Разложение Уитни, теоремы вложения и вопросы интерполяции в весовых пространствах аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2019, Том 21, Выпуск 1, С. 62^73

УДК 517.53

DOI 10.23671/VNC.2019.1.27735

РАЗЛОЖЕНИЕ УИТНИ, ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ И ВОПРОСЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ*

Ф. А. Шамоян1, Е. В. Тасоева2

1 Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83; 2 Брянский государственный университет им. И. Г. Петровского, Россия, 241036, Брянск, ул. Вежицкая, 14 E-mail: shamoyanfa@yandex. ru, eka3543628@yandex. ru

Аннотация. По классической теореме Уитни каждое открытое множество на плоскости можно представить в виде объединения специальных квадратов, внутренности которых не пересекаются. В статье, используя эти свойства квадратов Уитни, вводится новое понятие: для каждого центра а^ квадрата Уитни существует точка а*к £ С/О такая, что расстояние до границы открытого множества О заключается между двумя константами независимо от к. Используя свойства Уитни в статье, в частности, устанавливается необходимое и достаточное условие на гк 1° С О, при котором оператор R(f) = ^ (г1), /(г2),... , /(гп),...) отображает обобщенные плоские классы Неванлинны по множеству О в 1Р.

Ключевые слова: классы Неванлинны, интерполяция, разложение Уитни, пространство Бергмана. Mathematical Subject Classification (2000): 30Н15, 32А35.

Образец цитирования: Шамоян Ф. А., Тасоева Е. В. Разложение Уитни, теоремы вложения и вопросы интерполяции в весовых пространствах аналитических функций // Владикавк. мат. журн.— 2019.^Т. 21, вып. 1.-С. 62-73. DOI: 10.23671/VNC.2019.1.27735.

1. Введение

Пусть G — область на комплексной плоскостн C, обозначим множество всех аналитических функций в G через H (G), плоскую меру Лебera на C обозначим через Ш2-В дальнейшем для вещественнозначных функций f и g с общей областью определения E запишем g(Z) ^ f (Z) Z £ E если существует положительное число c такое, что g(Z) ^ cf (Z), Z € E. Определим к лесс Sla'

Spa(G) = jf € H(G): G (ln+ |f (z)DPpa(z, DG) dm2(z) < .

# Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 17-51-15005-НЦНИ.

© 2019 Шамоян Ф. А., Тасоева Е. В.

Обозначим через АЦС) соответствующее весовое пространство Бергмана [1], т. е.

¿£(С) = { / € Н(С):/ |/(г)|рра(г, ЭС) (г) < 1. ^ о >

Здесь и в дальнейшем р(Е, Е) — расстояние между двумя множествами

Пусть Я — некоторое замкнутое множество на С. Обозначим через Я — внутренность множества Я- Если Я — квадрат, то через Я(в), 8 € Я+, обозначим квадрат, имеющий тот же центр, что и но растянутый в в раз. Если Я — некоторое множество в С, то через ^(Я) обозначим диаметр множества Я- Теперь сформулируем известную теорему Уитни о разложении открытых множеств.

Теорема Уитни [2, с. 199]. Пусть С — открытое множество в С. Тогда существует такой набор квадратов Е = {Як}£=1, что С = и^ Як,

а) Як П Ят = 0, к = т;

б) «) < р(Як, ЭС) < 4^(Як);

в) для произвольного в € Я+, 0 ^ в < 5/4, квадраты {Як(в)}+П покрывают множество С конечнократно, т. е. существует число Р = Р(в) € N такое, что каждая точка г множества С принадлежит не более чем Р(в) квадратам из системы {Як(в)}+^1-

С

С

Уитни {Як} и точки ак € С\С такие, что д1р(а£, ЭС) ^ др(ак, ЭС), где ак — центр квадрата Як, к = 1, 2,..., а д и д! — достаточно большие положительные числа, не зависящие

к

Замечание 1. Отметим, что произвольное ограниченное множество на комплексной плоскости удовлетворяет условию (У), при этом подходят любые разбиения Уитни.

С

луплоскостью С+ = {г : 1т г > 0} или С- = {г : 1тг < 0}, то условие (У) очевидно для С+ и С-, а для области С = С\П+, где П+ = {г € С : И,е г > 0, |1т г| < Л./2}, очевидно, что условие (У) не выполняется. В дальнейшем будем предполагать, что множество С

Замечание 2. Оценка числа д снизу возникает при изучении вышеуказанных классов и существенно зависит от р и а (см. (5), (6)).

Основным результатом работы является доказательство теорем 1 и 2.

С С, С = С,

впю (У), {гкС С, {Як_ разложение Уитни множества С. Тогда следующие утверждения равносильны:

те „

1. 5>(*к,ЭС)а+2( 1п+ |/(гк)|)Р < (1п+ |/(С)|)Р(р(С,ЭС))^(С), /€^(Я); (1)

к=! о

2. вир пт < где пт := еагё{гк : гк € Ят}- (2)

Теорема 2. Пусть С — открытое множество в С, С = С, {гкС С, {Як}?° —

С

+те „

1^р(гк, ЭС)а+21/(гк)|р < |/(С)Гр(С, ЭС)а ^(С), / € А* (С);

к=1 о

2. (2)

Для формулировки следующего утверждения введем еще несколько обозначений. Пусть область С совпадает с единичным кругом В:

В = {г € С : И < 1}, к € 1 € Z, —2к < 1 < 2к — 1,

положим

Г 1 1 + 1) 1

ЛМ = € я : 1 - ¥ < N < 1 - 2^+1, ^ < <

Очевидно, что В = и +=^ (и2=-2к Ак,г)) система {Дк,г} является аналогом разложения Уитни для единичного круга В.

Из теорем 1 и 2 следуют теоремы 1' и 2'.

Теорема 1'. Пусть {гк— произвольная последовательность из единичного кру-В

1. £ (1 -|гк0°+2( 1п+ |/(гк)|)Р < (1 -|С0*( 1п+ |/(С)|)Р¿ш2(0, / € Б£(В);

к=1 ь

2. вир тах еагё (гт : гт € Ак ¡) < (3) k€Z+ - 2к ^<2к-1

Теорема 2 '.Пусть 0 < р < а > —1, {гк С В. Тогда следующие утверждения равносильны:

1.£(1 — |гк|)а+2 |/(гк)|р < (1 — |С |)а I/(С)|р^(С), / € А* (В);

к=1 ь

2. выполняется уел овне (3).

Замечание 3. Метод, применяемый при доказательстве теорем 1, 2, был разработан еще в 1975 г. в работах первого автора [3, 4]. Аналог теоремы 2, в случае единичного круга в других терминах, ранее был получен в хорошо известных работах К. Сейпа [5, с. 56; 6, с. 431.

Замечание 4. Естественно, в случае неограниченных множеств С, мы предполагаем нетривиальность классов Б^(С). Довольно интересные результаты в этом а=0

1'

Я(/) = (/ (г1), ...,/ (гп), ...)

при условии (3) отображает Б^(В) в пространство

г 1

£ = » = Ь}~1 : £ (1 — |гкГ+2 (1п+ К|)Р < . ^ к=1 ^

Естественно возникает вопрос: при каких дополнительных условиях на {гк оператор Я отображает Б^ на Й? Такие последовательности назовем интерполяционными для класса Б^(В). Аналогичная задача для весовых пространств Бергмана в единичном круге В решена в хорошо известных работах К. Сейпа [6, с. 56]. Из теорем 1 и 2 непосредственно следуют теоремы 3 и 4.

С С, С = С,

удовлетворяет условию (У), {гк— произвольная последовательность из С. Тогда сле-

дующие утверждения равносильны:

1. 5>а+2(zfc, DG) (ln+ |f (zfc)|)p < f € Sa(G); fc=i

2. ^pa+2(zfc,DG)|g(zfc)|p < g € AP(G).

fc=i

Теорема 4. Пусть {z^}f° — последовательность из единичного круга D, удовлетворяющая условиям теоремы 1'. Если {zk — интерполяционная последовательность для пространства —1 < а < 0 < p < то оператор R отображает S^ на ¿ä,

т. е. {zfc является интерполяционной последовательностью и для класса SS(D).

2. Доказательство вспомогательных утверждений

Лемма 1. Пусть w € C, |w| < а < 21/™ — 1, m € N. Тогда

Re(l - w)m 0, 5 = 2™ - 1 - <7.

< Пусть w = peiö, ясно, что

/1 \m m 1 Re(l — w)m = Re (1 - peiö)m = pmRe - eiöJ = cosö

m 7 \ / m

^ - Е ^ ] = [1 - Е = (2 - (1+РГ) = (Иг - (1 + рг)

(т-1 \

Е 2™ '"(1 + рГ^"1 р 2^ - 1 - р.

Положим 5 = 21/т —1—а. Тогда при 0 ^ р < а < 21/т — 1 получим нужное утверждение. >

Следующее утверждение следует из хорошо известных свойств интеграла (см. [2, с. 15]).

Пусть (X,— пространство с мерой, 0 <р< / — измеримая функция. Тогда справедливо следующее равенство:

/1/(у)|р Ф(У) = р/*р-1д(*) 0

где д(£) = ^(ж : |/(ж)| > ¿), £ > 0.

Лемма 2. Пусть С — произвольная область в С, С = С, С\(С и ЭС) = О, в > а + 2, а > 0. Тогда, если г € О, то справедлива оценка

dm-2(C)

J IZ — z|e (p(z, DG))e-a-2"

G

< Фиксируем точку г € П. Положим X = {( € С : — г| ^ р(г, ЭС)}, е = р(г, ЭС), В качестве ^подберем меру ) = р(С, ЭС)а^ш2(С )• Положив р = в, будем иметь

+те

ра(С, ЭС)

ЙШ2(0 |/(С)|Р ¿ЫС) = в/ ьв-1д(ь)

1 К — г|в

С С 0

где д(Ь) = ^а(Е(£ : /(С)| > ¿))> Ь > 0. Перейдем к оценке последнего интеграла.

Пусть, как и прежде, е = р(г, ЭС). Докажем, что если Ь > 1/е, то д(Ь) = 0. Действительно, нетрудно заметить, что из условия Ь > 1/е следует, что |г—(| < е, по определению /(С) = 0. Следовательно, Е = 0, поэтому д(Ь) = 0.

Рассмотрим случай 0 < Ь ^ 1/е Тогда го условия |/(£)| > Ь следует, что — г| < 1/Ь, и поэтому Е С {( € С : е < — г| < 1/Ь} С {( € С : — г| < 1/Ь}. Следовательно, поскольку ра(С, ЭС) ^ К — г|а ^ 1 /Ьа, то

п

<

¿а+2"

К-К1

д(Ь) = ^а(Е(С : |/(С)| > Ь)) < / К — г|а ^(С)

Таким образом,

0

1

£ я 1

пв

т. е.

/ -<- в > а + 2 о

С

3. Доказательство основных результатов

ДОКАЗАТЕ ЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1. 1) == 2): Пусть {г^— произвольная последовательность из С, для которой выполняется оценка (1). Докажем, что если {^— соответствующее разложение Уитни множества О, то

вир пт <

где

Пт = сагё{гй : €

Зафиксируем число в € N и квадрат в разложении Уитни множества С. Пусть

(з) (з) (з) г т те АЧ

г1 , г2 , • • •) гп/ — точки го последовательности {г&принадлежащей квадрату

в € N. Тогда оценку

те .

5>(г*,ЭС)а+2( 1п+ |/(г*)|)Р < / (1п+ |/(ООР(Ж,ЭС))а^(С) к=1 /

можно записать в виде

]Гра+2(ат, ЭС)£(1п+

т=1

1=1

/г

,(т)

< ] (1п+ |/(С)|)Рра(С, ЭС) ^т2(С),

о

ат Ят

«1 „ ра+2(а5, ЭС) ^ (1п+ |/ (г^) |)Р < / р((, ЭС)а ( 1п+ |/(С)|)р ^(С).

1=1

(4)

о

Перейдем к построению вспомогательной функции. Пусть а* такая точка из С\С := О, что р(а*, ЭС) ^ др(а5, ЭС). Положим

Дк(г) = ехр

1 а + 2 -—^ геС, кеы, к> = arg(аs - а*), (5)

(г — а*)

при этом 1/д < 22/к — 1.

Очевидно, что /8)к € (С) Поэтому можно применить оценку (4) к функции /в,к-Получим

ра+2(а5, ЭС)^(1п+|Дк(г

1=1

< ! ра(С,ЭС)а( 1п+ |Дк(С)|)Рйт2(С).

о

Ясно, что

Далее по лемме 2

1п+ |Дк(С )| =^е

<

(С — а*)V " К — а*|к '

р«(С,ЭС)(1п+|Д,(С)|)Р^т2(С) < / „

<

рк-а—2;

оо поскольку к > (а + 2)/р. Таким образом, получаем

/Цг^ ;р

1=1

v(s)м^p

ра+2(а5, ЭС^(1п+|/в>^ г,

<

р(а*, ЭС)Рк—а—2'

Теперь перейдем к оценке (1п+ /(г} ) ^Р снизу. Учитывая равенство

1п+|/,ДС)| =Ке'

(С — а*)

*к

имеем

1п

Дк( г.

= Но

»

= Ие

1г1 — а*

|г1 — а*|

»

| 2к

Кее^-Г¿¡8) -а

|г1 а*

р

1

1

к

к

к

1

Преобразуем выражение

11е(г\з) -а*^ = Яе(г\з) - а3 + а3 - а* )'

/ М _ - \к ( М _ - \к

Вее^-(а8--д*)к 1 + ^-=} = к - а* I* Ие 1 + ^-.

\ а., — а* \ а3 — а*

В последнем равенстве мы пользовались определением

Таким образом, из последнего равенства окончательно получим

1п

/,к( г<в))

I (з) < I г, — а:

|2к

а5 а *

Следовательно,

1п

Дц г1

»

К — а*|

*|к

1 (з) I *

| г, а5 | а5 а^

гк \ — а*

|а8 — а*|

|а5 аз |

|2к

М

1 + ^—

2к

Ие 1 +

м -

гк — а3 а5 а *

а с а*

(а) _

1

— *

2к

/ М -

/ г1 — а3

Ие 1 + —-=

а е а*

-г; '-«г.

Положим и)3 = гк—=-. Учитывая, что точки г^ и а3 принадлежат прямоугольнику а также теорему Уитни, получаем

г^ — ав| < ) < р(д, ЭС).

В то же время, по выбору а*, можно предположить, что

р(а3,'дС) 1 2

->- ^ _ < 21 - 1

р(а*, ЭС) д

(6)

поэтому, применяя лемму 1, положим а = 1/д к выражению (1 + получаем

1п

/,к (г((5))

1

|ав — а*|к 22к

Здесь мы применяли оценки:

г, — аз 1+ 1 _ * а5 а з

< 1 +

(з)

4 -

а5 а *

(з)

4 -

а5 а *

< р(а3,РС) = 1 р(а3,'дС)

т. е.

1п+

/,к( г((5))

¿р

|ав — а*|кр 22кр

к

к

к

1

1

Р

при всех 1 ^ l ^ ns.

Теперь применяя полученные выше оценки, приходим к неравенству

p^\Qs,DG)5V-^-kP 2я* < 1

К - а*| ~р(а*, 3G)pfc-a-2' Но поскольку

|as — а*| ^ р(а5,DG) + р(а*,DG), р(ав, DG) + р(а*, DG) < р(ав, DG)(1 + qi), то используя условие (У), получаем

(1 +

т. е.

sup ns < + ГО.

s^i

Импликация 1)^2) в теореме 1 установлена.

2)^ 1): Доказательство импликации 2)^1) фактически установлено в работах [3, 4]. Докажем более сильное утверждение. Для этого введем следующий класс функций. Через H(S, G) обозначим класс непрерывных, неотрицательных функций U на G, удовлетворяющих следующему условию:

Существует положительное число А, зависящее только от U, такое, что для произвольной точки z € G и р > 0, удовлетворяющим соотношению

ВД = {С : |Z — z| <р},

выполняется оценка

[ U(()dm2((). пр2 J

Ясно, что если p ^ 1, a > — 1, то массы S^(G) и A^(G) входят в H(S, G), поскольку функции |f |p и (ln+|/|)p являются субгармоническими, а при 0 < p < 1 такое включение также справедливо и следует из хорошо известной теоремы Стейна — Феффермана (см. [1, 6]).

Перейдем к импликации 2)^1) для функции U € H(S, G). Пусть

/ nk 2 \

I(U) = £ р^,DG)a+2 U(zm) = £ E4z((k)'U(z(k)) . m=1 k=1 V 1=1 /

Напомним, что z; , 1 ^ l ^

nk, точки из последовательности {zm}i°? принадлежащие квадрату Qk, 1 ^ k < Пусть

Ik = £ р^(к), 3C)a+2U (z<k)

1=1

z(k) — фиксированная точка из квадрата Qk, 1 ^ l ^ n^ Подбирая достаточно малое число £ > 0 и положив

p(Qk,DG)

рк = -о-J

можем утверждать, что круг Крк ^г(к)^ С ^(1 + е)-Поэтому

х 7 прк (

кРк( 4к))

Таким же образом

ра+2и(г(к)) < С (А) I и (О р(С, ЭС)а ^Ш2(С).

Крк (*((к))

Суммируя последние оценки по I, 1 ^ I ^ Пк, получаем

пк / \ Г

1к < рка+2Е и(г(к)) < С (А) у и (С) р(С, ЭС)а ^Ш2(С).

,=1 ^к(1+£)

Если г(к), г(2к) € фк) т0 И3 теоремы Уитни следует, что

ЭС) < 2^г(зк),

Из оценки

4 < С (А) у и (С) р(с, ЭС)а ^Ш2(С)

^к(1+£)

получаем

Пк

1к <Е ^г(к), ЭС)^^) < С1(А^ и(0(С, ЭС) ра ^Ш2(С).

пк

,=1 зк (1+£)

Теперь, учитывая, что {^к(1 + е)}те=1 ПРИ 0 < е < 1/4 (см. [2]) покрывает С конечно-кратно, непосредственно получаем

те .

]Тр(гт, ЭС)а+2 и (гт) < и (С) р(С, ЭС)а ^(С). >

т=1 С

Ясно, что из теоремы 1 следуют теорема 2, 1', 22 и 3.

Доказательство теоремы 4. Как отмечено выше, из теоремы 1' следует, что если оператор К отображает 50* в ¿0:) где

^ = {" = К}+Л : £ (1п+ К|)Р(1 — |гк|)а+2 < , ^ к=1 ^

то количество точек в каждом прямоугольнике

[ 1 1 п1 п(1 + 1)1

= 1 - < N < 1 - 2Й+Г.

Пк,, = сагё{ гт : гт € Дк,г},

удовлетворяет условию

вир тах {пк1} < ке^+ — 2к<1<2к — 1

Докажем, что если {гга}^=1 — интерполяционная иоследовательность для АС, то Я отображает 5а на ¿С- Действительно, из теоремы 2' следует, что выполняется условие (2), а из теоремы 1' следует, что

те

£(1 — |гк|)а+2(1п+|/(гк)|)Р <

к=1

для произвольного / € 5а, 0 < р < а > —1. Докажем, что если {гк}£=

1 интерполяционная последовательность для АС, то для произвольной последовательности — = {-—к}те=1 € ¿с* существует функция / € 5С такая, что Я(/) = т. е. /(гк) = —к, к = 1,2,... Итак, пусть

те

— |гк|Г+2( 1п+|-к| )Р <

к=1

Последовательность {—к}те=1 разобьем на две части:

1- {—к„К„| > 1

2- {—т„ |—тп | < 1

Не ограничивая общности можно предполагать, что количество таких чисел бесконечно.

Поскольку {г«}те

интерполяционная последовательность для АС, то существует функция $1 € АС такая, что

д1(гт„) = 0, п = 1, 2,...,

д1(гк„ ) = 1п —к„, п = 1, 2,..., где выбрана главная ветвь логарифма. Аналогично построим функцию $2 € АС такую,

$2(гк„) = 1, п = 1,2,..., $2(гт„ )= Шт„ , п = 1, 2,...

Положим

/(г) = вй1(г)д2(г), г € В.

/

/ € 5С, / (гк )= —к, к = 1, 2,...

Пусть к = кп при некотором п, тогда

/ (гк) = ей1(^п )$2(гк„) = —к„ = —к. Пусть теперь к = шга при некото ром п, тогда

/ (гк) = ей1(гт" )$2(гт„ ) = $2(гт„ ) = Шт„ = Шк.

Из последних равенств следует, что /(гк) = —к, к = 1, 2,... >

Авторы статьи выражают благодарность рецензенту статьи за внимательное ознакомление с рукописью и конструктивные замечания.

Литература

1. Djrbashyan А. Е., Shamoyan F. A. Topics in the Theory of Aa Spaces.—Leipzig: B. G. Teubner, 1988.— 200 p.—(Teubner-Texte zur Math. Bd. 105).

2. Стейн И. M. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций.—М.: Мир, 1973.

3. Шамоян Ф. А. Теоремы вложения, связанные с задачей кратного интерполирования в пространствах Hp 0 < p < // Изв. АН Арм. ССР. Сер. Математика.-1976.-Т. 11, № 2.-С. 124-131.

4. Шамоян Ф. А. Теорема вложения в пространствах те-гармонических функций и некоторые приложения // Докл. АН Арм. ССР.-1976.-Т. 62, № 1.-С. 10-14.

5. Hedenmalm Н., Korenblum В., Zhu К. Theory of Bergman Spaces.—N. Y.: Springer, 2000.—199 p.— (Grad. Texts in Math.).

6. Seip K. Interpolation and Sampling in Spaces of Analytic Functions.—Providence, R. I.: Amer. Math. Soc., 2004.-139 p.—(Univ. Lect. Ser. Vol. 33).

7. Карлесон Л. Избранные проблемы теории исключительных множеств.—М.: Мир, 1971.—125 с.

Статья поступила 28 февраля 2018 г.

Шамоян Файзо Агитович Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, профессор кафедры математического анализа РОССИЯ, 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83 E-mail: [email protected] Тасоева Екатерина Владимировна

Брянский государственный университет им. И. Г. Петровского, аспирант, преподаватель кафедры АИСпТ РОССИЯ, 241036, Брянск, ул. Вежицкая, 14 E-mail: [email protected]

Vladikavkaz Mathematical Journal 2019, Volume 21, Issue 1, P. 62 73

WHITNEY DECOMPOSITION, EMBEDDING THEOREMS, AND INTERPOLATION IN WEIGHTED SPACES OF ANALYTIC FUNCTIONS

Shamoyan, F. A.1 and Tasoeva, E. V.2

1 Saratov State University, 83 Astrakhanskaya St., Saratov 410012, Russia;

2 Bryansk State University, 14 Bezhitskaya St., Bryansk 241036, Russia E-mail: shamoyanfa@yandex. ru, eka3543628@yandex. ru

Abstract. According to the classical Whitney theorem, each open set on the plane can be decomposed as a union of special squares whose interiors do not intersect. In the paper, using the properties of Whitney squares, a new concept is introduced. For each center ak of the Whitney square, there is a point ak £ C \ G such that the distance to the boundary of the open set G is between two constants, regardless of k. In particular, a necessary and sufficient condition for a sequence (zk)T C G under which the operator R(f) = (f (zi), f (Z2),... , f (zn),...) maps generalized Nevanlinna's flat classes in a domain G of a complex plane in lp.

Key words: Nevanlinna class, interpolation, Witny decomposition, Berman space.

Mathematical Subject Classification (2000): 30H15, 32A35.

For citation: Shamoyan, F. A. and Tasoeva, E. V. Whitney Decomposition, Embedding Theorems and Interpolation Questions in Weight Spaces of Analytic Functions, Vladikavkaz Math. J., 2019, vol. 21, no. 1, pp. 62-73 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC.2019.1.27735.

References

1. Djrbashyan, A. E. and Shamoyan, F. A. Topics in the Theory of A^ Spaces. Teubner-Texte zur Math. Bd. 105, Leipzig, B. G. Teubner, 1988, 200 p.

2. Stein, E. M. Singular Integrals Differentiability Properties of Functions, Princeton, New Jersey, Princeton Univ. Press, 1970, xiv+287 p.

3. Shamoyan, F. A. Imbedding Theorems Connected With Problem of Multiple Interpolation in Spaces Hp, 0 < p < Izv. Akad. Nauk Arm. SSR, 1976, vol. 11, no. 2, pp. 124-131 (in Russian).

4. Shamoyan, F. A. The Embending Theorem in Space of n-Harmonic Functions and Some Applications, Dokl. Akad. Nauk Arm. SSR, 1976, vol. 62, no. 1, pp. 10-14 (in Russian).

5. Hedenmalm, H., Korenblum, B. and Zhu, K. Theory of Bergman Spaces. Grad. Texts in Math,., N. Y., Springer, 2000, 199 p.

6. Seip, K. Interpolation and Sampling in Spaces of Analytic Functions. Univ. Led. Ser. Vol. 33, Providence, R.I., Amer. Math. Soc., 2004, 139 p.

7. Carleson, L. Selected Problems on Exceptional Sets, Princeton, New Jersey, D. Van Nostrand, 1967, vi+151 p.

Received February 28, 2018

Faizo A. Shamoyan

Saratov State University,

83 Astrakhanskaya St., Saratov 410012, Russia,

Professor of the Mathematical Analysis Department

E-mail: [email protected]

Ekaterina V. Tasoeva

Bryansk State University,

14 Bezhitskaya St., Bryansk 241036, Russia,

Post-Graduate Student

E-mail: [email protected]