CC BY
43
УДК - 517.53+517.54
БАЗИСЫ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКИХ В ОБЛАСТЯХ
СО СПРЯМЛЯЕМОЙ ГРАНИЦЕЙ1
Махина Н.М., Шамоян Ф.А.
В статье строится система функций, являющаяся ортогональным базисом в весовых пространствах функций, аналитических в областях со спрямляемой границей.
Ключевые слова: базис, весовые пространства, класс ВМОА
Пусть S = {z Є C : |z| < 1}, G - некоторая односвязная область на комплексной плоскости C; функция р конформно отображает S на G, / - обратная функция для р.
Обозначим (L) - класс кривых таких, что l(w1, w2) < c| wx — w2|, где
c = const > 0, w"i, ^2 - произвольные точки на кривой, l (wi, ) - длина кратчайшей дуги
кривой, соединяющей точки w"i, w"2 (см., например, [1]); (K) - класс кривых, являющихся жордановыми аналитическими всюду, кроме конечного числа точек a,i = 1,2,...,n, в которых
Я 1
кривая образует углы ---,— < (Х^ < +'Х>,i = 1,2,...,n (см. [3]).
ai 2
Пусть также Lpp (G) - класс измеримых по Лебегу в области G функций f таких, что
ГІ \р (1 — |/(w)|)Р
1|f (w)\ --------р—dm2(w) <+да,0 < p < +да,Р > — 1, где dm2 - плоская мера Лебега;
G |/(w)|
Ap (G) - подпространство пространства Lpp (G), состоящее из аналитических функций; Lр (G) -пространство измеримых по Лебегу в области G функций f таких, что Цf (w)|pdp (w,8G)dm2(w) < +да,0 < p < +да,Р > —1, d(w,dG) - расстояние от точки w
G
до границы области G; Ap (G) - соответствующее подпространство пространства LPp (G) .
В работе [3] для односвязной области G, 3G Є (K), показано, что система функций
Єп(w) = л -------/(w)) //(w), n = 0,1,2,..., является базисом в пространстве Aq (G), если
” V Я
2 — а 1
p є (2 — а,--------) при — <а< 1, и если p є (1, + да) при а> 1, где а = mm ai.
1 — а 2 1<i < n
В нашей работе мы строим ортогональные базисы вида
' Р+
2
Єп ( w)
-------ґ(п + P)— //(w)у (/ /(w))2 , n = 0,1,2,... в
весовых пространствах
2яр Г(п + і)Г(Р)
функций Лрр (С) ,1 < p < +да,Р Є 2 + ,Р > p — 1, аналитических в областях с границей класса
(Ь~) , т.е. в областях Лаврентьева.
Кроме того, полученные результаты позволяют построить базисы (не ортогональные) в соответствующих пространствах Лр (С) .
Лемма 1. (см. [6]). Для функции f Є ВМОЛ, Ш < 1, и произвольного а Є С \ {0}
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 13-01-97508)
существует такое M = M (a), что справедливо неравенство
— JIе
2м f
S =1
,af (s)
2(1 - kl2)
1 — ts
ds\ < M
Следующая теорема используется при доказательстве основного результата статьи и представляет, на наш взгляд, самостоятельный интерес. Аналог подобной теоремы доказан авторами в работе [7].
Теорема 1. Пусть С - односвязная ограниченная область, дС Є (V), функция р конформно отображает S на С, причем р(0) = Wo, Wo - некоторая точка из С, р(0) > 0.
Пусть также-------\---= 1, ¿Ц Є S. Тогда при 1 < р < справедлива оценка
р Я
И z)|ß+2Hß +1) p (1 — Ы)
I
ß
— ß II / — p+1
5 (1 — )ß(1 — \zWq
-dm2( z) <
^2 w(C)
' ( Q)lß+2—(ß2 +1) p
і і / —p+1 (1 — Q)/q
(1)
где p <^q<ß + 1, ß> p - 1.
Доказательство. Отметим, что так как G - односвязная область с границей класса (L) , то a ln|ф(z)| е BMOA, a е C \ {0}, а значит, к данной функции можно применить результаты
ß + 2 - (ß/ + 1)p ,
леммы 1. Полагая f = 1, имеем:
-ln (р'(z) , Z Є S , z = re‘a , учитывая утверждения
леммы
ß+2—(ß2+1)p (1 — |t|2)
1 — tel
da < M m(t)
'(t )i ß+2—(ß2+1) p
(2)
где 0 < |t| < 1.
Докажем (1) и оценим I = |
<*/(Z)\ß+2<ß2+l)p (1 — |z|)ß
\Z—p+1
dm2( z).
(1 — Qz )ß(1 — |z|)
lß
Пусть Q = pe , тогда
1
i=I
(1 — r)
ß—у +p— 1
'q
о (1 — rP)
ß— у/+p—1
ß
JL
| \ф'(геШ)
ß+2—ß+1) p
1 — rpe
i (a—ß)
(1 — r) /q J M (1 — rPpß
\\p’(reia)
ß+2—ß +1) p
1
і i (a—ß)
1 — rpe K J
—:rdadr.
-dadr <
1 — rpe
i (a—ß)
и \ с\ о / и \\/ +2_(/1 +1)Р
Но функция (р (2) Ф 0, 2 Е о , то (р (2)) 72 , где выбрана главная ветвь
степенной функции, голоморфна в О, функция (2) =--------— также является голоморфной в О
(1 - ^)2
2
2
2
2
2
у о \т/ / \/ Ч \\Р\2—(р2 +1)Р
при фиксированном С, Є Ь . Следовательно, (г)(р (2)) - голоморфная в S
функция. Поэтому
I \р(тге1а)
р+2—(Р2+1) р
1
1 — гре
і(а—в)
^а = ||р'(геіа)
р+2—р+1) р
/с(ге1а) dа = 1х(г )
монотонно растет на [0,1) . Значит,
71
11(г ) = |р(гО
р+2—(Р2+1) р
1
1 — г ре
і (а—в)
<
1 м
I р(еіа)
(1—р2) ——
р+2—р+1) р (1 — р2)
тЛа.
1 — ре
і(а—в)
И из оценки (2), положив І = С, получим: І1(г) <
Р(рев)
р+2—р+1) р
(1 — р2)
С
То есть I <
р'(рев)
р+2—(р/2 +1) р 1
Но
1
(1 — г)
Тогда
0 (1 — ГР)
I
(1—р)
р— У/п + р—1
Ф <=
р—у + р—1 1 (1—г) аг.
р
(1—р)
У—р
при р < / < р + 1 .
Р(2)|р+2—(р2 +1)р (1 — 21 )р — р її У/—р+1
(1—С2 )р(1—2 у9
у
' ( С)1 р+2—(р2 +1) р
дш2(2) <
щрХС)
І I / ~р+1
(1 — \Сг9
при р < / < р + 1, р > р — 1. Теорема доказана.
/ 9
Теорема 2. Пусть С - односвязная ограниченная область, дС Є (V), функция р
конформно отображает S на С, причем р(0) = М, М - некоторая точка из С, Р(0) > 0, / - обратная функция для р;
еп (м)
П Г(п + р)
\ 2яр Г(п + 1)Г(р)
(/(м))п(/ '(м))2 ,п = 0,1,2,...
Если 1 < р <, р Є Z+ , р> р — 1, то система функций {еп(м)}, П = 0,1,2,...,
образует ортогональный базис в пространстве Лр (С).
Доказательство теоремы проводится в соответствии с леммами:
Лемма 2. Пусть справедливы условия теоремы 2. Тогда последовательность функций
{еп (w)}, п = 0,1,2,...> составляет полную систему в пространстве Лр (С).
Доказательство леммы строится на основе результатов Шамояна Ф.А., Никольского Н.К. (см. [4], [5]) о слабообратимых элементах в весовых пространствах аналитических в областях Смирнова функций и известного факта о вложении областей Лаврентьева в области Смирнова (см., например, [2]).
С
Лемма 3. Пусть справедливы условия теоремы 2. Тогда система функций {еп(w)},
п = 0,1,2,..., является ортогональной в пространстве А/ (Э).
Для доказательства леммы достаточно удостовериться, что
г ---------(1 -|^( w)|)/
[ Ч (М’)е1(^2 (w) = 0, k Ф 1
G \¥ '^)|
Лемма 4. Пусть справедливы условия теоремы 2. Тогда 3М > 0 : V/ Е А/ (G)
< M\f\\,n = 1,2,...
Ё(f,е к
к=0
Доказательство леммы проводится с помощью «пересадки в единичный круг» и результатов теоремы 1.
Заметим, что пространство Ь^р (С) в определенном смысле эквивалентно пространству ЬРр (С) измеримых по Лебегу в области С функций f таких, что ||/(м)|рdр(м,дО)4т2(м) < +ю,0 < р < +го,р > —1, d(м,дС) - расстояние от точки м
С
до границы области С . Тогда справедлива следующая теорема:
Теорема 3. Пусть С - односвязная ограниченная область, дС Є (Ь), функция р
конформно отображает S на С, причем р(0) = , м - некоторая точка из С, Р(0) > 0,
/ - обратная функция для р.
Если 1 < р < , р є Z+, р > р — 1, то система функций
е„(м) =1 1 Г(п + р)— (/(м))п (/ '(м))2^ , п = 0,1,2,...,
\ 2яр Г (п + 1)Г(р)^ ’
образует базис в пространстве Лр (С).
Для доказательства достаточно воспользоваться оценками, следующими из известной теоремы Кебе (см. [1, с. 51]):
1(1 м)|) < d(м,дС) < 4(1 -/(м)|)
4 '(w)| '(w)|
и результатами теоремы 2.
Constructed in the article the system of functions, which is orthogonal basis in weighted spaces of functions analytic in domains with rectifiable boundary.
The key words: basis, weighted spaces, klass BMOA
Список литературы
1. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин. М.: Наука, 1966. 628 с.
2. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций / И.И. Привалов. М.-Л.: ГИТТЛ. 1950.
3. Шихватов А.М. Об Lp -пространствах функций, аналитических в области с кусочноаналитической границей / А.М. Шихватов // Математические заметки. 1976. Т. 20, № 4. С. 537-548.
4. Шамоян Ф.А. О слабой обратимости в некоторых пространствах аналитических функций / Ф.А. Шамоян // Докл. АН Арм. ССР. 1982. Т. 74, № 4. С. 157-160.
5. Никольский Н.К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа / Н.К. Никольский // Труды МИАН. 1974. Т. 120.
6. Pommerenke Ch. On univalent functions, Bloch functions and VMOA / Ch. Pommerenke //
Math. An. 1978. V. 236. P. 199-208.
7. Tkachenko N.M., Shamoyan F.A. The Hardy-Littlewood theorem and the operator of harmonic conjugate in some classes of simply connected domains with rectifiable boundary / N.M. Tkachenko, F.A. Shamoyan // Журнал математической физики, анализа, геометрии. 2009. Vol.5, No 2. P. 192-210.
Об авторах
Махина Н.М. - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа БГУ; [email protected]
Шамоян Ф.А. - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа БГУ; shamoyanfa@yandex. ru
BASES IN WEIGHTED SPACES OF FUNCTIONS ANALYTIC IN DOMAINS WITH RECTIFIABLE BOUNDARY
