CC BY
14
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 148, кн. 2
Физико-математические пауки
2006
УДК 517.54
СПЕКТР ИНТЕГРАЛЬНЫХ СРЕДНИХ И ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ДЛЯ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
II. Р. Каюмов
Аннотация
Настоящий обзор посвящен описанию наиболее важных результатов об оценках интегральных средних для производных конформных отображений круга па одпосвязпые области па плоскости. Подробно описаны результаты, связанные с оценками спектра интегральных средних вблизи нуля, а также в точке Ь = — 2. Дано описание результатов, связанных с законом повторного логарифма для конформных отображений, доказанного Н.Г. Макаровым в 1985 г. Показана связь между спектром интегральных средних и законом повторного логарифма. На этой основе усилены оценки гармонической меры па жордаповых кривых через меры Хаусдорфа.
Введение
Пусть 0 - односвязная область на плоскости, граница которой содержит не менее двух точек, / - конформное отображение круга В на 0. В силу хорошо известных теорем искажения (см., например, [1]) имеет место соотношение
1/(^)1 = 0(^1-) , г ->■ 1.
X. Правиц [2], обобщая результат Дж. Литтлвуда [3], показал, что для любого фиксированного р > 1/2 выполняется соотношение
= , г ->■ 1.
—п
Отсюда видно, что при интегрировании по линиям уровня порядок роста модуля однолистной функции уменьшается на единицу. Поскольку
\Г(ге<9)\ = >
то естественно ожидать, что для любого фиксированного р > 1/3 выполняется соотношение
п 1 \ 3р—1
—п
Это было подтверждено И. Фонгом и Т. МакГрегором в работе [4], однако лишь для случая р > 2/5. Н.Г. Макаровым [5] показано, что этот результат поверен
для р, близких к 1/3. Ниже мы покажем, что этот результат неверен при р < < 0.341 (имеется гипотеза, что точная граница здесь равна 6 — 4\/2 = 0.343...). Итак. Н.Г. Макаровым установлена существенная разница между интегральными средними однолистной функции и ее производной. Причины этой разницы не были ясны до середины 80-х гг. XX в. Для исследования этих вопросов Н.Г. Макаровым был введен спектр интегральных средних
2п
log / If \reie)|p d0
в/ (p) = limsup
0
1 I log(1 - r)| '
который фактически является порядком роста интегральных средних производной. Для «хороших» областей (например, для областей с ограниченным граничным вращением) в/(p) является кусочно-линейной функцией от p.
Отметим три важнейших результата, касающихся спектра интегральных сред-
1) Л. Карлесон и П. Джонс [6] показали, что
а /1 \ г log | |
sup р/(1) = а = sup limsup —--,
/eSi /eSi n^œ log n
где S1 - класс ограниченных и однолистных функций в круге D, an - коэффициенты разложения Тейлора функции f. Заметим, что неравенство sup в/ (1) > а доказывается весьма просто (и основывается на том. что интеграл от модуля некоторой функции не меньше, чем модуль интеграла от той же функции), в то время, как обратное неравенство является непростым фактом.
2) Н.Г. Макаровым [7] доказано, что если множество A С dD измеримо по Борелю, то для любого q > 0 справедливо неравенство
„, q dim A dm/M > —----,
dim A A
f(D)
является областью класса Джона (то есть не имеет внутренних нулевых углов), то
mdim df (D) = p,
где p — единственное решение уравнения в/ (p) = Р — 1 > mdim - верхняя метрическая размерность Минковского.
в/ ( p)
сическая теорема Каратеодори утверждает, что конформное отображение областей с жордановыми границами друг на друга может быть продолжено до гомеоморфизма замкнутых областей, однако не дает информацию о том, каким образом искажаются Хаусдорфовы меры борелевских множеств на границе этих областей. Исследование поведения спектра интегральных средних позволяет пролить свет на этот вопрос.
1. Оценки спектра интегральных средних
Для удобства дальнейшего изложения обозначим универсальный спектр интегральных средних через
B(t) = sup pf (t).
f es
Относительно B(t) имеется гипотеза [10, 11]:
{-t - 1, t G (-те, -2], t2/4, i G [-2,6-4^/2], 3f — 1, t G [6 -4>/2, +oo). II. Клуни и X. Помморонко показали, что
B(t) < (9 + e)t2
при любом положительном е и достаточно малых t. X. Поммеренке усилил это результат, понизив константу 9 до 3.
Лучшие верхние оценки спектра интегральных принадлежат X. Ходонмальму и С. Шиморину [12]. Ими показано, что
B(t) < 0.38t2
t
С другой стороны, Н.Г. Макаров показал, что существует положительная константа c такая, что
B(t) > ct2
t
c
число 0.117. Далее Ф. Крецер, используя метод, разработанный Л. Карлесоном и
П. Джонсом [6, 14], с использованием компьютера экспериментально установил,
2
B(t)>j, t G [—2, 2].
Отметим, что численный эксперимент, проведенный Ф. Кроцором, математически не является строго обоснованным. В нашей работе [15] доказана
Теорема 1.
t2 2 B(t)>~, 0
Интересным следствием результатов, полученных X. Ходонмальмом, С. Шимо-рнным, И. Фонгом и Т. МакГрегором, является
Предложение. Для любых t G R имеет место неравенство
B(t)<
Равенство достигается тогда и только тогда, когда t = 2/3 либо t = 0.
Доказательство. Из результатов X. Хеденмальма и С. Шиморина следует,
что
9
B(t) < -i- при t G (-оо, 2/5].
Поэтому для доказательства предложения достаточно рассмотреть случай t > 2/5. В этом интервале можно применить результат И. Фонга и Т. МакГрегора:
B(t) = 3t - 1, t G [2/5, те).
Очевидное неравенство (3t/2 - 1)2 > 0, t G R, ^o знаком равенства при t = 2/3 дает нужную оценку 3t — 1 < |i2, t G [2/5, те).
□
2. Закон повторного логарифма для конформных отображений и его связь со спектром интегральных средних
Интегральные средние производных конформных отображений тесно связаны с законом повторного логарифма для однолистных функций, доказанного Н.Г. Макаровым в 1985 г.
Предположим, что функция / аналнтпчна и однолистна в круге D. Н.Г. Макаров [16] доказал, что существует положительная постоянная C такая, что
L(/;r,Z) < C||log/ '||b (1)
для почти всех Z на окружности |Z | = 1, где
T(f п у _llog ГК)|_
L(/; г, С) = limsup —===
r^l- VI log(1 - r)| log log | log( 1 - r)|
Здесь
| log/ '||в = sup(1 - |z|
|z| <1
/
есть стандартная полунорма Блоха.
X. Поммеренке [9, с. 186] показал, что неравенство (1) верно при С = 1, но существует аналитическая и однолистная в круге В функция, для которой это неравенство перестает быть верным при С < 0.685. Таким образом, результат Н.Г. Макарова является точным в смысле порядка.
Ф. Прзытички, М. Урбаньски и А. Здуник [17, 18] установили, что для некоторых классов областей с фрактальными границами на самом деле выполняется равенство с константой (зависящей от функции) С = а в правой части (1), где
а1 = — lim sup 0
2п
/ | log / ' (reie )|2dO
2п | ^(1 - г)|
есть асимптотическая дисперсия. Отметим, что в статье [17] авторы использовали другое определение асимптотической дисперсии, которое фактически эквивалентно указанному выше определению.
Нашей целыо является получение точной формы закона Н.Г. Макарова повторного логарифма для локально однолистных функций, то есть функций /, для которых /'(г) = 0, г € В.
Пусть функция / локально однолистна в единичном круге В, и пусть р -произвольное комплексное число. Для всех 6 > 0 определим
log
д J |/ '(reie)p| dO
о
Ps(p) = sup
re[0,i) 1 log(l - r)|
Это определение эквивалентно тому, что fis (p) ~ минимальное число, для которого выполняется равенство
2п 1 / 1 \ Psip)
|/'(гегТ1 ¿в <-[ -- , 0 < г < 1.
д V 1 — " '
2
п
Если р вещественно, то
в б (р) ^ в(р) ^и 6 ^ 0, где в(р) _ спектр интегральных средних. Докажем этот факт. Поскольку
log
ßs{p) = sup ■
re[0,i)
2П
sf If '(reiö)p|
I log(1 - r)
to
log
ßs (p) > lim sup ■
r —> 1
2n
sj If'(reie)p|
= в(р).
| log(1 - г)|
С другой стороны, в силу определения вб (р) ясно, что л ибо вб (р) = в(р)> либо существует Гб такое, что
log
вй (р) =
2п
sf If '(Гй eiö )p|
| log(1 - rg)|
причем rg ^ 1 при S ^ 0. Переходя к предел у при S ^ 0 заключаем, что
lim ßs (p) < в(р).
g—>0
Результаты, полученные X. Помморонко [9], Н.Г. Макаровым [11], Л. Карле-соном н П. Джонсом [6], устанавливают существование связи между граничным поведением конформных отображений и спектром интегральных средних. С другой стороны, Н.Г. Макаровым [16] показано, что закон повторного логарифма тесно связан с граничными свойствами конформных отображений. Отсюда вытекает естественный вопрос: существует ли явная связь между законом повторного логарифма для конформных отображений и спектром интегральных средних?
Возможным ответом на этот вопрос является следующий результат, который доказан в нашей работе [19].
Теорема 2. Предположим, что функция f локально однолистна и аналитич-на в круге D. Тогда
L(f; r, Z) < inf a (S) np uS> 0 (2)
для почти всех Z на |Z| = 1, где
a2(S) = 4 lim sup
p—0
ßs(p)
N2 '
Отметим, что результат X. Поммеренке с константой C =1 легко следует из теоремы 1, поскольку хорошо известно [20], что если log f' - функция Блоха, то ^2(0+) <|| logf '||2.
Следующая лемма может быть выведена из приведенного в книге X. Поммеренке [9, с. 186] доказательства закона повторного логарифма для конформных отображений, полученного Н.Г. Макаровым [16].
Лемма 1. Пусть С^ - последовательность положительных чисел таких, что
С^/к ^ 1 при к ^ то. Если найдется такое наименьшее положительное число М, что
2п
1 е'(„„гв\\2и ла ^ п „ 1
— / | )| сЮ < Спп\М к^"
2п J 1 — г
о
для всех натуральных п и всех г € [1 — ехр(— ехреп), 1), то
Ц/; г,в1в) < М
для почти всех д € [0, 2п).
Доказательство теоремы 2. Зафиксируем числа 6 > 0 и е > 0. Тогда найдется р0 = ро(6, е) > 0 такое, что
2? 1 / 1 X (СТ2(й)+е)|р|2/4
\Г(ге")*\М<
6 1 — г
о
при |р| < р0. Полагая р = ¿е®^ и интегрируя это неравенство по ^ € [0,2п), получаем
/ У < - ] , * (Е (0,ро).
оо
Применяя теорему Фубннн заключаем, что
2п 2п 2п 2п
о о о о
2п 2п
= У У ехр^соэ^^ |/'(ге^)1 - зт^а^/'^ге^))] £¿^<¿0 =
оо
2п 2п
оо
2п 2п 2п
о о о
Здесь
2П
/0 (ж) = — / ехр (ж соэ <£>) (¿у? 2п у
о
есть модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
2П 1 / 1 ч (CT2(g)+e)i2/4
Таким образом.
п
J Io(t\\ogf(rew)\)de < j ) , t £ (0,ро).
0
Пользуясь известным разложением [21]
к=0
заключаем, что
2п 4n 2г . 4" 1 / 1 \(<?2(S)+£)t2/4
\log f'(rew)\2nde < --п\2 / /о (i I l°g f'(re'e )\) d6 < -5-Ы
t2" ' J 0V 1 bJ v - t2" 'J V 1 - -
00
t2 =
4n
(a2(0) + е)| log(1 - r)
1 x1/ log(1/(1-r))
1r
Полагая
и используя тождество получаем
2п
[ | log/Vie)|2" < in!2e"i7(a2(<5) + e)"|log(l - r) J on"
0
r
1, n < log log | log(1 — r) |, и, следовательно, t попадает в интервал (0,p0) для r, блнзкнх к 1.
Применяя лемму 1. получаем
W;r, С) < vWy+7
для почти всех Z та окружности |Z| = 1 и для всех 0 > 0, е > 0. Доказательство теоремы завершаем предельным переходом при е —>■ 0+. □
3. Метрические свойства гармонической меры на жордановых кривых
Закон повторного логарифма Н.Г. Макарова эквивалентен тому, что существует абсолютная положительная постоянная С такая, что
¿(/; г, С) < с (3)
для почти всех £ та окружно сти |£| = 1. Из результатов, полученных X. Поммерен-ке, следует, что данное неравенство справедливо при С = 6. Используя неравенство (2), в работе [22] мы доказываем, что этот закон верен при С = 2а/3 - Это позволяет уточнить метрические свойства образов подмножеств единичной окружности положительной меры при конформных отображениях круга на области, ограниченные жордановой кривой.
Пусть Q - односвязная область на комплексной плоскости, ограниченная жор-дановой кривой. Тогда по теореме Римана существует конформное отображение f круга D на О.
Основная проблема: Пусть A - множество положительной линейной меры на dD. Требуется охарактеризовать метрические свойства f (A).
Классическая теорема Рисса-Привалова утверждает, что если область f (D)
f(A)
AI.А. Лаврентьевым было показано, что в общем случае этот результат неверен.
Введем некоторые понятия, необходимые для формулировки результатов об искажении граничных множеств при конформных отображениях. Пусть у - некоторая непрерывная, положительная, строго возрастающая функция на интервале [0, прпчем у(0) = 0. Пусть A - множество на комплексной плоскости.
Назовем у-мерой Хаусдорфа множества A величину
Л„(А) = lim in! y(diamBk),
e—>0 Bk
где точная нижняя грань берется по всевозможным покрытиям Bk множества A таким, что diamBk < е. В том случае, когда у (t) = ta, вместо Л^ будем пользоваться обозначением Ла. Л. Карлесоном [23] в 1973 г. была доказана
fD
область Q. Предположим, что множество A с dD имеет положительную линейную меру. Тогда найдется е > 0 тате, что Л^+е^(A)) > 0.
е
жительное число из интервала (0,1/2). Более того, им была доказана
A
линейной меры на окружности dD. Тогда найдется конетанта C > 0 такая, что, Л^(A)) > 0, где
у(*) = £ ехр ^CylogilogloglogiJ .
В 1992 г. X. Поммеренке [9] показал, что в качестве константы С можно взять число 30. Мы понижаем эту константу до 6 л/З. С
при различных ее значениях получаются не эквивалентные меры Хаусдорфа. Справедлива
/В
на область с жордановой границей. Предположим, что А - борелевское множество положительной линейной меры на окружности дВ. Тогда А^(/(А)) > 0,
y(t)
texp i 6л/3(1 + £) y^log i log log log i j ,
е
Аккуратный анализ доказательства аналогичной теоремы с константой 30 [9, с. 229] вместо 6а/3 показывает, что константа в теореме 2 есть константа из теоремы 1, умноженная на 3 плюс произвольное положительное число.
Этот результат может быть сформулирован на языке гармонической меры следующим образом.
Пусть П - односвязная область на плоскости, ограниченная жордановой кривой дП. Пусть Е - произвольное борелевское множество на этой кривой. Через (Е) обозначим гармоническую меру множества Е относительно точки г € П. Зафиксируем точку г0 € П и будем рассматривать функцию ш(Е) = шго (Е) как функцию на борелевских множествах кривой дП. Полученная таким образом мера ш те зависит от выбора точки г0 € П. Теорема 3 фактически утверждает, что гармоническая мера ш абсолютно непрерывна относительно меры Хаусдорфа А^.
В работе [24] константа понижена до 3.7. Это было сделано за счет понижения константы С из неравенства (3) до 1.23. Кроме того, в этой же работе показано, что константа С не может быть ниже, чем 0.91. Оценка снизу для константы получается из примера конформного отображения /, для которого справедливо неравенство в/(£) > £2/5 при малых £ (см. [15] ). В качестве функции / берется предел
/(г) = Иш / о /д2 о /?з о • • • о (г).
Здесь
/»»(-)= у/д(зт), /7г =1,2,..., = ¿ехр
о
а = 1.906, Ь = 1.246,
1 ехр {(а/Ь) вЬ(Ь£)> - 1
К = ехр / и 7 ^ ^ ;;-А = 73.677030 .
4. Гипотеза Бреннана
Одной из наиболее интригующих проблем интегральных средних однолистных
П
сти, не совпадающая с ней, и у - конформное отображение единичного круга В на П. И. Бреннаном [25] была высказана гипотеза о том, что у' € Ьр(П), 4/3 < р < 4, то есть
J |у' |р ¿Ыу < то, 4/3 <р< 4. п
П р € (4/3, 4)
J |у '|р ¿жйу = то. п
Обозначим / : В ^ П - конформное отображение единичного круга В на П. В [9] показано, что гипотеза Бреннана эквивалентна соотношению
п
1 1 с1в = о( —— I , г ->■ 1-,
J |/ '(гег0)|2 - г
—п
что равносильно неравенству
в/(£) < |£| - 1, £ < -2
где в/ (£) _ спектр интегральных средних.
Неравенство (12) было установлено Л. Карлосоном и Н.Г. Макаровым [26] для достаточно больших |t|.
Д. Бортильсон в своей диссертации [10] исследовал локальную версию гипотезы Броннана для функций, близких к функции Кебе.
Из концепции интегральных средних [6. 11] следует, что гипотезу Броннана достаточно проверить для областей с фрактальными границами. Эвристически этот факт можно объяснить тем. что если граница области достаточно хороша, то интегрирование по окружности уменьшает порядок роста производной на 1. Первый шаг в этом направлении был сделан К. Бараньски, А. Вольбергом и А. Здуник [27]. Они доказали эту гипотезу для всех односвязных областей притяжения бесконечности квадратичных полиномов.
Другой важный класс фракталов состоит из конформных отображений f, для которых log f' представим в виде лакунарного ряда Адамара, то есть когда
Такие отображения оказались весьма полезны для получения нижних оценок спектра интегральных средних [13. 16. 28 30]. [9. с. 188]. С другой стороны, нетрудно показать, что если существует абсолютная положительная постоянная C такая, что неравенство
выполнено для всех функций из этого класса, то гипотеза Броннана верна в общем случае.
В работе автора [31] эта гипотеза доказана для всех ц > 15.
Достоверность гипотезы Броннана также установлена и в случае, когда тейлоровские коэффициенты функции ^(г/'//) неотрицательны. В работе [32] доказана
Теорема 4. Предположим, что аналитическая функция / однолистна в круге О, /(0) = 0. Если тейлоровские коэффициенты функции ^(г/'//) неотрицательны, то в/(-2) < 1, что эквивалентно достоверности гипотезы Бреннана в рассматриваемом случае. Равенство в/(-2) = 1 достигается, например, для функции Кебе / = г/(1 — г)2 .
Автор выражает благодарность Ф.Г. Авхадиову за ряд сделанных полезных замечаний.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Л*1' 05-01-00523).
I.R. Kayumov. The integral means spectrum and the law of the iterated logarithm for conformal mappings.
The present survey paper is described most important results about estimates of the integral means for derivatives of conformal maps of the unit disk into simply connected domains on the complex plane. Detailed description of the results connected with estimates of the integral means spectrum near the origin and also near the point t = —2 is given. Results connected with Makarov's law of the iterated logarithm are described. A connection between the integral means spectrum and the law of iterated logarithm is shown. On this basis metrical properties of harmonic measure on Jordan curves are improved.
—П
Summary
Литература
1. Голузии P.M. Геометрическая теория фупкций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.
2. Prawitz Р. Uber die Mittelwerte analytischer Funktionen // Arkiv Mat.. Ast.r. Pys. 1927 1928. V. 20. P. 1 12.
3. Littlewood J. On inequalities in the theory of functions // Proc. London Math. Soc. 1925. V. 23. P. 481 519.
4. Feng J., MaeGregor Т.Н. Estimates of integral means of the derivatives of univalent functions // J. Analyse Math. 1976. V 29. P. 203 231.
5. Makaruv N.G. A note on the integral means of the derivative in conformal mapping // Proc. Amer. Math. Soc. 1986. V. 96. P. 233 236.
6. Carleson L., Junes P. On coefficient problems for univalent functions // Duke math. J. 1992. V. 66, No 2. P. 169 206.
7. Makarov N.G. Conformal mapping and Hausdorff measures // Ark. Mat. 1987. V. 25. P. 41 89.
8. Pommerenke Ch. On boundary size and conformal mapping // Complex Variables. 1989. V. 12. P. 231 236.
9. Pommerenke Ch. Boundary Behaviour of Conformal Maps. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
10. Bertilssun D. On Brennan's conjecture in conformal mapping: Doctoral Thesis. Royal Inst, of Tech., Stockholm, 1999.
11. Makarov N.G. Fine structure of harmonic measure // St.. Pet.ersbg. Math. J. 1999. V. 10, No 2. P. 217 268.
12. Heilenmalm P., Shimorin S. On the universal integral means spectrum of conformal mappings near the origin // Proc. Amer. Math. Soc. To appear.
13. Rohde S. Hausdorffmas und Randverhalten analytischer Functionen: Thesis. Berlin: Technische Universität, 1989.
14. Kraetzer Ph. Experimental bounds for the universal integral means spectrum of conformal maps // Complex Variables. 1996. V. 31. P. 305 309.
15. Kayumov I.R. Lower estimates for integral means of univalent functions // Arkiv for matematik. To appear.
16. Makarov N.G. On the distortion of boundary sets under conformal mappings // Proc. London Math. Soc. 1985. V. 51, No 3. P. 369 384.
17. Przytyeki F., Urbanski M., Zdunik A. Harmonic, Gibbs, and Hausdorff measures on repellers for liolomorphic maps. I // Ann. of Math. 1989. V. 2. P. 1 40.
18. Przytyeki F., Urbanski M., Zdunik A. Harmonic, Gibbs, and Hausdorff measures on repellers for liolomorphic maps. II // St.udia Math. 1991. V. 97. P. 189 225.
19. Kayumov I.R. The law of the iterated logarithm for locally univalent functions // Ann. Acad. Sei. Fennicae. 2002. V. 27. P. 357 364.
20. Clunie J., Pommerenke Ch. On the coefficients of univalent functions // Michigan Math. J. 1967. V. 14. P. 71 78.
21. Абрамооиц M., Cmuaau И. Справочник по специальным функциям. M.: Наука, 1979. 832 с.
22. Каюмов И.Р. К закону повторного логарифма для конформных отображений // Матем. заметки. 2006. Т. 79, Вып. 1. С. 150 153.
23. Carleson L. Он t.lie distortion of sets 011 a Jordan curve under conformal mapping // Duke Math. J. 1973. V. 40, No 3. P. 547 559.
24. Hedenmalm H., Kayumov I.R. On the Makarov law of the iterated logarithm // Proc. Amer. Math. Soc. To appear.
25. Brennan J.E. On the iiit.egrabilit.y of the derivative in conformal mapping // J. London Math. Soc. 1978. V. 18. P. 261 272.
26. Carleson L., Makarov N.G. Some results connected with Brennan's conjecture // Ark. Mat. 1994. V. 32. P. 33 62.
27. Baranski K., Volberg A., Z(lunik A. Brennan's conjecture and the Mandelbrot set // Int. Math. Res. Notice. 1998. V. 12. P. 9 600.
28. Gnusehke-Hausehild D., Pommerenke Ch. On Block functions and gap series // Reine Angew. Mat.li. 1986. V. 367. P. 172 186.
29. Kayumov I.R. Lower estimates for t.lie integral means spectrum // Complex Variables. 2001. V. 44. P. 165 171.
30. Kayumov I.R. Lower estimate for tke integral means spectrum for p = —1 11 Proc. Amer. Mat.li. Soc. 2001. V. 130, No 4. P. 1005 1007.
31. Каюмоа И.Р. Спектр интегральных средних и модифицированная функция Весселя пулевого порядка // Алгебра и Анализ. 2005. Т. 17, Л' 3. С. 107 123.
32. Каюмоа И.Р. О ггшотезе Вреппапа для специального класса функций // Матем. заметки. 2005. Т. 78, Вып. 4. С. 537 541.
Поступила в редакцию 25.04.06
Каюмов Ильгиз Рифатович кандидат физико-математических паук, доцепт, ведущий паучпый сотрудник НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета. Е-шаП: ik.ayum.ov Qksu.ru
