (под)последовательностей нулей для весовых алгебр

Пусть p — субгармоническая в D функция с мерой Рисса vp, p ф —то.

Для z = rei0, 0 ^ r < 1, в Є R и числа а > 0 введем в рассмотрение полярный прямоугольник

□ (z; а) := j Z = te^: (r — а(1 — r))+ ^ t < 1, | sin(^ — в)| < а(1 — r) j (16)

относительного размера а, его s-срез при s < 1

□s(z; а) := | Z = te^: (r — а(1 — r))+ ^ t < s, | sin(^ — в)| < а(1 — r) j ,

функцию распределения меры vp в (16) по правилу vp(s,z; а) := vp(□«(z; а)), а также

а-расширенную добавочную функцию

bS(z) := (1 1 ziv f (1 — |z|)2dvp(z)=(1 1 r)2 ¡( x+(1 — s)2dvp(s,z;a), (17)

(1 — |z|) J D(z;a) (1 — r) J (r-a(l-r)J

которая конечна при всех z Є D при условии (8). Кроме того, будем использовать специальное обозначение для усреднений

1 f2n

AvM (z) := — M(z + є(1 — |z|)ei0) de, 0 <є< 1. (18)

J о

при условии интегрируемости функции M: D ^ [—то, то] по окружностям.

Теорема 2. Пусть p — положительная субгармоническая функция с мерой Рисса vp, и выполнено условие (7) или эквивалентное ему ограничение (8). Кроме того, предполагаем, что функция p для а = 1 и некоторых постоянных є Є (0,1), b, C ^ 0 удовлетворяет нерадиальному условию регулярности (10), т. е.

Avp^z) + log 1 1 ^ bp(z) + C, z Є D. (19)

Если для двух последовательностей точек Л = (Ak)keN и Г = (Yk)keN в D выполнено условие их близости (13) и Л — подпоследовательность нулей для алгебры А°°, то Г —

последовательность нулей для алгебры при M = p + bVVp.

Доказательство. Из условий Теоремы 2 следует, что выполнены все условия из [1, Теорема 0.2(S1)] для выпуклой области П = D. С учетом замечания после формулировки [1, теорема 0.2] об усилении этого результата для выпуклых областей заключаем, что последовательность Г — подпоследовательность нулей для той же алгебры А°° (даже без условий (7)-(8)). Другими словами, Г — подпоследовательность нулей для класса Hol(D; M), где M := cp, с — некоторая постоянная; vm — мера Рисса субгармонической функции M.

Теперь в условиях Теоремы 2 согласно [3, Теорема 2(и)] подпоследовательность нулей Г для нашего пространства Но1(О; М) будет уже последовательностью нулей для пространства Но1(О; АЙ + С£6

1^) при любой константе е € (0,1) и некоторой постоянной С£. Но из условия регулярности (10) и вида функции М = ср сразу следует, что

4] + С«С < 6р + СЬЦ < шах{6, Сс} (р + 616,1)

всюду на О для некоторых постоянных 6, С, с ^ 0. Таким образом, Г — последовательность нулей для алгебры А^ с большим весом М = р + б!^. □

Выведем из Теоремы 2 часть (Яа) радиальной Теоремы 1 из Введения. В силу возрастания положительной радиальной функции р условие ее регулярности (11) даже сильнее нерадиального условия регулярности (10) Теоремы 2. Условие (7) для радиальной функции — это (9). По Замечанию 1 продолжение р на О — субгармоническая функция. Таким образом, выполнены все условия Теоремы 2.

При а > 0 введем а-расширенную добавочную радиальную функцию

1 Г1-

6Р“1(г):=------ I (1 - ¿МрСО, 0 ^ г< 1 (20)

1 — г 3 (т-а(1-г))

Осталось показать, что справедливо

Предложение 1. Пусть функция р: [0,1) ^ [0, +то) удовлетворяет условиям Теоремы 1, а ее продолжение на О также обозначено как р. Тогда для а-расширенной добавочной функцией из (17) и добавочной функции 6р из (12) при некоторых постоянных В0,С0 ^ 0 в обозначении г := |г| выполнены оценки

бЦ(г) ^ абр^г) + В ^ (8а + 1)6р(г) + Са, 0 ^ г = |г| < 1. (21)

Доказательство. Меру Рисса продолженной субгармонической функции р обозначаем через ^р. Плотность меры Рисса такой функции легко выписывается в полярных координатах через начальную функцию р: [0,1) ^ [0, +то) с помощью оператора Лапласа, а именно:

1

2п

где р;_ — левая производная, ® — произведение мер. Тогда по определениям (17) и (16) при г = ге и условии

—— ^ г ^ 1 (г — а(1 — г)) ^ 0, (22)

а + 1 у 1 ^

учитывая, что для возрастающей выпуклой относительно логарифма функции р

функция £ ^ £р;_ (£) — возрастающая по £ € (0,1] и положительная, (23)

имеем

1 л^+агсвт а(1-г) п1

■'“'(г)

dvp(z) = — dö ® d(tp—(t)), z = teiö, r ^ 0,

bl“] (z) = 2 (1 _ r)2 / (1 - t)2 ^P—(t)) dÖ

2n(1 r) J#—arcsin a(1—r) J r—a(1-r)

arcsinа(1 — r) f1 ч2 w ,/чч

- ( ) ' (1 — t)2 d(tp—(t))

n(1 — r)2 Jr—a(1—r)

2 ^lim^(1 — t)2rp— (t) — (1 — r + а(1 — r))2((r — а(1 — r))p—(r — а(1 — r

2(1 — r)2 \*^1—

( 1 \

+2 / (1 — t)tP—(t)d^ ^ 2(1 r)

r—a(1—r) 2(1 — r)

¿m/1 — t) P— (t) + 2 J (1 — t)dP(t)

r—a(1—r)

а

Далее потребуется

Лемма 1. Для функции p из Предложения 1 добавочная функция (12) конечная на (0,1], и справедливы равенства

lim (1 — r)p(r) = 0, lim (1 — t)2p'_ (r) = 0. (25)

r^1—0 r^1—0

Доказательство Леммы 1. Из условия умеренного роста (9) и возрастания p имеем

0= lim [ p(t) dt ^ lim p(r) [ dt = lim p(r)(1 — r) ^ 0, (26)

r^1 —о / 4 ' r^1—о v 7 / r^1—о v /v ' - 1

J r J r

и первое равенство в (25) доказано. Используя его, интегрированием по частям получаем

[ (1 — t) dp(t) = —(1 — r)p(r) + f p(t) dt, (27)

rr

что по условию умеренного роста (9) для p дает конечность добавочной функции bp. Кроме того, левая часть здесь стремится к нулю при r ^ 1 — 0. Из (23) следует

Г1 Г1 1 — t Г1 1 — t 1

(1 — t) dp(t) = -----tp— (t) dt ^ rp-(r) / ---dt ^ rp— (r) — (1 — r)2, (28)

J r J r t Jr t 2

откуда следует второе равенство из (25). Лемма доказана. □

Согласно второму равенству из (25) в правой части (24) можно убрать предел и получить оценку

6й(z) ^ 7Т"Г7) / (1 —1) dp(t),

(1 r ) Jr—0,(1—r)

что доказывает первое неравенство в (21) при ограничении (22). При остальных значениях r < функция ограничена сверху некоторой постоянной, не зависящей от r.

Перейдем к доказательству второго неравенства из (21). Оценим сверху при условии (22) через добавочную функцию bp интеграл

pr

/ (1 — t) dp(t) = (1 — r)p(r) — (1 — r + a(1 — r))p(r — a(1 — r))

J r—a(1—r) pr

+ / p(t) dt ^ (1 — r)p(r) — (1 — r)(1 + a)p(r — a(1 — r)) + p(r — a(1 — r))a(1 — r)

J r—o(1—r)

= (1 — r) (p(r) — p(r — a(1 — r))),

откуда

1 Г

---- (1 — t) dp(t) ^ (p(r) — p(r — a(1 — r))). (29)

1 — r J r—0,(1—r)

После замены r = ex, r0 = r — a(1 — r) = ex“ для выпуклой функции P(x) := p(ex),

— то < x < 0 имеем оценку [12, Следствие 1.1.6]

p(r) — p(r0) = P(x) — P(x0) ^ P— (x)(x — x0) = p— (r)r(log r — log r0)

a(1 — r) \ t . a(1 — r)

//41 Л a(1 — r) \ ^ , , s

= p_ (r)r log 1 +------ ------г ^ p_(r)

V r — a(1 — rW

r — a(1 — r)/ r — a(1 — r)

Отсюда при

r — a(1 — r) ^ r ^ a + 1/2 (30)

2 a + 1

получаем

p(r) — p(r0) ^ 2a(1 — r)p;_ (r)

и согласно (29) имеем

1 Г

----- (1 — t) dp(t) ^ 2a(1 — r)p'_(r). (31)

1 — r Jr-a(l-r)

С другой стороны, ввиду (28) и (30)

1 Г1 11

----- (1 — t) dp(t) ^ rp'_(r) - (1 — r) ^ -(1 — r)p'_(r).

1 — r J r 2 4

Отсюда согласно (31)

1 Г 1 /■1

----- (1 — t) dp(t) ^ 8a----- (1 — t)dp(t), (32)

1 — r J r—a(1—r) 1 — r Jr

что по определению a-расширенной добавочной радиальной функции б|Г] из (20) дает второе неравенство из (21). Предложение доказано. □

Это показывает, что часть (Sa) радиальной Теоремы 1 — прямое следствие Теоремы 2.

Рассмотрим теперь радиальную теорему применительно к конкретным логарифмическому и степенному весам p из пп. [L] и [P].

• Для логарифмического веса из [L] с а ^ 1 выполнено условие регулярности весовой функции Теоремы 1 из п. [Sa], а также

6p(r) ^ CO, loga—1-, CO, — постоянная, (33)

1—r

при p(r) := loga-------, 0 ^ r < 1 (см. [5, Лемма 2]). Таким образом, в этом случае

1 — r

алгебра AJ с весом M = p + 6p совпадает с исходной алгеброй ApJ, т. е. никакого расширения алгебры ApJ не происходит.

• Для степенного веса из [P] с 0 ^ в < 1 также выполнено условие регулярности весовой функции Теоремы 1 из п. [Sa]. Легко вычислить, что

1

'(1 —т)в

при p(r) := —-------— , 0 ^ r < 1. Таким образом, и в этом случае алгебра AJ с весом

M = p + 6p совпадает с исходной алгеброй ApJ, т. е. вновь никакого расширения алгебры ApJ не происходит.

Замечание 3. Предложение 1 во всех результатах работ [3]-[5], где в формулировках для радиальной функции p или M в D фигурирует 6-расширенная добавочная функция bP6] или соответственно 6^, позволяет заменить ее на более простую добавочную функцию 6p или соответственно 6

6p(r) ^ С------те , Се — постоянная,

P или соответственно .

Примеры. Приведем здесь примеры нерадиальных весовых функций, к которым применима нерадиальная Теорема устойчивости 2.

Пусть E С 5D — подмножество на единичной окружности. Положим

dD(z, E) := inf{|w — z|: w G dD} = dist(z, E), z G D,

— расстояние от точки z G D до единичной окружности.

(Pe) Для постоянных в ^ 0 функции

p: z ^, z G D (dD (z, E))в

непрерывные положительные субгармонические (см. вместе с применениями [13]-[16]), а при 0 ^ в < 1 удовлетворяют условию умеренного роста (7), поскольку эта функция мажорируется степенной функцией z ^ (1_1г|)в , z G D.

Для построения примеров нерадиальных весов логарифмического роста, подобных [L], рассмотрим функции /1: z ^ log |z| и L1: z ^ log(1 + |z|), z G C. Функции /1 и L1 суб-

гармоничны в C: /1 как логарифм модуля голоморфной функции z ^ z, z G С,а L1 как

положительная непрерывная функция со всюду положительным значением оператором Лапласа AL1(z) = r(1+r)2 ^ 0 при r := |z| > 0 и значением L1(0) = 0.

Для постоянной а ^ 1 рассмотрим выпуклую возрастающую функцию

J0, ж ^ 0

^«(ж) := i а ^ п

I жа, ж > 0.

полагая ^а(—то) := limx^—J ^а(ж) = 0. Согласно [12, Теорема 3.2.18] композиции

(^ о h)(z) := (log+ |z|)a := (log+)a|z|, (^ о L^z) = log“(1 + |z|), z G D,

также субгармоничны при каждом а ^ 1. Отсюда следует, что композиции этих функций с любой функцией / G Hol(D), т. е. функции (log+)a|f1 и loga( 1 + |f |), субгармоничны, положительны и непрерывны в D [17, Следствие 2.5.7]. В частности, для каждой точки w G dD таковы же функции

при а ^ 1 и f (г) = 1/(г — ^), г Е О. Следовательно, точные верхние грани этих функций по w Е Е, равные соответственно

dDCTEY ■ 1 + SDFTEt) ■ (34)

будучи непрерывными, также являются субгармоническими положительными функциями, но нерадиальными, если E не всюду плотное подмножество окружности dD.

(Le) Нерадиальные при E = dD функции из (34) непрерывные положительные субгармонические при а ^ 1 и удовлетворяют условию умеренного роста (7), поскольку эти функции мажорируются логарифмической функцией z ^ loga (1 + 1/(1 — |z|)), z G D.

3. Нерадиальные теоремы устойчивости (под)последовательностей нулей для весовых подпространств

Основные результаты этого раздела касаются уже весовых пространств голоморфных функций, не являющихся алгебрами, т. е. произведение двух функций из пространства может уже и не принадлежать этому пространству.

Пространство Н] . На субгармоническую положительную весовую функцию р так же, как ив [1], накладываем дополнительное условие регулярности1

(ЬБ0) при а = 1 для любого числа Ь > 1 найдутся числа є, 0 < є < 1, и Сь, с которыми выполнено (10), т. е. в обозначении (18) для усреднения Ау]^ имеет место ограничение

АуИ(г) + 1о^ -—1 ^ Ьр(г) + С, г Е О. (35)

р 1 - N

1Используем нумерацию из [1].

Теорема 3. Пусть для положительной субгармонической функции p в D и выполнены условие умеренного роста (7) и ограничение (LD¿). Если для двух последовательностей точек Л = (Ak)keN и Г = (Yk)keN в D выполнено условие их близости (14) и Л — подпоследовательность нулей для пространства Нр , то найдутся постоянные с < 1 и Bc ^ 0, с которыми Г — последовательность нулей для пространства Hol(D; M) при

M = cp + ВсЬЩ. (36)

В частности, если p — логарифмический вес вида [L] с а > 1, то второе слагаемое в правой части (36) исчезает, и Л — последовательность нулей для пространства Нр .

Доказательство. В [1, Теорема 0.2(S3)] доказано, что именно в условиях теоремы 3 последовательность точек Г является последовательностью неединственности, или подпоследовательностью нулей, для пространства Нр := У0<c<i Hol(D, cp) (даже без эквивалентных условий (7)-(8)), т.е. при некотором C < 1 для пространства Hol(D; Cp). Кроме того, для функции Cp и для ее меры Рисса vc/p по-прежнему выполнены эквивалентные условия (7)-(8) с заменой p на Cp. При этих условиях в [3, теорема 2, п. (U)] утверждается, что каждая подпоследовательность нулей для пространства Hol(D; Cp) при любом е G (0,1) будет уже последовательностью нулей для пространства

Hol(D;AvM +с46Р). (37)

[6] [6]

Очевидно, = c/bp]. Кроме того, в силу условия регулярности (LD1) при достаточно малом значении числа b > 1, для которого выполнено ограничение с = Cb < 1, имеет место неравенство

AvjP(z) ^ cp(z) + C, z G D,

где C — постоянная. Таким образом, пространство (37) вложено в весовое пространство Hol(D; M) с весом M из (36), а Г — последовательность нулей для этого пространства, что и требовалось. В частном случае

p(z) = log" -—j-, а > 1, (38)

выполнены условия (7) и (LD1), а из оценки (33) для логарифмического веса (38) имеем

bVp(z) = o(lcg“-1 T-!-j ), z ^ dD. (39)

Отсюда при том же выборе веса p можно найти постоянную d G (с, 1), с которой неравенство cp(z) + BcbVp(z) ^ dp(z) выполнено при всех z G D \ D(t) при определенном t < 1. В силу ограниченности голоморфных функций в круге D(t) этого достаточно, чтобы пространство Hol(D; cp + BcbVp) включалось в Hol(D; dp) С Hp . Теорема доказана. □

Выведем из теоремы 3 часть (S1) Теоремы устойчивости 1 из Введения. В силу возрастания функции p условия на нее, при которых имеет место (11), даже сильнее условия регулярности (LD0) теоремы 3. Условие (7) для радиальной функции — это (9). Согласно Замечанию 1 продолженная на D функция p субгармонична. Наконец, справедлива оценка (21) Предложения 1 (см. также Замечание 3). Это и показывает, что часть (S0) Теоремы устойчивости 1 — прямое следствие Теоремы 3.

Пространство HP+iog. На весовую, не обязательно радиальную или положительную, субгармоническую функцию p, определяющую пространство HP+iog, в [1] накладывалось дополнительное условие регулярности1

1Вновь используем нумерацию из [1].

(LD0) существуют числа е, 0 < е < 1, и с, C ^ 0, для которых в обозначении (18) для усреднений справедливо неравенство

Avp](z) ^ p(z) + c log -—1 + C, z G D. (40)

p 1 — |z |

Теорема 4. Пусть для субгармонической в D функции p ф —то выполнены условия умеренного роста (7) и условие регулярности веса (LD°). Если для двух последовательностей точек Л = (Àk)fceN и Г = (7fc)keN в D выполнено условие их близости (15), и Л — подпоследовательность нулей для пространства Hp+log, то найдутся постоянные C, B ^ 0, с которыми Г — последовательность нулей для пространства Hol(D; M) при

M = p + Clog 1 —1| ^ | + Bbl!J. (41)

В частности, если p — логарифмический вес вида [L] с а ^ 1, то Г — последовательность нулей для пространства Hol(D; M), где

M(z) := p(z) + Ca logmax{1,a-1}----— , z G D, Ca — постоянная. (42)

1 — |z|

Доказательство. Отметим, что неравенство (40) совпадает с (10) при 0 > а = —с и b = 1. В [1, Теорема 0.2(S4)] доказано, что именно в условиях теоремы 4 последовательность точек Г является последовательностью неединственности, или подпоследовательностью нулей, для пространства Hp+iog (даже без эквивалентных условий (7)-(8)), т. е. при некотором C ^ 0 для пространства Hol(D; М), где M"(z) := p(z) + D log у—^, z G D, — субгармоническая функция, D — постоянная. Кроме того, для функции M и для ее меры Рисса по-прежнему выполнены эквивалентные условия умеренного роста (7)-(8) с заменой p на M. При этих условиях в [3, теорема 2, п. (U)] установлено, что каждая подпоследовательность нулей для пространства Hol(D; IM) при любом е G (0,1) будет уже последовательностью нулей для пространства Hol(D; Av^ +C£b[?). Из условия регулярности (LD0) легко следует, что последнее пространство вложено в пространство Hol(D; M) с весом M из (41), а Г — последовательность нулей для этого пространства, что и требовалось установить.

В частности, для логарифмического веса p функция из (41) мажорируется согласно (33) функцией (42), что доказывает заключительную часть Теоремы 4. □

Выведем из Теоремы 4 часть (Hiog) Теоремы устойчивости 1 из Введения. В силу возрастания функции p условия на нее, при которых имеет место (11), даже сильнее условия регулярности (LD0) теоремы 4. Условие (7) для радиальной функции — это (9). Субгармоничность продолженной на D функции p отмечалась в Замечании 1. Наконец, справедливо неравенство (21). Это и показывает, что часть (Siog) Теоремы 1 — прямое следствие Теоремы устойчивости 4.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хабибуллин Б.Н., Хабибуллин Ф.Б., Чередникова Л.Ю. Подпоследовательности нулей для классов голоморфных функций, их устойчивость и энтропия линейной связности. II // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, №. 1. С. 190-236.

2. D.H. Luecking Zero sequences for Bergman spaces // Complex Variables. 1996. V. 30. P. 345-362.

3. Кудашева Е.Г., Хабибуллин Б.Н. Распределение нулей голомофных функций умеренного роста в единичном круге и представление в нем мероморфных функций // Матем. сб. 2009. Т. 201, № 9. С. 995-126.

4. Хабибуллин Ф.Б. Последовательности нулей голомофных функций в весовых пространствах в единичном круге // Известия вузов. Матем. 2010. Вып. 3. С. 102-105.

5. Хабибуллин Ф.Б. Последовательности нулей голоморфных функций в пространствах в круге // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», посвященная 100-летию БашГУ. Математика. Том I. Уфа. РИЦ БашГУ. 2009. С. 357-377.

6. Хабибуллин Ф.Б. Последовательности нулей голоморфных функций умеренного роста в круге // Спектральная теория операторов и ее приложения. Материалы международной конференции, посвященной памяти профессора А.Г. Костюченко (Уфа, 13-15 июня 2011 г.). Уфа. РИЦ БашГУ. 2011. С. 85-86.

7. Хабибуллин Ф.Б. Устойчивость (под)последовательностей нулей в пространствах голоморфных функций умеренного роста в круге // Материалы X международной Казанской летней научной школы-конференции (Казань, 1-7 июля 2011 г.). Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казанское математическое общество. Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. 2011. Т. 43. С. 358-360.

8. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.

9. Хейман У. Мероморфные функции. М: Мир, 1966.

10. Шамоян Ф.А., Факторизационная теорема М.М. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических в круге функций с мажорантой конечного роста // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1978. Т. XIII, № 5-6. C. 405-422.

11. K. Seip An extension of the Blaschke condition // J. London Math. Soc. 1995. V. 51. P. 545-558.

12. L. Hormander Notions of Convexity. Progress in mathematics. 1994. V.127. Birkhaser (Boston, Mass.).

13. A. Borichev, L. Golinskii, S. Kupin A Blaschke-type condition and its application to complex Jacobi matrices // Bull. of the London Math. Soc. 2009. V. 41. P. 117-123.

14. S. Favorov, L. Golinskii A Blaschke-type condition for analytic and subharmonic functions and application to contraction operators // Amer. Math. Soc. Transl. 2009. V. 226, №. 2. P. 37-47.

15. S. Favorov, L. Golinskii On critical points of Blaschke products // Matematychni Studii. 2010. V.34, No. 2. P. 168-173.

16. S. Favorov, L. Golinskii Blaschke-type conditions for analytic functions in the unit disk: inverse problems and local analogs // preprint arXiv:1007.3020 [math.CV], 2010.

17. M. Klimek Pluripotential Theory. Clarendon Press (Oxford etc.), 1991.

Фархат Булатович Хабибуллин,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: khabibullinfb@list.ru