Научная статья на тему 'ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ КЛАССА 29.jpg ОТНОСИТЕЛЬНО ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ'

ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ КЛАССА 29.jpg ОТНОСИТЕЛЬНО ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
206
21
Поделиться
Ключевые слова
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ / ЕДИНИЧНЫЙ КРУГ / МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ / ХАРАКТЕРИСТИКА Р. НЕВАНЛИННЫ / КЛАСС 29.JPG / ОПЕРАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шамоян Ф. А., Беднаж В. А.

В работе доказано, что класс 29.jpg инвариантен относительно оператора дифференцирования при всех 30.jpg

Текст научной работы на тему «ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ КЛАССА 29.jpg ОТНОСИТЕЛЬНО ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ»

УДК 517.5

ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ КЛАССА N

a

ОТНОСИТЕЛЬНО ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ1

Ф.А. Шамоян, В. А. Беднаж В работе доказано, что класс М^ инвариантен относительно оператора дифференцирования при всех

а >0.

Ключевые слова: голоморфные функции, единичный круг, мероморфные функции, характеристика Р. Неванлинны, класс М^, оператор дифференцирования.

Пусть Б = {г : |г| < 1} - единичный круг на комплексной плоскости, Н (Б) -множество всех голоморфных в Б функций, М(Б) - множество всех мероморфных в Б функций, / еМ(Б). Характеристикой Р. Неванлинны функции / называется выражение

т (Г, / ) = ] 1п + |/ (ге'у)| йу + N (г, / ),

( \ / \ Гп (*, ¥)- п (0, да) где г е(0,1), N(г,/)=|—------М - усредненная считающая функция

0 *

последовательности полюсов функции /, п(г,да) = {шгй Ък, \Ък\<г}, Ьк - полюса

функции / в Б, п(0, да) - кратность полюса / в начале координат.

Не ограничивая общности, в дальнейшем всюду будем предполагать, что точка г = 0 не является особой точкой функции /.

Для а > 0 определим класс функций:

ма=|/ ^М(Б):т ( г ,/)<~/; 0 < Г < 1|.

Хорошо известно, что класс Р. Неванлинны N = N0° не инвариантен относительно

оператора дифференцирования. Гипотеза об инвариантности класса Р. Неванлинны относительно оператора дифференцирования была выдвинута Р. Неванлинной в работе (см.[5]). В дальнейшем О. Фростман в [3] и Л. Хан в [4] установили, что существуют функции / е N такие, что /' £ N.

Основным результатом статьи явлеются доказательство следующего утверждения: Теорема. Класс N2 при любых а > 0 инвариантен относительно оператора дифференцирования.

Введем определение класса О. Бесова Барч:

Пусть 0 < а < +а, п = [р], я = р - п, тогда функция

<1_

У е Бар,ч о ] Г ] |/(п) (И-)) - 2/(е'х) + /(И->)|'У 0 < .

-Ж Г-Ж 0

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ:№09-01-97517

Для доказательства теоремы используем параметрическое представление класса Ы¥, полученное в работе [6].

Теорема А. Пусть а > 0, ¡5 > а -1, тогда класс Ы¥ совпадает с классом мероморфных в D функций, допускающих представление

f (z ) =

* У (ёв )

izЯ -Пь (z, ak )- exp J --M

(1 - e 1 z)

П5 (г, Ь )

где 1 - неотрицательное целое число, у (е1в ) - функция из класса О. Бесова В/5о-а+1, то есть

{ Дт ( 1|/{е'(в+1))-21 {е1в) + / (е'<в-'>)|1 dx <+¥ при 0 < 5 - а +1 £ 2,

(1)

Пb (z. ak ) = П

k=1

- i'

V ak 0

exp

2(b +1)| J (1 -P21

b+2

„ ie

ln 1-P e p d p dd

ak

ж I -ж (1- ре-вак у

[ак }Т , {Ьк }Т - произвольные последовательности точек из D, удовлетворяющих условиям

n (r ) = {card ak, |ak| < r}

akl < r}<

(1 - r )

a+1

n(r) = {card bk. \Ък\<r}

<

(1 - r )

a+1

Обозначим А¥ - пространство аналитических функций из класса Ы¥, т.е. А¥= Ы;пИ( й ).

Тогда очевидно, чтобы доказать теорему достаточно установить инвариантность относительно оператора дифференцирования класса А ¥, а > 0. Лемма. Пусть

h(z) = (1 -U(z))-exp £

U ( z )

Л

V j=1 J

, z e D,

где и (г) - голоморфная в й функция. Тогда справедливо равенство

(

\

И(г) = -и'(г)и (г)-ехр £

V1=т 1 0

Доказательство. Имеем

, z e D.

f

hh(z) = -U'(z)- exp £

U (z)

V j=1 j

U ( z )

+ (1 -U(z))-exp -£Uj-1 (z)-U'(z)

V j=1 j

j=1

f

U (z)

Л

= U' (z)- exp £

V J=! j 0 ' * UJ (z

U(z)-exp £^

V j=! j 0

■1 + (1 - U (z ))£Uj-1 (z )

j=1

1 +1 -U(z) + £Uj-1 (z)-£Uj (z)

j=2 j=2

U' (z)•exp £

U (z)

•(-Up (z)).

V1=1 1 0 Лемма доказана.

Замечание. Когда и (г ) = г, г е Б, аналогичная лемма доказана в работе (см.[2]). Пусть теперь / - произвольная функция из пространства А¥, а > 0. Теорема Б (см.[6]). Пусть а > 0, ¡5 > а -1, тогда класс А¥ совпадает с классом голоморфных в Б функций, допускающих представление

* у (е'в)

/(г) = П5 (г, г,)• ехр Г ^ ¡¡+2 М, (2)

-* (1 - е-1в г )

где {г, }} - произвольная последовательность точек из Б, удовлетворяющих условию

n

(r )<

(1 - r J

a+1

(3)

у (е'в ) - функция из класса О. Бесова Б( Для краткости обозначим

b-a+1

¥

* у (е'в)

')=! (те^т

В дальнейшем, не ограничивая общности, будем предполагать, что 5 = р достаточно большое натуральное число.

Доказательство теоремы. Из равенства (2) следует, что

/'(2) = Пр (2,г,) ехр8(г)• 8'(г) + ПР (z,г,)• ехр8(г) = ^ (г) + ^ (г),

где

р1 (г) = Пр (z, ) • ехР 8 (г) • 8' (г), ¥2 (г) = ПР (^ гк )• ехР 8 (г).

П ' (г, г, ) ¥

Используя теорему А достаточно доказать, что функции 8 ' е А¥ и _р , '—Г е Ыа .

Пp (z. z, )

Сначала докажем, что ^ е А¥. Поскольку

1п+ (г ))< 1п +| / (г) + 1п+ 8 (г ), то достаточно оценить Т(8', г). Имеем

1 p

T(g',r) = — J ln + g '(reij)\dj.

Но очевидно, что

8 ' (г ))< с •

Поэтому, Следовательно,

У (e" )•

Л -id \p+3 (1 - e z)

d0

(1 -I z|)

p+3

Л

J |y (e" )d"

<

(1 -I z|)

p+3

T(r)<eln(> r

c

Поэтому

(1 - r )

2-J ln + |F1 ( )) £ 2_J ln f ( ))

+—c— £ C2

(1 - r) (1 - r)

Теперь докажем принадлежность классу функции О {т) = —р { ' к ) , и тем

— р { т, тк )

самым докажем, что {т)еЛ¥ , поскольку {т) = О{т)•— {т,тк)• ехрg{т). Вспомним теперь, что при (3 = р произведение — имеет вид

¥ f пp (z. ** )=П z

к=1

П

к=1

1 --

1 - z,,

N z exp- p 1 Isj j=1 j

• z у

p1 j=1 j

Г 1 z J exp <

1 - k,

,2\ j

1 - Zk ' 2

V k

1 - z,

a\j

1 - zk ■ z

V k

z e D •

Обозначим

Ap (z' zk ) =

1 - z,

2

1 -- _ 1 - zk ■ z

V k J

exp

p 1

j=1 j

1 - z,

,2\ j

1 - zk ■ z

V k 0

тогда

Очевидно, что

где

пp (z. z, ) = П AP (z' z, ) •

k=1

¥

пP (z.z,) = !пp,k (z)• AP (z.z,)'

k=1

¥

пp,k (z) = П AP (z. zj )•

Используя лемму, получим

Ap (z. z, ) = -

1 - z,

,2 Лp

( Л I |2

1 - Ы

V 1 - zk • z J 11 - zk • z 0

• exp

j=1 j * к

f i i2 Лj -p 1 ' 1 - zk 2 ^

p

j=1 j

1 - zk ■ z

z,(1 -zr) (1 -z,

|Л p

1 - zk ■ z

V k J

Поэтому,

(1 - z, • z )

Ъ (1 - k I2) (

• exp

p1

j=1 j

1 - z,

,2\ j

1 - zk ■ z

V k J

пp (z.z,) = -Епp.k (z)•

k (И Zk| ) 1 - Izk

к=1 {1 - тк •т) или, используя представление (6),

|2 Лp

1 - zk ■ z

V к J

• exp

p1

j=1 j

1 - z,

,2\ j

1 - zk ■ z

V k J

(4)

(5)

(6)

¥

К (z. zt ) = -£пp,k (z)• Ap (z.z,)

(-I * I2 Г

к=1

(1 - z, • z )

p+2

(1 - z, • z >

V zk- z J

Далее, учитывая формулу (5), получим

¥ (1 - к, Г )

пp (z. z,) = -пp (z.z,1 '

к=1

(1 - z, • z )

p+1

( 1 1

V zk- z J

z e D.

Следовательно, имеем

К (z. z, )=_£( -lzk Г )

p+1

( 1 1

V zk - z J

—р (т тк ) к=1 {1 - тк • тГ

Пусть 0 < 8 £ 1, а р - такое натуральное число, что

(р +1)8 >а-1,

Тогда как установлено в работе ( см. [1])

¿0-I 'к I )(р *1)8

. z e D. z * zk, к = 1.2.•

< +¥ •

к=1

Учитывая это и используя то, что при 0 < 8 < 1

^ ¥ \ ¥

Ес, . с, > 0. к = 1.2.• .

ч к=1 J к=1

получаем

Ц (z. z, )

пp (z. z, )

£

еЕ(1 - lz к Г)

5 (p+1)

1

k=1 |1 - zk ■ z

S (p+1)

5 '

zk- z

Поэтому,

/I

J

ПP (rej. z, )

\S (p+1)

—р , ^ )

Докажем, что последний интеграл ограничен. Имеем

Р 1 Р 1

| аф р аф

» (1 -|z,Г) } dj

j £Е. ,_,, Is (p+1)"Jl--

/ I_ it i\S(p+1)

k=l (1 -\zk\\z\) -zk -re

j

S

\r,ejk - rej

-

(r - ru )2 + 4rr, sin

2 ( j- j

dj

r dt

£ c J -¡¡F £ c1.

(r - r, )2 + 4rrk si

t 112

при условии тк > г0 > 0 . Следовательно, из (7) получаем

Л

-

£

Щ (rej.zk)

пp (rej.zk)

dj £ C2 •Е

(-I * f)

S (p+1)

(1 - r )

S (p+1)

Е (-1 «12)

,=1

к=1 (1 - r )

S (p+1)

S (p+1)

£

(1 - r )

S(p+1) •

Далее, учитывая полученные оценки, имеем

(7)

S

1 p — f ln+ 2p J_

np (re*, zk ) 1 1 dm <-- S 2p p f f Pp (re*, zk )

Пp (re*, zk ) -p Пp (re*, Zk )

d* <

<с(p +1)-ln-^о C(p)

Следовательно, функция

а функция Теорема доказана.

(1 - r )) - г у G ( )=np (zZk) е N»

G(z) Пр (z, z^ F2 (z) = G(z)Пp (Zzk)-exp8(z)e A¥ .

In the paper proof that the class N¥ invariance with operator of differentiation for all a > 0.

The key words: holomorphic of function, individual disk, meromorphic of function, class N^, characteristic of Nevanlinna, operator of differentiation.

Список литературы

1. Шамоян Ф.А. О нулях аналитических в круге функций, растущих вблизи его границы// Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. 1983. Т.18. № 1.

2. Branges L. Hilbert spaces of entire functions. - Prentice - Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1968. P.326.

3. Frostman O. On analytic functions with bounded characteristic // Bull. Amer. Math. Soc. -1946 V. 52. № 8. P. 694-699.

4. Hahn L. On the Bloch - Nevanlinna problem // Proc. Amer. Math. Soc. 1972.V. 32. № 1. P. 221-224.

5. Nevanlinna R. Le thoreme de Picard - Borel et la functions meromorphes. - Paris: Gauthier - Villars, 1929 vii - P. 1799.

6. Shamoyan F.A., Shubabko E.N. Parametrical Representations of Some Classes of Holomorphic Function in the Disk // Operator Theory: Advances and Applications. 2000. V. 113. P. 331-338.

Об авторах

Ф. А. Шамоян - док. проф. Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, shamoyanfa@yandex.ru.

В. А. Беднаж - канд. доц. Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, e-mail: verabednazh@rambler.ru.