CC BY
24
УДК - 517.5
ОПИСАНИЕ КОРНЕВЫХ МНОЖЕСТВ ПЛОСКИХ КЛАССОВ Р.НЕВАНЛИННЫ В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
О.В. Приходько
В работе найдено необходимое и достаточное условие на последовательность \м>к из угловой области О,
при котором существует аналитическая функция из плоского класса Р.Неванлинны в угловой области комплексной плоскости, нули которой совпадают с заданной последовательностью \м>к ^ .
Ключевые слова: аналитические функции, односвязная область, единичный круг, угловая область, нулевое множество.
Пусть О = {г: |г| < 1} - единичный круг, О - односвязная область комплексной плоскости, дО - граница области О . Обозначим через Н (О) и н (а) - множества всех функций, аналитических в О и О соответственно. Пусть далее, 1п+ х = тах (1п х, 0), (р -
х>0 У ’
конформное отображение единичного круга О на область О , у/ - обратное отображение,
d (w, дО) - расстояние от точки W до границы дО , dш2 - плоская мера Лебега.
Плоским классом Р.Неванлинны в круге О назовём класс голоморфных в О функций / , для которых
Д1 -| ,|)' 1п *| / ( 2 )| dm2 ( г )<+го , а>-1. (1)
О
Этот класс обозначим через Ыа (О). В работе [4] (см. также [6]) доказана следующая теорема:
Теорема А. Пусть |гк- последовательность точек из О, расположенных в порядке
неубывания их модулей, т.е. |гк| <|гк+1|<... (к = 1,2,...) . Тогда для того, чтобы существовала
функция Е из класса О), нули которой совпадают с последовательностью |гк, необходимо и достаточно, чтобы выполнялосьусловие
Ю -I )•
к- . (2)
Естественно возникает вопрос, каким образом геометрические свойства границы области влияют на условие (2) и как можно охарактеризовать нулевые множества класса функций, аналитических в области, граница которой не является гладкой, а имеет разлом в некоторой граничной точке. В этой работе мы устанавливаем, что при исследовании подобных вопросов для угловых областей геометрические свойства границы играют существенную роль.
Введем в рассмотрение плоский класс Р.Неванлинны в области О комплексной плоскости:
Ыа (О) = \/ е Н (О): | d“ (w, дО) 1п+ |/ (w)| dm2 (м>) < I
^ О ^ . (3)
Определение. Пусть О - ограниченная односвязная область комплексной плоскости.
Скажем, что О является областью типа (Вп), если граница области состоит из нескольких
тт
гладких дуг, образующих в точках стыка ненулевые углы раствора , ] - 1,2,..., п .
\а+2
<
п
гладких дуг, образующих в точке стыка Ж = 0 угол раствора — . Обозначим эту область через Од (рис.
Ж
1).
Рис. 1. Угловая область Основным результатом статьи является доказательство следующей теоремы:
Теорема. Если / е Ыа (О^ ), — < Р < 1 и при этом / (wк ) = 0, / (w) Ф 0 при w Ф
(к = 1,2,...), то еыполняетсяуслоеие
а+2
Е(1 “И^)|)^ <+да. (4)
к=1
Обратно: если }^_1 - произвольная последовательность из Ор , для которой ряд (4)
сходится, то можно построить функцию / е Ыа (О^ ), нули которой совпадают с указанной
последовательностью.
Доказательство теоремы основано на нескольких вспомогательных утверждениях.
Лемма 1 (см. [4]). Пусть |гк - последовательность точек из единичного круга О
\р+1
такая, что
^ (і - \гк |)р < , р є ^ , р > 0, тогда бесконечное произведение
к=1
пр (г гк )=П
к=1
V 1 - гкг у
ехр
(
1 - г
1_
V к У
(5)
равномерно и абсолютно сходится внутри круга О иудовлетворяет оценке:
1п
к=1
1 -\гь
1 - гкг
р+1
г є О
Лемма 2 (см. [1]). Для произвольной односвязной области О комплексной плоскости справедливы следующие оценки
г d М г ), 3° ) ,
1 4 п 1 -|г|
1 d (w, дО )
|^'(ж )| 1 )|
Лемма 3 (см. [5]). Пусть О - некоторая односвязная область на комплексной плоскости, ф функция, конформно отображающая круг О на область О, О, а>— 1, тогда имеет
(6)
(7)
(8)
место оценка:
/ I 1\а | ./ ч|а+2 / | , |\а | ./ , ч|а+2
)'■ 1 11 , ■), е"-НИ; II (,)
О 11 -С г ^ -\ь\)
приуслоеии у > а + 2.
Доказательство теоремы 1. Пусть функция / е Ыа (О^) , тогда
| d“ (w,дОр} 1п+ |/(w)|dm2 (w) < . (10)
Ор
В последнем интеграле сделаем замену w = (р( г) :
| da (w,дОр) 1п+1/(w)\dm^{w) |da[(p(г),дОр) 1п+ |/(р(г))|■ |р'(г)|2^1т2 (г).
Ор О
Используя оценку (7), получаем:
| ^ (^( г ) , ^Ор) 1П +| / (р( г ))|'|^'( г )|2 ^2 ( г )~
О
~ I (1^ (г)| (1 _ Iг|))" 1п + I? (^(г))| ■ \(Р'{г)|2 ^2 (г) =
О
=К1 _ N Г1п +1 ? (г ))1 ■ к(г )Г+2 ^ (г).
О
Исходя из свойств области Ор (см. [3], С. 392-398), легко видеть, что для отображения
1-1,11 1--^
такого, что Р(1 ) = 0 , справедливо следующее: |^(г)| □ |/ — г|Р и г)| □ |/ — г|Р , тогда
К1 “Iг1 Г 1п + I?Мг))|'\^(г)Г+2 ^2 (г) ~ К1 “Iг1 Г 1п + VМг))| ■ |*-г|Ы(“+2) dm2 (г)
Так как |/ - z| Р 1 > (1 - |z|^Р при 0 < ft < 1, то
К1 _ N Гln +1 f Wz ))| ■ k(z )Г+2 dm2 (z) ^
имеем:
a+2
-К1 “IN )"ln+|f M N ))|'(1 “IN dm2 ( z ) K1 -|N ) P 2ln +\f (<p( Z ))| dm2( 2 ) ,
D D
a+2 2
.e. I da(w, dGp^ ln+| f (w)| dm2 (w) > J (1 - |z| ^ P ln+| f z ))| dm2( z ) .
D
Обозначим F (z) = f z)), тогда получаем:
cc+2 _
Ida (w,dGp}ln+ | f (w)|dm.2 (w) > CJ(1 -|z|) p ln+ |F(z)|dm.2 (z).
т
G
Так как F e H (D), то из (10) и последнего неравенства следует, что F gN^(D) , где
г=(^т ~2 г>_1.
Пусть {zk }^_1 с D - последовательность нулей функции F (z), тогда по теореме А точки zk (k = 1,2,...) удовлетворяют условию (2), т.е.
а+2
Sf1 Чzkir <+00^S(1 ~\zk\) р <+0°. (11)
k=1 k=1
Поскольку' {w'k }*"1 С Gt - нули функции f Е Na{Gt) И Zk =^(wk), где Zk Ё D,
ЕG„ (k = 1,2,^) , то условие (11) примет вид:
wk
D
Е!1 -Им)|)^ <+да•
к=1
Первое утверждение теоремы доказано.
г ч + <Х)
Докажем обратное утверждение. Пусть ум к )к_1 - произвольная последовательность из Ор такая, что выполняется (4). Учитывая, что гк = ^ (мк ), гк е О, мк е Ор (к = 1,2,...) , из (4)
/■ \ + <Х)
получаем (11), т.е. последовательность угк _1 удовлетворяет условиям теоремы А, а значит, можно построить функцию Е из плоского класса Р.Неванлинны в О , нули которой совпадают с последовательностью {гк . В качестве функции Е берем бесконечное произведение вида (5). Рассмотрим функцию / (м) = Е [у (г)) , т.е. получаем бесконечное произведение
Up (^(w) ,^( wk )) = П
k=1
w{ wk )М wk )-w{ w ))
Л
p x e p 1
J-1 J [
Y
1 -у{мк )-¥{м)
Покажем, что лр (^ (м), ^ (мк )) е (Ор ), т.е.
| ^“ (w,дОр) 1п+ |^р (^(м),щ(мк))|dm2 (м)<+ю .
Ои
В последнем интеграле сделаем замену м = ^(г) и учтем, что г)) = г,
¥(<Р(гк)) = гк :
| ^ ( W, дОр )1п + \пр м) =у/ (мк ))| ^2 (м) |^ (р (г), дОр )1п +\7Ср (^ гк )| ■ \<р’ (г)|2 ^2 (г)
Ор О
.Используя оценки (6)-(9), получаем:
|<1 “(<?(г),двр) 1п+|^р(z,гк)|У(г)|2^г)<с^(1 -\гк|2)р |(|^'(г)|(1 -|г|12г) =
о к=1 4 ! О 11 -2и2\
(I \\а і , / чіа+2 / і \\а \ ,ґ чі(
, , 1 ~ ^ dm2 (z )< Сі £(14z,fri1M
k=1 D 1 z^zl k=1
CD'
sС21(1 -ЫГ\Az)|"*! С2-ElM)' <+»'
k=1 = k 1 w (wk J = k 1
Теорема доказана.
The necessary and sufficient condition on sequence {wk from angular domain G is found in work at which there is an analytic function from R. Nevanlinna's flat class in angular domain of a complex plane which zero coincide with the set sequence {wk .
The key words: analytic functions, simply connected domain, unit disc, angular domain, zero set.
Список литературы
1. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 62S с.
2. Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций // Сообщение института математики и механики АН АрмССР. 194S. Вып. 2. С. 3-35.
3. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., Наука, 1977. 512 с.
4. Шамоян Ф.А. О нулях аналитических в круге функций, растущих вблизи его границы // Известия АН АрмССР. 1983. Т.18. №1. С. 215-227.
5. Tkachenko N.M., Shamoyan F.A. The Hardy-Littlewood theorem and the operator of harmonic conjugate in some classes of simply connected domains with rectifiable boundary // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. 2009. V.5. №2. PP. 192-210.
6. Djrbshian A.E., Shamoyan F.A. Topics in the theory of A? spaces. Leipzig: BSB Teubner. 1988.
200 p.
Об авторе
Приходько О. В. - ассистент Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, [email protected].
