Научная статья на тему 'Факторизационное представление и вопросы кратной интерполяции в весовых пространствах аналитических функций'

Факторизационное представление и вопросы кратной интерполяции в весовых пространствах аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
66
15
Поделиться
Ключевые слова
КРАТНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ / ХАРАКТЕРИСТИКА Р. НЕВАНЛИННЫ / УГЛЫ ШТОЛЬЦА / MULTIPLE INTERPOLATION PROBLEM / THE NEVANLINNA CHARACTERISTICS / STOLZ ANGLE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Беднаж В.А., Родикова Е.Г., Шамоян Ф.А.

В статье в явном виде получено решение задачи кратной интерполяции в классе аналитических в единичном круге функций со степенным ростом характеристики Р. Неванлинны при условии, что узлы интерполяции принадлежат конечному числу углов Штольца.The multiple interpolation problem in the class the class of analytic functions in a disk with power growth of the Nevanlinna characteristics are solved in this paper.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Факторизационное представление и вопросы кратной интерполяции в весовых пространствах аналитических функций»

ТОЧНЫЕ И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 517.5

ФАКТОРИЗАЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ВОПРОСЫ КРАТНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ В ВЕСОВЫХ

ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ1

В.А. Беднаж, Е.Г. Родикова, Ф.А. Шамоян

В статье в явном виде получено решение задачи кратной интерполяции в классе аналитических в единичном круге функций со степенным ростом характеристики Р. Неванлинны при условии, что узлы интерполяции принадлежат конечному числу углов Штольца. Ключевые слова: кратная интерполяция, характеристика Р. Неванлинны, углы Штольца.

Пусть С - комплексная плоскость, D = ^ : < 1} - единичный круг на С , М (D) - множество всех мероморфных в D функций, Н (D) - множество всех функций, аналитических в D. Для любого а> 0 определим класс :

С,

Í" Н f е M (D): T (r, f )< —f- ^

(1 - r)

Sla := S™ n H(D),

где Cf - положительная константа, значения которой зависят разве что от функции f, r е[0,1), T (r, f) - характеристика Р. Неванлинны функции f (см. [1]).

Классы S™ возникли ещё в начале 20-го столетия в известных работах одного из классиков комплексного анализа Р. Неванлинны (см. [1]). Введя классы S™, Р. Неванлинна пытался распространить результаты Дж. Адамара и Э. Бореля (см. [2]) на случай мероморфных в круге функций. Он доказал, что если {ak , {bk - множества нулей и полюсов

ад 2 ад 2

некоторой функции из класса S™, то ^(1 - |ak |) <+ад, ^(1 - |bk|) <+ад для произвольного е> 0. Однако

k=1 k=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

получить полное описание этих множеств для функций из S™ ему не удалось. Попытки окончательно решить эту задачу были предприняты и в работах известного японского математика М. Цудзи (см.[3],[4]).

Как установлено в работе Ф.А Шамояна и Е.Н. Шубабко [5], полное описание корневых множеств и полюсов можно получить в терминах считающей функции, а именно:

Теорема А. Пусть a = \ak, b = {bk^ - последовательности из единичного круга D . Для того чтобы

последовательности a, b можно представить в виде нулей и полюсов некоторой функции из класса S™, необходимо и достаточно, чтобы

c

n(r) = OTdK :| ak |< r} < --—,

(1 - r)

c2

n(r) = cardb :| bk |< r} < 2 a+1, (1 - r)

0 < r < 1, c1, c2 - некоторые положительные константы.

Это позволило построить полную теорию факторизации класса S™. Для формулировки этого фундаментального результата введем дополнительные обозначения.

Следуя М.М. Джрбашяну (см. [6]), введем бесконечное произведение Лß(z,ak), ß>-1, с нулями в точках

í -ч+ад

последовательности {ak }k=:

+ад ( z ^

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где лß(z,ak) = П 1--exP(-Uß(z,ak

к=1 V ak )

Uß(- za) = ^ Í Í-^I^

(1 -p2)ß ln i6 1 -P

ak

dOpd р.

л

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект №1.1704.2014К) и Российского фонда фундаментальных

исследований (код проекта 13-01-97508)

Если p е Z+ , произведение М.М. Джрбашяна примет вид:

|2 \

ПР

(z,° ) = П

j=1

1 — a,-z

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V j У

■ay •exp<

z

X=1

1—Qj\ 1—ajz

V У

Как установлено в [6], произведение Жр(г,ак) сходится абсолютно и равномерно в Б тогда и только тогда, когда сходится ряд

X а-а1/+2 <+».

к=1

Обозначим В% (0 < Р < 0 < 5 < 2) - класс О. Бесова на единичной окружности (см. [7] с.179). Теорема Б. Класс S0 совпадает с классом мероморфных в круге функций допускающих представление

f (z) = exp

1тг J

Яя( z. bk )

2*i(1 — ze—")

z е D,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

при всех P>a — 1, где цу(е1в) - некоторая вещественная функция из класса

О. Бесова В/9;a+1, 2 е Z +, c2 е C,

последовательности \ak , {bk удовлетворяют условию теоремы А.

В статье получено приложение Теоремы Б в вопросах кратной интерполяции в классах SO. Хорошо

известно, что если f е Sa , то

Г cf

M (r, f) = max | f (z) |< exp 1 J

2\<Г'~ ' - ' ' [ (1 - Г )а+1

при всех а> 0, су > 0 (см. [1], с. 144).

Сформулируем задачу кратной интерполяции в классе Sаа : пусть {ак }", |ак| < 1, и {ук }" - произвольные последовательности комплексных чисел из Б; обозначим через q]■ кратность появления числа а у во всей последовательности {ак , ¿у > 1 - кратность появления числа ау на отрезке {ак }]к=1. Очевидно, что 1 < ¿у < q]■ < .

Требуется выявить критерии для {ак}" и {ук}", обеспечивающие существование функции / е , удовлетворяющие интерполяционным условиям

у(¿к-1)(ак) = Гк , к=1,2,...

Теория интерполяции в различных классах голоморфных функций стала интенсивно развиваться после основополагающей работы [8] Л. Карлесона о свободной интерполяции в классе ограниченных аналитических функций в круге. Обзор исследований в этой области приведен в работе [9] С.А. Виноградова, В.П. Хавина. Вопросы кратной интерполяции в классах Харди нР изучались в работах М.М. Джрбашяна [10-12], Ф.А. Шамояна [13], В.М. Мартиросяна [14]. Для формулировки результатов введем дополнительные обозначения и определения.

Обозначим лрп () произведение лр () без п - го фактора.

Углом Штольца Г8 (0) с вершиной в точке е'в назовём угол раствора меньше п8, 0 < 8 < 1, биссектриса которого совпадает с отрезком ге'в ,0 < г < 1.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Последовательность комплексных чисел |а;- } , удовлетворяющих условиям

с

п(г) = саи^а :| ак < г} < --—,

(1 - г)

I , . | _с

\ЖР,п (ап а )\> еХР, , ° а+1 , с0 > 0 , (1 _Рп|)

^р{?к } = я,

к >1

отнесем к классу Д.

Основным результатом статьи является доказательство следующего утверждения:

п 1 Теорема. Пусть последовательность комплексных чисел {ак}с М Г8(в5) для некоторого 0 <8<-. Если

т=1 а+1

{ак }" е Д , то для любой последовательности {ук }", такой что

X

Ы < exp

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

8

(1 -ы)'

a+1

k=1,2,...,

можно построить, в явном виде, функцию / е Sa а, являющуюся решением интерполяционной задачи

/4Ч)(ак) = ук , к=1,2,.... (*)

Доказательство основного результата основывается на следующих вспомогательных утверждениях: Лемма 1. (см. [15]) Если точки последовательности {ак находятся в конечном числе углов Штольца, то есть

-, то для люЬой функции а СО = I I ехр— С

а +1

п 1 п С

{ак}с ) Г8(06.) для некоторого 0 <8 <-^, то для любой функции gа+1 (z) = Цехр-_ю а+1 ,z е D , справедлива

оценка

C

\ga+1 (as ^ > Со exp a+1

(! - as) "+1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

s=1,2,...,n,

где c0, C - некоторые положительные постоянные.

Пусть

Kp(an ):={z 6 D U - an 1<еХР-

ГЫ «п 1<1-

(1-| ап |)а

Лемма 2. (см. [15]) Если точки последовательности {ак }+= находятся в конечном числе углов Штольца, то есть

п 1

{ak } с ljr8(0s) для некоторого 0 < 8 <-

s=1 a + 1

max |gp4i)|< C-!gp(ak) |, k = 1,2,...

t6Kp(ak)

Лемма 3. Если последовательность точек {a,} с D, удовлетворяет условию (2), то для любого z 6 D при всех p > a справедлива оценка:

gf И a, |2 ^^ j=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

|1 -a,z |

a+1

(1 - г)"

С использованием леммы 3 устанавливается справедливость следующего утверждения:

Лемма 4. Если {ак} сА , то существует р>0, р = р(с0), такое что для всех z е Кр(ап) и п = 1,2,... справедлива оценка

1 Жр,п (z,ak еХР"

Введем дополнительные обозначения.

Сначала заметим, что функция жр k (z)

1-|gLi 1 -akz J

(1-| «п |)'

2 Л P+Pk +1

a+1

- аналитическая в D и не обращается в нуль в некоторой

окрестности точки г = ак, где р > а . Поэтому для любого к е N , положив

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ч(z ) = i^p.k(z) •

f to?'Pk+1

V 1 -akz J

• ga+1 (z)!

гДе ga+1 (z) = П eXP

C

1 " (1 - ze-'°s )a+1

, г е D, С - достаточно большое положительное число, можно утверждать, что в

достаточно малой s -окрестности точки ak справедливо разложение

Tk(z) = gav(ak)(z-ak)V,! z-ak |< S

( ) 1 dV

где av( ak ) = -. — v! dzv

Wp,k(z)'

1-| V 1 - akz J

v=0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2 ЛP+ Pk +1

• g a+1( z )f

С использованием лемм 1, 2, 4 устанавливается следующее утверждение:

Лемма 5. Если последовательность комплексных чисел {аке А, то для коэффициентов ау(ак) разложения справедливы оценки

то

s

-1

z=a

k

| ау (а к )|< а(у),0 <у< Рк ,к = 1,2,...,

где а(у) зависит только от V .

Введём в рассмотрение также полиномы

Рк _к

Як00 = X ау(ак)(г-ак)ук = 1,2,

v=0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Определим теперь систему {йk (z)}j аналитических в D функций (**):

й k ( z)=( Z ^ ' qk( z) =

S - !)!■■ (z)

(z -a )sk -1 pk -sk = (( — ( ) • Z «v(«k )( z-«k )V =

(sk -1)!^k (z) v=0

= ga+1( Z )

Kp,k (z)

f 1- | «k |2 >|P+Pk +1 PÇk

1 -«kZ

Z av(ak)(z-«k)V+"k ,k = 1,2,...,

/

a,

v=0

(¿к -1)! где р > а +1.

Отметим, что метод построения такой системы был впервые предложен М.М. Джрбашяном в работе [12]. Учитывая лемму 5, устанавливается:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Лемма 6. Функции системы (**) обладают следующими интерполяционными свойствами:

о(г)( ) I 1 Г = ¿к-1;

И. (ак ) = < к к [0, Г Ф 5к -1,0 < г < рк-1.

Наконец, используя лемму 6, устанавливается, что функция

f (Z) = ga+1 (Z) X Z йk (Z) —Iè— , z e D,

k=1 ga+1 (ak )

решает интерполяционную задачу (*).

The multiple interpolation problem in the class the class of analytic functions in a disk with power growth of the Nevanlinna characteristics are solved in this paper.

Key words: multiple interpolation problem, the Nevanlinna characteristics, the Stolz angle.

Список литературы

1. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции / Пер. с нем./ - М.-Л.: ГИТТЛ, 1941. - 388 с.

2. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. - М.: Наука, 1970. - 457 с.

3. Tsuji M. Potential Theory in modern function theory, Tokyo, 1959, p. 345.

4. Tsuji. M. Canonical product for a meromorphic functions in a unit circle. Journ. Math. Jap. , Vol. 8, №1, 1956, pp. 7-19.

5. Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых Lp -классов мероморфных функций - Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. - 152 c.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

6. Джрбашян M.M. К проблеме представимости аналитических функций // Сообщ. Института матем. и механики АН Арм. ССР. - 1948.-Т. 2. - C. 3-40.

7. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций/ И.Стейн/ Пер. с англ./ В.И.Буренкова (ред.); В.И.Буренкова, Э.Э.Пейсахович (пер.) - М.: Мир, 1973. - 342 c.

8. Carleson L. An interpolation problem for bounded analytic functions // Amer. J. Math. - 1958. - V. 80. - P. 921-930.

9. Виноградов С.А., Хавин В.П. Свободная интерполяция в и в некоторых других классах функций // Зап. Научн. семин. ЛОМИ. - 1974. - Т. 47. - С. 15-54.

10. Джрбашян М.М. Базисность некоторых биортогональных систем и решение кратной интерполяционной задачи в классах Hp в полуплоскости // Изв. АН СССР. Серия Математика. - 1978. - Т.43. - № 6. - C. 1327 - 1384.

11. Джрбашян М.М. Биортогональные системы и решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности в классе H2// Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. - 1974. - Т.9. - № 5. - С. 339-373.

12. Джрбашян М.М. Базисность некоторых биортогональных систем и решение кратной интерполяционной задачи в классах Hp в полуплоскости // Изв. АН СССР. Серия Математика. - 1978. - Т.43. - № 6. - C. 1327 - 1384.

13. Шамоян Ф.А. Теоремы вложения, связанные с задачей кратного интерполирования в пространствах Hp // Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. - 1976. - Т.11 - № 2 - С.124-131.

14. Мартиросян В.М. Эффективное решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности H// ДАН СССР - 1982. - Т. 263. - С. 805 -808.

15. Шамоян Ф. А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических в круге функций с мажорантой конечного роста // Изв. АН АрмССР, Математика. 1978. - Т. 13. - № 5-6. - С. 405-422.

Об авторах

Родикова Е.Г. - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского.

Беднаж В.А. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского.

Шамоян Ф.А. - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского

УДК 581.526.425/581.526 (581.9)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

РАСПРОСТРАЕННИЕ РАННЕЙ И ПОЗДНЕЙ ФОРМ QUERCUS ROBUR L.

НА ТЕРРИТОРИИ БРЯНСКОЙ ОБЛАСИ

А.Д. Булохов, И. И. Сильченко

Изучен ритм развития ранней и поздней форм Quercus robur L. в сообществах широколиственных и хвойно-широколиственных лесов. Обе формы хорошо различаются по ритму развития. Составлены карты ареалов ранней и поздней форм Quercus robur. Выявлена закономерность их распространения по типам ландшафтов.

Ключевые слова: Quercus robur, фенологический ритм, ареал, тип ландшафта.

Введение

В Лесной кодекс Российской Федерации (2007) к требованиям ведения лесного хозяйства отнесены воспроизводство улучшенного состава и качества лесов, повышение их продуктивности, охрана и защита лесов, сохранение биологического разнообразия.

В «Руководстве по ведению и восстановлению дубрав в равнинных лесах европейской части Российской Федерации» (2000) указано на необходимость организации и эффективного использования постоянной лесосеменной базы на селекционно-генетической основе с учётом биоразнообразия видов и разнообразия условий среды.

Исследование фиторазнообразия дубрав, сформированных ранней и поздней формами дуба черещатого, их приуроченность к различными типам ландшафтов является актуальной проблемой лесной геоботаники и современного лесоводства (Булохов, Сильченко, 2009) . Её решение имеет важное теоретическое и практическое значение, так как служит основой для разработки практических мероприятий по эффективному восстановлению дубрав.

Цель статьи - выявить закономерности распространения ранней Quercus robur L. forma praecox Czern. и поздней форм (forma tradiflora Czern.) и составить карту их ареалов ранней и поздней формы дуба на территории Брянской области.

Методика работы

Изучение закономерностей распространения фенологических форм Quercus robur L. проведено маршрутным методом. В течение полевых сезонов 2009-2013 г.г. выполнено 300 полных геоботанических описаний. Составлялись точечные и контурные карты ареалов феноформ. Отмечалась их приуроченность к различным типам ландшафтов.

Для выявления ритма развития феноформ Quercus robur L. в сообществах широколиственных и хвойно-широколист-венных лесов Брянской области, были заложены постоянные пробные площади. Фенологические формы дуба черешчатого определяли по методическим указаниям Анциферов Г.И., Чемарина О.В. (1982).

Результаты исследования

Общая картина наступления фенофаз представлена в виде феноспектра (рис. 1). Наблюдения начинались с 20 апреля и продолжались до 20 октября. Ранняя феноформа в годы исследования (2009 - 2013) вступала в фазу набухания почек в конце второй декады апреля, а распускание почек происходит с 22 - 24 по 27-28 апреля.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Поздняя феноформа вступает в фазу набухания почек в конце второй, начале третьей декады мая (с 17-20 по 21-24). Начало линейного роста побегов у ранней формы - в конце третьей декады апреля (25-27 апреля по 6-7 мая), окончание роста побегов наступает в первой декаде мая (7-9). Поздняя форма так же проходит через эту фазу в конце третьей декады мая (с 26-28 мая по 4-5 июня).

Обе формы дуба черещатого хорошо различаются по ритму развития.

На основе маршрутных обследований были составлены карты ареалов ранней и поздней феноформ дуба черещатого и выявлены закономерности их распространения по типам ландшафтов (рис.2,3). На рисунках показаны основные массивы лесов сформированные различными формами дуба черещатого.

1

2

1 - ранняя феноформа 2 - поздняя феноформа

II

III

VI VII VIII IX X XI XIÍ

.....

I I I I 1

Uli.

оо оо

н+

. . гг

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

оо оо

"Условные обозначения

Зимний покой

Набухание почек

Разверзание

* * I почек

: ■ I Начало роста —"— побегов

Г^У?"I Цветение

Оконьчание

___ роста пооегов

i = j Обособление

листьев

|-— -| Летняя вегетация

Расцвечивание

листьев In сj I Созревание

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 1 плодов

Р,1,7,4 Опадение - листьев

Рис 1. Фенологический спектр феноформ Quercus robur L. f. praecox, и f. tradiflora.