CC BY
99
УДК 517.5
ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ КЛАССА N
a
ОТНОСИТЕЛЬНО ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ1
Ф.А. Шамоян, В. А. Беднаж В работе доказано, что класс М^ инвариантен относительно оператора дифференцирования при всех
а >0.
Ключевые слова: голоморфные функции, единичный круг, мероморфные функции, характеристика Р. Неванлинны, класс М^, оператор дифференцирования.
Пусть Б = {г : |г| < 1} - единичный круг на комплексной плоскости, Н (Б) -множество всех голоморфных в Б функций, М(Б) - множество всех мероморфных в Б функций, / еМ(Б). Характеристикой Р. Неванлинны функции / называется выражение
т (Г, / ) = ] 1п + |/ (ге'у)| йу + N (г, / ),
-ж
( \ / \ Гп (*, ¥)- п (0, да) где г е(0,1), N(г,/)=|—------М - усредненная считающая функция
0 *
последовательности полюсов функции /, п(г,да) = {шгй Ък, \Ък\<г}, Ьк - полюса
функции / в Б, п(0, да) - кратность полюса / в начале координат.
Не ограничивая общности, в дальнейшем всюду будем предполагать, что точка г = 0 не является особой точкой функции /.
Для а > 0 определим класс функций:
ма=|/ ^М(Б):т ( г ,/)<~/; 0 < Г < 1|.
Хорошо известно, что класс Р. Неванлинны N = N0° не инвариантен относительно
оператора дифференцирования. Гипотеза об инвариантности класса Р. Неванлинны относительно оператора дифференцирования была выдвинута Р. Неванлинной в работе (см.[5]). В дальнейшем О. Фростман в [3] и Л. Хан в [4] установили, что существуют функции / е N такие, что /' £ N.
Основным результатом статьи явлеются доказательство следующего утверждения: Теорема. Класс N2 при любых а > 0 инвариантен относительно оператора дифференцирования.
Введем определение класса О. Бесова Барч:
Пусть 0 < а < +а, п = [р], я = р - п, тогда функция
<1_
У е Бар,ч о ] Г ] |/(п) (И-)) - 2/(е'х) + /(И->)|'У 0 < .
-Ж Г-Ж 0
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ:№09-01-97517
Для доказательства теоремы используем параметрическое представление класса Ы¥, полученное в работе [6].
Теорема А. Пусть а > 0, ¡5 > а -1, тогда класс Ы¥ совпадает с классом мероморфных в D функций, допускающих представление
f (z ) =
* У (ёв )
izЯ -Пь (z, ak )- exp J --M
(1 - e 1 z)
П5 (г, Ь )
где 1 - неотрицательное целое число, у (е1в ) - функция из класса О. Бесова В/5о-а+1, то есть
{ Дт ( 1|/{е'(в+1))-21 {е1в) + / (е'<в-'>)|1 dx <+¥ при 0 < 5 - а +1 £ 2,
(1)
Пb (z. ak ) = П
k=1
- i'
V ak 0
exp
2(b +1)| J (1 -P21
b+2
„ ie
ln 1-P e p d p dd
ak
ж I -ж (1- ре-вак у
[ак }Т , {Ьк }Т - произвольные последовательности точек из D, удовлетворяющих условиям
n (r ) = {card ak, |ak| < r}
akl < r}<
(1 - r )
a+1
n(r) = {card bk. \Ък\<r}
<
(1 - r )
a+1
Обозначим А¥ - пространство аналитических функций из класса Ы¥, т.е. А¥= Ы;пИ( й ).
Тогда очевидно, чтобы доказать теорему достаточно установить инвариантность относительно оператора дифференцирования класса А ¥, а > 0. Лемма. Пусть
h(z) = (1 -U(z))-exp £
U ( z )
Л
V j=1 J
, z e D,
где и (г) - голоморфная в й функция. Тогда справедливо равенство
(
\
И(г) = -и'(г)и (г)-ехр £
V1=т 1 0
Доказательство. Имеем
, z e D.
f
hh(z) = -U'(z)- exp £
U (z)
V j=1 j
U ( z )
+ (1 -U(z))-exp -£Uj-1 (z)-U'(z)
V j=1 j
j=1
f
U (z)
Л
= U' (z)- exp £
V J=! j 0 ' * UJ (z
U(z)-exp £^
V j=! j 0
■1 + (1 - U (z ))£Uj-1 (z )
j=1
1 +1 -U(z) + £Uj-1 (z)-£Uj (z)
j=2 j=2
U' (z)•exp £
U (z)
•(-Up (z)).
V1=1 1 0 Лемма доказана.
Замечание. Когда и (г ) = г, г е Б, аналогичная лемма доказана в работе (см.[2]). Пусть теперь / - произвольная функция из пространства А¥, а > 0. Теорема Б (см.[6]). Пусть а > 0, ¡5 > а -1, тогда класс А¥ совпадает с классом голоморфных в Б функций, допускающих представление
* у (е'в)
/(г) = П5 (г, г,)• ехр Г ^ ¡¡+2 М, (2)
-* (1 - е-1в г )
где {г, }} - произвольная последовательность точек из Б, удовлетворяющих условию
n
(r )<
(1 - r J
a+1
(3)
у (е'в ) - функция из класса О. Бесова Б( Для краткости обозначим
b-a+1
¥
* у (е'в)
')=! (те^т
В дальнейшем, не ограничивая общности, будем предполагать, что 5 = р достаточно большое натуральное число.
Доказательство теоремы. Из равенства (2) следует, что
/'(2) = Пр (2,г,) ехр8(г)• 8'(г) + ПР (z,г,)• ехр8(г) = ^ (г) + ^ (г),
где
р1 (г) = Пр (z, ) • ехР 8 (г) • 8' (г), ¥2 (г) = ПР (^ гк )• ехР 8 (г).
П ' (г, г, ) ¥
Используя теорему А достаточно доказать, что функции 8 ' е А¥ и _р , '—Г е Ыа .
Пp (z. z, )
Сначала докажем, что ^ е А¥. Поскольку
1п+ (г ))< 1п +| / (г) + 1п+ 8 (г ), то достаточно оценить Т(8', г). Имеем
1 p
T(g',r) = — J ln + g '(reij)\dj.
Но очевидно, что
8 ' (г ))< с •
Поэтому, Следовательно,
У (e" )•
Л -id \p+3 (1 - e z)
d0
(1 -I z|)
p+3
Л
J |y (e" )d"
<
(1 -I z|)
p+3
T(r)<eln(> r
c
Поэтому
(1 - r )
2-J ln + |F1 ( )) £ 2_J ln f ( ))
+—c— £ C2
(1 - r) (1 - r)
Теперь докажем принадлежность классу функции О {т) = —р { ' к ) , и тем
— р { т, тк )
самым докажем, что {т)еЛ¥ , поскольку {т) = О{т)•— {т,тк)• ехрg{т). Вспомним теперь, что при (3 = р произведение — имеет вид
¥ f пp (z. ** )=П z
к=1
П
к=1
1 --
1 - z,,
N z exp- p 1 Isj j=1 j
• z у
p1 j=1 j
Г 1 z J exp <
1 - k,
,2\ j
1 - Zk ' 2
V k
1 - z,
a\j
1 - zk ■ z
V k
z e D •
Обозначим
Ap (z' zk ) =
1 - z,
2
1 -- _ 1 - zk ■ z
V k J
exp
p 1
j=1 j
1 - z,
,2\ j
1 - zk ■ z
V k 0
тогда
Очевидно, что
где
пp (z. z, ) = П AP (z' z, ) •
k=1
¥
пP (z.z,) = !пp,k (z)• AP (z.z,)'
k=1
¥
пp,k (z) = П AP (z. zj )•
Используя лемму, получим
Ap (z. z, ) = -
1 - z,
,2 Лp
( Л I |2
1 - Ы
V 1 - zk • z J 11 - zk • z 0
• exp
j=1 j * к
f i i2 Лj -p 1 ' 1 - zk 2 ^
p
j=1 j
1 - zk ■ z
z,(1 -zr) (1 -z,
|Л p
1 - zk ■ z
V k J
Поэтому,
(1 - z, • z )
Ъ (1 - k I2) (
• exp
p1
j=1 j
1 - z,
,2\ j
1 - zk ■ z
V k J
пp (z.z,) = -Епp.k (z)•
k (И Zk| ) 1 - Izk
к=1 {1 - тк •т) или, используя представление (6),
|2 Лp
1 - zk ■ z
V к J
• exp
p1
j=1 j
1 - z,
,2\ j
1 - zk ■ z
V k J
(4)
(5)
(6)
¥
К (z. zt ) = -£пp,k (z)• Ap (z.z,)
(-I * I2 Г
к=1
(1 - z, • z )
p+2
(1 - z, • z >
V zk- z J
Далее, учитывая формулу (5), получим
¥ (1 - к, Г )
пp (z. z,) = -пp (z.z,1 '
к=1
(1 - z, • z )
p+1
( 1 1
V zk- z J
z e D.
Следовательно, имеем
К (z. z, )=_£( -lzk Г )
p+1
( 1 1
V zk - z J
—р (т тк ) к=1 {1 - тк • тГ
Пусть 0 < 8 £ 1, а р - такое натуральное число, что
(р +1)8 >а-1,
Тогда как установлено в работе ( см. [1])
¿0-I 'к I )(р *1)8
. z e D. z * zk, к = 1.2.•
< +¥ •
к=1
Учитывая это и используя то, что при 0 < 8 < 1
^ ¥ \ ¥
Ес, . с, > 0. к = 1.2.• .
ч к=1 J к=1
получаем
Ц (z. z, )
пp (z. z, )
£
еЕ(1 - lz к Г)
5 (p+1)
1
k=1 |1 - zk ■ z
S (p+1)
5 '
zk- z
Поэтому,
/I
J
ПP (rej. z, )
\S (p+1)
—р , ^ )
Докажем, что последний интеграл ограничен. Имеем
Р 1 Р 1
| аф р аф
» (1 -|z,Г) } dj
j £Е. ,_,, Is (p+1)"Jl--
/ I_ it i\S(p+1)
k=l (1 -\zk\\z\) -zk -re
j
S
\r,ejk - rej
-
(r - ru )2 + 4rr, sin
2 ( j- j
dj
r dt
£ c J -¡¡F £ c1.
(r - r, )2 + 4rrk si
t 112
при условии тк > г0 > 0 . Следовательно, из (7) получаем
Л
-
£
Щ (rej.zk)
пp (rej.zk)
dj £ C2 •Е
(-I * f)
S (p+1)
(1 - r )
S (p+1)
Е (-1 «12)
,=1
к=1 (1 - r )
S (p+1)
S (p+1)
£
(1 - r )
S(p+1) •
Далее, учитывая полученные оценки, имеем
(7)
S
1 p — f ln+ 2p J_
np (re*, zk ) 1 1 dm <-- S 2p p f f Pp (re*, zk )
Пp (re*, zk ) -p Пp (re*, Zk )
d* <
<с(p +1)-ln-^о C(p)
Следовательно, функция
а функция Теорема доказана.
(1 - r )) - г у G ( )=np (zZk) е N»
G(z) Пр (z, z^ F2 (z) = G(z)Пp (Zzk)-exp8(z)e A¥ .
In the paper proof that the class N¥ invariance with operator of differentiation for all a > 0.
The key words: holomorphic of function, individual disk, meromorphic of function, class N^, characteristic of Nevanlinna, operator of differentiation.
Список литературы
1. Шамоян Ф.А. О нулях аналитических в круге функций, растущих вблизи его границы// Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. 1983. Т.18. № 1.
2. Branges L. Hilbert spaces of entire functions. - Prentice - Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1968. P.326.
3. Frostman O. On analytic functions with bounded characteristic // Bull. Amer. Math. Soc. -1946 V. 52. № 8. P. 694-699.
4. Hahn L. On the Bloch - Nevanlinna problem // Proc. Amer. Math. Soc. 1972.V. 32. № 1. P. 221-224.
5. Nevanlinna R. Le thoreme de Picard - Borel et la functions meromorphes. - Paris: Gauthier - Villars, 1929 vii - P. 1799.
6. Shamoyan F.A., Shubabko E.N. Parametrical Representations of Some Classes of Holomorphic Function in the Disk // Operator Theory: Advances and Applications. 2000. V. 113. P. 331-338.
Об авторах
Ф. А. Шамоян - док. проф. Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, [email protected].
В. А. Беднаж - канд. доц. Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, e-mail: [email protected].
