Оценки в классах аналитических в круге функций с ограничениями на характеристику Р. Неванлинны Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК-517.53

Цр -ОЦЕНКИ В КЛАССАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКУ Р. НЕВАНЛИННЫ

Ф.А. Шамоян, Е.Г. Родикова

В работе получено полное описание тех неотрицательных борелевских мер /и в единичном круге, при которых класс Sp вложен в пространство Лебега Цр (/и) •

Ключевые слова: теорема вложения, пространство Лебега, борелевская мера.

Пусть C - комплексная плоскость, D = ^ е C: < 1} - единичный круг на комплексной

плоскости, н (В) - множество всех аналитических в D функций, О - множество всех суммируемых положительных функций на ( 0,1] , для которых существуют числа

Ч.е( 0,1] , Ма , такие что

та<

О)

со(Лг)

< Ма, г е( 0Л]Де[ддаЛ].

(1)

о( г)

Для всех 0 < р < и О Е О введем в рассмотрение следующие весовые классы функций (см. [1], [2]):

1 (ж \р

Ар (а)

/ е н (D): |а(1 - г) \\/(ге1в)

dв

\-Л

dr <

(2)

(3)

где

/ е Н (В): |а(1 - г )ТР (г, /) dr <+да

о

1 ж

Т (г - / ) = Г 1п + / (єів)\dв- характеристика Р. Неванлинны функции /

1п+ а = тах(1па,0), а е к + • Отметим, что функция Т (Г, ^) играет существенную роль в

общей теории функций комплексного переменного (см. [3], [4], [5]).

Во многих задачах комплексного анализа часто возникает вопрос вложения одного класса аналитических функций в другой (см. [6], [7]). Например, при решении интерполяционных задач в

классах SО естественным образом возникает задача следующего типа:

Пусть /Л - неотрицательная борелевская мера в D , 0 < р < + да . Каким условиям должна

удовлетворять мера [Л, чтобы для всех f Е Sp

!(1п +| / (С)\) Pdv(£)<+ю ?

(4)

В

В работе получена полная характеризация мер Л, для которых справедлива указанная оценка. Для формулировки основного результата введем также следующие обозначения. Пусть I Е [0,1) , О Е [—Ж,ж], положим

I

А1 (в) = \ z е В :1 -1 < < 1,|м£z - в| < — >.

2

(5)

Справедлива

Теорема 1. Пусть Л - конечная неотрицательная борелевская мера, заданная на

-г

подмножествах единичного круга В, 1 < р < + да . Тогда следующие утверждения равносильны:

1

а) !(1п+ |/(С)\)* dи(C)<С ■ |а(1 - г)Тр (г,/)dг <+да, V/ е ,

В о

(6)

б) ц(А1 (в)) < С1 ■ а(і) ■ 1р+1, при всех в Є [-Г,г], 0 < і < 1,

(7)

где С, С1 - некоторые положительные числа, не зависящие от / и I.

При 0 < р < 1 характеризация мер имеет другой вид.

Зададим диадическое разбиение А^ ^ единичного круга В . Пусть к е Z +, і е Z, причем -2* < і < 2к -1,

Г ^ і 1^111 1 гі / г(і +1)1

Ак,/ = |z е В :1 - 2г < N <1 - 2к+г ^ < агёz < 2к |. (8)

Ясно, что система диадических прямоугольников покрывает единичный круг однократно, причем А * і и А п т могут пересекаться только по границам, если (к, і) Ф (п, т ) .

Теорема 2. Пусть Ц - конечная неотрицательная борелевская мера, заданная на

подмножествах единичного круга В, 0 < р < 1, г* = 1 - , к = 0,1,2... Тогда следующие

утверждения равносильны:

1

а) !(1п +|/(^)|)Р du(C)<С ^1^(1 - г)тр (г,/)dг < +да; (9)

В 0

2к -1 1 1+р _!_

б) Е НАм)1-р <с(1 - гк )1-р а~р (1 - гк). (10)

1=-2к

Замечание. Характеризация соответствующих мер в классах Харди и Бергмана не зависит от параметра р (см. [9], [10], [11]), а в классах , как видно из (7), (10), зависимость существенная.

Отметим также, что при доказательстве теорем 1, 2 мы применяем метод, разработанный ранее в работах [10], [11].

Доказательство теоремы 1.

Докажем импликацию (6) ^ (7).

Пусть функция g е Ар (а), g(N) = и(N) + IV(N), тогда ЄХр|+§(N)} е . Введем

также стандартные обозначения: и+( N ) = тах (0, и (z )), и ( N ) = тах (0, - и ( N )) . Тогда

очевидно, что и +( N ) + и ( N ) = |и ( N )|.

Из неравенства (6) получаем:

1 (ж Лр

dг. (11)

!(и +(С))/? dи(Є)< |а(1 - г) | и (гєів) dв

В 0 \-ж у

Действительно, положив / ( N) = ехр |§ ( N)} , получим:

!(1п+|/(с)|)р^(с)=|{(Re§(с))+} dм(c)=!(и+(с))рdм(c)<

В В В

1 (ж ^р

+

<|о(1 — г)Тр(г, f)dг =|о(1 — г) | и+(ге10~)dО

( ж

<|о(1 — г) | |и(ге10) dО dг <|о(1 — г) | |ё(ге10)

V — Ж

г) I и

0 V—Ж У

Лр 1 (ж

dг <

Л0

dг < +го.

Из тех же соображений, положив f ( z ) = ехр{—g ( z )},

1 (ж

Ки~(^))р ал(с)<1°(1—г) |\и(ге°)

V—ж У

имеем:

р

ЛО

Лг.

У

ж

и (4)) ал(4)<]о(1 — г) 1 \и|

В 0 V—ж

Складывая неравенства (11) и (12), получаем:

ж

ч — г) 1 |и ( ге'

В 0 V—ж

Но поскольку для любого 0 < р < +да и любых а, Ь Е C справедлива оценка

1{(и+(0)р+(и ~(0)р }ал(о< |°(1—г) 1 \и (ге°)

р

ао

Лг.

(13)

у

(Iа + И)р <2р-(Iа\р + |И|р)

то из (13) заключаем:

1 / л

1 |и (С)Гал(С)< с (р )‘1°(1 — г) 1 |и (ге°)

р

ао

В

аг .

(14)

ж

г) 1 |и|

V—ж

Далее, так как ё Е Ар (о), ё(z) = и(z) + IV(z) , то и ехр{+1'ё(z)} Е Sjp . Рассуждая, как выше, с учетом равенства V ( z ) = — Re{ Щ ( z )} получим:

1 (ж Лр

1 |v (£)\Р лл(С)<1°(1 — г) 1 |v (ге°)ао

В 0 V—ж

Объединяя (14) и (15), заключаем:

Ц ё (С)\Рам(С)<1(\и (С)\ + |v (С)\) Рам(£)

В

1 |и (С)\Рам(С) + 1 |v (С)\Рам(С)

аг .

<

(15)

V В

В

ж

г) 1 |и(

V — ж

(ж

г;

V — ж

р

у

р

( ж

< с2 1о(1 — г) 1 |и(ге10) ао Лг + с2 1о(1 — г) 1 |v(ге10)

V—ж

р

ао

Лг <

< Сз 1о(1 — г) 1 ё (ге10)

ао

Лг.

Таким образом, в условиях теоремы для любой функции ё Е Ар (о) справедлива оценка:

для

(ж

р

11 ё(£)\р ам(С) < С31О(1 — г) 1 ё(ге°)

ао

В

—ж

аг.

(16)

Не ограничивая общности, предположим, что 0 = 0, т.е. Д1 (0) = Д1. Тогда подбирая в

I1 ~ a 2)

(1 - az)

P

качестве g (z) функцию -2p, 0 < a < 1, P - достаточно большое число, после

подстановки в неравенство (16), получим:

1

"3

Л g (С)\Р d^(^)< c3 J®(1 - г)

D

Г1 (1 - a')" h ^pPde

-ж 1 - are V I I У

dr -

<c Cl -a)Pp f a(1 -r) dr < c a(1 -a) = c a(.l)

-Сз (1 a) J, (2p-1)p dr < c4 _4p(P-1)-1 C4 ,p(P-1)-1

(1 - ar)(2p-1)р ' 4 (1 - a)p(P-1)-1 4 lP(P-1)-1'

где l = 1 - a, 0 < l < 1.

При получении этой оценки мы воспользовались неравенством (см. [1])

141- r) dr < c «(1 - a)

Л (1 - ar)P < (1 - a/-1

при достаточно больших P.

Но |1 - az|2 = ((1 - a) + a(1 - r))2 + 4ar sin2 0 > (1 - a)2, z = re0 e Al, поэтому

n iP r(1 - a2 )Pp (1 - a2 )Pp r л(А,)

ЛgЩ dv{0=\\—4ppd^(f)>^—)PЛd^(^)=c5-

1 - aCfPp ' (1 - a )2Pp A, lPp

l = 1 - a, 0 < l < 1.

Таким образом,

c5 ^jjr < Л1 g (С)| PdMO< C4 ,^;^^-г)-г.

откуда непосредственно следует условие (7) теоремы.

Докажем обратную импликацию (7) ^ (6), т.е. если /Л - конечная неотрицательная мера в единичном круге D и Л (A,) — const • ^( l) • lP+1, то справедлива оценка (6).

С учетом разбиения Aк ^ единичного круга D (см. (8)) имеем:

Р +ю 2к -1 . . Р

Л(ln +1 f (01) d^(f) — E Е (ln+ fС)) л(Ак,).

D к=0 i=-2k

Применим теперь оценку (7) теоремы, в результате получим:

+” 2к -1 +ю 2к -1

Е Е (ln+|f(Ск,,)) л(Ак,)<сЕ Е (ln+|f(^кл)) Цiк)• ikp+1, к=0i=-2 к=01=-2к

где С к l - некоторая точка из А к ,, i к = ^+1 - ^, к e Z + .

Продолжим оценку:

+ю 2к -1

Е Е (ln 1f (Ск,)|Г®(rk+1 -Ъ)•(Гс+1 -rk)Р+1 < к=0 i=-2k

+» 2к -1

< сЕ®(1 - rk )(1 - rk) Е (ln +|f (Ск,, )|f •(1 - rk У

к=0 i=-2k

Учитывая теперь, что 0 < — < 1 будем иметь:

р

+” ( 2к — 1 , ч р

сХ°(1—гк)(1—гк) Х(1п +к(^к,1)) •(1—гк)р

к=0 VI=—2к

+» ( 2к — 1 Лр

< СЕ°(1 — гк )(1 — гк ) X 1п 1f (Ск,1) •(1 — гк ) .

<

к=0

Рассмотрим

VI=—2к

круг КР(^к ,1 ) = {С: |С —Ск ,/| <р(1 — |^к ,11)}, где Ск ,1 еД

1

—2к < I < 2к — 1, 0 <Р< ^, и субгармоническую функцию 1п + | f (С )| в нем. Имеем:

1п +1 f (Ск ,1 )|<

1

жР2 (1 — \Ск,11) Кр(Ск,1)

1 1п '|./ (С)\Лт2 (С):

откуда 2к —1

2к —1 2к —1 1

Х(1 — гк)1п'V(Ск1 )<Х7г—тт I 1п 1f(С)№(С).

1-2‘ 1 -2к (1 г >Кр(Ск,1)

2к —1

обидно что Ц КР(СкI) с Пк = |С :1 — 21=Г < \С\ <1 — 2к1+21, поэтому:

2к—1 1 1

X т1—ГГ 1 1п+|(С) а™2 (с)<7т_л 11п V (С)Лт2 (С)

1-1‘ 71 г) Кр(си) 71 г1, )П,

<

<

(1 — гк +2 )

Л Л

11п +!' (гк+2е°)ао < с 11п +!' (гк+2е°)

ао.

(1 — гк ) — яВ последнем неравенстве мы воспользовались тем, что функция

1 ж

Р^ 2ж11п + f 7 ге‘°)

2ж

—ж

Значит,

ао монотонно возрастает (см. [5], с. 21).

р +” ( 2к — 1 . Лр

1(^+1./(с)) ал(с)<сХо(1—гк)(1—гк) Х1п+к(ск,1 )|-(1—гк) .

В к=0

Используя оценку (1), заключаем:

ж

,+

VI=—2к Л р 1

+(Ю ( л Г 1 (Л

ХО(1 — гк )(1 — гк ) 1 1п+^ ( гк+2е1°)|а0 < с1О(1 — г) 1 1п+^ ( ге°)

к=0 V— ж У 0 V— ж

р

ао

Лг.

у

—ж

Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2.

Докажем сначала достаточность, то есть импликацию (10) ^ (9). С учетом разбиения (8) единичного круга получим:

+да 2к -1

!(1п +|/(С)|)рdu(c)<Е Е тх(1п+/(^)іГхи(Ак,і). (17)

В к=0 і=-2к ^еАк■і

Пусть точка Ск і е Ак і , такая что

тда (1п + | / (С)|) =1п +| у (Ск і )|.

Будем предполагать, что 1п+ |/(Ск1 )| ^ 0 (в противном случае, соответствующие оценки

тривиальны). Учитывая субгармоничность функции 1п + | / (С )| и теорему Харди-Литтлвуда (см. [6], с. 195), получаем:

р гк+1 ак ,1+1 , .

(1п +|У(с*,1 )|) <^~^ ! ! (1п+ |/(рє'в)\)р^р(ір.

(18)

ч

1

Применив к внутреннему интегралу неравенство Гёльдера с показателями Ч = —,

р

1

1 - р

, приходим к оценке:

гк+1 ( ак ,1+1

\р

(1п+|/(с*,1 )|Г<т^! ! 1п+/(рє1в)^ (ак,1+1 -ак,1 )1ррdр•

і\ - - *

к А гк V ак ,1

+да 2к-1

ЕЕ (1п +|/(Ск,,)|Ги(Ак_,)<

к=0 і=-2к

С ґ

< с

Е

к=0 Ак,і

гк

V V

2к-1

Ек

і=-2к

л л

! 1п+/(рє1в)dв и(Ак,і)(ак,,+1 -ак,/)

1-р

dр

(19)

У у

1

Снова применим к внутренней сумме неравенство Гёльдера с показателями q = —,

р

, 1

q =--------, получим оценку (20):

1 — р

'к+1

2к -1 ак ,1+1

к

2к -1

_ _ . _ _ _±_

Е !1п +/(рє1в) ^ х Е (и(Ак,і))1-р(ак,1+1 -ак,1)

1-р

і=-2к

d р<

гк+1 ( ж

\Р У 2к-1

гк \-ж

<! !1п +/(рєів)м х Е (и(Ак,і ))1-р (ак,1+1 -ак,1)

>1- рЛ

і=-2к

d р.

Из (19), (20) окончательно получим:

+да 2к -1

Е Е (1п +1/(С )1Ги(Ак,і )<

к=0 і=-2к СеАк,і

к к,1

г

V ак ,1

і=-2 а

к

к,1

+Ю гк+1 ( ж

\pf 2к-1

-Е Л Лln +lf(рс)\\dc\ "ZtaS(л(Ак,i))1-p(«к,,+1 -^к,)

k=0 rk VV-ж

Следовательно, если

У Vi=-2k | к,i \

d p.

(1 - rk)

1-p

. к ,i | то есть

2k -1

2k -1

1 >

Е |л(Ак,i )|1-p <c •®(1 - rk)

i=-2k

1-P

1+P

Е л(Ак ,i)1-p <c •(1 - rk )1-p ®1_p (1 - rk),

i=-2k

то

+ю 2k -1

\P

Е Е max (ln +1f (С )1Г л(А к л )< Л^(1 - r) Лln 1f (pc)I\dC\

к=0 i=-2k CeAk откуда учитывая (17), получим

1

V-ж

d p,

p

d0

d p.

Л(ln +|f (c)|) d^(0 — Л^(1 - r) Л ln+f (peie)

D 0 V-ж У

Импликация (10) ^ (9) установлена. Докажем теперь обратную импликацию.

2к —1 _1_

Мы получим оценку (10) для суммы ^^|л(Д,£к)|1—р . Остальная часть оценивается

1=0

аналогичным образом.

Положим

2к -1

f (z, t ЬХтС1^ .t e[ 0,1], z e D,

(21)

(1 - zk,!zГ

где С, к - произвольная последовательность комплексных чисел, zk , - центр криволинейного прямоугольника А к,, n - достаточно большое натуральное число, Pi (t) - функция Радемахера порядка l. Положим также

F (z, t) = exp f ( z, t) .

Очевидно, что для произвольного t e [0,1] функция F e Sp . Поэтому если выполняется (9)

то

p

ЛIf (zt)|Pdл(z) <cЛ ^(1 - r) Лf (rele, t)

de

D

-ж

e

dr .

Проинтегрируем это неравенство по ? Е [0,1] . Меняя порядок интегрирования, получаем:

1

p

de

dt dr .

Л Л V (z’t )Г dtdv(z )<c Л^(1 - r )Л Л1f (rele, t)

D0 0 0 V-ж У

Используя известное свойство системы Радемахера (см. [12], с. 341), получаем:

1

1

ж

К

ж

ж

-l ,k

V

то есть

2k -1

2k -1

Sh -

l=0 I1 - -k,l-

P

2 Л2

2n

du(-)< - r ) JX

'l ,k

p

-d0

l=° I1 - -k,i-

dr,

A2k -1

X |c k\P u(A k л) < l1 - rk)pn J® l1 - r )x X

.£=0 ° £=0

c

l ,k

l1 - rkr)

n-1

dr <

(1 - *)pn J

®(1 - r)

0 l1 - rkr)

p(n-1)

dr x

X Cl

£=0

Снова учитывая оценку (см. [1]) 1

J

®(1 - r)

,p(n-1)

dr <

c®(1 - rk)

0 (1 - rkrУ

в итоге получаем:

(1 - rk)

p( n-1 )-1

2к -1 r 2k -1 Л p

X |Cl,к pu(Ak )< c®(1 - rk )(1 - rk )1+p x X |cl,k

£=0 =0 J

откуда нетрудно вывести оценку (10). Импликация (9) ^ (10) установлена. Теорема 2 доказана полностью.

n

ж

к

In this paper we get a complete description of those non-negative Borel measures u in the unit circle, for which the class S® is embedded in the Lebesgue space.

The key words: embedding theorem, the Lebesgue space, Borel measure.

Список литературы

1. Шамоян Ф. А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций \\ Сиб. матем. журн., Т. 40, №6, 1999. - С. 1422-1440.

2. Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых Lp - классов мероморфных функций.- Брянск: БГУ, 2009. - 152 с.

3. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1941. - 388 с.

4. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций - М.: Наука.- 1970. - 457 с.

5. Хейман У.К. Мероморфные функции - М.: Мир. - 1966. - 447 с.

6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции - М.: Мир, 1984. - 469 с.

7. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр : Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 368 с.

8. Виноградов С.А., Хавин В.П. Свободная интерполяция в Hю и в некоторых других классах функций // Зап. научн. семин. ЛОМИ, Т. 47, 1974 - с. 15-54.

9. Олейник В.Л. Теоремы вложения для весовых классов гармонических и аналитических функций // Исследования по линейным операторам и теории функций. V, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 47, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1974. - С. 120-137.

10. Шамоян Ф.А. Теорема вложения в пространствах n -гармонических функций и некоторые приложения // ДАН АрмССР, Т. 62, №1, 1976.

11. Шамоян Ф.А. Теоремы вложения и характеристика следов в пространствах Hp (Un ),

0 < p < // Матем. сб., Т. 107(149), №3(11), 1978. - С. 446-462.

12. Зигмунд А. Тригонометрические ряды - М.: Мир, 1965. - 615 с.

Lp -ESTIMATES IN THE CLASS OF ANALYTIC FUNCTIONS IN THE DISC WITH RESTRICTIONS ON THE NEVANLINNA CHARACTERISTIC

F.A. Shamoyan, E.G. Rodikova Об авторах:

Шамоян Ф. А.- доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математического анализа БГУ, shamovanfa@vandex. ru;

Родикова Е. Г.- аспирантка 2 года обучения кафедры математического анализа БГУ, evhenv@vandex. ru.