О кратной интерполяции в классах Р. Неванлинны в единичном круге Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517

о кратной интерполяции в классах р. неванлинны

в единичном круге

© 2008 г. В.А. Беднаж

The final decision interpolation tasks in R.Nevanlinny's classes in an unit circle is received, not using L. Carlesona's known condition,

£=1,2,...

Изучается задача кратной интерполяции в классах Р. Неванлинны в единичном круге и строится явное представление решения.

Для изложения основного результата введём обозначения:

D = z{: |z| < 1 - единичный круг на комплексной плоскости;

H _ - множество всех голоморфных в D функций;

N - класс функций ограниченного вида, т.е. N= sup J ln+|/t^l}^<+oo ;

c|/- j"] - произвольная последовательность точек из D с

условием Бляшке X С-!^!^"1"00 > ^ j= ^ _ 2 • -р^-г.

к=1 \ak\

при

этом

«о/Нал,

Обозначим через р ^ кратность появления числа «у во всей последовательности 4/..- у • Очевидно, что 1 < < р^ < +оо . Если последовательность 4^ у подчинена условию Бляшке, то число р^ конечно при любом целом у > 1.

Углом Штольца с вершиной в точке е9 назовём угол раствора меньше п, биссектриса которого

1Й

совпадает с отрезком г = ге , О < г < 1.

В дальнейшем будем предполагать, что последова-

(х = с\к р удовлетворяет условию

7=i" h^Z

тельность

п

Biyubjil вк4У

Вопросы интерполяции в различных классах аналитических в круге функций изучались многими авторами, описание такого рода задач и библиография

т=1

т = 1,2,___, и .

при некоторых вт е 7г,л

Перейдём к построению системы ^

имеются в обзоре С.А. Виноградова и В.П. Хавина текает что произведение

Заметим, что из определения функции В^ ^ ^ вы-

[1], а также в монографии [2]. И, наконец, интерполяционные задачи в классах N впервые были рассмотрены в работе А.Г. Нафталевича [3]. Однако в указанной работе не была построена в явном виде интерполяционная функция. Нам, благодаря построенной системе ^ ^ у, удалось найти явное решение кратной интерполяционной задачи. Как в работе [3], так и у нас существенную роль играют функции

Напомним задачу кратной интерполяции. Пусть X - некоторый класс голоморфных функций; У -некоторое множество числовых последовательностей;

BkZ

Л-\сск\2 ' 1 - <*к2

pk

+1

аналитично в D и не

обращается в нуль в некоторой окрестности точки г . Поэтому для любого целого к>\. положив

-1

BkZ

1 -ctkz

4

к у

- последовательность точек из D

g^y П ехр

1 — ze

z&D

\щ\< |«2| ^ • • • ^ \<Хк\ — ■ ■ ■ > \ак\ 1 — к ~> +со и можем утверждать, что в достаточно малой окрсстно-л7 >1, />1 - кратность появления числа а, на сти точки 2 = ак указанная функция разлагается в

степенной ряд

отрезке 4/,.- у- Задача кратной интерполяции разрешима для произвольной последовательности ^ у из Г , если существует функция / е X, такая что

v=0

\z — <Xk\< г/ .

1

m=l

п - число углов Штольца; I - достаточно большое положительное число. Введём в рассмотрение полиномы

Рк~*к

Чк

ак.

, k= 1,2,...

v=0

Определим теперь систему £$/- ^ ^ аналитических в Б функций, положив

«к С

Í 2 \Рк +1 1- «к2

.gQ*Q

£=1,2,...

k~sk F=0

где

1 сГ

И dzv

В к i.

-1

i

Нетрудно видеть, что функции системы ^ ^

обладают следующими интерполяционными свойст вами:

1, г = як-1;

[О, г * -1, 0 < г < рк -1.

Последовательность комплексных чисел ^ у удовлетворяющих условию Бляшке и условиям

Q

п

>exp--

S

\ak\

s> o,

sup|r/i:|exp--

k> 1

F*

Теорема. Пусть е^ у - произвольная последовательность точек из D , удовлетворяющая условию

Бляшке, при этом sup ^ 3= р < +со :

¿>1

1) тогда следующие два условия равносильны:

а) 4kJ,

б) последовательность у принадлежит классу

V

2) Если выполняется последнее условие, то функ-

" г» ция / ^ -. , zeD , принадлежит

¿=1

классу Ж и удовлетворяет условию

Доказательство теоремы опирается на следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть у находятся в конечном числе углов Штольца Г (}т . т = 1,2,..., п , тогда

^ ki ^ J^ со ехр

g

C-I «kl

¿=1, 2, ..., w>0; k=1, 2, ...

б) max

Лемма 2. Пусть последовательность 4i у е А max

тогда max 1 <|> с\вк 1 ^

А м-^р--k=1,2,...

1 -akcij

к> 1

отнесем к классу А р .

Введём обозначение: если 4к у ~ произвольная последовательность точек из D , то

^ЪкУ А= А у :Эс = сОо,

Наметим ход доказательства теоремы. Импликация а) ^ б) выводится из вышеуказанного результата А.Г. Нафталевича.

Импликация б) => а) устанавливается на основе Лемм 1, 2.

Работа выполнена под руководством Ф.А. Шамояна. Литература

1. Виноградов С.А., Хавин В.П. // Зап. науч. семинаров

ЛОМИ. 1974. Т. 47. С. 15-54; 1976. Т. 56. С. 12-58.

2. Nikolski N.K. Operators, Functions and Systems: An Easy

Reading. Vol.1: Hardy, Hankel and Toplits; Amer. Math. Soc. 2002. Vol. 92.

3. Нафталевич А.Г. // Учен. зап. Вильнюсского ун.-та

1956. С. 5-27.

Брянский государственный университет

2 февраля 2007 г.

c