О Lipm- и cm-отражении гармонических функций относительно границ областей Каратеодори в R2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.57

DOI: 10.18698/1812-3368-2018-4-36-45

О Ырт- И ^-ОТРАЖЕНИИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ КАРАТЕОДОРИ В М2

П.В. Парамонов petr.paramonov@list.ru

МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, Российская Федерация

Аннотация

Получен ряд точных необходимых и достаточных условий Lipm - и ^-непрерывности операторов гармонического отражения функций относительно границ простых областей Каратеодори в М2. Приведем упрощенную формулировку основного результата. Для произвольной вещественной функции f, гармонической в жордановой области D с М2 и непрерывной в ее замыкании D, пусть R(f) — решение задачи

Дирихле в области Q = М2 \ D с граничной функцией f |эп, где дО. — граница области Q Функцию R( f) назовем гармоническим отражением функции f относительно границы 3D = 3Q области D, а оператор R: f ^ R( f) — оператором гармонического отражения. Пусть теперь D — область с кусочно гладкой границей, и па е (0,п] — минимальный внутренний угол области D (т. е. па — минимум величин всех внутренних углов Va, a е 3D, образованных двумя разными лучами с вершиной a, касательными к 3D). Примем ma = 1/(2-а). Тогда при всех (m, m') с условиями 0 < m' < m < ma или 0< m' <ma< m < 1 оператор R является (m, m')-непрерывным, и это не так при ma < m' < m < 1. Условие (m, m')-непрерывности означает, что для любой функции f е Lipm (D), гармонической в D, выполнено R( f) е Lipm (Q). Кроме того, Lipm (О)-норма функции R( f) должна оцениваться (с точностью до мультипликативной постоянной) через Lipm (D)-норму функции f

Ключевые слова

Область Каратеодори, оператор Пуассона, гармоническая мера, оператор гармонического отражения, пространство Липшица — Гельдера

Поступила в редакцию 25.12.2017 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (проект № 1.3843.2017/4.6)

Введение. Пусть D — ограниченная область в М2 с границей дD и замыканием D. Далее предполагается, что множество О. = М2 \ D также является областью в М2, причем дD = 50. Такие (непустые) области D называют простыми областями Каратеодори (ПОК-областями). Они односвязны и, следовательно, являются регулярными для задачи Дирихле (для гармонических функций на

плоскости) [1]. Обозначим через H(G) — пространство всех вещественных функций, гармонических на открытом множестве G с М2, через C(X) — пространство всех вещественных непрерывных и ограниченных функций на замкнутом множестве X с М2 со стандартной нормой || h ||X = sup Ц h(x) |: x e X}, и

пусть CH (X ) = C( X) n H( X°), где E° — внутренность множества E с R2.

Пусть f eCH (D), а g — решение задачи Дирихле в Q с граничной функцией f |sq . Функцию g е CH (Q) назовем гармоническим отражением функции f относительно границы SD области D, а оператор R = RD : f ^ g — оператором гармонического отражения (R: CH (D) ^ CH (Q)).

Интересен следующий вопрос: при каких условиях на ПОК-область D оператор Rd сохраняет свойства «гладкости» функций? Ограничимся гладкостями в смысле условий Липшица — Гельдера порядков не выше единицы. Напомним, что при m е(0,1] для замкнутого множества X с М2 (содержащего не менее двух точек) пространство Липшица — Гельдера порядка m определяется как

Lipm(X) = J h е C(X):|| h WXm = sup1 h(x) ~ h(y^ < +<x [ | x - y |m

где sup берется по всем парам точек x и y из X с условием x Ф y. Норма

функции h в пространстве Lipm (X) задается так: || h || Xm =max||| h ||Xm, || h ||X }.

Итак, основная рассматриваемая задача состоит в следующем.

Задача 1. Для заданных m и m' из (0,1] найти (наиболее точные) достаточные условия на ПОК-область D, гарантирующие непрерывность оператора Rd из пространства Lipm (D) n H(D) в Lipm' (Q) n H(Q).

При выполнении последнего свойства будем утверждать, что оператор RD является (m, m')-непрерывным. Обсудим только «естественные» случаи m = m' и m > m'.

Насколько известно автору настоящей работы, ранее эта задача не исследовалась, за исключением случая m =1 [2].

Основные результаты. Начнем с простого примера, когда D = B (a, r) — открытый круг с центром a и радиусом r >0. Здесь, согласно введенным выше обозначениям, g(x ) = f ( a + (x - a)r2 /1 x - a |2), x eQ, откуда элементарно находим, что оператор RD является (m, m')-непрерывным при 0<m'< m < 1.

Для формулировки первого результата напомним определение областей Ляпунова — Дини. Функция ro(-)eC ([0,+»)) с условиями ю(0) = 0, ю :(0,+о>)^ ^ (0, ю (t) (нестрого) возрастает и ю (t)/1 убывает на (0, причем

1 ш (t)

J-dt < +<х

о t

называется функцией класса Дини.

Ограниченная область G в М2 с С1-гладкой границей называется областью Ляпунова — Дини ((Л-Д)-областью), если существует функция класса Дини ю (•) такая, что для любых x и y на dG имеем |nx -ny |<ю(|x-y |), где nx — внутренняя (по отношению к G) единичная нормаль к dG в точке x е dG.

В работе [2] (см. теорему 1 и пример 4.1) получен следующий результат (справедливый для всех MN, N > 2 натурально).

Теорема 1. Для всякой жордановой (Л-Д)-области D в Ж2 оператор RD является (1, 1)-непрерывным. Однако существуют жордановы области D с С1-гладкой границей, для которых это не так.

Далее будет установлено, что для любой жордановой области D c С-глад-кой границей оператор RD является (m, ш')-непрерывным при 0< m' < m <1 и

0<m' <m = 1.

С поставленной выше задачей тесно связана задача о (m, m^-непрерыв-ности оператора Пуассона, состоящая в следующем. Пусть D — ограниченная односвязная область в Ж2, а P = PD — оператор Пуассона, ставящий в соответствие произвольной непрерывной вещественной функции ф на dD решение

задачи Дирихле f в D с граничными данными ф на dD.

Задача 2. При заданных 0< m' < m < 1, каковы (наиболее точные) достаточные условия на D, при которых оператор PD является непрерывным из пространства Lipm (dD) в Lipm' (D) n H(D)?

Замечание 1. Введем в пространстве ®x, x = (х1,х2), комплексную переменную z = x1 + ix2, отождествляя ®x с комплексной плоскостью Cz. Если в условиях задачи 2 некоторая точка a = a1 + ia2 е D, то отображение w = 1/(z - a) трансформирует задачу 2 в аналогичную задачу в области D* ={w е С: z = a +1/ w е D}, поскольку отображение f (z) ^ f* (w) = f (a +1/ w) является изоморфизмом пространств Lipm (D) n H(D) и Lipm (D*) n H(D*) (здесь полезно учитывать, что fx ) = O (1/| x |2) при | x |^+oo).

Замечание 2. Отметим, что в условиях теоремы 1 операторы Пуассона PD и Pq не являются (1, 1)-непрерывными. Для D = Б(0,1) (при ф^)=| z-1|) последнее легко проверяется с помощью стандартной формулы Пуассона. Для произвольных жордановых (Л-Д)-областей D достаточно применить какое-либо конформное отображение k: D ^ Б(0,1) и воспользоваться результатом Кел-лога — Варшавского (см. [3, 4, theorem 3.5]), согласно которому отображение k продолжается до С1-диффеоморфизма D и Б(0,1).

Для всех других случаев в задаче 1 такого эффекта обнаружить не удалось. Далее всюду установим (m, ш')-непрерывность оператора RD с помощью (m, ш')-непрерывности оператора Pq . В связи с этим потребуются два результата Е. Джонстона [5] (см. теоремы 1 и 5 и следствия 3 и 7) о (m, ш')-непре-рывности оператора P.

Теорема Д1. Пусть D — произвольная ограниченная односвязная область в М2. Тогда при всех (m,m') с условиями 0<m'<m<1/2 или 0<m'<1/2<m< 1

или 1/2 = т'< т< 1 оператор РВ является (т,т') -непрерывным. Существуют жордановы области В, для которых оператор РВ не является (1/2, 1/2)-непре-рывным.

Для формулировки второго результата напомним одно определение. Для заданных а е (0,1] и г >0 пусть

— замкнутый сектор. При а е С и Ре (-л, л] примем 5 (а, г, а, Р) = а + е'^Б (а, г).

Будем утверждать, что ограниченная односвязная область В с Ж2 удовлетворяет (внешнему) условию сектора с параметрами (а, г), если для всякой точки а ебВ найдется р = р (а) е (-л, л] такое, что Б (а, г, а, Р) п В = 0.

Теорема Д2. Пусть В — ограниченная односвязная область в Ж2, удовлетворяющая (внешнему) условию сектора с параметрами (а, г), и пусть та =1/(2 - а). Тогда при всех (т, т') с условиями 0< т' < т <та или 0< т' < < та< т < 1 или та = т' < т < 1 оператор РВ является (т, т')-непрерывным. Существуют жордановы области В указанного типа, для которых оператор РВ не является (та, та )-непрерывным.

Следует отметить, что эти два результата существенно опираются на следующую очень полезную в настоящем контексте классическую теорему Берлинга [6] (см. также работы [7, гл. 8, § 4] и [8, гл. 2, § 4] об определении и свойствах гармонической меры).

Теорема Б. Пусть В — ограниченная односвязная область в С, Е — боре-левское подмножество в дВ и г е В. Пусть й(г, Е) — расстояние от точки г до множества Е, а ц(г, Е, В) — гармоническая мера множества Е относительно точки г и области В. Тогда справедлива оценка

Сформулируем и докажем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть D — ограниченная односвязная область в С. Найдется mD е [1/2,1] со следующими свойствами: оператор Пуассона PD является (m, m')-непрерывным при всех m е (0, mD) и это не так при всех m e(mD,1]. Кроме того, оператор PD является (m, m')-непрерывным при 0< m' <m <mD и при 0< m' < mD < m < 1.

< Поскольку при всех 0< m' <m < 1 тождественный оператор T : f ^ f из пространства Lipm (F) в Lipm (F), очевидно, непрерывен, нетрудно видеть, что остается установить следующее утверждение. Пусть в условиях теоремы 2 оператор PD является (m, ш')-непрерывным при некотором m е [1/2,1], тогда оператор PD (m', ш')-непрерывен при любом m'e (0, m). Докажем это. Необходимо установить, что если существует такая постоянная A = A (D, m) e (0, +<x>), что из

условия | q(z) -ф(г')| < | z - z' |m при всех z, z'eSD следует условие

S(a, r) = \z e С :|arg(z )| < —, 0<| z | < r {0}

y(z, E, D) <■

| /(г) - /(г')|< Л12 - ^' \т, Уг, ^'е Б, (1)

где / = РБф, то найдется такая постоянная Л = А'(Б, т') е (0, +<х>), что из условия | ф(г) - ф (г') | < | г - г' |т' при всех г, г' е дБ следует условие

| /(г) - /(г') | < А' | г - г' |т', Уг, г' е Б. (2)

Из принципа максимума для гармонических функций вытекает (см. [5, неравенство (4)]), что для доказательства неравенства (2) достаточно установить его для случая г' е дБ, г е Б. Без ограничения общности примем г' = 0 е дБ, и фиксируем г е Б, | г |= 5 <&аш(Б). Используем обозначения, введенные в формулировке теоремы Б. Для неотрицательных целых п с условием п5 < &аш (Б) (их совокупность обозначим через N ) определим

Е0 = {а е5Б :| а |<5}; Еп = {а едБ: пЪ <| а | < (п + 1)5}, п eN\{0},

и пусть = ц(г, Еп, Б). Согласно определению гармонической меры и из (1) при ф(^) = фт (ы)=| ы |т (w едБ) и /т = Рб Фт, имеем £ пт 5т^п ^ | /т (г) | <

nGN

< А5т. Отсюда для любой функции феС(5Б) с условием | ф(ы)| <| ы т и / = РБф получаем

|/(г)|< X ((п +1)5)т'цп <Ът'-т X (пт +1)5>п <(А +1)5т',

п е N п е N

поскольку ^ цп = 1. Неравенство (2) и теорема 2 доказаны. ►

nGN

Следствие 1. В условиях теоремы Д2 имеем тБ > та.

Замечание 3. Доказательство теоремы 2 без изменений переносится и на другие размерности, необходимо только следующим образом слегка изменить формулировку.

Пусть Б — ограниченная регулярная область в ^, N е {3,4,...}. Найдется тБ е[0,1] со следующими свойствами: либо тБ =0, либо оператор Пуассона Рб является (т, т')-непрерывным при всех т е(0, тБ) и это не так при всех те(тБ,1]; кроме того, оператор РБ является (т, т')-непрерывным при 0<т'<т<тБ и при 0<т'< тБ <т< 1.

Замечание 4. В условиях задачи 1 из замечания 1 естественно определяется параметр та, для которого справедлива теорема 2 для области О (следует взять область Бх — образ при отображении 1/ г области О и {да}, тогда (А)* = ^ при а = 0).

Следствие 2. В условиях задачи 1 оператор Я.Б является (т, т')-непре-рывным при 0<т'<т<т& и при 0<т'<т&<т< 1.

Теперь приведем несколько утверждений об отсутствии (т, т')-непрерыв-ности у оператора ЯБ.

Следствие 3. В условиях задачи 1 при ma < mD оператор RD не является (m, ш)-непрерывным при mq < m < mD.

< Действительно, по теореме 2 найдется yeLipm (8D) = Lipm (SQ), которая продолжается до функции класса Lipm (D) n H(D), но не продолжается до функции класса Lipm (Q) n H (Q). ►

Напомним, что обозначение S(a,r,a,Р) для сектора и параметр ma =1/(2-a) введены выше перед формулировкой теоремы Д2 и в самой теореме.

Теорема 3. В условиях задачи 1 пусть для некоторой точки a e8D найдутся ae(0,1), Ре(-я,л] и r >0 такие, что DnB(a,r) сS(a,r,a,P). Тогда оператор Rd не является (m, ш')-непрерывным при ma < m' < m < 1.

^ Без ограничения общности можно предположить, что a = 0 и р = л.

Примем f (z) = log 13z / r -1|, так что f e H(D) n Lip1(D)). Докажем, что гармоническое отражение g функции f относительно SD не принадлежит Lipm (Q) при всех ma < m'< 1. Поскольку g(0) = f (0) = 0, то достаточно установить, что найдется такое A >0, что при всех 5е(0, r /3) имеем g(5) > A5ma. Рассмотрим область Qr = Qar = B(0, r)\S(a, r,0, %) cQ и функцию h(z) = ^(z, Er, Qr), где Er = {z edQr :| z |= r}. Ясно, что найдется A1 >0 с условием g(z) > A1h(z) на dQr, а, следовательно, по принципу максимума и для всех z eQr. Таким образом, остается доказать, что найдется A2 >0 с условием h(5) > A25m<x при всех

5 е (0, r / 3). Последнее выполняется элементарно с помощью композиции конформного отображения w\ = zm = exp (ma log(z)) (ветвь у функции log(z) = = log | z | + i arg(z) берется в плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси, т. е. при < arg(z) < %) области Qr на полукруг G1 = = {w1 е С :| w11< rma := r1, Re(w1)>0j и дробно-линейного отображения w = = -(w1 -ir1)/(w1 +ir1) полукруга G1 на первый квадрант G. Останется учесть, что ^,(w, E, G) = 2 arg(w) / % для E = {w edG: Re(w) = 0}. Теорема 3 доказана. ►

Следствие 4. В условиях теоремы 3 оператор Pq не является (m, ш')-непре-рывным при ma < m' < m < 1, в частности m&< ma.

Из теоремы Д2, следствия 1 и теоремы 3 вытекает следующее утверждение.

Следствие 5. Пусть D — жорданова область в М2 с кусочно гладкой границей, и пусть %а е (0, л] — величина минимального внешнего (соответственно, внутреннего) угла области D, т. е. ла — минимум величин всех внешних (соответственно, внутренних) углов Va, a е SD, образованных двумя разными лучами с вершиной a, касательными к 8D. Тогда mD = ma =1/(2-а). (Соответственно, тогда ma = ma =1/(2-а) и при всех (m,m') с условиями 0<ш'< < m < ma или 0<m' <ma< m < 1 оператор RD является (m, m')-непрерывным, и это не так при m < m' < m < 1.)

Что происходит для других соотношений параметров m и m' и других областей автору пока не ясно. Особый интерес представляют следующие два вопроса.

Задача 3. При каких условиях на односвязную (или жорданову кусочно гладкую) область D оператор Рв является (тв, тВ)-непрерывным? Существуют ли такие области при тв =1?

Задача 4. Существуют ли такие т е (0,1) и жордановы области D с С, для которых оператор Pq не является (т, т')-непрерывным, а оператор RB является (т, т)-непрерывным?

Отметим, что замечание 2 отвечает на последний вопрос положительно при т = 1.

О С™-отражении гармонических функций. В теории приближений гармоническими функциями на компактах X в MN в нормах пространств Liprn (X), 0<т <1, естественно возникают пространства Ст (X), где Ст (X) — замыкание в Ырт (X) подпространства С(M2)|X (или, то же самое, подпространства Lips (X), s е (т,1]), см., например, [9]. Для замкнутого множества X с MN и функции f е Lipт (X), т е (0,1), определим т -модуль непрерывности функции f на X:

шт (f, 5) = sup1 f (x) ~ f ,(x,)|, 5 e (0, +05], | x - x' |т

где указанный sup берется по всем x и x' из X с условием 0<|x — x'|<5. Нетрудно установить, что для компактов X имеем

Ст (X) = i f е Врт (X) :lim ® т (f, 5) = 0 ].

Для неограниченных замкнутых X последнее равенство примем за определение.

В условиях задачи 1 или задачи 2 можно дать определение (т, т')-непре-рывности операторов Rd или Рв в контексте пространств Ст и Ст (вместо соответствующих Liptn и Liptn ); назовем эти свойства С(т, т')-непрерывностью операторов RD или PD . Непосредственно из приведенных определений и доказательства теоремы 2 вытекают следующие два факта. Во-первых, если оператор RD (соответственно, Рв ) является С(т, т')-непрерывным, то он является и (т, т')-не-прерывным при 0< т < т <1; для проверки этого факта вместо функций 9m(w)=| w f" в доказательстве теоремы 2 достаточно рассмотреть функции фm+t(w)=| w ^, t е (0,1 - т), и t устремить к нулю. Во-вторых, если оператор RB (соответственно, Рв ) является (т, т')-непрерывным, то он является и С^, sO-не-прерывным при выполнении условий 0<s <т, 0<s' <т', s'< s.

Следовательно, для всех 0<т'< т <1 (при тех же тв и ) справедливы аналоги теорем 2 и 3 и их следствий в контекстах С(т, т')-непрерывности.

Заключение. Отметим, что для более высоких размерностей аналогичных гео-метрико-метрических результатов (кроме теорем 1 и 2) получить пока не удается, хотя определенные результаты типа теорем Д1 и Д2 имеются (см. [10, theorem 4]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Lebesgue H. Sur le problème de Dirichlet // Rend. Circ. Mat. di Palermo. 1907. Vol. 29. P. 371-402.

2. Парамонов П.В. О ^-продолжении и С'-отражении субгармонических функций с областей Ляпунова — Дини на // Математический сборник. 2008. Т. 199. № 12. С. 79-116.

3. Warschawski S.E. On the differentiability at the boundary in conformal mapping // Amer. Math. Soc. Proceedings. 1961. Vol. 12. P. 614-620.

4. Pommerenke C. Boundary behavior of conformal maps. Berlin: Springer, 1992. 300 p.

5. Johnston E.H. The boundary modulus of continuity of harmonic functions // Pacific J. Math. 1980. Vol. 90. No. 1. P. 87-98.

6. BeurlingA. Études sur un Problème de Majoration. Upsala: Almquist and Wiksell, 1933. 109 p.

7. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Рипол Классик, 2013. 638 с.

8. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966. 515 с.

9. Парамонов П.В. Ст-приближения гармоническими полиномами на компактных множествах в Rn // Математический сборник. 1993. Т. 184. № 2. С. 105-128.

10. Hinkkanen A. Modulus of continuity of harmonic functions // Journal D'Analyse Mathématique. 1988. Vol. 51. P. 1-29. DOI: 10.1007/BF02791117.pdf

Парамонов Петр Владимирович — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Российская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Парамонов П.В. О Lipm- и Ст-отражении гармонических функций относительно границ областей Каратеодори в M 2 // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2018. № 4. C. 36-45. DOI: 10.18698/1812-3368-2018-4-36-45

ON Lipm- AND ^-REFLECTION OF HARMONIC FUNCTIONS

WITH RESPECT TO BOUNDARIES OF CARATHÉODORY DOMAINS IN M2

P.V. Paramonov petr.paramonov@list.ru

Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russian Federation

Abstract Keywords

In this paper a number of sharp necessary and sufficient Carathéodory domain, Poisson opera-

conditions for Lipm- and Cm-continuity of operators of har- tor, harmonic measure, harmonic

monic reflection of functions over boundaries of simple reflection operator, Lipschitz —

Carathéodory domains in M 2 are obtained. Let us state the Holder space main result of this paper in a simplified form. For an arbitrary real function f that is harmonic in a Jordan domain

D с M2 and continuous in its closure D, let R ( f ) be the

solution of the Dirichlet problem in the domain Q = M2 \ D with the boundary function f |0n, where 3Q is the boundary of Q The function R ( f ) is said to be a harmonic reflection of the function f with respect to the boundary ÔD = 3Q of the domain D, and the operator R : f ^ R ( f ) is said to be a harmonic reflection operator. Let now D has a piecewise smooth boundary, and suppose ia e (0,n] to be the value of the minimal inner angle of the domain D (it means that na is the minimal value among all inner angles Va, a e 3D, formed by couples of distinct rays tangent to 3D with vertexes at a). Let ma =1/(2 -a). Then for all (m, m') such that 0< m' < m < ma or 0< m' <ma< m < 1 the operator R is (m, m')-continuous, and it is not the case for ma < m' < m < 1. The (m, m')-continuity property means that for any function f e Lipm (D) harmonic in D we have R ( f ) e Lipm' (Q). Moreover, the Lipm' (Q)-norm of R ( f )

has to be estimated (up to certain multiplicative constant) by Received 25 12 2017 the Lipm (D)-norm of f © BMSTU, 2018

The work was carried out with the state financial support of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (project no. 1.3843.2017/4.6)

REFERENCES

[1] Lebesgue H. Sur le problème de Dirichlet. Rend. Circ. Mat. di Palermo, 1907, vol. 29, pp. 371-402.

[2] Paramonov P.V. C1-extension and ^-reflection of subharmonic functions from Lyapunov — Dini domains into RN. Sb. Math., 2008, vol. 199, no. 12, pp. 1809-1846.

DOI: 10.1070/SM2008v199n12ABEH003982

[3] Warschawski S.E. On the differentiability at the boundary in conformal mapping. Amer. Math. Soc. Proceedings, 1961, vol. 12, pp. 614-620.

[4] Pommerenke C. Boundary behavior of conformal maps. Berlin, Springer-Verlag, 1992. 300 p.

[5] Johnston E.H. The boundary modulus of continuity of harmonic functions. Pacific J. Math., 1980, vol. 90, no. 1, pp. 87-98.

[6] Beurling A. Études sur un Problème de Majoration. Upsala, Almquist and Wiksell. 1933. 109 p.

[7] Goluzin G.M. Geometricheskaya teoriya funkcii kompleksnogo peremennogo [Geometric theory of functions of a complex variable]. Moscow, Ripol Klassik Publ., 2013. 628 p.

[8] Landkof N.S. Osnovy sovremennoy teorii potenciala [Fundamentals of modern theory of potential]. Moscow, Nauka Publ., 1966. 515 p.

[9] Paramonov P.V. Cm-approximations by harmonic polynomials on compact sets in MN.

Russian Acad. Sci. Sb. Math., 1994, vol. 78, no. 1, pp. 231-251. DOI: 10.1070/SM1994v078n01ABEH003467

[10] Hinkkanen A. Modulus of continuity of harmonic functions. Journal D'Analyse Mathématique, 1988, vol. 51, pp. 1-29. DOI: 10.1007/BF02791117.pdf

Paramonov P.V. — Dr. Sc. (Phys.-Math.), Professor, Department of Theory of Functions and Functional Analysis, Department of Mechanics and Mathematics, Moscow State University (Leninskie Gory 1, Moscow, 119991 Russian Federation).

Please cite this article in English as:

Paramonov P.V. On Lipm- and Cm-Reflection of Harmonic Functions with Respect to Boundaries of Carathéodory Domains in M2. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv.

Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2018, no. 4, pp. 36-45 (in Russ.). DOI: 10.18698/1812-3368-2018-4-36-45

В Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана вышло в свет учебное пособие авторов

С. А. Харитонова, А. А. Ципилева

«Динамика механических систем»

Рассмотрены вопросы исследования колебаний в механических системах. Представлены методики определения параметров движения колебательных систем с одной степенью свободы, с конечным числом степеней свободы, а также систем с распределенными параметрами. Уделено внимание вопросам устойчивости колебательных процессов механических систем, приведены критерии устойчивости, рассмотрены типовые схемы нагружения узлов и конструкций транспортных машин. Изложены методы исследования вибрационных воздействий и способы борьбы с вибрациями. Даны рекомендации по конструированию виброзащитных механизмов.

По вопросам приобретения обращайтесь:

105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1 +7 (499) 263-60-45 press@bmstu.ru www.baumanpress.ru

C A. Харитонов,. А.А. Ципипрв

ДИНАМИКА

МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ