О множествах неединственности для пространств голоморфных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

www.volsu.ru

001: https://doi.Org/10.15688/jvolsu1.2016.4.8

УДК 517.53 : 517.574 ББК 22.161

О МНОЖЕСТВАХ НЕЕДИНСТВЕННОСТИ

_ __________О

ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ 1

Булат Нурмиевич Хабибуллин

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей алгебры и геометрии, Башкирский государственный университет khabib-bulat@mail.ru

ул. З. Валиди, 32, 450076 г. Уфа, Российская Федерация

Фархат Булатович Хабибуллин

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей алгебры и геометрии, Башкирский государственный университет khabibullinfb@list.ru

ул. З. Валиди, 32, 450076 г. Уфа, Российская Федерация

Аннотация. В статье усовершенствуются и уточняются некоторые результаты из предшествующей нашей недавней статьи из журнала «Известия вузов. Математика» 2015 г. за счет последних наших результатов 2016 г. об оценках снизу субгармонических функций логарифмом модуля голоморфной ненулевой функции.

Ключевые слова: голоморфная функция, последовательность нулей, субгармоническая функция, мера Рисса, последовательности неединственности.

Введение

ю Как обычно, М и С — множества соответственно всех вещественных и комплекс-

к ных чисел или их естественные геометрические интерпретации; кроме того, В := {г € Ц € С: |г| < 1} — единичный круг на комплексной плоскости С. Используются определена ния и понятия из [3; 6; 8; 9], но при необходимости мы их повторяем. Пусть И — область ^ в С. Каждой не более чем счетной последовательности точек Л = {Л&}к=\,2,... С И без @ точек сгущения в Б сопоставляем считающую меру пЛ, а именно: пЛ(8) := ^лк1 —

о

сч

е

к к

ч £

\о к \о га

X

число точек из Л, попавших в S С D. Заметим, что среди точек Л& могут быть и повторяющиеся. По определению функция пл(Л) := пл({Л}) — дивизор последовательности Л, то есть число повторений точки Л G C в последовательности Л. Так, Л G Л, если

гсл(Л) > 0.

Векторное пространство всех голоморфных в D функций обозначаем как Hol(D). Если не оговорено противное, пространство Hol(D) наделяем топологией равномерной сходимости на компактах из D. Ненулевой функции f G Hol(D) соответствует последовательность нулей Zero/, перенумерованная с учетом кратности.

Последовательность точек Л С D называется подпоследовательностью нулей для подмножества Н С Hol(D), если найдется ненулевая функция f G Н, для которой Л С Zero/ в том смысле, что пЛ(Л) < nzer0f (Л) для всех Л G D. Если Н замкнуто относительно вычитания, например, векторное подпространство над R, то подпоследовательность нулей для Н называют последовательностью, или множеством, неединственности для Н.

Выпуклый конус всех субгармонических функций в области D С C обозначаем через sbh(D). Субгармоническую функцию, тождественно равную — то на D, обозначаем

— ж>. Для s G sbh(^) меру Рисса функции s чаще всего будем обозначать как vs, и наоборот, субгармоническую функцию s в D с мерой Рисса v часто записываем в виде s := sv. Борелевскую положительную меру (конечную на компактах из D), или меру Радона v [9, Appendix A], называем подмерой для подмножества S С sbh(D), если найдется функция s G S, которая = — с мерой Рисса vs > v на D. Иначе говоря, v

— подмера для S, если для некоторой (любой) субгармонической функции sv с мерой Рисса v найдется функция v G sbh(D), не равная —<х>, для которой s := sv + v G S. Возможность варьирования слов «некоторый» и «любой» в последнем предложении обеспечена «нечувствительностью» неравенств к перекидыванию гармонических слагаемых от одного субгармонического слагаемого к другому.

Для (весовой) функции М: D ^ [—то, +то] со значениями в расширенной вещественной оси [—то, +то] := {—то} U R U {+то} с естественным отношением порядка определим весовой класс субгармонических функций

sbh(D; М] := {s G sbh(D): s < М + const на D},

где здесь и далее const — какая-либо постоянная, а «s < М + const на D» означает выполнение поточечных неравенств s(z) < М(z) + const во всех точках z G D. Аналогично, определим весовое пространство голоморфных функций

Hol(D; exp М] := {f G Hol(-D): |/1 < const ■ exp M на D}.

В разделе 1 рассматривается следующая задача. Пусть N и М — две весовые функции в области D С C и Л — последовательность точек в D. При каких простых соотношениях между N и М некоторая подмера ц > пл для sbh(^; М] определяет подпоследовательность нулей Л для пространства Hol(^;exp N] или, возможно, чуть большего пространства? Более или менее удовлетворительное решение этой задачи позволяет свести исследование подпоследовательностей нулей к гибкому аппарату субгармонических функций, к тому же в классах sbh(^; М], отличных от sbh(^; N]. Также в важном следующем разделе 2 тот же вопрос отдельно комментируется для весовых пространств функций на всей плоскости C, определяемых положительно однородными при показателе р > 0 весовыми функциями.

Авторы глубоко признательны рецензенту за ряд полезных замечаний.

1. Последовательности неединственности

Пусть S — подмножество расширенной комплексной плоскости := C U {œ}. Для подмножества S С Cœ через clos S и bd S обозначаем соответственно замыкание и границу S в Cœ; на евклидовом пространстве dist(-, •) — евклидово расстояние между двумя объектами (точками, подмножествами) в евклидовом пространстве (в нашем случае R или C). Пусть D — область в C. Пусть d: D ^ (0,1] — непрерывная функция, удовлетворяющая условию

0 <d(z) < dist(z, bd D), z G D. (1)

Каждой функции N сопоставляем ее усреднение по кругам с центром z радиуса 0 < <r < dist(z, bd D), обозначаемое как

1 п 2п г- г

B(z,r; N ):= — N (z + teie)tdtdQ.

Ш-JOJÇ)

Весовой функции N : D ^ [—œ, +œ] будем сопоставлять некоторое ее «поднятие» N^ : D ^ [—œ, +œ], а именно: для каждого z G D полагаем:

1) Если Cœ \ clos D = 0 (непустое множество), то полагаем

Nî(z):= B(z,d(z); N) + ln . (2)

d(z)

2) Если D = C — комплексная плоскость, то для любого сколь угодно большого

числа Р > 0 можем положить

Ni (г):= B(z, )■ (3)

Замечание 7. Обратим внимание, что предложенные функции-поднятия N^, в отличие от предложенных ранее четырех таких функций (2a)-(2d) в [7, перед теоремой 1], которые здесь не приводятся ввиду громоздкости, значительно тоньше, компактнее и существенно более медленного роста. Таким образом, предлагаемая ниже теорема 1 намного более точная, чем предшествующий ей результат 2015 года [7, теорема 1].

Теорема 1. Пусть D — область в C, функции N,M G sbh(D), M — N G sbh(^) с мерой Рисса vM-n, N,M = —œ, Л — последовательность точек в D.

Если Л — последовательность неединственности для Hol(^;exp N], то пл + + Ум-n — подмера для класса sbh(^; М].

Обратно, если пл + Ум-n — подмера для класса sbh(^; M], N — непрерывная функция на D, то последовательность точек Л — последовательность неединственности для пространства Hol(D; exp N^] с подходящей весовой функцией-поднятием N^ из (2) при Cœ \ clos D = 0 и с функцией-поднятием N^ при произвольном фиксированным числе Р > 0 из (3) при D = C.

Доказательство. Пусть Л — последовательность неединственности для Hol(^;expN]. Это означает, что для функции Д с Zero/A = Л найдется ненулевая функция h G G Hol(D), для которой произведение fAh G Hol(D; N], или log |Д| +log |h| < N. Введем обозначение

-N := M — N G sbh(D). (4)

Тогда log |Д| + log + svM_N < N + (M — N) = M на D, то есть для меры Рисса пЛ + vm-n субгармонической функции log |/л|+ svm-n нашлась субгармоническая функция v = log |Л,| = для которой сумма (log + svM_N) + v принадлежит классу sbh(^; М]. Таким образом, установлено, что пл + vm-n — подмера для класса sbh(^; М]. Обратно, пусть пл + vm-n — подмера для класса sbh(^; М]. Это значит, что найдется функция w G sbh(D), с которой в обозначении (4)

Иначе

то есть

log |Д| + SyM_N + w < M + const на D.

log |Д| + M — N + w — const < M на D,

log |Д| + v < N на D (5)

для функции v = w — const G sbh(D), v = — œ. Будет использовано следующее предложение.

Предложение 1 ([5, следствие 3]). Пусть D — область в C, удовлетворяющая условию \ clos D = 0 с непрерывной функцией d : D ^ (0,1], для которой выполнено условие (1). Для субгармонической в D функции v = —œ найдется ненулевая функция h G Hol(D), удовлетворяющая условию

log |h(z)| < B(z,d(z); v) + ln для всех z G D. (6)

a(z)

Применим усреднения по шарам к обеим частям

В(M(z);log Ш)+В{z,d(z); v)< В(z,d(z); N),

или, в силу субгармоничности log |/1,

log |/л| + в(z,d(z); v)< В(z,d(z); N).

Применяя к последнему неравенству соотношение (6) предложения 1, получаем требуемый случай с поднятием N^ из (2), поскольку ненулевая голоморфная функция fлh с подпоследовательностью нулей Л принадлежит уже классу Hol(^;exp N^].

Доказательство для случая D = C проводится совершенно аналогично через следующее предложение.

Предложение 2 ([5, следствие 2 с комментарием]). Для любой субгармонической в C функции v = —œ для любого сколь угодно большого числа Р > 0 найдется ненулевая целая функция h G Hol(D), удовлетворяющая условию

ln |h(z)| < b(z,~-1 .. п ; ^ для всех z G C. (7)

1 v л - V (1 + |z|)p /

2. Положительно р-однородные субгармонические функции

Мы вынуждены повторить и напомнить некоторые сведения, собранные в [7, п. 3.1]. Пусть р е (0, Обозначим через p-shg(C) С sbh(C) множество субгармонических положительно однородных при показателе р функций Н = то есть Н(tz) =

= tpH(z) при всех z е C, t > 0. Через p-trc(R) обозначаем множество 2п-периодических р-тригонометрически выпуклых2 функций h: R ^ R, [2-4; 8], полностью определяемых условиями-неравенствами

п

h(0) sin р(02 — 0i) < h(0i) sin р(02 — 0) + h(02 ) sin р(0 — 0i), 01 < 0 < 02 < 01 + - .

р

Известно, что

(i) отображение-расширение ext: h i—> (H: re10 м- h(0)r9, r > 0, 0 е R), функций h: R ^ R задает аддитивную положительно однородную сохраняющую точную верхнюю грань биекцию выпуклых конуса р-tr^R) на конус р-shg(C), и функции из р-shg(C) и р-trc(R) непрерывны [3;5;7-9], [2, § 2.3, I-VI], [4, свойство 9.5, теоремы 9.12];

(ii) функция Н е р-shg^) удовлетворяет локальному условию Липшица в форме (см. [2, § 2.3, IV] и детальнее [4, свойство 9.25 и следствие 9.26 с доказательством])

I Н(z) — Н(w) |< рmax Н(е*ф) ■ (max{\z\, М})р-1\г — w\, z,w е C, (8)

и, как следствие из п. (i), функция h е р-trc(R) удовлетворяет условию Липшица

| h(0) — h(d) |< р max h(v) ■ \0 — 0,tf е R; (9)

(iii) в обозначениях из (i)—(ii) плотность меры Рисса dvH функции Н е р-shg^) в полярных координатах определяется как произведение плотностей мер

dvH(rei0) = гр-1 dr 0 ^ (h"(0) + р2h(0)) d0, rei0 е C, г > 0, 0 е R, (10)

где производные понимаются в смысле теории распределений, или обобщенных функций, а h" + р2h > 0 — положительная 2п-периодическая мера на R.

Пусть h]^,h2 е р-tr^R). Воспользуемся терминологией диссертации А.В. Абанина [1, § 2.5], широко используемой при исследовании абсолютно представляющих систем. Функцию h1 называем р-выпукло дополняемой до h2, если h2 — h1 е р-trc(R). В этом случае естественно называть и (см. (i)) функцию Н1 := ext h1 е р-shg(C) также р-выпукло дополняемой до Н2 := ext h2 е р-shg(C). Из (iii) сразу следует, что функция h1 будет р-выпукло дополняемой до h2, если и только если (h2 — h1)// + р2(h2 — h1) > > 0 в смысле теории распределений, или обобщенных функций, то есть в левой части последнего неравенства выписана положительная 2п-периодическая мера на R. Теорема 2. Пусть р > 0 и h1 е р-tr^R) — функция, р-выпукло дополняемая до

h2 е р-trc(R), то есть Н1 := ext h1 е р-shg(C) — функция, р-выпукло дополняемая до функции Н2 := ext h2 е р-shg(C), а мера v определена через произведение

плотностей мер в полярных координатах по правилу (см. и ср. с (10))

^(ге*0) = гр-1 ¿г 0 -1 ((^ - М" + Р2(^2 - М) (0) ¿0, е С, г > 0, 0 е М.

Последовательность точек Л с С — последовательность неединственности для Но1(С; ехр Я1], если и только если пЛ + V — подмера для класса вЬЬ(С; Я2].

Доказательство, основанное на теореме 1с М := Н2 и N := Н1 и свойствах (8)-(9), опускаем. Оно почти дословно повторяет доказательство [7, теорема 2], где различаются случаи р < 1 и р > 1. Так, в части достаточности в [7, теорема 2] возникала существенная добавка-мультипликатор в виде Но1(С; рехр Н\] с некоторым быстро растущим многочленом р. Такой результат со степенной добавкой значительно ослабляет теорему 2. Ликвидация такого многочлена р в данной здесь теореме 2 достигается за счет очень мало отличающейся от N функции-поднятия из (3) этой функции N.

Замечание 8. Возможны обобщения результатов статьи для функций нескольких комплексных переменных, что предполагается проделать в ином месте.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Поддержано грантом РФФИ № 16-01-00024.

2 Используют также термины тригонометрически р-выпуклая, или тригонометрически выпуклая при показателе (порядке) р.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абанин, А. В. Слабо достаточные множества и абсолютно представляющие системы ; дисс. докт. физ.-мат. наук I А. В. Абанин. — Ростов-на-Дону, 1995. — C. 268.

2. Евграфов, М. А. Асимптотические оценки и целые функции I М. А. Евграфов. — М. i Физматлит, 1979. — 198 c.

3. Левин, Б. Я. Распределение корней целых функций I Б. Я. Левин. — М. i Физмат-гиз, 1956. — 536 c.

4. Маергойз, Л. С. Асимптотические характеристики целых функций и их приложения I Л. С. Маергойз. — Швосибирск i Шука, 1996. — 398 c.

5. Xабибуллин, Б. H. Логарифм модуля голоморфной функции как миноранта для субгармонической функции I Б. H. Xабибуллин, Т. Ю. Байгускаров II Мат. заметки. — 2016. — Т. 99, № 4. — C. 588-602.

6. Xабибуллин, Б. H. Полнота систем экспонент и множества единственности I Б. H. Xабибуллин. — Уфа i РИЦ БашГУ, 2012. — 198 c.

7. Xабибуллин, Б. H. Последовательности неединственности для весовых пространств голоморфных функций I Б. H. Xабибуллин II Изв. вузов. Математика. — 2015. — Т. 59, № 4. — C. 63-70.

8. Levin, B. Ya. Lectures on entire functions I B. Ya. Levin. — Providence RI i Amer. Math. Soc., Transl. Math. Monographs, 1996. — Vol. 150. — 180 p.

9. Ransford, Th. Potential Theory in the Complex Plane I Th. Ransford. — Cambridge i Cambridge University Press, 1995. — 232 c.

REFERENCES

1. Abanin A.V. Slabo dostatochnye mnozhestva i absolyutno predstavlyayushchie sistemy : diss. dokt. fiz.-mat. nauk [Weakly Sufficient Sets and Absolutely Representing Systems. Dr. Phys. and Math. Sci. Diss.]. Rostov-on-Don, 1995. pp. 268.

2. Evgrafov M.A. Asimptotichеskiе otsеnki i tsеlyе funktsii [Asymptotic Estimates and Entire Functions]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1979. 198 p.

3. Levin B.Ya. Rasprеdеlеniе korney tsеlykh funktsiy [Distribution of Roots of Entire Functions]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1956. 536 p.

4. Maergoyz L.S. Asimptotichеskiе kharakteristiki tsеlykh funktsiy i ikh prilozhеniya [Asymptotic Characteristics of Entire Functions and Their Application]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1996. 398 p.

5. Khabibullin B.N., Bayguskarov T.Yu. Logarifm modulya golomorfnoy funktsii kak minoranta dlya subgarmonicheskoy funktsii [The Logarithm of the Modulus of a Holomorphic Function as a Minorant for a Subharmonic Function]. Mat. zametki [Mathematical Notes], 2016, vol. 99, no. 4, pp. 588-602.

6. Khabibullin B.N. Polnota sistem eksponent i mnozhestva edinstvennosti [Completeness of Exponential System and Uniqueness Sets]. Ufa, RITs BashGU Publ., 2012. 198 p.

7. Khabibullin B.N. Posledovatelnosti needinstvennosti dlya vesovykh prostranstv golomorfnykh funktsiy [Sequences of Non-Uniqueness for Weight Spaces of Holomorphic Functions]. Izv. vuzov. Matematika [Russian Mathematics], 2015, vol. 59, no. 4, pp. 63-70.

8. Levin B.Ya. Lectures on entire functions, vol. 150. Providence RI, Amer. Math. Soc., Transl. Math. Monographs, 1996. 180 p.

9. Ransford Th. Potential Theory in the Complex Plane [Generalized Analytic Functions]. Cambridge, Cambridge University Press Publ., 1995. 232 p.

ON NON-UNIQUENESS SETS FOR SPACES OF HOLOMORPHIC FUNCTIONS

Bulat Nurmievich Khabibullin

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Higher Algebra and Geometry, Bashkir State University khabib-bulat@mail.ru

Z. Validi St., 32, 450076 Ufa, Russian Federation

Farkhat Bulatovich Khabibullin

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Algebra and Geometry, Bashkir State University khabibullinfb@list.ru

Z. Validi St., 32, 450076 Ufa, Russian Federation

Abstract. Problems of description of zero subsequences for weight spaces of holomorphic functions are reduced, according to a general scheme, to solving certain problems in weight classes of subharmonic functions.

Let D be a domain in the complex plane C. We associate with every at most countable sequence A = (Afc}k=i,2,... C D, without accumulation points in D, the counting measure n\(S) := ^Afces 1. We denote by Hol(D) the vector space of all holomorphic functions in D. For 0 = f e Hol(D), denote by Zero/ zero sequence of f with account of multiplicities. A sequence A C D is called the non-uniqueness sequence for a subspace H C Hol(D), if there exists a

nonzero function f E H such that A C Zero/, i.e. nA(A) < nZerQf(A) for all A E D. We denote by sbh(^) the convex cone of all subharmonic functions in D C C. For —to ^ s E sbh(^) we denote by vs the Riesz measure of s. A Borel positive measure v is called the submeasure for a subset S C sbh(D), if there exists a function s E S, s ^ —to, with the Riesz measure vs > v on D. For a (weight) function M: D ^ [—to, +to] we define the weight classes sbh(D; M] := [s E sbh(D): s < M + const на D} and Hol(D; exp M] := [f E E Hol(D): If| < const ■ expM на D}, where const is a constant. Let S be a subset of the extended complex plane C^ := Cu{to}. Denote by clos S and bd S the closure and the boundary of S in C^ resp. Let dist(-, ■) be the Euclidean distance between two objects (points or subsets) in C. Let d: D ^ (0,1] be a continuous function such that 0 < d(z) < dist(z, bdD), z E D. We will juxtapose to a weight function N: D ^ [—to, +to] its average value of N over the disk [z' E C: |z' — z| < r}:

where P > 0 is an arbitrary fixed number.

Theorem 1. Let N,M,M — N E sbh(D), N,M = and A be a sequence

in D. If A is the non-uniqueness sequence for Hol(^;exp N], then nA + vM-n is submeasure for sbh(^; M]. Conversely, if nA + vM-n is a submeasure for sbh(^; M] and N is a continuous function on D, then A is a non-uniqueness sequence for Hol(^;exp N^] with a suitable lifting N^ (see above cases D = C with an arbitrary fixed P > 0 and C^ \ clos D = 0).

We also consider an important special case of subharmonic positively homogeneous of degree p > 0 weight functions N,M on C (see Section 2, Theorem 2).

Key words: holomorphic function, zero sequence, subharmonic function, Riesz measure, non-uniqueness sequence.

and some its "lifting" N^: D ^ [—to, +to] so that