CC BY
6
Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 3, С. 64-75
УДК 517.53/.54
О ХАРАКТЕРИЗАЦИИ КОРНЕВЫХ МНОЖЕСТВ ОДНОГО ВЕСОВОГО КЛАССА АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ1
Ф. А. Шамоян, Е. Г. Родикова
В работе получено полное описание корневых множеств аналитических в круге функций, допускающих рост вблизи заданного конечного множества точек граничной окружности.
Ключевые слова: аналитическая функция, единичный круг, множество нулей аналитической функции.
Пусть В — единичный круг на комплексной плоскости, Т — его граница, Н(В) — множество всех аналитических в В функций, — множество нулей тождественно отличной от нуля функции f £ Н(В), Е = {егТк }т=о1 — т точек на единичной окружности. Обозначим р(г,Е) = Е) — расстояние от произвольной точки г £ В до множества Е.
Рассмотрим класс
Щ{Е) = {/ е Я( В) : 1п |/(г)| < сгср
где р — монотонно возрастающая положительна я функция на М+.
Здесь и в дальнейшем, если не оговорено иное, мы будем обозначать через С,с,с1,..., сп(а, в,...) положительные константы, зависящие от а, в,...
В том случае, когда Е состоит из одной точки, р(Ь) = 0 < д < 1, полное описание корневых множеств класса Нр(Е) было получено в работах М. М. Джрбашяна [1], X. Шапиро и А. Шилдса [2]. В бесконечном случае, когда Е = Т, р(Ь) = 1п Ь результат окончательного характера был получен К. Сейпом (см. [3]). Полное описание корневых множеств и факторизационное представление класса Нр(Е), Е = Т, в случае более общих весов получено еще в 80-х гг. Ф. А. Шамояном (см. [4-6]). Приведем некоторые результаты из этих работ.
Пусть р(х) — монотонно возрастающая положительная функция, р £ С(1)(1, такая, что
<Р'(Ф = ^ ^ ср'(х)х 2,1^00 <р(х) <Р' х^+оо (р(х)
Шп =НЕ ^^ (1)
и 1 < вр ^ ар <
Справедливы следующие утверждения:
© 2014 Шамоян Ф. А., Родикова Е. Г.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 13-01-97508, и Министерства образования и науки РФ, проект № 1.1704.2014К.
Теорема А. Пусть Akj = jl — — -^е+т, ф ^ arg 2 < — разбиение
Унтни единичного круга, к = 0,1, 2,... , l = —2k,..., 2k — 1, Z = {zk}+=1 — последовательность точек из D nk,i — число то чек {zk} в прямоуголь инке Дк,г- Тогда следующие утверждения равносильны:
1. Z = Zf для f £ HV(T),
2. nk,i < c^(2k) к = 1,2,..., l = —2k,..., 2k — 1.
Теорема Б. Пусть ф(х) — монотонно убывающая функция на полуоси (0, такая что lim ^(х) = 0 ^(х) — монотонно возрастающая положительная функция,
Ф £ C(1) (1, +<^>), удовлетворяющая условиям (1). Тогда следующие утверждения равносильны:
1. Для произвольной последовательности {zk}+=1 = Zf f £ H^(T), сходится ряд
ЕЙ 1> (bfa) < +00;
2. ^(х) ^(х) dx <
В дальнейшем для случая, когда E С T — конечное множество точек на единичной окружности, в работе [7] было установлено следующее утверждение:
Теорема В. Если f £ HV(E), (p(t) = t9, q ^ 0 {zk}+=i _ последовательность пулей f
J2(ß(zk,E))(9-1+£)+ (1 — |zk|) <
к= 1
где £ — сколь угодно малое положительное число, х+ = шах(х, 0).
В недавних работах Л. Голинского, С. Купина, С. Фаворова, Л. Радченко последний результат был обобщен в различных направлениях (см. [8-11]). Подобные результаты имеют ряд важных приложений в теории операторов, теории аппроксимации и других разделах комплексного и функционального анализа (см. там же). В частности, в работе [11], авторы получили аналог необходимого условия в теореме Б для класса И1р(Е). Однако полного описания корневых множеств класса И1р(Е) до сих пор не было получено.
Нами для случая конечного множества Е = {егТк }т=01 С Т установлены следующие результаты:
Теорема 1. Пусть р — монотонно возрастающая положительная функция, р £ С(1)(1, такая, что
рр (х)х ж^+го р(х)
Если / £ И^(Е) и = {2п}+=1, то для любого Я> 1 справедлива оценка
lim —у-^- = av. (2)
R
сл^о v J /
R
+ r^dx . (3)
Обратно,
а) если а^ £ Ъ+, {2п}+=1 — произвольная последовательноеть точек из В, удовлетворяющая условию (3),
б) если ар £ Ъ+ \ {1} {гп}—=Х — произвольная последовательность точек из В, удовлетворяющая наряду с условием (3) условию
вир
0<к<т—1
причем
у- (/Тк+*п
вир < +00, х>1 р(х)
< М, М > 0,
можно построить функцию д £ Ир(Е), нули которой совпадают с точками последовательности {гп }+=<1-
Отметим, что требование гладкости функции р на (1, можно заменить на условие р £ С (1)( а, где а — произвольное достаточно большое положительное число.
Теорема 2. Пусть р — монотонно возрастающая положительная функция, р £ С(1) (1, . Следующие утверждения равносильны:
1. Для любой последовательности {гп= / £ Ир(Е), выполняется условие Бляшке, т. е.
+х
^(1 - |2п|) <
п=1
2. Функция р удовлетворяет условию
-¡-IX
У" ^^<+00. (4)
1
Теорема 3. Пусть р — монотонно возрастающая положительная функция, р £ С(1)(1, такая, что ар ^ 1, / £ И1р(Е), {г,п}+=°1 = 2/, ф(х) | 0 х ^ 0+,
ф £ С(1) (0, и при этом
цш , (1) т < +со.
Я^+х КЯ/ Я
Тогда, если / -ф1 < +оо, то
1 х
+х
5>(р(*к, Е))(1 |) < (5)
к=1
Обратно, если /1+°° ф' -Щг- с1х = +оо, то можно в явном виде построить функцию д £ Ир(Е), д ф 0 такую что д(гк) =0 к = 1, 2,..., для которой ряд (5) расходится.
Замечание 1. Если в формулировке теоремы 3 положить 0 < ар < 1, то ряд (5) будет сходиться даже в том случае, когда ф(х) > 5 > 0 х £ Ж- (см., например, [4]). Отметим также, что метод доказательства теорем 1-3 существенно отличается от методов, используемых в статьях [7-11], и впервые был применен первым автором в работах [12,
13].
Замечание 2. Интересно сравнить результат теоремы 2 для случая нулей, расположенных па радиусе (0,1) единичного круга, со следующей теоремой Хеймана — Коренблюма (см. [14]).
—а
р
Теорема Г. Пусть р — монотонно возрастающая положительная функция на М+. Следующие утверждения равносильны:
1. Для любой последовательности {гп}+=1 = f £ И^(Т), гп > 0 п £ N выполняется условие Бляшке:
+1Х
- Гп) <
п=1
2. Функция р удовлетворяет условию
i
\ 2
dx < (6)
i
Из сходимости интеграла (6) следует сходимость интеграла (4), но обратное неверно. На это указывает пример функции </?(ж) = ^^х)'2> ж ^ 1-
Доказательство основных результатов опирается на следующие вспомогательные утверждения.
Лемма 1. Пусть ю = регв = г — конформное отображение единичного круга
на верхнюю полуплоскость С+, где 0 ^ то ^ 2ж. Тогда при всех 0 < 9 < ж, 1 ^ р <
справедливы оценки:
sin9 . |2 4sin 9
— « 1 - W2 < —, (7)
1 2
- ^ |егт°-zU-. (8)
Р Р
<\ Поскольку w = регв = i , то z = егт° ¡ откуда
4Р sin 9 4 sin 9
1 -|z|2 =
1 + 2psin9 + p2 p (l 2 sin 6 | Л
yp1 p
Учитывая, что 1 ^ p < и sin 9 > 0, получаем:
1 ^ + + i ^ l + 2sin0+l <4,
Р2 Р
откуда непосредственно следует неравенство (7). Поскольку w = регв = i , то егто — z = т^- Далее,
О О 1
|1-*| =
|1 +psin0 — ipcos^l р / 1 2 sin в I 1 "
У р1 Р
откуда, снова учитывая, что 1 ^ Р < и sin 9 > 0, получим неравенство (8). > Следующее утверждение непосредственно следует из определения класса HV(E): Лемма 2. Класс HV(E) совпадает с классом функций
Н;{Е) = |/ G Я (В) : 1п 1/(2)1 < Cf ^ ip (р—-7 ] | , г G В ¡> ,
Н --Ч-/ • "1-/Ч-/1 I v |z - eirk |
где р — возрастающая положительная функция, р £ C(1) (1,
1
Будем исследовать структуру корневых множеств класса Н*.
При доказательстве основного результата существенную роль играет следующее утверждение, необходимая часть которого установлена в работе [13], а достаточная часть — в работе [15]:
Теорема Д. Пусть у(£) — монотонно возрастающая положительная функция на М+, V € С(1)(К+), > 1.
Если последовательность {рпегв" }, рп ^ ро > 0, точек из верхней полуплоскости С+ является корневым множеством некоторой ненулевой функции из класса Н^(С+) = {] € Н(С+):1п ^М| < ор(Ы)},то
0<Р0 <рп ^я Рп
С>0
Обратно, если {рпегв"}, рп ^ ро > 0 — произвольная последовательность точек из верхней полуплоскости С+, удовлетворяющая условию (9) и при € Ъ+ условиям:
1
0<Р0 <рп<ЯИп
< M, 0 < R< +<х,
sup . . < +оо, x>1 <p(x)
то можно построить функцию g £ ), нули которой совпадают с последовательно-
стью [рпег9" }.
Перейдем к доказательству основных результатов статьи.
< Доказательство теоремы 1. Фиксируем егТ0 £ E. Введем обозначение: lE =
mino^)Kn-i |eiTk — eiTj k = j. Очевидно, что Ie > 0. Отобразим единичный круг D на верхнюю полуплоскость С+ с помощью функции w = i ^.
Обозначим через х& = г , т. е. егТк = егто х& е Ж.
Выясним, какие условия накладываются на xk-
Ixk | =2
xk + i-i <2N + «I+1= . ^ . ,+j^l + l.
2 2 |егто - егтк | 1Е
Таким образом, все точки Хк находятся внутри полукруга
2
C+:={WeC+>K^ + i}.
Пусть гЕ = 2 + 1).
Не ограничивая общности, будем считать, что множество Е состоит из одной точки, т. е. Е = {егто}.
Рассмотрим функцию = / (^егт° ^, и; £ С+, аналитическую в верхней полу-
плоскости. Так как / € Нто
1п №)| < ч<р < с/¥» (^з^) < сМН), (Ю)
при всех w : |w| ^ 1.
Обозначим [рпвгв" }+=1 — последовательность нулей функции F. Пусть далее Fv(w) = F (w + ij), r > 0 Очевидно, что Fv — аналитическая в полуплоскости Im w > —r Применим к функции Fv(w) формулу Карлемана в полукольце CrE,r := {w G C+ : te ^ |w| ^ R} (см., например, [16, с. 139]):
п
1 Рп \ _ JL fln\F îdJ9 -, п 7Т R J
rE ^Pn^R 0
1 fil 1
чж:
rE <|z|<R
üPpnKR^Pn ' П 0
¿ / (¿ " ln dx + AV(R, /),
где ДДД,/) = ^ /07Г1т{^^-— {ргаег0п} — последовательность
нулей функции ^ в пол у кол ьце СГЕ
Заметим, что все слагаемые в левой части равенства неотрицательны, поэтому, принимая во внимание оценку (10), получим:
ГЕУип 7 V гЕ )
В условиях теоремы можно перейти к пределу при ц ^ 0+. Получим:
ГЕ ^Pn^R \rE
где A(RJ) = - lnF(rEei9)}de = 0(1) прий^+оо.
Положим теперь R! = Выбирая нули только из кольца ге sí рп sí II'. из (11) получим:
ГЕ ^Pn^R' 'П \ Ге '
2R< R' 2R' R' .
Поскольку f dx = f ... -h J ... sí f y^r dx + 2R' > ВВИДУ возрастания функ-
ГЕ ГЕ R' ГЕ
ции р(х), то оценка (12) эквивалентна оценке
(13)
rE<,Pn<R' Рп Vя гЕ )
Теперь заметим, что для произвольного положительного е > 0 при достаточно больших х справедливо
р(сх) < caf +£р(х), (14)
где с > 0.
Действительно, из (2) следует, что для всех£ ^ ¿о(е) выполняется неравенство < а у + £, поэтому
сх сх
г'
а значит, 1п ^^ ^ (а^ + е) 1пс, откуда следует (14). Принимая во внимание оценку (14), из (13) получим:
ГЕ«Р„«Я Рп \ " гЕ )
Ввиду оценок (7), (8), неравенство (15) эквивалентно неравенству
Е + а«
\ гЕ /
В силу произвольности выбора точки егТ0 го множества Е С Т и учитывая лемму 2, делаем вывод о справедливости оценки (3). Необходимость доказана. Перейдем к доказательству обратного утверждения.
Пусть {гп}+=1 — произвольная последовательное!ь точек из В, удовлетворяющая условию (3), ау £ ау > 1. Докажем, что можно построить функцию д £ Ну(Е), нули которой совпадают с точками последовательности
Как и при доказательстве необходимости, отобразим единичный круг на верхнюю полуплоскость с помощью функции т = Точки последовательности {хп} £ В
отобразятся соответсвенно на точки последовательности {рпегвп} £ С+, рпегвп = г^щ^Г удовлетворяющие, ввиду леммы 1, оценке (15).
Применяя правило Лопиталя, легко убедиться в справедливости оценки:
я
Уж2 к
ГЕ
Поэтому неравенство (3) для Е = {егТ0} можно переписать в виде:
Е (1-1*>1(17)
В силу леммы 1 неравенство (17) эквивалентно (9).
По теореме Д, если последовательность точек из верхней полуплоскости [рпегв" } удовлетворяет условию (9) при ау > 1, то можно построить функцию д(ш) £ Н(С+) такую, что 1п |д(ад)| ^ р(1т1), нули которой совпадают с последовательностью {рпегв"}. Рассмотрим функцию О(г) = д (г ^ ) • Очевидно, О(г) £ Я (В). Более того,
С £ Ну(Е).
Нули функции С совпадают с последовательностью {хп}, гп = и выполняется
оценка (17).
Справедливость пункта б) устанавливается аналогичным образом. Достаточность доказана. >
Для удобства изложения докажем теперь теорему 3. Введем дополнительные обозначения. Для любого в > —1 символом пв(г,гк) будем обозначать бесконечное произведение М. М. Джрбашяна с нулями в точках последовательности [гк(см. [1]):
/ Z \
Ti^{z,zk) = Д ( 1--exp(-Up(z,zk)),
к=Л ZkJ
где
Щ(г,гк) =---J у {1_хре-гву+2 МР^
0 -п
Как установлено в [1], произведение пв(г, гк) сходится абсолютно и равномерно в В тогда и только тогда, когда сходится ряд
-|Zk|)в+2 <
к=1
< Доказательство теоремы 3. Фиксируем т0 g R. Проведем доказательство для случая E = {вгт°}.
Отобразим, как и выше, единичный круг В на верхнюю полуплоскость C+ с помощью функции w = i ^. Точки последовательности {zn} G В, {zn} = Zf, отобразятся
соответственно на точки последовательности {рпегвп} G С+, рпегвп = i.
Пусть s (р) = Y, sa^. Тогда для любой функции ф G C(1) (0, справедливо
ГЕ <Pn^P
равенство:
R
1 \ sin вп [ , (1
ч,-П/ ГП
ГЕ <pn^R ГЕ
Следовательно,
R
m = sm + J </>' Q) ¿ ф) dx.
ГЕ
Но ip1 Q) ^ 0, поэтому, учитывая, что s(x) ^ по теореме Д, получаем:
R
ГЕ
В условиях теоремы I(R) ограничено, значит, сходится ряд
(АЛ ^
\Рп) Рп
Е, ( 1 \ sin вп ф - — <+0°- ^
ГЕ <pn^R
Но (18) ввиду леммы 1 эквивалентно (5).
Перейдем к доказательству обратного утверждения этой теоремы. Не ограничивая общности, можно ползать, что то = 0 Разобьем полуинтервал [0,1) на полузамкнутые интервалы Ак = [1 — 1 — тр^т), к = 0,1,2,... Построим последовательность {гк} следующим образом: гк £ Ак, т. е. 1 — ^ ^ гк < 1 — тр^т, к = 0,1, 2,..., причем кратность гк
равна [ср(2к)], где [а] — целая часть а £ Ж. Докажем, что если ° ф1 с1х = +оо,
то ряд (5) расходится. Обозначим полузамнутый интервал [2к, 2к+^, к = 0,1, 2,... Тогда [1, = и +=°о
Для любого р> 1 справедливо:
2Р 1 1 2^+!
1 к=0 2к
2^+1
к=0 2к к=0
2к ./ и / ¿2 г-' 2к+1 V \2к/ \2к+1 Р-1 ^(2к+1 К / 1
_Ц
^ / у 2к+^ V 2к к=0 2 2
ввиду того, что ф (^етт) >0, к = 0,1, 2,... ,р — 1. Применяя оценку (14), окончательно получим:
2р Р-1
Так как интеграл в левой части неравенства стремится к бесконечности при р ^ то расходится ряд
к=0 2 2
Но ряды (5) и (19) — равнорасходящиеся при указанном выборе последовательности {хк}, следовательно, ряд (5) расходится.
Функцию д(х) будем строить в виде бесконечного произведения М. М. Джрбашяна пр(х, Хк) с нулями Хк = Гк, к = 1, 2,..., где {гк} — построенная вышеуказанным образом последовательность.
Покажем, что в условиях теоремы произведение пр(х, Гк) сходится при всех в > а^—2. Рассмотрим ряд
. (2к)
Е(!" м™ = £ £ (! - < Е ■
2&(/3+2) •
к=1 к'^1 гт еАк к=1
Е(1 -|хк 1)в+2 2" к=1 к=1
Очевидно, ряд сходится при всех в > а^ — 2 0 < £ < в + 2 — а^. Из сходимости ряда ^+=1(1 — |хк |)в+2 следует абсолютная и равномерная сходимость бесконечного произведения пр (х, Хк )•
Теперь докажем, что пр(х,Гк) С И1р(Е). Используем известную оценку произведения М. Джрбашяна (см. [4]):
/ | х в+2
Ясно, что
/ 1 _ Г, \ Р+2 / 1 - г \ Р+2
,„ м„ ,„, с03) g = с03) £ Z „т. ,
ш(2к) 1
In\7Tß(z, rk)I < с(/3) Е (20)
Пусть ^ II"-2! < ^тг) где п — фиксированное натуральное число. Разобьем ряд на
части:
к
<p(2k)
k>i 2k(ß+2) |i - rkz|ß+2
= у\ 1 | 1 | 1 | у г ^
■ ■> + 2™(/3+2) |1 - гпг\Р+2 2(™+1)(/?+2) |1 - гп+1г\Р+2 ^
к—1 к—п+2
= 11 + (1п + 1и+1) + 12.
Рассмотрим сумму Д. Оценим снизу |1 — Гкх| при 1 ^ к ^ п — 1:
1 Гк 1
|1 - гкх\ = \(1-гк)+ гк( 1 -г)\>(1-гк)-\1-г\>(1-гк)--—^ >
2к+2
С учетом этой оценки получаем:
П—1 1 П—1
п—1 п—1 2к+1 (4)
Но ^ </?(2к) ^ 2 ^ J ^к! поэтому справедлива оценка
k=l k=l 2fc
n—1
<2 I 1
2n
k=l
l
У (.)
Покажем, что / "¿-¿Й ~ при у —> +оо, 0 < < +оо. Воспользуемся правилом
—1"" ~ ^U/J ПРИ У U <
1
Лопиталя
lim lim =
y^+x ^(y) y^+X yip' (y)
поэтому заключаем, что /i ^ y(2n).
Рассмотрим /2. Оценим снизу |1 — rkz| при k ^ n + 2:
|1 - = 1(1 - z) + - rk)\ >\l-z\-{l-rk)>\l-z\-^> li^i ^ 1
2 п+2 2 2 п+2 С учетом этой оценки получаем
2к+1
Е Е / / §$<«•
к>п+2 к>п+2 2^ 2"+2
1
Покажем, что f j^dt ~ ' xß+2' ПРИ ж ~~^ Снова воспользуемся правилом
ж ^
Лопиталя для вычисления предела
/ ip(x)
lim ——г^- = — lim xß+3
ж—>+oo x^+oo (xip'(x)-(ß+2)ip(x))xß+1
x2(ß+2)
1 1 = — lim —7-7—т-= —--г- > 0,
x^{x) _(ß + 2) (ß + 2)-av
поскольку ß + 2 > ap. Поэтому заключаем, что I2 ^ cp^>(2n+2) ^ cp^>(2n). Осталось оценить сумму
_ У(2") 1 p{2n+l) 1
п n+l 2™(/?+2) |1 - rnz\ß+2 2(™+1)(/?+2) |1 - r^+izl^2 '
Поскольку (1 — rn) ^ |1 — rnz| при всех z G D, rn G (0,1) n = 1,2,..., и с учетом неравенства (14), получим In + In+i ^ p(2n) + p(2n+1) = cvp(2n). Объединяя оценки для Ii, h, In + In+1, из (20) получаем:
ln Ine(z,rk)| < C(p)p(2n),
т. e.
ln \Kß(z,rk)| ^ C(ф)у
.11 - А.
Таким образом, пр(г,Тк) £ Н^(Е).
В силу произвольности выбора то и с учетом леммы 2, делаем вывод о справедливости теоремы для общего случая, т. е. для Е = {вгТк }т=01 £ Т. Теорема 3 доказана полностью. >
Приступим к доказательству теоремы 2.
< Доказательство теоремы 2. Сначала заметим, что если /1+ос dx < +оо, то
К^+оо. (21)
К
Импликация 2) ^ 1) сразу следует из оценок (3) и (21).
Импликация 1) ^ 2) непосредственно следует из доказательства второй части теоремы 3. >
Авторы статьи благодарят рецензента профессора Б. Н. Хабибуллина, обратившего их внимание на недавние результаты, полученные в работах [8—11].
1
Литература
1. Джрбашян М. М. К проблеме представимости аналитических функций // Сообщ. Института математики и механики АН Арм. ССР.—1948.—№ 2.—С. 3-40.
2. Shapiro Н. S., Shields A. L. On the zeros of functions with finite Dirichlet integral and some related function spaces // Math. Z—1962 —№ 80.-C. 217-229.
3. Seip K. Interpolating and sampling in spaces of analytic functions.—Providence (R. I.): Amer. Math. Soc., 2004.-183 p.
4. Djrbashian A. E., Shamoyan F. A. Topics in the Theory of Apa Spaces.—Leipzig: Teubner-Texte zur Math., 1988.-105 p.
5. Шамоян Ф. А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и характеризация нулей аналитических функций с мажорантой конечного роста // Изв. АН Арм. ССР. Сер. Математика.—1978.— Т. 13, № 5-6.-С. 405-422.
6. Шамоян Ф. А. О нулях аналитических в круге функций, растущих вблизи его границы // Изв. АН Арм. ССР. Сер. Математика—1983—Т. 18, № 1—С. 215-228.
7. Borichev A., Goliaskii L., Kupin S. A Blaschke-type condition and its application to complex Jacobi matrices // Bulletin of the London Mathematical Society.—2009.—Vol. 41,—P. 117-123.
8. Goliaskii L., Kupin S. A Blaschke-type condition for analytic functions on finitely connected domains. Applications to complex perturbations of a finite-band selfadjoint operator // J. Math. Anal. Appl.— 2012,—Vol. 389, № 2.-P. 705-712.
9. Favorov S., Goliaskii L. Blaschke-Type Conditions for Analytic and Subharmonic Functions in the Unit Disk: Local Analogs and Inverse Problems // Computational Methods and Func. Theory.— 2012,—Vol. 12.—P. 151-166.
10. Favorov S., Golinskii L. Blaschke-type conditions in unbounded domains, generalized convexity and applications in perturbation theory.—arXiv: 1204.4283.
11. Favorov S., Radchenko L. On Analytic and Subharmonic Functions in Unit Disc Growing Near a Part of the Boundary // Zh. Mat. Fiz. Anal. Geom.-2013.-Vol. 9, № 3.-P. 304-315.
12. Shamoyan F. A. On some properties of zero sets of analytic functions with given majorant // Theory functions and applications. Collections of works dedicates to the memory of M. M. Djrbashian.— Yerevan: Luys Publishing House, 1995.—P. 169-172.
13. Шамоян Ф. А. О нулях аналитических в круге функций с заданной мажорантой вблизи его границы // Матем. заметки.—2009.—Vol. 85, № 2,—С. 300-312.
14. Нагшап W. К., Korenblum В. A critical growth rate for functions regular in a disk // Michigan Math. J.—1980.—Vol. 27.—P. 21-30.
15. Быков С. В. Факторизационные представления и свойства корневых множеств весовых классов аналитических функций: Дисс.... канд. физ.-мат. наук.—Брянск: БГУ, 2010.—130 с.
16. Титчмарш Е. Теория функций.—М.: Наука, 1980.—480 с.
Статья поступила 9 ноября 2013 г. Шамоян Файзо Агитович
Брянский государственный университет имени акад. И. Г. Петровского, зав. кафедрой математического анализа РОССИЯ, 241036, Россия, г. Брянск, ул. Бежицкая, 14 E-mail: [email protected]
Родикова Евгения Геннадьевна
Брянский государственный университет имени акад. И. Г. Петровского, аспирантка кафедры математического анализа РОССИЯ, 241036, Россия, г. Брянск, ул. Бежицкая, 14 E-mail: evhenyOyandex. ru
ON CHARACTERIZATION OF ZERO SETS OF THE WEIGHTED CLASS OF ANALYTIC FUNCTIONS IN A DISC
Shamoyan F.A., Rodikova E. G.
Complete description of the zero sets of analytic functions in a unit disc, allowing growth near the given finite set of points on the boundary circle, are obtained in this paper.
Key words: analytic function, unit disk, zero sets of analytic function.
