Факторизационное представление и вопросы кратной интерполяции в весовых пространствах аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТОЧНЫЕ И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 517.5

ФАКТОРИЗАЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ВОПРОСЫ КРАТНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ В ВЕСОВЫХ

ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ1

В.А. Беднаж, Е.Г. Родикова, Ф.А. Шамоян

В статье в явном виде получено решение задачи кратной интерполяции в классе аналитических в единичном круге функций со степенным ростом характеристики Р. Неванлинны при условии, что узлы интерполяции принадлежат конечному числу углов Штольца. Ключевые слова: кратная интерполяция, характеристика Р. Неванлинны, углы Штольца.

Пусть С - комплексная плоскость, D = ^ : < 1} - единичный круг на С , М (D) - множество всех мероморфных в D функций, Н (D) - множество всех функций, аналитических в D. Для любого а> 0 определим класс :

С,

Í" Н f е M (D): T (r, f )< —f- ^

(1 - r)

Sla := S™ n H(D),

где Cf - положительная константа, значения которой зависят разве что от функции f, r е[0,1), T (r, f) - характеристика Р. Неванлинны функции f (см. [1]).

Классы S™ возникли ещё в начале 20-го столетия в известных работах одного из классиков комплексного анализа Р. Неванлинны (см. [1]). Введя классы S™, Р. Неванлинна пытался распространить результаты Дж. Адамара и Э. Бореля (см. [2]) на случай мероморфных в круге функций. Он доказал, что если {ak , {bk - множества нулей и полюсов

ад 2 ад 2

некоторой функции из класса S™, то ^(1 - |ak |) <+ад, ^(1 - |bk|) <+ад для произвольного е> 0. Однако

k=1 k=1

получить полное описание этих множеств для функций из S™ ему не удалось. Попытки окончательно решить эту задачу были предприняты и в работах известного японского математика М. Цудзи (см.[3],[4]).

Как установлено в работе Ф.А Шамояна и Е.Н. Шубабко [5], полное описание корневых множеств и полюсов можно получить в терминах считающей функции, а именно:

Теорема А. Пусть a = \ak, b = {bk^ - последовательности из единичного круга D . Для того чтобы

последовательности a, b можно представить в виде нулей и полюсов некоторой функции из класса S™, необходимо и достаточно, чтобы

c

n(r) = OTdK :| ak |< r} < --—,

(1 - r)

c2

n(r) = cardb :| bk |< r} < 2 a+1, (1 - r)

0 < r < 1, c1, c2 - некоторые положительные константы.

Это позволило построить полную теорию факторизации класса S™. Для формулировки этого фундаментального результата введем дополнительные обозначения.

Следуя М.М. Джрбашяну (см. [6]), введем бесконечное произведение Лß(z,ak), ß>-1, с нулями в точках

í -ч+ад

последовательности {ak }k=:

+ад ( z ^

где лß(z,ak) = П 1--exP(-Uß(z,ak

к=1 V ak )

Uß(- za) = ^ Í Í-^I^

(1 -p2)ß ln i6 1 -P

ak

dOpd р.

л

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект №1.1704.2014К) и Российского фонда фундаментальных

исследований (код проекта 13-01-97508)

Если p е Z+ , произведение М.М. Джрбашяна примет вид:

|2 \

ПР

(z,° ) = П

j=1

1 — a,-z

V j У

■ay •exp<

z

X=1

1—Qj\ 1—ajz

V У

Как установлено в [6], произведение Жр(г,ак) сходится абсолютно и равномерно в Б тогда и только тогда, когда сходится ряд

X а-а1/+2 <+».

к=1

Обозначим В% (0 < Р < 0 < 5 < 2) - класс О. Бесова на единичной окружности (см. [7] с.179). Теорема Б. Класс S0 совпадает с классом мероморфных в круге функций допускающих представление

f (z) = exp

1тг J

Яя( z. bk )

2*i(1 — ze—")

z е D,

при всех P>a — 1, где цу(е1в) - некоторая вещественная функция из класса

О. Бесова В/9;a+1, 2 е Z +, c2 е C,

последовательности \ak , {bk удовлетворяют условию теоремы А.

В статье получено приложение Теоремы Б в вопросах кратной интерполяции в классах SO. Хорошо

известно, что если f е Sa , то

Г cf

M (r, f) = max | f (z) |< exp 1 J

2\<Г'~ ' - ' ' [ (1 - Г )а+1

при всех а> 0, су > 0 (см. [1], с. 144).

Сформулируем задачу кратной интерполяции в классе Sаа : пусть {ак }", |ак| < 1, и {ук }" - произвольные последовательности комплексных чисел из Б; обозначим через q]■ кратность появления числа а у во всей последовательности {ак , ¿у > 1 - кратность появления числа ау на отрезке {ак }]к=1. Очевидно, что 1 < ¿у < q]■ < .

Требуется выявить критерии для {ак}" и {ук}", обеспечивающие существование функции / е , удовлетворяющие интерполяционным условиям

у(¿к-1)(ак) = Гк , к=1,2,...

Теория интерполяции в различных классах голоморфных функций стала интенсивно развиваться после основополагающей работы [8] Л. Карлесона о свободной интерполяции в классе ограниченных аналитических функций в круге. Обзор исследований в этой области приведен в работе [9] С.А. Виноградова, В.П. Хавина. Вопросы кратной интерполяции в классах Харди нР изучались в работах М.М. Джрбашяна [10-12], Ф.А. Шамояна [13], В.М. Мартиросяна [14]. Для формулировки результатов введем дополнительные обозначения и определения.

Обозначим лрп () произведение лр () без п - го фактора.

Углом Штольца Г8 (0) с вершиной в точке е'в назовём угол раствора меньше п8, 0 < 8 < 1, биссектриса которого совпадает с отрезком ге'в ,0 < г < 1.

Последовательность комплексных чисел |а;- } , удовлетворяющих условиям

с

п(г) = саи^а :| ак < г} < --—,

(1 - г)

I , . | _с

\ЖР,п (ап а )\> еХР, , ° а+1 , с0 > 0 , (1 _Рп|)

^р{?к } = я,

к >1

отнесем к классу Д.

Основным результатом статьи является доказательство следующего утверждения:

п 1 Теорема. Пусть последовательность комплексных чисел {ак}с М Г8(в5) для некоторого 0 <8<-. Если

т=1 а+1

{ак }" е Д , то для любой последовательности {ук }", такой что

X

Ы < exp

8

(1 -ы)'

a+1

k=1,2,...,

можно построить, в явном виде, функцию / е Sa а, являющуюся решением интерполяционной задачи

/4Ч)(ак) = ук , к=1,2,.... (*)

Доказательство основного результата основывается на следующих вспомогательных утверждениях: Лемма 1. (см. [15]) Если точки последовательности {ак находятся в конечном числе углов Штольца, то есть

-, то для люЬой функции а СО = I I ехр— С

а +1

п 1 п С

{ак}с ) Г8(06.) для некоторого 0 <8 <-^, то для любой функции gа+1 (z) = Цехр-_ю а+1 ,z е D , справедлива

оценка

C

\ga+1 (as ^ > Со exp a+1

(! - as) "+1

s=1,2,...,n,

где c0, C - некоторые положительные постоянные.

Пусть

Kp(an ):={z 6 D U - an 1<еХР-

-р

ГЫ «п 1<1-

(1-| ап |)а

Лемма 2. (см. [15]) Если точки последовательности {ак }+= находятся в конечном числе углов Штольца, то есть

п 1

{ak } с ljr8(0s) для некоторого 0 < 8 <-

s=1 a + 1

max |gp4i)|< C-!gp(ak) |, k = 1,2,...

t6Kp(ak)

Лемма 3. Если последовательность точек {a,} с D, удовлетворяет условию (2), то для любого z 6 D при всех p > a справедлива оценка:

gf И a, |2 ^^ j=1

|1 -a,z |

a+1

(1 - г)"

С использованием леммы 3 устанавливается справедливость следующего утверждения:

Лемма 4. Если {ак} сА , то существует р>0, р = р(с0), такое что для всех z е Кр(ап) и п = 1,2,... справедлива оценка

-С

1 Жр,п (z,ak еХР"

Введем дополнительные обозначения.

Сначала заметим, что функция жр k (z)

1-|gLi 1 -akz J

(1-| «п |)'

2 Л P+Pk +1

a+1

- аналитическая в D и не обращается в нуль в некоторой

окрестности точки г = ак, где р > а . Поэтому для любого к е N , положив

Ч(z ) = i^p.k(z) •

f to?'Pk+1

V 1 -akz J

• ga+1 (z)!

гДе ga+1 (z) = П eXP

C

1 " (1 - ze-'°s )a+1

, г е D, С - достаточно большое положительное число, можно утверждать, что в

достаточно малой s -окрестности точки ak справедливо разложение

Tk(z) = gav(ak)(z-ak)V,! z-ak |< S

( ) 1 dV

где av( ak ) = -. — v! dzv

Wp,k(z)'

1-| V 1 - akz J

v=0

2 ЛP+ Pk +1

• g a+1( z )f

С использованием лемм 1, 2, 4 устанавливается следующее утверждение:

Лемма 5. Если последовательность комплексных чисел {аке А, то для коэффициентов ау(ак) разложения справедливы оценки

то

s

-1

z=a

k

| ау (а к )|< а(у),0 <у< Рк ,к = 1,2,...,

где а(у) зависит только от V .

Введём в рассмотрение также полиномы

Рк _к

Як00 = X ау(ак)(г-ак)ук = 1,2,

v=0

Определим теперь систему {йk (z)}j аналитических в D функций (**):

й k ( z)=( Z ^ ' qk( z) =

S - !)!■■ (z)

(z -a )sk -1 pk -sk = (( — ( ) • Z «v(«k )( z-«k )V =

(sk -1)!^k (z) v=0

= ga+1( Z )

Kp,k (z)

f 1- | «k |2 >|P+Pk +1 PÇk

1 -«kZ

Z av(ak)(z-«k)V+"k ,k = 1,2,...,

/

a,

v=0

(¿к -1)! где р > а +1.

Отметим, что метод построения такой системы был впервые предложен М.М. Джрбашяном в работе [12]. Учитывая лемму 5, устанавливается:

Лемма 6. Функции системы (**) обладают следующими интерполяционными свойствами:

о(г)( ) I 1 Г = ¿к-1;

И. (ак ) = < к к [0, Г Ф 5к -1,0 < г < рк-1.

Наконец, используя лемму 6, устанавливается, что функция

f (Z) = ga+1 (Z) X Z йk (Z) —Iè— , z e D,

k=1 ga+1 (ak )

решает интерполяционную задачу (*).

The multiple interpolation problem in the class the class of analytic functions in a disk with power growth of the Nevanlinna characteristics are solved in this paper.

Key words: multiple interpolation problem, the Nevanlinna characteristics, the Stolz angle.

Список литературы

1. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции / Пер. с нем./ - М.-Л.: ГИТТЛ, 1941. - 388 с.

2. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. - М.: Наука, 1970. - 457 с.

3. Tsuji M. Potential Theory in modern function theory, Tokyo, 1959, p. 345.

4. Tsuji. M. Canonical product for a meromorphic functions in a unit circle. Journ. Math. Jap. , Vol. 8, №1, 1956, pp. 7-19.

5. Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых Lp -классов мероморфных функций - Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. - 152 c.

6. Джрбашян M.M. К проблеме представимости аналитических функций // Сообщ. Института матем. и механики АН Арм. ССР. - 1948.-Т. 2. - C. 3-40.

7. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций/ И.Стейн/ Пер. с англ./ В.И.Буренкова (ред.); В.И.Буренкова, Э.Э.Пейсахович (пер.) - М.: Мир, 1973. - 342 c.

8. Carleson L. An interpolation problem for bounded analytic functions // Amer. J. Math. - 1958. - V. 80. - P. 921-930.

9. Виноградов С.А., Хавин В.П. Свободная интерполяция в и в некоторых других классах функций // Зап. Научн. семин. ЛОМИ. - 1974. - Т. 47. - С. 15-54.

10. Джрбашян М.М. Базисность некоторых биортогональных систем и решение кратной интерполяционной задачи в классах Hp в полуплоскости // Изв. АН СССР. Серия Математика. - 1978. - Т.43. - № 6. - C. 1327 - 1384.

11. Джрбашян М.М. Биортогональные системы и решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности в классе H2// Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. - 1974. - Т.9. - № 5. - С. 339-373.

12. Джрбашян М.М. Базисность некоторых биортогональных систем и решение кратной интерполяционной задачи в классах Hp в полуплоскости // Изв. АН СССР. Серия Математика. - 1978. - Т.43. - № 6. - C. 1327 - 1384.

13. Шамоян Ф.А. Теоремы вложения, связанные с задачей кратного интерполирования в пространствах Hp // Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. - 1976. - Т.11 - № 2 - С.124-131.

14. Мартиросян В.М. Эффективное решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности H// ДАН СССР - 1982. - Т. 263. - С. 805 -808.

15. Шамоян Ф. А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических в круге функций с мажорантой конечного роста // Изв. АН АрмССР, Математика. 1978. - Т. 13. - № 5-6. - С. 405-422.

Об авторах

Родикова Е.Г. - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского.

Беднаж В.А. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского.

Шамоян Ф.А. - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского

УДК 581.526.425/581.526 (581.9)

РАСПРОСТРАЕННИЕ РАННЕЙ И ПОЗДНЕЙ ФОРМ QUERCUS ROBUR L.

НА ТЕРРИТОРИИ БРЯНСКОЙ ОБЛАСИ

А.Д. Булохов, И. И. Сильченко

Изучен ритм развития ранней и поздней форм Quercus robur L. в сообществах широколиственных и хвойно-широколиственных лесов. Обе формы хорошо различаются по ритму развития. Составлены карты ареалов ранней и поздней форм Quercus robur. Выявлена закономерность их распространения по типам ландшафтов.

Ключевые слова: Quercus robur, фенологический ритм, ареал, тип ландшафта.

Введение

В Лесной кодекс Российской Федерации (2007) к требованиям ведения лесного хозяйства отнесены воспроизводство улучшенного состава и качества лесов, повышение их продуктивности, охрана и защита лесов, сохранение биологического разнообразия.

В «Руководстве по ведению и восстановлению дубрав в равнинных лесах европейской части Российской Федерации» (2000) указано на необходимость организации и эффективного использования постоянной лесосеменной базы на селекционно-генетической основе с учётом биоразнообразия видов и разнообразия условий среды.

Исследование фиторазнообразия дубрав, сформированных ранней и поздней формами дуба черещатого, их приуроченность к различными типам ландшафтов является актуальной проблемой лесной геоботаники и современного лесоводства (Булохов, Сильченко, 2009) . Её решение имеет важное теоретическое и практическое значение, так как служит основой для разработки практических мероприятий по эффективному восстановлению дубрав.

Цель статьи - выявить закономерности распространения ранней Quercus robur L. forma praecox Czern. и поздней форм (forma tradiflora Czern.) и составить карту их ареалов ранней и поздней формы дуба на территории Брянской области.

Методика работы

Изучение закономерностей распространения фенологических форм Quercus robur L. проведено маршрутным методом. В течение полевых сезонов 2009-2013 г.г. выполнено 300 полных геоботанических описаний. Составлялись точечные и контурные карты ареалов феноформ. Отмечалась их приуроченность к различным типам ландшафтов.

Для выявления ритма развития феноформ Quercus robur L. в сообществах широколиственных и хвойно-широколист-венных лесов Брянской области, были заложены постоянные пробные площади. Фенологические формы дуба черешчатого определяли по методическим указаниям Анциферов Г.И., Чемарина О.В. (1982).

Результаты исследования

Общая картина наступления фенофаз представлена в виде феноспектра (рис. 1). Наблюдения начинались с 20 апреля и продолжались до 20 октября. Ранняя феноформа в годы исследования (2009 - 2013) вступала в фазу набухания почек в конце второй декады апреля, а распускание почек происходит с 22 - 24 по 27-28 апреля.

Поздняя феноформа вступает в фазу набухания почек в конце второй, начале третьей декады мая (с 17-20 по 21-24). Начало линейного роста побегов у ранней формы - в конце третьей декады апреля (25-27 апреля по 6-7 мая), окончание роста побегов наступает в первой декаде мая (7-9). Поздняя форма так же проходит через эту фазу в конце третьей декады мая (с 26-28 мая по 4-5 июня).

Обе формы дуба черещатого хорошо различаются по ритму развития.

На основе маршрутных обследований были составлены карты ареалов ранней и поздней феноформ дуба черещатого и выявлены закономерности их распространения по типам ландшафтов (рис.2,3). На рисунках показаны основные массивы лесов сформированные различными формами дуба черещатого.

1

2

1 - ранняя феноформа 2 - поздняя феноформа

II

III

VI VII VIII IX X XI XIÍ

.....

I I I I 1

Uli.

оо оо

н+

. . гг

оо оо

"Условные обозначения

Зимний покой

Набухание почек

Разверзание

* * I почек

: ■ I Начало роста —"— побегов

Г^У?"I Цветение

Оконьчание

___ роста пооегов

i = j Обособление

листьев

|-— -| Летняя вегетация

Расцвечивание

листьев In сj I Созревание

1 1 плодов

Р,1,7,4 Опадение - листьев

Рис 1. Фенологический спектр феноформ Quercus robur L. f. praecox, и f. tradiflora.