CC BY
34
УДК 517.53
О КОЭФФИЦИЕНТНЫХ МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ В ОДНОМ ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ
Е.Г. Родикова
В работе на основе установленных автором точных оценок максимума модуля и коэффициентов тейлоровского разложения функций из весовых классов Sp получена характеризация коэффициентных мультипликаторов в этих классах. Ключевые слова: мультипликаторы, F-пространство, аналитические функции, характеристика Р. Неванлинны.
Пусть C - комплексная плоскость, D = \^: Щ < 1} - единичный круг на комплексной
плоскости, н (D) - множество всех аналитических в D функций. Рассмотрим класс ^, «>-1, (см. [1]) аналитических в D функций, таких что
|(1 - г)“ | Тр (г, f) dвdr <+да ’ (1)
і ,
где О < P < +да, Tіr, f) =_J ln + f іre’e^\dd - характеристика Р. Неванлинны функции
2ж -ж
f, ln + a = max і ln а,О) , a Є R+=^, + да) . При a = О, P = і класс Sp = S1 совпадает с классом Р. Неванлинны по площади.
Пусть X - некоторый класс аналитических в круге D функций.
Определение. Последовательность комплексных чисел Л = |^k } назовем мультипликатором из класса Sp в класс X, если для произвольной функции f Є sp f і z) = ^ cikZk , функция
Л( f)(г)=Е-якакгк єХ • к=0
Описанию мультипликаторов в различных классах голоморфных функций посвящены работы отечественных и зарубежных ученых (см. [2] - [5]). Основным результатом этой статьи является доказательство следующего утверждения:
Теорема. Пусть X совпадает с одним из следующих классов: Sjp (—1 <$<Ос) или Нр (0 < р < да) . Тогда для того чтобы последовательность Л = |^к ^ являлась мультипликатором из класса SPp в класс X , необходимо и достаточно, чтобы
а
f f a+p+і Л'л
exp
-с • k a+2 ^
с > О, k ^ +да. (2)
V V У У
Доказательство теоремы основывается на нескольких вспомогательных утверждениях: Теорема А. Если f Е Бр
( \
a то
ln+ M і r, f) = o
і
a+і ,
к(і-rF У
(З)
где M і r, f) - максимум модуля функции f, т.е. M (rf )=max If (z )l •
Теорема Б. Если f іZ) = anZn - ряд Тейлора функции f Є Sp, то
п=О
ж
1п + \а\ = о
п
о+2 р+1
(4)
V У
Теоремы А и Б установлены автором в работе [6]. Там же доказывается точность оценок (3), Для доказательства следующих лемм введем в классе БОр метрику по правилу
1 ( к
р(ля)=}(1—гТ 11п(1+|у(^)—g(геів)|)
ЛР
ив
V—к ( к
\О
Ыг при 0 < р < 1,
1 (к і \ Лр
|(1 — г )О І 1п (1 + f (ге1в) — g (геів)^) Ыв Ыг
V—к
при р > 1,
(5)
(6)
для любых f, g Є БО .
Лемма 1. Относительно введенной метрики БО образует F-пространство.
Доказательство данного утверждения эквивалентно установлению следующих свойств метрики р( У>g) (см- [7]):
а) р(у, g ) = р( у — g,0)- очевидно;
б) Если У,Уп Є БО и р(Уп,У) ^ 0, П ^ +да, то для любого (5 Є C
р(Руп)^ 0п ^+да;
в) Если (п, (є с и (п ^ ( то Vу Є БО р(Рпу )^ 0п ^+да;
г) БО - полное метрическое пространство.
Доказательство пунктов б) - г) проведем для случая 0 < р < 1. Случай р > 1 рассматривается аналогично.
Докажем сначала полноту пространства БО . Пусть | Уп | - произвольная фундаментальная
последовательность из класса
БО,
то есть
У£> 0 ЗN(^) > 0Уп,т > N^р(/п,/т) < £.
Покажем, что она сходится к некоторой функции / Е S0 .
Сначала докажем, что из фундаментальности последовательности |/ } в S0 следует ее равномерная сходимость внутри круга D . Пусть 0 < Г < R < 1. Ввиду субгармоничности функции
" ( 2 )= 1П (' + |/ ( 2 )- /т ( 2 )|) в D ИМееМ:
1п Р (1 + | / (Re'9)-/ (ReШ )|)<
<
О + 1
О+1
( 2*У(1 — Я)
О + 1 ( 2к)р (1 — Я )О+1 откуда
<
](1 — Г)О І ІП (1 + |Уп (ГЄ'в ) — Ут (ГЄ'в )|)Ыв Я V—к
•р(уп, ут ),
р
Ыг <
1
/^е")-/т(Яе1в)|^ 0, п,т ^+*>.
Используя принцип максимума модуля, получаем, что последовательность | /п } равномерно
сходится внутри круга D к некоторой функции / Е Н (D) . Докажем, что / Е S0 . Фиксируем число 0 < R < 1. Имеем:
Я Л
\а
Я I л
а
|(1 - г )а | Тр (г, /) dвdr <|(1 - г )а| 11п (1 + / (ге1в)) dв
-л 0 Ч-л
Я ( л , ,
|(1 - г)а| |1п I1 + |/ (ге'в)- /п (ге'в )|)М
dг <
0 Ч-л
Фиксируем номер N Е N . Для любого П > N справедливо
V Я (Л , >р
dг + +| (1 - г)а | 11п (1 +1/п (ге"
0 V-Л
dв
dг.
у
1 (Л
\а
р(/п,0 ) = |(1 - г)а| | 1п (1 + \/п (ге")|)
у
- г ]
0 ч-л
) dв
dr <
|(1- г)а ( |1п (1 +1/п (ге'в ) - ^+11)
лр
- г
0 1
ыв
dг +
р
+|(1 - г )а| | 1п (1 + | /И+1\) М ^ = р( /п, /И+1 ) + р( У^0 )<£ + % = с1.
0 Ч-л У
Поэтому
Я л
|(1 - г )а | ТР ( г, / ) вг <р( /п, / ) + р( /п,0 )<£ + С1 = С2 .
0 -л
В силу произвольности выбора числа Я получаем, что / Е S0 . Значит, ^ - полное пространство.
Докажем теперь справедливость свойства б).
Пусть /,/п Е S0 и р(/п,/) ^ 0, п ^ +да, ( Е С . При ( < 1 свойство сразу следует. Предположим, что ( > 1. Можно считать, что ( > 1 .Так как последовательность |/п } сходится, то она фундаментальная. Но из фундаментальности, как установлено выше, следует равномерная сходимость указанной последовательности внутри D.
Поскольку для любого ( > 1 и X > 0 справедлива оценка (1 + (X) < (1+ X )(, то
р((/п,(/ ) = |(1 - г )а| | 1п (1 + (/п ( ге’в)-/( ге'в)) ^ \ ^ <
1 (Л
<](1 - г )а | 1п (1 + | /п ( ге1в )- / ( гс"))^"
0 Ч-л
dг <
Лр
<(|(1 - г)а I 1п (1 + /п (ге'в)-/(ге1в))^в ^ = (-р(/п, /),
0 Ч-л У
откуда следует свойство б).
Докажем, что выполняется свойство в). Пусть (п, ( Е С и (п ^ (.
р((п/.(/Н(1 - г )а| I 1п (1 + (п/ (ге1в)-(/ (ге1в)|)
0
) dв
dг =
71
Л
Л
1 ( Л Л г> 1
= |(1 -г)а| 11п(1 + /(ге1в)\\(п-()dв dг = |... + |... = + Зг.
0
Лр г,
dг =
6
Выберем 0 < г < 1 так, чтобы Л2 < ^, где 6 > 0 - произвольное достаточно маленькое
число.
0 / I I
Л =|(1 - г)а 11п (1 + \/(ге1в р„-(
0 V-л
-() dв
dг <
<1
(2л)р 1пр 1 + (п -(ехР С(1 - г0 )
а+1--^^ 1 -(1 - г0)
+1
а+1
а +1
<
<^1..р (1+(-()<б, а +1 2
при п > N (б) . Таким образом, свойство в) установлено.
Итак, из а) - г) следует, что S|p образует F -пространство. Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть последовательность комплексных чисел {Л Г удовлетворяет следующему
условию:
Л = о
ехр
+р+1 ЛЛ
. к а+2 р+1
V V
к — +<х>,
(7)
//
для любой положительной последовательности {Ск } , Ск X 0, к — +да. Тогда найдется
положительное число С > 0, такое что для всех номеров к Е N будет выполняться условие (2).
Доказательство леммы 2 повторяет рассуждения, проведенные в работе [4], но с показателем
а + р +1
степени
а + 2 р +1
Лемма 3. Пусть g (2 ) = ехр—
С
а+1
(8)
(1 - 2) р
+1
+ГО
Е, ап ( С) 2П - ряд Тейлора функции g. Тогда справедлива оценка:
п=0
а„
с ) г ±
а+р+1
> ехр ( сп )а+2 р+1 .
(9)
Лемма 3 устанавливается на основе рассуждений, проведенных при доказательстве соответствующей леммы из [5].
Как показано выше, из сходимости р( /п, /) —■ 0, п — +^ следует равномерная сходи-
мость
последовательности функций /п ( ге*в ) к функции / ( ге*в ) в D . Следовательно,
+Ю +Х>
/п (2) = Е“"к2 и /(2) = Еак2 ,
если
к=0
к=0
то ак —— ак, п —— .
Пусть X - F -пространство, состоящее из комплексных последовательностей {Ьк}” , таких
Л
что сходимость последовательности (п = {Ь’п } — ( = {Ьк } предполагает покоординатную сходимость Ь'п — Ьк, п — +да, к = 0,1,2,...
Рассмотрим коэффициентный мультипликатор А = {Л } из класса SРp в класс
X = {нр (0 < р < да),(-1 < ( < а)}. (10)
А - замкнутый оператор, следовательно, по теореме о замкнутом графике (см. [7]) А - непрерывный оператор, и отображает ограниченные в классе S|p множества в ограниченные в классе
X множества.
Доказательство теоремы
проведем для случая 0 < р < 1, случай р > 1 рассматривается аналогично.
Необходимость. Согласно лемме 1, нам достаточно показать, что последовательность А удовлетворяет условию (7) для некоторой положительной бесконечно малой последовательности
{Ск }.
Последовательность {Ск } выберем таким образом, чтобы выполнялись следующие оценки:
ck — O
1
(g—p) p
k (g+2 p+1)( P+2 p+1)
, k —— +да, если X — Sp (—1 < P < g), (11)
1 1
да
1 g+p+1 ^ Ck ^ ^ ’ еСЛИ X — RP (0 < P-да) • (12)
k 2 g+2 p+1
Пусть последовательность } удовлетворяет следующим условиям:
Yk
1 — т- rk <1 — exP k
V ck J
'k
11, k —+да, (13)
где Yk ^ 0, k — +да, такая что Ck — О (Yk ) •
Рассмотрим в классе Sjp последовательность функций
C
fk(z)— g(rkz)— exP--------------------------------------------------k-g+r~, k —1,2,...5 (14)
(1 — rkz) p +1 удовлетворяющих условиям леммы 3 •
Поскольку из (13) следует, что
ck 1пт^ < Yk, k —Uv-1—rk
то функции последовательности | fk } принадлежат классу sg при всех натуральных k •
Покажем, что | fk } - ограниченная последовательность в классе sp , то есть докажем, что существует такое действительное 0 < X < 1, что при всех натуральных k выполняется неравенство p(hfk ,0 ) < ^, где TJ - фиксированное положительное число (см^ [7], с 31)
Рассмотрим случай 0 < p < 1 •
\р
р(Л/к,0) = |(1 - г)а 11п(1 + Л/к(ге'в))Ыв Ыг = |... + |... = Л + ^, (15)
0 Ч-л
где 0 < г^ < 1 выберем таким образом, чтобы
\р
( 2л)
а +
1 (1пр(1 + Л) + 6л 1пр2) + Гк <Л,
(16)
где 6л =(1 - гл )а+1.
Оценим отдельно каждый из интегралов /1 и /2 .
л <( 2л) р 1п р 1+Лехр ск (1 - гкгЛ)
а+1
+1
1 -(1 - гл) а +1
а+1
откуда
/1 <( 2л) р 1пр (1+ Л)-1 6
а +1
(17)
где 6Л = (1 - гЛ )
а+1
Оценим интеграл /2: 1
'2 • л
/2 = |(1 - г)° | 1п(1 + Л|Л (ге1в)|)
Ыв
Ч-л
Ыг <
Ч-л
1 ( Л Лр 1 ( Л
<|(1 - г)а 11п(1+ Л)Ыв Ыг + |(1 - г)а 11п(1 + /к (ге1в))Ыв
г) I 1п|
Ч-л
<
Но
1
(2л) 00+1 + Л) (1 - гл)°+1 + |(1 - г)° I (1п + /к (ге1в) + 1п2)Ыв
гЛ Ч-л
Ыг <
Ыг.
I (1 - г )° |(1п + /к ( ге1в)+ 1п2 ) Ыв Ыг <( ^ 2 (1 - гл)°+1
Л Ч-л У
+ п,
поэтому окончательно получаем:
(2л)р (1пр 2 + 1пр (1 + Л))
а +1
\а+1
6л+П -
(18)
где 6л = (1 - гх )С
Складывая неравенства (17) и (18), приходим к оценке (16). Значит, р(Л/,0)<^ при 0 < р <1 .
Итак, мы показали, что при всех натуральных к последовательность функций {/к } ограни-
чена в S0 , значит и мультипликатор
а( /к)
ограничен в классе
Пусть сначала X = Нр (0 < р < да) . Имеем:
II А(/к )||Нр < С , С = С°Ш .
Л
Если
a+1
+да
—х *"k) z" e sg,
n—0
/к (2 ) = ехр— _
(1 - гк2) р
+да
то А(/к )(2) = 'Е,Лп0п^2п Е X, а значит, (см. [2])
"—0
Лпа{пк}
Лпа{пк}
где Ср - некоторая константа, зависящая от параметра р .
< C • Cp • "p , если 0 < p < 1.
< C • Cp, если 1 < p < да.
Так как /к (2) = g (^2), то а^^ = ап (Ск ) г^ . Согласно лемме 3,
k)r " a" rk
a+p+1
> rk" exp ( ck" )a+2p+1
Учитывая неравенство (13), получим:
>
exp ( ckk )a+2 p+1
*(k)r k ak rk
V k J Из (20), (22) заключаем:
-—1 f a+p+1 ^
|Xk| < C • c’p • kp • exp —(ckk)a+2p+1
V
то есть
f f a+p+1 ЛЛ
|Xk| — O exP
JJ
—ckk a+2 p+1
V v
a+2 p+1 ~ a+p+1
где ck — ck
k — +да.
(21)
(22)
(23)
Аналогично из (21), (22) получим (23).
Рассмотрим теперь в качестве пространства X пространство S(p , где -1 < (5 <а .
+да +да
Если /к ( 2 ) =Е а(п] 2П е Б0, то а( /к)(2)=ЕЛпа(п] 2П е х , а значит, по теореме Б
"—0
"—0
f a+p+1 ^
X"a"k} — О exp "a+2 p+1 ," — +да, (24)
V
то есть
■ (k)
a+p+1
< sk exp "g+2 p+1," — +да,
К*
где Sk — o (1), k —— +да •
Так как /к (2) = g (^2), то ^ = ап (Ск ) г^ . Из оценок (22), (25), получаем:
1
f a+p+1 ^ f a+p+1 ^
— ( ckk )a+2 p+1 X exp Skk a+2 p+1
V J
lXkl < exp
a+p+1
—ckk a+2 p+1
X
1 —
(a—p) p
k (a+2 p+1)( P+2 p+1)
(26)
Но с учетом условия (11) имеем:
(a—p) p
— 0, k — +да^
c
k (a+2 p+1)( P+2 p+1)
k
Поэтому из (26) получаем:
f f a+p+1 ^
—ckk a+2 p+1
|X|—о
exp
V
V
k — +да •
/J
Достаточность. Пусть последовательность Л — Xk } удовлетворяет условию (2) теоремы
+да
и f Е Sjp, f ( z) — X ^ *kZ • Из теоремы Б следует
k—0
|ak I < C1 exp
a+p+1 ^ Sk • k
c
где С1 > 0 . Подбирая номер к„ так, чтобы 6к < ^ при всех к > к„, получим:
|Xk*k| < C2 exp
+да
Так как ^ exp
k=0
a+p+1 ^
c k a+2 p+1
2’
J
a+p+1 ^ c k “+2 p+1 Y
, k > k0, C2 > 0^
< +да , то Л( f)(z) Е X при любом указанном выборе
класса X • Теорема доказана^
Работа выполнена под научным руководством д^-м^, профессора ФА^ Шамояна^
In this paper, based on previously established by the author exact estimates of the maximum modulus and the Taylor coefficients of the functions from the weight classes Sj^ , we characterize coefficient multipliers in those classes^
The key words: multipliers, F-space, analytic functions, the Nevanlima characteristic.
Список литературы
L Шамоян ФА^ Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций // Сиб^ матем^ журн^ 40 (6), 1999^ С 1422-1440^
2^ Евграфов МА^ Поведение степенного ряда для функций класса H g на границе круга
сходимости // Изв^ АН СССР^ Сер^ матем^ 16 (5), 1952^ С 481-492^
3^ Duren PL^ Theory of Hp spaces, Pure and AppL MatL, 38, Academic Press, NY, 1970^
4^ Yanagihara N Multipliers and linear functionals for the class N +, Transactions of the
AMS, 180, 1973^
5^ Шамоян ФА, Шубабко ЕН Об одном классе голоморфных в круге функций // Ис-
следования по линейным операторам и теории функций 29, Зап научн сем^ ПОМИ, 282, ПОМИ, СПб, 200LC 244-255^
6^ Родикова ЕГ^ Об оценках коэффициентов разложения некоторых классов аналитических в круге функций // Материалы VI Петрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и приложения», Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2012^ С 64-69^
7^ Рудин У^ Функциональный анализ^ М^ Мир, 1975^ 443 с
Об авторе
Родикова Е^ Г- аспирантка 2 года обучения кафедры математического анализа БГУ, evhe-ny^yandex^ru^
ON COEFFICIENT MULTIPLIERS IN ONE WEIGHTED SPACE
OF ANALYTIC FUNCTIONS IN A DISC
E.G. Rodikova
