CC BY
14
УДК 517.53
йй! 10.25513/1812-3996.2018.23(3).47-51
НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ КОНФОРМНО ОТОБРАЖАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ С КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ И АСИМПТОТИЧЕСКИ КОНФОРМНОЙ ГРАНИЦЕЙ
Н. М. Махина
Брянский государственный университет им. ак. И. Г. Петровского, г. Брянск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 19.06.2018
Дата принятия в печать 22.06.2018
Дата онлайн-размещения 29.10.2018
Ключевые слова
Кусочно-гладкая граница, область с углами, асимптотически конформная граница, проектор, оценки модуля производной
Аннотация. В работе представлены некоторые оценки конформно отображающей функции в областях с кусочно-гладкой и асимптотически конформной границей. Эти оценки могут быть использованы, например, при построении ограниченных проекторов в указанных областях и на произведениях областей.
SOME ESTIMATES OF A CONFORMAL MAPPING FUNCTION ON DOMAINS WITH A PIECEWISE SMOOTH AND ASYMPTOTICALLY CONFORMAL BOUNDARY
N. M. Makhina
Bryansk State University n. a. I. G. Petrovsky, Bryansk, Russia
Article info
Received 19.06.2018
Accepted 22.06.2018
Available online 29.10.2018
Abstract. In this paper we present some estimates for a conformal mapping function on a domain with piecewise smooth and asymptotically conformal boundaries. These estimates can be used, for example, in the construction of bounded projectors on such domain and on products of such domains.
Keywords
Piecewise smooth boundary, domain with angles, asymptotically conformal boundary, projector, estimates of the modulus of the derivative
Пусть и = &еX:<1} - единичный круг на комплексной плоскости X, Т = ди; в - некоторая односвязная область на х; Н(в) - множество аналитических функций на в, Ь(в) - множество гармонических функций на в; Нр - класс Харди в и, Ьр - класс Харди гармонических функций в и.
Определим класс р(в), 0<р< +<х>, р> -1 как
множество измеримых функций / на области в таких, что
|| / М| V (ш,дв)Ст2 (ш)< +х,
в
■ ISSN 1812-3996
здесь и далее dm - мера Лебега на G (причем при
1<p<
ß(G)
норма, а при 0 < p <1 - квази-
норма), d(w,дG) - расстояние от некоторой точки ш до дG. Обозначим Арр(е) = И(е) ^ ¿рр(е).
Нижеследующие множества областей хорошо известны и описаны в литературе.
Класс (С) есть класс односвязных областей G на и, для которых граница г области С состоит из конечного числа гладких дуг (г.), образующих в
точках
стыка
w,, j=1,n,
внутренние углы
я 1 . —
—,— <а, < +<»,j = 1,n. а,. 2 '
Класс (А) есть класс односвязных областей G на х с асимптотически конформной границей, для которых
(
ц(8)= sup sup
W1,W2eoG wer' W1-W2I <5
w - w + w - w
A
1
^ 0,5 ^ 0,
где Г' - кратчайшая дуга на границе дG, соединяющая ш ,ш2 (см. [1], а также имеющуюся там литературу).
Для и еЬ(и) определим
Mp (r ,u) =
■Г i ^C
2я J
de I , 0 < p < +<».
Как следует из хорошо известного результата М. Рисса (см. [2]), если и еЬр, 1< р < +<», V - гармонически сопряженная функция для и, у(0) = 0, то мр (г, V) < с(р)Мр (г ,и), 0 < г <1.
Данное неравенство неверно при 0<р< 1. В классической теореме А.Н. Колмогорова показано, что если иеЬ1, V - сопряженная гармонически функция для и, у(0) = 0, то неравенство М(гу)<с(р)м(г,и), 0<г<1, справедливо только при 0< р <1 (см. [3]).
Г. Харди, Д. Литтлвуд (см. [4]) утверждают, что при вышеуказанных обозначениях для функций и ^ у(0) = 0 и при 0< р< 1 из оценки Бир/М(г,и)<
следует неравенство
M (r,v)<cI In
1 - r
c >0.
Отметим, что существует функция и0 (г), для которой справедливо неравенство
1
( 1 V
БирМр(г,и0)< +да, но при этом Мр(г^0)>с011п-I ,
0<г<1 V 1_ г)
с0 > 0, где у0(г)- гармонически сопряженная с и0(г) функция.
Из теоремы М. Рисса непосредственно вытекает, что интегральный оператор Коши
Р(/)(г) = —- [ ^(С) г еи, ограничен в простран-
2я/ С - г
стве I"(Т) при всех 1< р< а из результата А.Н. Колмогорова, - что данный интегральный оператор не действует из ¿1(Т) в И1.
Д. Ньюмен [5] установил, что не существует ограниченного линейного оператора, отображающего ¿1(Т) в И1. Так как пространство ¿1(Т) в Ь1 отображается интегральным оператором Пуассона, то это утверждение равносильно следующему: не существует ограниченного линейного оператора из Ь1 в И1.
Ситуация меняется в пространствах типа Бергмана. Ф.А. Шамоян [6] показал, что интегральный
оператор с ядром d z)
.2(„+1> (!-И')"
(1 -&)
"+2 '
z,^eü отображает hp(U) в ap(и), ß>-1 для
ß + 2
0< p < 1, " >---1. При 1< p < +<» это утвержде-
p
ние вытекает из рассмотренного выше результата М. Рисса.
Изучению данных вопросов посвящено значительное количество работ как отечественных, так и зарубежных авторов. Отметим работы П.Х. Татояна [7], A.M. Шихватова [8], A.A. Соловьева [9], Я. Бурбеа [10] и Х. Хеденмальма [11].
К примеру, A.A. Соловьев в [9] рассматривал вопросы существования указанных проекторов в областях с кусочно-гладкими границами; A.M. Шихва-тов - d [8] в областях класса (С). Оказалось, что проектор Бергмана, отображающий (G) на Ap(G), ограничен не при всех p, а только для
( 2 2 Л 1
pel-;-I, если -<а<1, и 1<p< если
^1 + а 1 -а) 2
а>1.
Х. Хеденмальм в [11] доказал ограниченность оператора Бергмана из Lp0(G) в Ap(G) для произ-
я
ISSN 1812-3996 "
вольной области, граница которой спрямляема при
Po< p <
po
po -1
po e
-;2
В работе [12] построены ограниченные проекторы из ьр(в) в Ap(е) для 0<p< для областей классов (С), (А).
При построении проекторов указанного вида одну из основополагающих ролей играют оценки конформно отображающей функции в рассматриваемых областях (см. [12]). Приведем некоторые из них.
Здесь и далее обозначим через с,с,с2,... положительные постоянные, конкретные значения которых не влияют на смысл утверждения.
1
Лемма. Пусть -<а < +<х>, т > -1, Се и, ке№ Тогда справедливы оценки:
1) при 1< р < +<» : i
z- i|t-'«'p-21(i-zf-t,(zi ,,
-!-ы-Y— dm (z) <
1 -Cz
л+i
1 |C-a-1^-2^-|C |)kp+xxp (C)
(1 -|C| )q-1
11 -X
где - + - = 1, Xy(C) = (1 -|C|) pq, р q Y
Y 1
0< —<min{kp + x +1;(--1)(kp + x + 2) + kp + x + 2},
q a
-q >max{kp+x +1;(— 1)(kp+x+2) + kp+x +1};
a
2) при 0< р < 1:
z
-1 k,+x+2(1 - |z |)
i" I. -Z |,(q+1) U 1 -Cz
-dm2(z) <-
IC-1 k,+x+2(1 -|C |)k (1 -|C |)р(л+1)-2
.. т+2 т + 2 „..1 „. ,
где "Л >тах{к +--1;к +--1)(--1) + к +
р р а
т + 2 +--1}.
Р
Верно и более общее утверждение. Теорема 1. Пусть вЕ(С), ф(г) - функция Ри-
мана, отображающая и на в, ф(0) = , ф'(0)>0, ^ Ев; к еК, Се и, а. - числа из определения
класса (С), ¡ = 1,т, т = т(в). Тогда справедливы оценки:
1) при 1< р < +<» :
J^ kP+X+2(1 'Iz(z) dm2 (z) <
1 1 -Czf1 2( )
Сз |ф'(С)| kp+X+2(1 -|C |)kp+X (C)
(1 -|C| )q-1
__ у
гДе xT(Q = (l-|C|) pq, 0< —<min{/cp + x + l;A,k};
q
1
К = min(--l)(kp + x + 2) + kp + x + 2,
1<j<m a,.
Ц>тах{кр + т+1;1к}, = l
\ = max(--l)(kp + x + 2) + kp + x + l;
1< j <m a J
2) при 0< р < 1:
fkykP+XM:: dm. и <
1 -Cz
p(q+1)
|ф'(0| kP+X+2(1 -|C |) (1 -ICI)
kp+x
,(q+1)-2
X + 2
где q >max{k +---},
P
x + 2
x + 2
X =max(k +--1)(--1) + k +--1.
Наметим основные моменты доказательства.
Обозначим ^ = ф-1 (z), Zj = ), S>0,
D = D(zj ;S) о U,
V = V(zi ;S) о U,
0(гу;5) = {г: |г - г|<5}, V(zj;5) = {z: |<| г - |< уЬ
т т
= е = 1ЛЦОу\Ц/у.
у=1 у=1
Рассмотрим следующие случаи:
а) СЕй1\| I = 1т; Ь) СЕ ||=1т;
б) СеМ., I = 1т; d) СеЕ .
Используем оценки для каждого из случаев (см. [13]):
——1 ——1
с55 — 1а < |ф^)| < — 1а , (С,г - в окрестности угловой точки);
С <|ф'(£)| < са, (С,г - вне окрестности угловой точки);
|1 — Сг| > с, С >0 (С, г - в разных окресностях).
Рассматривая каждый случай и используя оценки леммы, мы завершаем доказательство, и
Y
U
С
4
<
U
<
2
■ ISSN 1812-3996
Для областей класса (А) данное утверждение также справедливо.
Теорема 2. Пусть Се (А), ф(г) - функция Ри-
мана, отображающая и на С, ф(0) = . Тогда справедливы оценки
1 1
1) при 1< р < +«, - + - = 1, р > -1,
р Я
0< ^ < р + 1,"л>р +1 --:
J
|çq'(z)| P+2(1 -| z I )Pxp (z)
L-Çz| ^
y— dm (z) <
>'(Q| P+2(1 -|c |)pxp (Ç)
(1 -|Ç |Г
где Xy(Ç) = (1-|Ç|) pq;
2) при P > > P +1: f|q>'(z)| P+2(1 -| z|>P
I — 1Л+2
1 -Çz
dm2(z) <-
|q'(Ç)| P+2(1 -|Ç |)P (1 -|Ç| Г
При доказательстве теоремы мы используем следующее утверждение: если / еУМОА, |?|<1,оеX\{0}, то ЗМ = М(а) такое, что (см. [14])
-1 J
,af (s) 2
1-|t|2
|ds|< Mleaf (t) |2.
Кроме того, так как Се (А), то 1пф'(г)еУМОА
(см. [15]). Рассматривая функцию f = Р+—1п|ф'(г)|,
г е и, в ходе несложных рассуждений мы получаем утверждение теоремы (см. подробно [12]). |
Используя методы теорем 1 и 2, мы доказали следующие утверждения.
Теорема 3. Пусть Се (С), ф(г) - функция Ри-
мана, отображающая и на С, ф(0) = , ф(0)>0, ев; кеК, еи, а - числа из определения
класса (С), j = 1,m, m = m(G). Тогда при 1< p < +<» справедливо неравенство
J|q'(z)| kP+;+2(l-| z| (z) dm2 (z) <
и 11-Çzl 11 - wzl
,сц |q>'(Ç)| kp+T+2(1 -|ç|Г%(д%;; (w) ■ -> -> ,
(1 -|Ç|) p(1 -|w|) q
-X 11
где Xy (Ç) = (1 -|ç|) pq,- + - = 1,
p q
0< — <т\п{(кр+т)р + 1;Хк},
q
1
К = mini--l)((/cp + x)p + 2) + (/cp + x)p + 2,
1<j<m a,.
Ц>тах{(кр + т)р + 1;Хк},
\ = max(--l)((/cp + x)p + 2) + (/cp + x)p + l;
1<j<m a,.
ct >2 -
L q2
Теорема 4. Пусть Се (А), ф( г) - функция Ри-мана, отображающая и на С,ф(0) = , Сеи. Тогда при 1< р < +<» справедливо неравенство
/|ф;М| Г,!!-1 Д г) <
и 1 -Сд\ 1 -
|qq'(Ç)| P+2(1 -|Ç |)PXy (Ç)Xyq (w)
,2 2 '
I I ^+2 , , ct—
(1 -|Ç|) p(1 -|Ç|) q
где Xy (Ç) = (1-|Ç|)
y
pq .
1 1 ,
—+— = 1, p q
P > -1,
0< У < pp +1, ^>p-2 + 3 ; ct >2.
q p pq q
p
и
c
<
y
и
p
<
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Макаров Н. Г. Вероятностные методы в теории конформных отображений // Алгебра и анализ. 1989. Т. 1, вып. 1. С. 3-57.
2. Riesz M. Sur les fonctions conjuguees // Math. Z. 1927. Vol. 27. P. 218-244.
3. Kolmogoroff A. N. Sur les fonctions harmoniques conjuguees et les series de Fourier // Fund. Math. 1925. Vol. 7. P. 24-29.
4. Hardy G. H., Littlewood J. E. Some properties of conjugate functions // J. Reine Angew. Math. 1932. Vol. 167. P. 405-423.
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 3. С. 47-51
ISSN 1812-3996-
5. Newman D. J. The nonexistence of projections from L1 to H1 // Proc. Amer. Math. Soc. 1961. Vol. 12. P. 9899.
6. Шамоян Ф. А. Приложения интегральных представлений М.М. Джрбашяна к некоторым вопросам анализа // ДАН СССР. 1981. Т. 261, № 3. С. 557-561.
7. Татоян П. Х. Связи между средними значениями гармонически сопряженных функций // Доклады АН АрмССР. 1969. Т. 49, № 1. С. 3-8.
8. Шихватов А. М. О пространствах аналитических функций в области с угловой точкой // Матем. заметки. 1975. Т. 18, № 3. С. 411-420.
9. Соловьев А. А. Оценки в Lp интегральных операторов, связанных с пространствами аналитических и гармонических функций // Сиб. матем. журн. 1985. Т. 26, № 3. C. 168-191.
10. Burbea J. The Bergman projection over plane regions // Ark. Math. 1980. Vol. 18, no. 1. P. 207-221.
11. Hedenmalm H. The dual of Bergman space on simply connected domains // J. d' Analyse Math. 2002. Vol. 88. P. 311-335.
12. Ткаченко Н. М. Весовые Lp оценки аналитических и гармонических функций в односвязных областях комплексной плоскости: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов. гос. ун-т им. Н.Г. Чернышевского. Брянск, 2009. 32 с.
13. ДзядыкВ. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М. : Наука, 1977.
14. Pommerenke Ch. Schlichte functionen und analytische functionen von beschrankter mittlerer oszillation // Comment. Math. Helvetici. 1977. Vol. 52. P. 591-602.
15. Pommerenke Ch. On univalent functions, Bloch functions and VMOA // Math. An. 1978. Vol. 236. P. 199208.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Махина Наталья Михайловна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, Брянский государственный университет им. ак. И. Г. Петровского, 241036, Россия, г. Брянск, ул. Бежицкая, 14; e-mail: mahinanm@yandex.ru.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Makhina Natalia Mikhailovna - Candidate of Physical and Matematical Sciences, Docent, the Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University n. a. I. G. Petrovsky, 14, Bezhitskaya str., Bryansk, 241036, Russia; e-mail: mahinanm@yandex.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Махина Н. М. Некоторые оценки конформно отображающей функции в областях с кусочно-гладкой и асимптотически конформной границей // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 3. С. 47-51. DOI: 10.25513/ 1812-3996.2018.23(3).47-51.
FOR GTATIONS
Makhina N.M. Some estimates of a conformal mapping function in domains with a piecewise smooth and asymptotically conformal boundary. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 3, pp. 47-51. DOI: 10.25513/1812-3996.2018. 23(3).47-51. (in Russ.).
