Научная статья на тему 'О коэффициентных мультипликаторах в одном весовом пространстве аналитических в круге функций'

О коэффициентных мультипликаторах в одном весовом пространстве аналитических в круге функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
58
14
Поделиться
Ключевые слова
МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ / F-ПРОСТРАНСТВО / АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ / ХАРАКТЕРИСТИКА Р. НЕВАНЛИННЫ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Родикова Е. Г.

В работе на основе установленных автором точных оценок максимума модуля и коэффициентов тейлоровского разложения функций из весовых классов получена характеризация коэффициентных мультипликаторов в этих классах.

ON COEFFICIENT MULTIPLIERS IN ONE WEIGHTED SPACE OF ANALYTIC FUNCTIONS IN A DISC

In this paper, based on previously established by the author exact estimates of the maximum modulus and the Taylor coefficients of the functions from the weight classes, we characterize coefficient multipliers in those classes.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «О коэффициентных мультипликаторах в одном весовом пространстве аналитических в круге функций»

УДК 517.53

О КОЭФФИЦИЕНТНЫХ МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ В ОДНОМ ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ

Е.Г. Родикова

В работе на основе установленных автором точных оценок максимума модуля и коэффициентов тейлоровского разложения функций из весовых классов Sp получена характеризация коэффициентных мультипликаторов в этих классах. Ключевые слова: мультипликаторы, F-пространство, аналитические функции, характеристика Р. Неванлинны.

Пусть C - комплексная плоскость, D = \^: Щ < 1} - единичный круг на комплексной

плоскости, н (D) - множество всех аналитических в D функций. Рассмотрим класс ^, «>-1, (см. [1]) аналитических в D функций, таких что

|(1 - г)“ | Тр (г, f) dвdr <+да ’ (1)

і ,

где О < P < +да, Tіr, f) =_J ln + f іre’e^\dd - характеристика Р. Неванлинны функции

2ж -ж

f, ln + a = max і ln а,О) , a Є R+=^, + да) . При a = О, P = і класс Sp = S1 совпадает с классом Р. Неванлинны по площади.

Пусть X - некоторый класс аналитических в круге D функций.

Определение. Последовательность комплексных чисел Л = |^k } назовем мультипликатором из класса Sp в класс X, если для произвольной функции f Є sp f і z) = ^ cikZk , функция

Л( f)(г)=Е-якакгк єХ • к=0

Описанию мультипликаторов в различных классах голоморфных функций посвящены работы отечественных и зарубежных ученых (см. [2] - [5]). Основным результатом этой статьи является доказательство следующего утверждения:

Теорема. Пусть X совпадает с одним из следующих классов: Sjp (—1 <$<Ос) или Нр (0 < р < да) . Тогда для того чтобы последовательность Л = |^к ^ являлась мультипликатором из класса SPp в класс X , необходимо и достаточно, чтобы

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

а

f f a+p+і Л'л

exp

-с • k a+2 ^

с > О, k ^ +да. (2)

V V У У

Доказательство теоремы основывается на нескольких вспомогательных утверждениях: Теорема А. Если f Е Бр

( \

a то

ln+ M і r, f) = o

і

a+і ,

к(і-rF У

(З)

где M і r, f) - максимум модуля функции f, т.е. M (rf )=max If (z )l •

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Теорема Б. Если f іZ) = anZn - ряд Тейлора функции f Є Sp, то

п=О

ж

1п + \а\ = о

п

о+2 р+1

(4)

V У

Теоремы А и Б установлены автором в работе [6]. Там же доказывается точность оценок (3), Для доказательства следующих лемм введем в классе БОр метрику по правилу

1 ( к

р(ля)=}(1—гТ 11п(1+|у(^)—g(геів)|)

ЛР

ив

V—к ( к

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ыг при 0 < р < 1,

1 (к і \ Лр

|(1 — г )О І 1п (1 + f (ге1в) — g (геів)^) Ыв Ыг

V—к

при р > 1,

(5)

(6)

для любых f, g Є БО .

Лемма 1. Относительно введенной метрики БО образует F-пространство.

Доказательство данного утверждения эквивалентно установлению следующих свойств метрики р( У>g) (см- [7]):

а) р(у, g ) = р( у — g,0)- очевидно;

б) Если У,Уп Є БО и р(Уп,У) ^ 0, П ^ +да, то для любого (5 Є C

р(Руп)^ 0п ^+да;

в) Если (п, (є с и (п ^ ( то Vу Є БО р(Рпу )^ 0п ^+да;

г) БО - полное метрическое пространство.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Доказательство пунктов б) - г) проведем для случая 0 < р < 1. Случай р > 1 рассматривается аналогично.

Докажем сначала полноту пространства БО . Пусть | Уп | - произвольная фундаментальная

последовательность из класса

БО,

то есть

У£> 0 ЗN(^) > 0Уп,т > N^р(/п,/т) < £.

Покажем, что она сходится к некоторой функции / Е S0 .

Сначала докажем, что из фундаментальности последовательности |/ } в S0 следует ее равномерная сходимость внутри круга D . Пусть 0 < Г < R < 1. Ввиду субгармоничности функции

" ( 2 )= 1П (' + |/ ( 2 )- /т ( 2 )|) в D ИМееМ:

1п Р (1 + | / (Re'9)-/ (ReШ )|)<

<

О + 1

О+1

( 2*У(1 — Я)

О + 1 ( 2к)р (1 — Я )О+1 откуда

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

<

](1 — Г)О І ІП (1 + |Уп (ГЄ'в ) — Ут (ГЄ'в )|)Ыв Я V—к

•р(уп, ут ),

р

Ыг <

1

/^е")-/т(Яе1в)|^ 0, п,т ^+*>.

Используя принцип максимума модуля, получаем, что последовательность | /п } равномерно

сходится внутри круга D к некоторой функции / Е Н (D) . Докажем, что / Е S0 . Фиксируем число 0 < R < 1. Имеем:

Я Л

Я I л

а

|(1 - г )а | Тр (г, /) dвdr <|(1 - г )а| 11п (1 + / (ге1в)) dв

-л 0 Ч-л

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Я ( л , ,

|(1 - г)а| |1п I1 + |/ (ге'в)- /п (ге'в )|)М

dг <

0 Ч-л

Фиксируем номер N Е N . Для любого П > N справедливо

V Я (Л , >р

dг + +| (1 - г)а | 11п (1 +1/п (ге"

0 V-Л

dг.

у

1 (Л

р(/п,0 ) = |(1 - г)а| | 1п (1 + \/п (ге")|)

у

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

- г ]

0 ч-л

) dв

dr <

|(1- г)а ( |1п (1 +1/п (ге'в ) - ^+11)

лр

- г

0 1

ыв

dг +

р

+|(1 - г )а| | 1п (1 + | /И+1\) М ^ = р( /п, /И+1 ) + р( У^0 )<£ + % = с1.

0 Ч-л У

Поэтому

Я л

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

|(1 - г )а | ТР ( г, / ) вг <р( /п, / ) + р( /п,0 )<£ + С1 = С2 .

0 -л

В силу произвольности выбора числа Я получаем, что / Е S0 . Значит, ^ - полное пространство.

Докажем теперь справедливость свойства б).

Пусть /,/п Е S0 и р(/п,/) ^ 0, п ^ +да, ( Е С . При ( < 1 свойство сразу следует. Предположим, что ( > 1. Можно считать, что ( > 1 .Так как последовательность |/п } сходится, то она фундаментальная. Но из фундаментальности, как установлено выше, следует равномерная сходимость указанной последовательности внутри D.

Поскольку для любого ( > 1 и X > 0 справедлива оценка (1 + (X) < (1+ X )(, то

р((/п,(/ ) = |(1 - г )а| | 1п (1 + (/п ( ге’в)-/( ге'в)) ^ \ ^ <

1 (Л

<](1 - г )а | 1п (1 + | /п ( ге1в )- / ( гс"))^"

0 Ч-л

dг <

Лр

<(|(1 - г)а I 1п (1 + /п (ге'в)-/(ге1в))^в ^ = (-р(/п, /),

0 Ч-л У

откуда следует свойство б).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Докажем, что выполняется свойство в). Пусть (п, ( Е С и (п ^ (.

р((п/.(/Н(1 - г )а| I 1п (1 + (п/ (ге1в)-(/ (ге1в)|)

0

) dв

dг =

71

Л

Л

1 ( Л Л г> 1

= |(1 -г)а| 11п(1 + /(ге1в)\\(п-()dв dг = |... + |... = + Зг.

0

Лр г,

dг =

6

Выберем 0 < г < 1 так, чтобы Л2 < ^, где 6 > 0 - произвольное достаточно маленькое

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

число.

0 / I I

Л =|(1 - г)а 11п (1 + \/(ге1в р„-(

0 V-л

-() dв

dг <

<1

(2л)р 1пр 1 + (п -(ехР С(1 - г0 )

а+1--^^ 1 -(1 - г0)

+1

а+1

а +1

<

<^1..р (1+(-()<б, а +1 2

при п > N (б) . Таким образом, свойство в) установлено.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Итак, из а) - г) следует, что S|p образует F -пространство. Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть последовательность комплексных чисел {Л Г удовлетворяет следующему

условию:

Л = о

ехр

+р+1 ЛЛ

. к а+2 р+1

V V

к — +<х>,

(7)

//

для любой положительной последовательности {Ск } , Ск X 0, к — +да. Тогда найдется

положительное число С > 0, такое что для всех номеров к Е N будет выполняться условие (2).

Доказательство леммы 2 повторяет рассуждения, проведенные в работе [4], но с показателем

а + р +1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

степени

а + 2 р +1

Лемма 3. Пусть g (2 ) = ехр—

С

а+1

(8)

(1 - 2) р

+1

+ГО

Е, ап ( С) 2П - ряд Тейлора функции g. Тогда справедлива оценка:

п=0

а„

с ) г ±

а+р+1

> ехр ( сп )а+2 р+1 .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(9)

Лемма 3 устанавливается на основе рассуждений, проведенных при доказательстве соответствующей леммы из [5].

Как показано выше, из сходимости р( /п, /) —■ 0, п — +^ следует равномерная сходи-

мость

последовательности функций /п ( ге*в ) к функции / ( ге*в ) в D . Следовательно,

+Ю +Х>

/п (2) = Е“"к2 и /(2) = Еак2 ,

если

к=0

к=0

то ак —— ак, п —— .

Пусть X - F -пространство, состоящее из комплексных последовательностей {Ьк}” , таких

Л

что сходимость последовательности (п = {Ь’п } — ( = {Ьк } предполагает покоординатную сходимость Ь'п — Ьк, п — +да, к = 0,1,2,...

Рассмотрим коэффициентный мультипликатор А = {Л } из класса SРp в класс

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

X = {нр (0 < р < да),(-1 < ( < а)}. (10)

А - замкнутый оператор, следовательно, по теореме о замкнутом графике (см. [7]) А - непрерывный оператор, и отображает ограниченные в классе S|p множества в ограниченные в классе

X множества.

Доказательство теоремы

проведем для случая 0 < р < 1, случай р > 1 рассматривается аналогично.

Необходимость. Согласно лемме 1, нам достаточно показать, что последовательность А удовлетворяет условию (7) для некоторой положительной бесконечно малой последовательности

{Ск }.

Последовательность {Ск } выберем таким образом, чтобы выполнялись следующие оценки:

ck — O

1

(g—p) p

k (g+2 p+1)( P+2 p+1)

, k —— +да, если X — Sp (—1 < P < g), (11)

1 1

да

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 g+p+1 ^ Ck ^ ^ ’ еСЛИ X — RP (0 < P-да) • (12)

k 2 g+2 p+1

Пусть последовательность } удовлетворяет следующим условиям:

Yk

1 — т- rk <1 — exP k

V ck J

'k

11, k —+да, (13)

где Yk ^ 0, k — +да, такая что Ck — О (Yk ) •

Рассмотрим в классе Sjp последовательность функций

C

fk(z)— g(rkz)— exP--------------------------------------------------k-g+r~, k —1,2,...5 (14)

(1 — rkz) p +1 удовлетворяющих условиям леммы 3 •

Поскольку из (13) следует, что

ck 1пт^ < Yk, k —Uv-1—rk

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

то функции последовательности | fk } принадлежат классу sg при всех натуральных k •

Покажем, что | fk } - ограниченная последовательность в классе sp , то есть докажем, что существует такое действительное 0 < X < 1, что при всех натуральных k выполняется неравенство p(hfk ,0 ) < ^, где TJ - фиксированное положительное число (см^ [7], с 31)

Рассмотрим случай 0 < p < 1 •

р(Л/к,0) = |(1 - г)а 11п(1 + Л/к(ге'в))Ыв Ыг = |... + |... = Л + ^, (15)

0 Ч-л

где 0 < г^ < 1 выберем таким образом, чтобы

( 2л)

а +

1 (1пр(1 + Л) + 6л 1пр2) + Гк <Л,

(16)

где 6л =(1 - гл )а+1.

Оценим отдельно каждый из интегралов /1 и /2 .

л <( 2л) р 1п р 1+Лехр ск (1 - гкгЛ)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

а+1

+1

1 -(1 - гл) а +1

а+1

откуда

/1 <( 2л) р 1пр (1+ Л)-1 6

а +1

(17)

где 6Л = (1 - гЛ )

а+1

Оценим интеграл /2: 1

'2 • л

/2 = |(1 - г)° | 1п(1 + Л|Л (ге1в)|)

Ыв

Ч-л

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ыг <

Ч-л

1 ( Л Лр 1 ( Л

<|(1 - г)а 11п(1+ Л)Ыв Ыг + |(1 - г)а 11п(1 + /к (ге1в))Ыв

г) I 1п|

Ч-л

<

Но

1

(2л) 00+1 + Л) (1 - гл)°+1 + |(1 - г)° I (1п + /к (ге1в) + 1п2)Ыв

гЛ Ч-л

Ыг <

Ыг.

I (1 - г )° |(1п + /к ( ге1в)+ 1п2 ) Ыв Ыг <( ^ 2 (1 - гл)°+1

Л Ч-л У

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ п,

поэтому окончательно получаем:

(2л)р (1пр 2 + 1пр (1 + Л))

а +1

\а+1

6л+П -

(18)

где 6л = (1 - гх )С

Складывая неравенства (17) и (18), приходим к оценке (16). Значит, р(Л/,0)<^ при 0 < р <1 .

Итак, мы показали, что при всех натуральных к последовательность функций {/к } ограни-

чена в S0 , значит и мультипликатор

а( /к)

ограничен в классе

Пусть сначала X = Нр (0 < р < да) . Имеем:

II А(/к )||Нр < С , С = С°Ш .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Л

Если

a+1

+да

—х *"k) z" e sg,

n—0

/к (2 ) = ехр— _

(1 - гк2) р

+да

то А(/к )(2) = 'Е,Лп0п^2п Е X, а значит, (см. [2])

"—0

Лпа{пк}

Лпа{пк}

где Ср - некоторая константа, зависящая от параметра р .

< C • Cp • "p , если 0 < p < 1.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

< C • Cp, если 1 < p < да.

Так как /к (2) = g (^2), то а^^ = ап (Ск ) г^ . Согласно лемме 3,

k)r " a" rk

a+p+1

> rk" exp ( ck" )a+2p+1

Учитывая неравенство (13), получим:

>

exp ( ckk )a+2 p+1

*(k)r k ak rk

V k J Из (20), (22) заключаем:

-—1 f a+p+1 ^

|Xk| < C • c’p • kp • exp —(ckk)a+2p+1

V

то есть

f f a+p+1 ЛЛ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

|Xk| — O exP

JJ

—ckk a+2 p+1

V v

a+2 p+1 ~ a+p+1

где ck — ck

k — +да.

(21)

(22)

(23)

Аналогично из (21), (22) получим (23).

Рассмотрим теперь в качестве пространства X пространство S(p , где -1 < (5 <а .

+да +да

Если /к ( 2 ) =Е а(п] 2П е Б0, то а( /к)(2)=ЕЛпа(п] 2П е х , а значит, по теореме Б

"—0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

"—0

f a+p+1 ^

X"a"k} — О exp "a+2 p+1 ," — +да, (24)

V

то есть

■ (k)

a+p+1

< sk exp "g+2 p+1," — +да,

К*

где Sk — o (1), k —— +да •

Так как /к (2) = g (^2), то ^ = ап (Ск ) г^ . Из оценок (22), (25), получаем:

1

f a+p+1 ^ f a+p+1 ^

— ( ckk )a+2 p+1 X exp Skk a+2 p+1

V J

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

lXkl < exp

a+p+1

—ckk a+2 p+1

X

1 —

(a—p) p

k (a+2 p+1)( P+2 p+1)

(26)

Но с учетом условия (11) имеем:

(a—p) p

— 0, k — +да^

c

k (a+2 p+1)( P+2 p+1)

k

Поэтому из (26) получаем:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

f f a+p+1 ^

—ckk a+2 p+1

|X|—о

exp

V

V

k — +да •

/J

Достаточность. Пусть последовательность Л — Xk } удовлетворяет условию (2) теоремы

+да

и f Е Sjp, f ( z) — X ^ *kZ • Из теоремы Б следует

k—0

|ak I < C1 exp

a+p+1 ^ Sk • k

c

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где С1 > 0 . Подбирая номер к„ так, чтобы 6к < ^ при всех к > к„, получим:

|Xk*k| < C2 exp

+да

Так как ^ exp

k=0

a+p+1 ^

c k a+2 p+1

2’

J

a+p+1 ^ c k “+2 p+1 Y

, k > k0, C2 > 0^

< +да , то Л( f)(z) Е X при любом указанном выборе

класса X • Теорема доказана^

Работа выполнена под научным руководством д^-м^, профессора ФА^ Шамояна^

In this paper, based on previously established by the author exact estimates of the maximum modulus and the Taylor coefficients of the functions from the weight classes Sj^ , we characterize coefficient multipliers in those classes^

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

The key words: multipliers, F-space, analytic functions, the Nevanlima characteristic.

Список литературы

L Шамоян ФА^ Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций // Сиб^ матем^ журн^ 40 (6), 1999^ С 1422-1440^

2^ Евграфов МА^ Поведение степенного ряда для функций класса H g на границе круга

сходимости // Изв^ АН СССР^ Сер^ матем^ 16 (5), 1952^ С 481-492^

3^ Duren PL^ Theory of Hp spaces, Pure and AppL MatL, 38, Academic Press, NY, 1970^

4^ Yanagihara N Multipliers and linear functionals for the class N +, Transactions of the

AMS, 180, 1973^

5^ Шамоян ФА, Шубабко ЕН Об одном классе голоморфных в круге функций // Ис-

следования по линейным операторам и теории функций 29, Зап научн сем^ ПОМИ, 282, ПОМИ, СПб, 200LC 244-255^

6^ Родикова ЕГ^ Об оценках коэффициентов разложения некоторых классов аналитических в круге функций // Материалы VI Петрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и приложения», Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2012^ С 64-69^

7^ Рудин У^ Функциональный анализ^ М^ Мир, 1975^ 443 с

Об авторе

Родикова Е^ Г- аспирантка 2 года обучения кафедры математического анализа БГУ, evhe-ny^yandex^ru^

ON COEFFICIENT MULTIPLIERS IN ONE WEIGHTED SPACE

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

OF ANALYTIC FUNCTIONS IN A DISC

E.G. Rodikova