CC BY
22
раздел МАТЕМАТИКА
ББК22.161
УДК 517.53 + 517.574
НУЛЕВЫЕ ПОДМНОЖЕСТВА ДЛЯ ВЕСОВЫХ КЛАССОВ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
Хабибуллин Б. Н.*
Анонсируются условия, при которых подмножество области на комплексной области является нулевым подмножеством для весового класса голоморфных в этой области функций
(Работа выполнялась при поддержке РФ ФИ (грант 03-01-00033) и фонда «Поддержка ведущих научных школ» (грант НШ-1528.2003.1).)
Классический результат Р. Неванлинны об описании нулевых множеств для алгебры ограниченных голоморфных функций в единичном круге D = {zg С :| z |< 1} комплексной плоскости С и аналогичные результаты для классов Неванлинны и Неванлинны-Джрбашяна породили широкий круг подобных исследований для различных типов алгебр или пространств голоморфных в D функций. Отметим здесь лишь обзор С.В. Шведенко [1] и наиболее близкие нам по типу рассматриваемых классов функций работы Ф.А. Шамояна [2],[3 ], Б. Коренблюма [4], И. Беллера и Ч. Горовица [5]-[7], К. Сейпа [8] и И. Бруны и К. Массанеды [9]. Подавляющее большинство результатов при этом относилось к весовым классам голоморфных функций в D , определяемым посредством радиальных весовых функций р{z) = ^(| z |) ,
Z gD В статье приводятся условия, при которых подмножество Л области Q является подмножеством нулевого множества для весового класса Н голоморфных функций в Q (см. п.2). Даны также условия на варьирование нулевых подмножеств, при которых они остаются такими же (см. п.3). При этом ограниченная область Q произвольна, а условия на систему весов, определяющую класс Н, и на подмножество Л имеют общий характер, но вполне обозримы и легко проверяемы. В рассматриваемых терминах все результаты не улучшаемы. В то же время они являются новыми даже для классов функций в D, задаваемых радиальной системой весов, и перекликаются с известными критериями для нулевых множеств (см., к примеру, [2, теорема 2.2]). Нередко для пространств в D удается показать, что всякое нулевое подмножество для них является и нулевым множеством (см., к примеру, [5]). Таким образом, исследование нулевых подмножеств, наряду с тем, что представляет значительный самостоятельный интерес, может быть полезным и при описании нулевых множеств, равно как и в вопросах интерполяции, полноты систем функций, базисности, спектрального синтеза и многих других.
Истоки использованного метода доказательств — в исследованиях подобного рода для пространств целых функций в работах автора [10], [11] (см. также изложение элементов этого метода в книге П. Кусиса [12, гл. IIIC] и в кратком обзоре Т. Рансфорда [13]). Общая схема метода для одной комплексной переменной изложена в [14], для нескольких переменных — в [15]. В отличие от традиционных она имеет неконструктивный характер и не требует построения в каком-либо явном виде (в виде произ-
* Хабибуллин Булат Нурмиевич - д.ф. - м.н., профессор, зав.каф. высшей алгебры и геометрии БашГУ
ведения, интеграла или иной форме) ненулевой функции из весового класса с заданным подмножеством нулей.
1. Основные понятия и обозначения. Пусть Q — область в С, Н(Q) — пространство всех голоморфных в Q функций, Н с Н(Q), а Л с Q — множество изолированных точек в Q . Если существует ненулевая функция f из Н, обращающаяся в нуль на Л, то Л — нулевое подмножество для Н . Если класс Н —линейное пространство, то нулевое подмножество для Н называем также множеством неединственности для Н , и множеством единственности для Н в противном случае.
Через SH(Q) обозначаем конус всех субгармонических функций в Q ; SH(о)— подконус всех положительных функций из SH(Q).
Пусть р Є SH (Q). Линейное пространство (над С) всех голоморфных функций f в Q , удовлетворяющих неравенству | f (z) |< Cf expр(z) при всех zЄ Q , где Cf > 0 — постоянная, обозначаем через Н (Q).
Семейство функций Р с SH(Q), не содержащее тождественную —од, далее называем системой весов на Q , а функции из Р — весовыми, или весами. Если система весов Р обладает свойством
(н1 )для любых рр, р2 Є Р найдутся постоянная C и весовая функция рЄ Р , при которых max[pp{z), р2(z)j< p(z) + C для всех zє Q,
1 def
то класс Нp(Q) = ^ р Нр (Q) образует линейное пространство. Если система Р = |р| состоит из одной функции р, то условие (н1) выполнено и Нр (Q) = Нр (Q). Если система весов Р имеет вид, где рЄ SH(Q), то класс ^р (Q) обозначаем через Hlp (Q). Если рЄ SH (Q), то для Р ={ср\ 0 < С<1} выполнено (н1) т.е. Нlp (Q) —линейное пространство. Если система весов Р обладает свойством
(А1)для любых рр, р2 Є Р найдутся постоянная C и весовая функция рЄ Р , при которых pp (Z) + р2 (Z) < р(z) + C для всех Z Є Q,
то класс Нр (Q) обозначаем как Ар (Q). Если вместе с (а1) выполнено и (Нр) то Ар (Q)
— алгебра. При рЄ SH +(Q) из (ap) следует (Нр) т.е. Ар (Q) — алгебра при условии (а1) Если Р ={ср\ 0 < С< ОД }, где рЄ SH+(Q), то алгебру Ар (Q) обозначаем как ^ОД(О).
Ниже всюду до п.З семейство X = [Sk j, k = 1,2,..., борелевских непересекающихся предком-пактных подмножеств в Q образует покрытие не более чем счетного подмножества Л с Q . Число точек из Л, попавших в Sk , обозначаем как пЛ(Бк ). В нашей работе даются условия, при которых Л является подмножеством нулей именно для классов типа Нр (Q) и Ар (Q). Эти условия формулируются в терминах определенного мажорирования числа точек ПЛ(8к) значениями меры Рис-са V = 2г Ар (здесь равенство в смысле теории распределений, А — оператор Лапласа) некоторого
субгармонического веса рЄ Р на всех подмножествах Sk. Для явного количественного выражения такого мажорирования используем, в частности, простую характеристику
„л
def
П
Пл (Sk )
(S) = iim . (1)
' v ' V р (Sk)
def
diamS = supг5 \z — w\ — диаметр множества Sс С. Через dn (S) обозначаем евклидово расстояние между множеством S и дополнением С\Q области Q . Для z є Q полагаем dQ (Z) = dq ({z}) . При формулировках теорем о нулевых подмножествах в терминах характеристики (1) существенную роль будет играть «мелкость» семейства Z относительно области Q , которая, в частности, будет характеризоваться предельным значением относительных диаметров подмножеств Sk :
def— diamS^
Ча (S) = Jim ~T7^ . (2)
da (Sk)
Другая характеристика подобного рода из (5) использует
Определение. Энтропией линейной связности непустого подмножества S в ограниченной области Q с С называем величину
ґ \def I l(z5 w) I
t(S;Q) = sup^w,, infl(Z;w)ca ----k- (3)
da(l (z,w))
где infi («.. ^)_q берется по всем спрямляемым дугам l(Z, w) с Q, соединяющим точки z и
w , I l(z, w) I — их длина в евклидовой метрике.
2. Теоремы неединственности. В пп. 2, 3 всюду Q — ограниченная область в С. Для алгебр по положительной системе весов справедлива
Теорема 1. Пусть для Р с SH +(Q) выполнено условие (А’) и существует число s , 0 < s < 1, при котором для каждого веса р є Р можно подобрать весовую функцию р1 є Р и число С так, что
1 2% 1
— I р(z + sdü(z)eie )ф + in-------------< p1 (z) + С при всех zє Q. (4)
2% o dn(z)
Если для характеристик из (2) или (3) выполнено соотношение
Чп (X) < 2 или lim £ (Sk; Q) < од, (5)
а для некоторого веса р є Р с мерой PиссаV р характеристика пЛ (^ ) из (1) конечна, то Л
— подмножество неединственности для ^p(Q).
Оба условия из (5) в теореме 1 точны. Для выпуклой области Q последнее соотношение в (5) эквивалентно конечности величины Чп (^). Очевидно, для алгебры A^(Q) при проверке (4) на роль
веса р1 детерминировано выбирается функция вида ср, где с > 0 — постоянная.
Следующий аналог теоремы 1 охватывает и классы Ар (Q) со знакопеременными весами рє Р , но за счет усиления условий на Р .
Теорема 2. Пусть для системы весов Р с SH(Q) выполнено условие (а’ )и для любого числа s , 0 < s < 1, для каждого веса р є Р найдутся вес р1 є Р и число С, при которых имеет
место (4). Если (X ) < 1 и для некоторого веса рЄ Р характеристика П^ (X ) из (1) конечна,
то Л — нулевое подмножество для класса ^р(п).
Дальнейшее усиление условий выводит уже на пространство (п) по системе весов
{ср: 0 < с < 1} с положительной функцией р.
Теорема 3. ПустьрЄ 8Н(п) и для любого числа Ъ > 1 найдутся числа £ , 0 < £ < 1, и С, при которых
1 2% 1
— [ р( + £ da (2)ее )ф + 1п---------< Ьр{г) + С для всех г є п. (6)
2% о ^(*)
Если (X ) = 0 и ПЛ (X ) < 1, то Л - множество неединственности для пространства
и і (п)
В наиболее жестком случае пространства Н (п) в отличие от теоремы 3 допускается и знакопеременный вес р.
Теорема 4. Пусть рЄ 8Н(п), и найдутся числа £ , 0 < £ < 1, и С, для которых выполнено (6) при значении Ь = 1. Если ПЛ(5^ ) < V р (Бк ) при всех достаточно больших к и конечна сумма £ р (*Я ) , то Л - множество неединственности для Нр (п).
к=1 к )
3. Теоремы устойчивости. В результатах этого пункта имеет значение нумерация нулевых подмножеств и множеств единственности. Под последовательностью в области п понимаем проиндексированное натуральными числами множество изолированных точек в п . Для пары последовательностей Л = } и Г= {1 ^ } к = 1Д-8 в п рассмотрим две характеристики их близости в области
п :
Лп(Л,Г) = Нт---------- ^ ~1 -------- , Л^6(Л,Г) = Нт ^ ~1 ^ , где
тт{п(Хк),dп(ук)} dп([Xk,1 к])
[X, 1 ] — отрезок с концами в точках X и у. Очевидное неравенство Лп (л, г ) < л«6 (Л, Г )в случае выпуклости п переходит в равенство.
Теорема 5. Если Лп(Л,Г)< 2 или Л^6(Л,Г)< +ОД, а система весов Р с 8Н+ (п) такая же, как в теореме 1, то Л и Г могут быть множествами единственности для Ар (п) только одновременно.
Теорема 6. Если Лп (Л,Г)< 1, а система весов Р с 8Н(п) такая же, как в теореме
2, то Л и Г могут быть нулевыми подмножествами для Ар (п) только одновременно.
Теорема 7. Если Лп (Л,Г) = 0, а функция рЄ 8Н (п) такая же, как в теореме 3, то Л и Г могут быть множествами единственности для Н »(п) только одновременно.
да Ь _ у I
Теорема 8. Если -------------- ----------------- < +да, а функция ре БН(Л) такая же,
к~( тт{^(Хк), dn(ук)}
как в теореме 4, то Л и Г могут быть множествами единственности для Н (Л ) только одновременно.
Замечание 1. Все результаты без каких-либо осложнений переносяться на нулевые подмножества кратных точек, т.е. остаются справедливыми и при учете кратности обращения в нуль голоморфных функций.
Замечание 2. Условие о непересекаемости подмножеств 5^ с Л семейства Е в теоремах неединственности из п.2 можно исключить, заменив его на условие локальной конечности семейства Е в Л (для каждой точки в Л существует открытая окрестность, пересекающаяся с конечным числом подмножеств ^) и внеся необходимые изменения в определение характеристики ^ (Е ) из (1) и в формулировку теоремы 4.
Замечание 3. Результаты допускают прямое обобщение на произвольные неограниченные области. Для этого наиболее естественно перейти от евклидова расстояния к сферическому, т.е. хордальному, расстоянию на расширенной комплексной плоскости с соответствующими корректировками для
функции расстояния , для длины дуги и для энтропии линейной связности из (3). Понятие энтропии
линейной связности также можно распространить на области в Л-мерном линейном пространстве, П > 2, или даже на метрические пространства с сохранением большинства его свойств, используемых при доказательстве теоремы 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шведенко С. В. // Итоги науки и техники. Серия «Математический анализ». 1985. Т.23. С. 3-124.
2. Шамоян Ф. А. // Изв. АН Арм. ССР. 1978. Т. 13. № 5-6. С.405-421.
3. Шамоян Ф. А. // Изв. АН Арм. ССР. 1983. Т. 18. № 1. С.15-27.
4. Korenblum В. // Acta Math. 1975. V. 135. P. 187-219.
5. Beller E. // Israel J. Math. 1977. V. 27. P. 320-330.
6. Beller E., Horowitz C. // J. Analyse Math. 1994. V. 64. P. 203-217.
7. Horowitz C. // J. Analyse Math. 1995. V. 65. P. 145-159.
8. Seip K. // J. Analyse Math. 1995. V. 67. P. 307-322.
9. Bruna J., Massaneda X. // J. Analyse Math. 1995. V. 66. P. 217-252.
10. Хабибуллин Б. Н. //Изв. АН СССР. 1991. Т. 55. №5. С. 1102-1123.
11. Хабибуллин Б. Н. //Изв. РАН . 1994. Т. 58. №4. С. 125-148.
12.
13. Ransford Т. J. //Approximation, Complex Analysis and Potential Theory. Proc. NATO Adv. Stud. Inst. (Quebec, Canada, 2000). NATO Sci. Ser. II. V. 37. Kluwer Acad. Publ. 2001. P. 221-237.
14. Khabibullin B. N. // Israel Math. Conf. Proc. (“Entire Functions in Modern Analysis”, Tel-Aviv, 1997). 2001. V. 15. P. 207-219.
15. Хабибуллин Б. Н. // Изв. РАН. 2001. Т. 65. №5. С. 167-190.
Поступила в редакцию 13.05.04 г.
