CC BY
24
ТОЧНЫЕ И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 517.5
ФАКТОРИЗАЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ВОПРОСЫ КРАТНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ В ВЕСОВЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ1
В.А. Беднаж, Е.Г. Родикова, Ф.А. Шамоян
В статье в явном виде получено решение задачи кратной интерполяции в классе аналитических в единичном круге функций со степенным ростом характеристики Р. Неванлинны при условии, что узлы интерполяции принадлежат конечному числу углов Штольца. Ключевые слова: кратная интерполяция, характеристика Р. Неванлинны, углы Штольца.
Пусть С - комплексная плоскость, D = ^ : < 1} - единичный круг на С , М (D) - множество всех мероморфных в D функций, Н (D) - множество всех функций, аналитических в D. Для любого а> 0 определим класс :
С,
Í" Н f е M (D): T (r, f )< —f- ^
(1 - r)
Sla := S™ n H(D),
где Cf - положительная константа, значения которой зависят разве что от функции f, r е[0,1), T (r, f) - характеристика Р. Неванлинны функции f (см. [1]).
Классы S™ возникли ещё в начале 20-го столетия в известных работах одного из классиков комплексного анализа Р. Неванлинны (см. [1]). Введя классы S™, Р. Неванлинна пытался распространить результаты Дж. Адамара и Э. Бореля (см. [2]) на случай мероморфных в круге функций. Он доказал, что если {ak , {bk - множества нулей и полюсов
ад 2 ад 2
некоторой функции из класса S™, то ^(1 - |ak |) <+ад, ^(1 - |bk|) <+ад для произвольного е> 0. Однако
k=1 k=1
получить полное описание этих множеств для функций из S™ ему не удалось. Попытки окончательно решить эту задачу были предприняты и в работах известного японского математика М. Цудзи (см.[3],[4]).
Как установлено в работе Ф.А Шамояна и Е.Н. Шубабко [5], полное описание корневых множеств и полюсов можно получить в терминах считающей функции, а именно:
Теорема А. Пусть a = \ak, b = {bk^ - последовательности из единичного круга D . Для того чтобы
последовательности a, b можно представить в виде нулей и полюсов некоторой функции из класса S™, необходимо и достаточно, чтобы
c
n(r) = OTdK :| ak |< r} < --—,
(1 - r)
c2
n(r) = cardb :| bk |< r} < 2 a+1, (1 - r)
0 < r < 1, c1, c2 - некоторые положительные константы.
Это позволило построить полную теорию факторизации класса S™. Для формулировки этого фундаментального результата введем дополнительные обозначения.
Следуя М.М. Джрбашяну (см. [6]), введем бесконечное произведение Лß(z,ak), ß>-1, с нулями в точках
í -ч+ад
последовательности {ak }k=:
+ад ( z ^
где лß(z,ak) = П 1--exP(-Uß(z,ak
к=1 V ak )
Uß(- za) = ^ Í Í-^I^
(1 -p2)ß ln i6 1 -P
ak
dOpd р.
л
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект №1.1704.2014К) и Российского фонда фундаментальных
исследований (код проекта 13-01-97508)
Если p е Z+ , произведение М.М. Джрбашяна примет вид:
|2 \
ПР
(z,° ) = П
j=1
1 — a,-z
V j У
■ay •exp<
z
X=1
1—Qj\ 1—ajz
V У
Как установлено в [6], произведение Жр(г,ак) сходится абсолютно и равномерно в Б тогда и только тогда, когда сходится ряд
X а-а1/+2 <+».
к=1
Обозначим В% (0 < Р < 0 < 5 < 2) - класс О. Бесова на единичной окружности (см. [7] с.179). Теорема Б. Класс S0 совпадает с классом мероморфных в круге функций допускающих представление
f (z) = exp
1тг J
Яя( z. bk )
2*i(1 — ze—")
z е D,
при всех P>a — 1, где цу(е1в) - некоторая вещественная функция из класса
О. Бесова В/9;a+1, 2 е Z +, c2 е C,
последовательности \ak , {bk удовлетворяют условию теоремы А.
В статье получено приложение Теоремы Б в вопросах кратной интерполяции в классах SO. Хорошо
известно, что если f е Sa , то
Г cf
M (r, f) = max | f (z) |< exp 1 J
2\<Г'~ ' - ' ' [ (1 - Г )а+1
при всех а> 0, су > 0 (см. [1], с. 144).
Сформулируем задачу кратной интерполяции в классе Sаа : пусть {ак }", |ак| < 1, и {ук }" - произвольные последовательности комплексных чисел из Б; обозначим через q]■ кратность появления числа а у во всей последовательности {ак , ¿у > 1 - кратность появления числа ау на отрезке {ак }]к=1. Очевидно, что 1 < ¿у < q]■ < .
Требуется выявить критерии для {ак}" и {ук}", обеспечивающие существование функции / е , удовлетворяющие интерполяционным условиям
у(¿к-1)(ак) = Гк , к=1,2,...
Теория интерполяции в различных классах голоморфных функций стала интенсивно развиваться после основополагающей работы [8] Л. Карлесона о свободной интерполяции в классе ограниченных аналитических функций в круге. Обзор исследований в этой области приведен в работе [9] С.А. Виноградова, В.П. Хавина. Вопросы кратной интерполяции в классах Харди нР изучались в работах М.М. Джрбашяна [10-12], Ф.А. Шамояна [13], В.М. Мартиросяна [14]. Для формулировки результатов введем дополнительные обозначения и определения.
Обозначим лрп () произведение лр () без п - го фактора.
Углом Штольца Г8 (0) с вершиной в точке е'в назовём угол раствора меньше п8, 0 < 8 < 1, биссектриса которого совпадает с отрезком ге'в ,0 < г < 1.
Последовательность комплексных чисел |а;- } , удовлетворяющих условиям
с
п(г) = саи^а :| ак < г} < --—,
(1 - г)
I , . | _с
\ЖР,п (ап а )\> еХР, , ° а+1 , с0 > 0 , (1 _Рп|)
^р{?к } = я,
к >1
отнесем к классу Д.
Основным результатом статьи является доказательство следующего утверждения:
п 1 Теорема. Пусть последовательность комплексных чисел {ак}с М Г8(в5) для некоторого 0 <8<-. Если
т=1 а+1
{ак }" е Д , то для любой последовательности {ук }", такой что
X
Ы < exp
8
(1 -ы)'
a+1
k=1,2,...,
можно построить, в явном виде, функцию / е Sa а, являющуюся решением интерполяционной задачи
/4Ч)(ак) = ук , к=1,2,.... (*)
Доказательство основного результата основывается на следующих вспомогательных утверждениях: Лемма 1. (см. [15]) Если точки последовательности {ак находятся в конечном числе углов Штольца, то есть
-, то для люЬой функции а СО = I I ехр— С
а +1
п 1 п С
{ак}с ) Г8(06.) для некоторого 0 <8 <-^, то для любой функции gа+1 (z) = Цехр-_ю а+1 ,z е D , справедлива
оценка
C
\ga+1 (as ^ > Со exp a+1
(! - as) "+1
s=1,2,...,n,
где c0, C - некоторые положительные постоянные.
Пусть
Kp(an ):={z 6 D U - an 1<еХР-
-р
ГЫ «п 1<1-
(1-| ап |)а
Лемма 2. (см. [15]) Если точки последовательности {ак }+= находятся в конечном числе углов Штольца, то есть
п 1
{ak } с ljr8(0s) для некоторого 0 < 8 <-
s=1 a + 1
max |gp4i)|< C-!gp(ak) |, k = 1,2,...
t6Kp(ak)
Лемма 3. Если последовательность точек {a,} с D, удовлетворяет условию (2), то для любого z 6 D при всех p > a справедлива оценка:
gf И a, |2 ^^ j=1
|1 -a,z |
a+1
(1 - г)"
С использованием леммы 3 устанавливается справедливость следующего утверждения:
Лемма 4. Если {ак} сА , то существует р>0, р = р(с0), такое что для всех z е Кр(ап) и п = 1,2,... справедлива оценка
-С
1 Жр,п (z,ak еХР"
Введем дополнительные обозначения.
Сначала заметим, что функция жр k (z)
1-|gLi 1 -akz J
(1-| «п |)'
2 Л P+Pk +1
a+1
- аналитическая в D и не обращается в нуль в некоторой
окрестности точки г = ак, где р > а . Поэтому для любого к е N , положив
Ч(z ) = i^p.k(z) •
f to?'Pk+1
V 1 -akz J
• ga+1 (z)!
гДе ga+1 (z) = П eXP
C
1 " (1 - ze-'°s )a+1
, г е D, С - достаточно большое положительное число, можно утверждать, что в
достаточно малой s -окрестности точки ak справедливо разложение
Tk(z) = gav(ak)(z-ak)V,! z-ak |< S
( ) 1 dV
где av( ak ) = -. — v! dzv
Wp,k(z)'
1-| V 1 - akz J
v=0
2 ЛP+ Pk +1
• g a+1( z )f
С использованием лемм 1, 2, 4 устанавливается следующее утверждение:
Лемма 5. Если последовательность комплексных чисел {аке А, то для коэффициентов ау(ак) разложения справедливы оценки
то
s
-1
z=a
k
| ау (а к )|< а(у),0 <у< Рк ,к = 1,2,...,
где а(у) зависит только от V .
Введём в рассмотрение также полиномы
Рк _к
Як00 = X ау(ак)(г-ак)ук = 1,2,
v=0
Определим теперь систему {йk (z)}j аналитических в D функций (**):
й k ( z)=( Z ^ ' qk( z) =
S - !)!■■ (z)
(z -a )sk -1 pk -sk = (( — ( ) • Z «v(«k )( z-«k )V =
(sk -1)!^k (z) v=0
= ga+1( Z )
Kp,k (z)
f 1- | «k |2 >|P+Pk +1 PÇk
1 -«kZ
Z av(ak)(z-«k)V+"k ,k = 1,2,...,
/
a,
v=0
(¿к -1)! где р > а +1.
Отметим, что метод построения такой системы был впервые предложен М.М. Джрбашяном в работе [12]. Учитывая лемму 5, устанавливается:
Лемма 6. Функции системы (**) обладают следующими интерполяционными свойствами:
о(г)( ) I 1 Г = ¿к-1;
И. (ак ) = < к к [0, Г Ф 5к -1,0 < г < рк-1.
Наконец, используя лемму 6, устанавливается, что функция
f (Z) = ga+1 (Z) X Z йk (Z) —Iè— , z e D,
k=1 ga+1 (ak )
решает интерполяционную задачу (*).
The multiple interpolation problem in the class the class of analytic functions in a disk with power growth of the Nevanlinna characteristics are solved in this paper.
Key words: multiple interpolation problem, the Nevanlinna characteristics, the Stolz angle.
Список литературы
1. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции / Пер. с нем./ - М.-Л.: ГИТТЛ, 1941. - 388 с.
2. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. - М.: Наука, 1970. - 457 с.
3. Tsuji M. Potential Theory in modern function theory, Tokyo, 1959, p. 345.
4. Tsuji. M. Canonical product for a meromorphic functions in a unit circle. Journ. Math. Jap. , Vol. 8, №1, 1956, pp. 7-19.
5. Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых Lp -классов мероморфных функций - Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. - 152 c.
6. Джрбашян M.M. К проблеме представимости аналитических функций // Сообщ. Института матем. и механики АН Арм. ССР. - 1948.-Т. 2. - C. 3-40.
7. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций/ И.Стейн/ Пер. с англ./ В.И.Буренкова (ред.); В.И.Буренкова, Э.Э.Пейсахович (пер.) - М.: Мир, 1973. - 342 c.
8. Carleson L. An interpolation problem for bounded analytic functions // Amer. J. Math. - 1958. - V. 80. - P. 921-930.
9. Виноградов С.А., Хавин В.П. Свободная интерполяция в и в некоторых других классах функций // Зап. Научн. семин. ЛОМИ. - 1974. - Т. 47. - С. 15-54.
10. Джрбашян М.М. Базисность некоторых биортогональных систем и решение кратной интерполяционной задачи в классах Hp в полуплоскости // Изв. АН СССР. Серия Математика. - 1978. - Т.43. - № 6. - C. 1327 - 1384.
11. Джрбашян М.М. Биортогональные системы и решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности в классе H2// Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. - 1974. - Т.9. - № 5. - С. 339-373.
12. Джрбашян М.М. Базисность некоторых биортогональных систем и решение кратной интерполяционной задачи в классах Hp в полуплоскости // Изв. АН СССР. Серия Математика. - 1978. - Т.43. - № 6. - C. 1327 - 1384.
13. Шамоян Ф.А. Теоремы вложения, связанные с задачей кратного интерполирования в пространствах Hp // Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. - 1976. - Т.11 - № 2 - С.124-131.
14. Мартиросян В.М. Эффективное решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности H// ДАН СССР - 1982. - Т. 263. - С. 805 -808.
15. Шамоян Ф. А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических в круге функций с мажорантой конечного роста // Изв. АН АрмССР, Математика. 1978. - Т. 13. - № 5-6. - С. 405-422.
Об авторах
Родикова Е.Г. - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского.
Беднаж В.А. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского.
Шамоян Ф.А. - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского
УДК 581.526.425/581.526 (581.9)
РАСПРОСТРАЕННИЕ РАННЕЙ И ПОЗДНЕЙ ФОРМ QUERCUS ROBUR L.
НА ТЕРРИТОРИИ БРЯНСКОЙ ОБЛАСИ
А.Д. Булохов, И. И. Сильченко
Изучен ритм развития ранней и поздней форм Quercus robur L. в сообществах широколиственных и хвойно-широколиственных лесов. Обе формы хорошо различаются по ритму развития. Составлены карты ареалов ранней и поздней форм Quercus robur. Выявлена закономерность их распространения по типам ландшафтов.
Ключевые слова: Quercus robur, фенологический ритм, ареал, тип ландшафта.
Введение
В Лесной кодекс Российской Федерации (2007) к требованиям ведения лесного хозяйства отнесены воспроизводство улучшенного состава и качества лесов, повышение их продуктивности, охрана и защита лесов, сохранение биологического разнообразия.
В «Руководстве по ведению и восстановлению дубрав в равнинных лесах европейской части Российской Федерации» (2000) указано на необходимость организации и эффективного использования постоянной лесосеменной базы на селекционно-генетической основе с учётом биоразнообразия видов и разнообразия условий среды.
Исследование фиторазнообразия дубрав, сформированных ранней и поздней формами дуба черещатого, их приуроченность к различными типам ландшафтов является актуальной проблемой лесной геоботаники и современного лесоводства (Булохов, Сильченко, 2009) . Её решение имеет важное теоретическое и практическое значение, так как служит основой для разработки практических мероприятий по эффективному восстановлению дубрав.
Цель статьи - выявить закономерности распространения ранней Quercus robur L. forma praecox Czern. и поздней форм (forma tradiflora Czern.) и составить карту их ареалов ранней и поздней формы дуба на территории Брянской области.
Методика работы
Изучение закономерностей распространения фенологических форм Quercus robur L. проведено маршрутным методом. В течение полевых сезонов 2009-2013 г.г. выполнено 300 полных геоботанических описаний. Составлялись точечные и контурные карты ареалов феноформ. Отмечалась их приуроченность к различным типам ландшафтов.
Для выявления ритма развития феноформ Quercus robur L. в сообществах широколиственных и хвойно-широколист-венных лесов Брянской области, были заложены постоянные пробные площади. Фенологические формы дуба черешчатого определяли по методическим указаниям Анциферов Г.И., Чемарина О.В. (1982).
Результаты исследования
Общая картина наступления фенофаз представлена в виде феноспектра (рис. 1). Наблюдения начинались с 20 апреля и продолжались до 20 октября. Ранняя феноформа в годы исследования (2009 - 2013) вступала в фазу набухания почек в конце второй декады апреля, а распускание почек происходит с 22 - 24 по 27-28 апреля.
Поздняя феноформа вступает в фазу набухания почек в конце второй, начале третьей декады мая (с 17-20 по 21-24). Начало линейного роста побегов у ранней формы - в конце третьей декады апреля (25-27 апреля по 6-7 мая), окончание роста побегов наступает в первой декаде мая (7-9). Поздняя форма так же проходит через эту фазу в конце третьей декады мая (с 26-28 мая по 4-5 июня).
Обе формы дуба черещатого хорошо различаются по ритму развития.
На основе маршрутных обследований были составлены карты ареалов ранней и поздней феноформ дуба черещатого и выявлены закономерности их распространения по типам ландшафтов (рис.2,3). На рисунках показаны основные массивы лесов сформированные различными формами дуба черещатого.
1
2
1 - ранняя феноформа 2 - поздняя феноформа
II
III
VI VII VIII IX X XI XIÍ
.....
I I I I 1
Uli.
оо оо
н+
. . гг
оо оо
"Условные обозначения
Зимний покой
Набухание почек
Разверзание
* * I почек
: ■ I Начало роста —"— побегов
Г^У?"I Цветение
Оконьчание
___ роста пооегов
i = j Обособление
листьев
|-— -| Летняя вегетация
Расцвечивание
листьев In сj I Созревание
1 1 плодов
Р,1,7,4 Опадение - листьев
Рис 1. Фенологический спектр феноформ Quercus robur L. f. praecox, и f. tradiflora.
