Краевые задачи для гармонических функций в неограниченных областях римановых многообразий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.954 ББК 22.161.6

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ 1

Королькова Елена Сергеевна

Инженер

ООО «Газпром трансгаз Волгоград» [email protected]

Ул. Рабоче-Крестьянская, 58, 400074 г. Волгоград, Российская Федерация

Корольков Сергей Алексеевич

Кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры математического анализа и теории функций

Волгоградского государственного университета

[email protected]

Проспект Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

Аннотация. В работе изучаются гармонические функции в неограниченных областях римановых многообразий с некомпактным краем. Авторами применен подход к постановке краевых задач, основанный на введении понятия класса эквивалентных функций. В работе получены достаточные условия разрешимости рассматриваемых краевых задач на таких многообразиях. Также доказана разрешимость задачи Дирихле с непрерывными граничными данными на модельных римановых многообразиях с некомпактным краем.

Ключевые слова: краевые задачи, гармонические функции, римано-„ вы многообразия, задача Дирихле, модельные многообразия, многообразия с о краем.

и

ш

§ Введение

■я ч

о

о Изучение эллиптических уравнений на римановых многообразиях является доста-.,точно актуальным направлением в современной математике и лежит на стыке дифферен-^ циальной геометрии, математического анализа, теории случайных процессов. Важный ™ класс проблем данного направления относится к получению теорем типа Лиувилля, § утверждающих тривиальность пространств ограниченных решений некоторых эллип-§ тических уравнений на многообразии, в частности тривиальность различных классов ^ гармонических функций. Достаточно подробно современное состояние исследований в @данном вопросе изложено в [11].

С другой стороны, существует широкий класс некомпактных римановых многообразий, которые допускают существование нетривиальных ограниченных гармонических функций. Так, например, в [10] и [15] рассматриваются односвязные римановы многообразия с отрицательной секционной кривизной, отделенной от нуля и бесконечности. Строя геометрическую компактификацию многообразия М путем добавления сферы S(то) на бесконечности, авторы работ доказывают разрешимость задачи Дирихле на М = М U S(то) о восстановлении гармонической функции по непрерывным граничным данным на S(то).

Заметим, что задачу Дирихле можно поставить на любом некомпактном римано-вом многообразии, на котором существует естественная компактификация. В частности, это можно сделать на сферически-симметричных многообразиях или на более общих классах модельных и квазимодельных многообразий. Точные результаты, касающиеся теорем типа Лиувилля и разрешимости задачи Дирихле на модельных и квазимодельных многообразиях, были получены в работах [3;4;6;8]. Опишем их подробнее.

Пусть М — связное некомпактное риманово многообразие без края, представимое в виде М = В U D, где В — некоторый компакт, а D изометрично прямому произведению (г0, +то) х S с метрикой ds2 = dr2 + g2(r)dd2. Здесь S — сфера, d02 — метрика на S.

Обозначим

2ra-3(£)^j dt,

где п = dim М.

В работах [7; 14] были получены следующие результаты.

1. Если J = то, то всякая ограниченная гармоническая на М функция является тождественной константой.

2. Если J < то, то для любой непрерывной на S функции ф(9) найдется такая ограниченная гармоническая функция и(х), что

lim и(г,в) = 'ф(в) для всех в е S.

В цитируемых работах существенным являлось то, что S — компакт с пустым краем.

С другой стороны, на произвольном некомпактном римановом многообразии постановка задачи Дирихле вызывает затруднения. Однако в [9] был предложен новый подход к постановке краевых задач на некомпактных римановых многообразиях, основанный на введении понятия класса эквивалентных функций и позволивший осуществлять постановку краевых задач на многообразиях, на которых отсутствует естественная геометрическая компактификация (см. также: [4; 5; 12; 13]).

Отметим, что все приведенные выше результаты относятся к случаю, когда гармонические функции рассматриваются на некомпактных римановых многообразиях без края (или когда край компактен). Естественным образом возникает вопрос о том, что же будет в случае, когда многообразие имеет некомпактный край, как в этом случае ставить краевые задачи, какие условия являются необходимыми и достаточными для разрешимости таких задач.

В данной работе изучаются гармонические функции в неограниченных областях римановых многообразий с некомпактным краем. Целью работы является получение

J

9 (t)

условий разрешимости краевых задач для гармонических функций в указанных областях.

Перейдем к точным формулировкам. Пусть М — связное некомпактное гладкое риманово многообразие без края и П — односвязная неограниченная область в М с С ^гладкой границей д П. Пусть [Вк — гладкое исчерпание М, то есть такая последовательность предкомпактных открытых подмножеств многообразия М с С^-гладкими краями дВк, что М = (JВк, Вк С Вк+1 для всех к. Всюду далее будем считать, что исчерпание выбрано таким образом, что Вк П П = 0, (М \ Вк) П П = 0, множества Вк П П односвязны, дВк и дП трансверсальны для всех к.

В работе рассматриваются гармонические (на М, на П) функции и(х), то есть решения уравнения Лапласа — Бельтрами

Au = divVw = 0.

Необходимые в данной работе свойства гармонических функций на римановых многообразиях приведены в Приложении.

Пусть f1 и f2 — непрерывные на М (на П, на дП, соотв.) функции. Будем говорить, что функции f1 и f2 эквивалентны на М (на П, на дП, соотв.) и исполь-

** о о / о О с с с \

зовать обозначение j1 ~ j2 (j1 ~ /2, j1 ~ j2, соотв.), если для некоторого гладкого исчерпания [Вк}£=1 многообразия М выполнено равенство lim sup |/1 — /2| = 0

м\Вк

(lim sup |/1 — /2| = 0, lim sup |/1 — /2| = 0, соотв.). Отношение «~» является отно-

О\Вк дП\Вк

шением эквивалентности и не зависит от выбора исчерпания М (см.: [9; 13]).

Будем говорить, что непрерывная на М функция f принадлежит классу допустимых на П (на М, соотв.) функций и обозначать f е К(П) (/ е К(М), соотв.), если на П (на М, соотв.) найдется такая гармоническая функция и, что и ~ f (см. также: [4; 5; 12]).

Введем понятие емкостного потенциала некоторого компакта В С М (с С 1-границей dB) относительно многообразия М. Не ограничивая общности, будем считать, что В С Вк для всех к. Пусть [vk— последовательность решений следующих задач Дирихле в Вк \ В

Avk = 0 на Вк \ В, vk = 1, на dB, vk = 0 на дВк.

Последовательность функций [vkв силу принципа максимума монотонно возрастает и сходится к предельной функции vm(х) = lim vk(х), которая является гармоничес-

k^rxi

кой на М \ В и 0 < Vm(х) < 1 на М \ В. Функция vm(х) называется емкостным потенциалом компакта В относительно многообразия М (см., напр., [11]).

Отметим, что либо vm = 1 ив этом случае говорят, что М имеет параболический

тип, либо inf V = 0 ив этом случае говорят, что М имеет гиперболический тип (см.,

м\в

напр., [11]).

Следуя [9], многообразие М будем называть A-строгим, если емкостный потенциал некоторого компакта В С М эквивалентен нулю. Отметим, что свойство A-строгости многообразия (как и параболичность типа) не зависит от выбора компакта В.

Пусть f — непрерывная на П функция, <р — непрерывная на дП функция. Будем говорить, что на П однозначно разрешима краевая задача с граничными данными ($,ф),

если на П существует единственное решение следующей задачи

Аи = 0 на П,

ulan = f, (1)

п ~ и ~ f.

Основным результатом данной работы является следующее утверждение. Теорема 1. Пусть М — А-строгое риманово многообразие, П С М — односвязная неограниченная область в М с С1 -гладкой границей дП, f е К(П) и р — непрерывная на дП функция такая, что р ~ f. Тогда на П однозначно разрешима краевая задача (1) с граничными данными ($,ф).

Замечание. В случае, когда В С М — компакт с С 1-гладкой границей и М — А-строгое многообразие, в [13] была доказана разрешимость следующей задачи

Аи = 0 на М \ В,

ulaB = V, м и ~ f

для любой непрерывной на dB функции р и любой непрерывной функции f е К(М).

Далее пусть М* С М — связное некомпактное риманово многообразие с некомпактным краем дМ*, представимое в виде М* = В U D, где В С В — некоторый компакт, а D С D изометрично прямому произведению (г0, х G с метрикой ds2 = dr2 + g2(r)dd2. Здесь G — односвязная область на сфере S (dG = 0) с С 1-гладкой границей dG, dB2 — метрика на S.

Будем говорить, что на М* однозначно разрешима задача Дирихле с непрерывными граничными данными, если для любой непрерывной на G функции f (в) и любой непрерывной на дМ * функции <р(у) такой, что lim sup 1<р(г,в) — f (#)| = 0, существует

r^-те ac

единственное решение задачи

Аи = 0 в М*,

и(у) = р(у) для всех у е дМ *, (2)

lim sup lu(r,0) — f (0)| = 0.

г^-те c

Обозначим

те

I = J g1-n(t)dt.

ro

Будем говорить, что на М* однозначно разрешима краевая задача (3) с непрерывными граничными данными, если для любой константы с и любой непрерывной на дМ* функции <р(у) такой, что lim sup 1<р(г,в) — с| = 0, существует единственное решение

r^-те ac

задачи

Аи = 0 в М*,

и(у) = р(у) для всех у е дМ *, (3)

lim sup lu(r, в) — с| = 0.

г^те c

Справедливо следующее утверждение.

Следствие 1. (1) Если ,] < <х>, то на М* однозначно разрешима задача Дирихле с непрерывными граничными данными.

(2) Если I < то на М* однозначно разрешима краевая задача (3) с непрерывными граничными данными.

1. Доказательство теоремы 1

Разобьем доказательство теоремы 1 на два этапа. На первом этапе докажем справедливость теоремы 1 в случае, когда функции f = 0, <р 0 — непрерывная ограниченная на дП функция. На втором этапе докажем теорему 1 для произвольных непрерывных функций f и р. I этап.

Построим непрерывное продолжение функции р с дП на все многообразие М так,

Р м

что продолжение j ~ j.

Как и ранее считаем, что [Bk1 — гладкое исчерпание М, то есть такая последовательность предкомпактных открытых подмножеств многообразия М с С^-гладкими краями дВк, что М = У™=1 Bk, Вк С Вк+1 для всех к. При этом исчерпание выбираем таким образом, что Вк П П = 0, (М \ Вк) П П = 0, Вк П П односвязны, дВк и дП трансверсальны для всех к.

Вначале непрерывно продолжим функцию р(х) с дП П В1 на В1. Пусть х Е В1, а у1 Е дП П В1 и у2 Е дП П В1 — такие точки, что

<Р(У1) = min ^(У). Р(У2) = max <р(у).

ШпBi ЭПпВг

Положим

f 1(Х) =_- V(у1)_distix у1) + ш(у1)

1 (Х) dist(x,y1) + dtst(x,y2) aiSt(X,y ) + ).

где dist(-, ■) — функция расстояния, порожденная римановой метрикой на М. Отметим, что в силу непрерывности функции р(х) на дП и в силу С^-гладкости дП функция f ^ж) непрерывна на В1. Заметим также, что

min р(у) < f ^ж) < max р(у) для всех х Е В1.

dQnBi dQnBi

Так как исчерпание выбрано таким образом, что В1 П П — односвязная область и (М \ В1) П П = 0, то край дП разбивает В1 на две компоненты связности. Пусть А1 — некоторое открытое подмножество множества В1 П П такое, что dist(A1,dП) = = d > 0; А2 — некоторое открытое подмножество множества В1 П (М \ П) такое, что dist(A2.дП) = d> 0. Выбирая d достаточно малым, считаем, что А1 и А2 односвязны.

Определим функцию f ll(x) на П П (В1 \ А]) следующим образом. Пусть х Е Е П П (B1 \ Ai). Пусть z1 Е дП П В1, z2 Е dAi^ \ дВ1 — такие точки, что dist(x, z1) = = dist(x, дП П В1), dist(x, z2) = dist(x, дА1 \ дВ1). Положим

Тогда функция f ll(x) непрерывна на Q П (Вх \ Ах) в силу непрерывности на Ах функции f l(x) и в силу непрерывности на дQ функции p(x). Кроме этого, заметим, что

fll(x) = p(x), для всех x E дQ П В

fll(x) = fl(x), для всех x E дАх \ дВх,

и

min р(у) < fll(x) < max p(y) для всех x E Q П (Вх \ A\).

dQilB1 dQilB1

Аналогично определим непрерывную функцию fl2(x) на ( М \ Q) П (Вх \ А2) таким образом, что

fl2(x) = tp(x), для всех x Ed Q П В ь fl2(x) = fl(x), для всех x E дА2 \ дВ^

и

min р(у) < fl2(x) < max р(у) для всех x E (М \ О) П (Вх \ А2).

дППВ1 дППВ1

Тогда функция

( fl (x), x E Ах U А2,

fl(x) = { fll(x),x E Q П (Вх \Ах),

( fl2(x),x E (М \ Q) П (Вх \А2)

непрерывна на Вх, fl(x) = p(x) на дО П Вх и min р(у) < fl(x) < max ^(у) для всех

дППВ1 дППВ1

x E Вх.

Таким образом мы получили непрерывное продолжение f\(x) функции p(x) с дО П П ~ßl на ~В[.

Положим теперь

p(x),x E дО П (В2 \Вг), fi (x), x E дВ \дQ.

Действуя как и выше, определим сначала на В2 \ В непрерывную функцию f2(x) такую, что

min_Р(у) < f2(x) < ma^_p(y) для всех x E В2 \ В.

у€дППВ2\В1 у€дППВ2\В1

Затем, как и выше, определим на В2 \В непрерывную функцию f2(x) такую, что h(x) = h(x) для x E дВх, f2(x) = p(x) на дО П (В2 \ Вг) и

min_f2(у) < f 2(x) < max_f2(y) для всех x E В2 \В,

Уе(дПидВ1)ПВ2\B1 Уе(дПидВ1) пв2\в1

min_p(y) < f2(z) < ma^_p(y) для всех z E дВ2.

у€дППВ2\В1 у€дППВ2\В1

Из последнего заключаем, что

min_p(y) < f2(x) < ma^p(y) для всех x E В2 \В.

уеэппв2 уеэппв2

ш = {

Действуя аналогично, получим последовательность непрерывных функций Цк(х)}к=2, определенных в Вк \ Вк-\, таких, что

Iк(х) = ¡к-г(х) на дВк-г, к > 2,

fk(ж) = <р(х) на dQ П (Вк \ Bk-i)

min ip(y) < fk(x) < max ip(y) для всех x E Bk \ Bk-i, к > 2. (4)

дПП(Вк \Bk-2) дПП(Вк\Вк-2)

Положим _

fk(х),х E Bk \ Bk-i,k > 2,

f (х) = {

fi(x),x E Вi, к = 1. Тогда f (х) = <р(х) на дQ и

lim sup |f(x)l < lim sup |<^(ж)| =0

M\Bk dQ\Bk

в силу (4) и того, что p^S 0. Таким образом мы непрерывно продолжили функцию <р(х) с дQ на все М так, что продолжение f(x) эквивалентно нулю на М.

Продолжим доказательство теоремы. Пусть B'k = Bk \ Q, Qk = Bk П Q. Из Д-строгости многообразия М следует (см.: [9; 13]), что на М \В'к существует функция wk такая, что

Дwk = 0 в М \В'к, wk = f на dB'k, (5)

M\Bk р M\Bk n Wk ~ J ~ 0.

В силу принципа максимума для функции wk в М \B'k имеем

|wk| < max{sup |/|, lim sup |/|} = const < sup |/|,

эв'к m\в; m

следовательно последовательность {wkравномерно ограничена в Q.

Из равномерной ограниченности {wkв Q следует, что существует подпоследовательность {wik}£=1, которую всюду далее будем также обозначать {wk}£=1, сходящая равномерно на Q к некоторой предельной гармонической функции w. Отсюда замечаем, что

lim sup |wk — w| = 0 (6)

n

и, следовательно,

lim sup |w| < lim sup |w — wk| + lim sup |wk — wn| + lim sup |wn|

n\Bk n\Bk n\Bk n\Bk

для всех n. Из последнего, учитывая условие (6), включение М \B'k D Q \Bk и то, что

M\ Bk k

wn ~ 0 для всех n, получаем

lim sup |w| < lim sup |wk — wn|

n\Bk n\Bk

и

для всех п. Переходя к пределу при п ^ ж и учитывая равномерную сходимость последовательности [wkна П, заключаем, что

lim sup |w| = 0,

п\вк

п

то есть w ~ 0.

Покажем, что w(y) = р(у) для всех у е дП.

Пусть у е дП. Тогда найдется такое N, что у е В'к для всех к > N (так как [Вк— исчерпание М и В'к = Вк \ П). Тогда wk(у) = f (у) для всех к > N в силу (5). Из того, что f |ап = р и у е дП получаем, что wk(у) = р(у) для всех к > N. Переходя к пределу при к ^ ж, получаем w(y) = р(у).

Единственность построенной функции w следует из принципа максимума. II этап.

Пусть теперь f и р — произвольные непрерывные на М и дП соответственно функции.

Так как f е К(П), то существует функция v такая, что

Av = 0 в М, м е

V ~ f.

Тогда функция (р — v) ограничена на дП, так как v ^ f ^ р. Как было показано на I этапе доказательства, существует единственная функция w, являющаяся решением задачи

Aw = 0 в П,

wlan = у — vldn, п

w ~ 0.

Положим и = w + V. Тогда Au = 0, и ~ v ~ f и м|0п = wlan + ^да = V — + = <р. Теорема 1 доказана.

2. Доказательство следствия 1

Напомним, что рассматривается связное некомпактное риманово многообразие М* С М с некомпактным краем дМ*, представимое в виде М* = В и И, где В С В — некоторый компакт, а И С И изометрично прямому произведению (г0, +ж) х С с метрикой йз2 = с1г2 + д2{г)й02. Здесь С — односвязная область на сфере 5 (дС = 0), й02 — метрика на 5.

Заметим, что из условия ,] < ж следует

dt

9n-1(t)

< ж.

г о

Из последнего заключаем, что в условиях следствия 1 многообразие М имеет гиперболический тип (см., например, [6]). Как и в [7; 8], несложно показать, что на И существует

такая функция v, что

Дг> = 0 на D, V = 1 на 3D, lim sup |г*(г, 0)| = 0.

В силу принципа максимума v является емкостным потенциалом компакта В относительно многообразия М. Заметим, что v ~ 0, откуда многообразие М является Д-строгим.

Докажем первое утверждение следствия 1.

Пусть f (в) — непрерывная на G функция и <р(у) — непрерывная на дМ* функция такая, что

lim sup [р(г,в) — f (0)| = 0. (7)

г—>оо

dG

Продолжим функцию f с С на многообразие М непрерывным образом. Из [7; 8] и того, что 3 < ж, следует:

/ е К(£1). (8)

Учитывая условие (7), получаем, что

дм * ,

<Р ~ (9)

Из Д-строгости многообразия М, (8) и (9), в силу теоремы 1 заключаем, что на М * существует единственная гармоническая функция и такая, что и| дм * = <Р и

м * , и ~ f.

Из последнего заключаем, что

lim sup 1и(г,в) — f (0)| = 0.

r^x Q

Первая часть следствия 1 доказана. Докажем вторую часть следствия 1.

Пусть с — произвольная константа и <р(у) — непрерывная на дМ * функция такая,

что

lim sup 1<р(г,в) — с| = 0. (10)

dG

Из последнего сразу же получаем, что

дМ * п п

р ~ С. (11)

Отметим, что константа с является допустимой на М функцией (в силу того, что любая константа является гармонической функцией). Тогда из Д-строгости многообразия М и (11), в силу теоремы 1 заключаем, что на М* существует единственная гармоническая функция и такая, что * — ^ и

м * и ~ с.

Из последнего заключаем, что

lim sup |u(r, 0) — с| = 0.

r^-x Q

Следствие 1 доказано.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий полученные результаты.

Пример 1. Рассмотрим гармонические функции в верхнем полупространстве R+.

Пусть (г,91,92) — сферические координаты в R3 (г > 0, — к/2 < 01 < -к/2, 0 < < д2 < 2к).

Положим, в обозначениях Следствия 1, М* = R+ = R3 П {0 < 01 < к/2}, М = R3, п = dim М = 3.

Пусть В1 — единичный шар с центром в начале координат, D = R3\ßi. Представим М* = R+ в виде

М* = В+ U D,

где В+ = В1 П R+, D = D П R+. Таким образом, D изометрично прямому произведению (1, +то) х дВ+ с метрикой ds2 = dr2 + r2d92, где dB2 — метрика на дВ1. Тогда интегралы J и I примут вид

оо / t \ о

J 4} (/*)*• '=(

Очевидно, J = то и I < то.

Из Следствия 1 следует, что для любой константы и любой непрерывной на R2 = R3 П {0 1 = 0} функции р(г,в2) такой, что lim sup |<^(г,в2) — с| = 0 найдется

единственное решение следующей задачи

Au = 0 в R+, и(г, 0,02) = г, 02) для всех г> 0, 0 < 02 < 2к, lim sup | u( , 1, 2) — | = 0.

3. Приложение

Приведем необходимые определения и утверждения из теории гармонических функций на римановых многообразиях.

Пусть М — п-мерное связное некомпактное риманово многообразие без края и д^ — риманов метрический тензор на многообразии М. Пусть А — оператор Лапласа — Бельтрами на М, то есть отображение, которое сопоставляет каждой дифференцируемой функции f функцию А f = divVf. Отметим (см., например, [2, с 357]), что в любой

локальной системе координат (х1,... ,хп) справедливо

А=^ £ ^ 9%3 ,

где д^ — элементы обратной матрицы (д^)-1, д = (1еЬ(д^).

Пусть П — открытое подмножество М с С^-гладкой границей. Гармонической в П (в М, соотв.) называют функцию и(х), непрерывную в П (в М, соотв.) вместе с частными производными до второго порядка включительно, удовлетворяющую в П (в М, соотв.) уравнению Лапласа — Бельтрами Аи = 0 (см., например, [11]).

Отметим (см., например, [11] и др.), что для гармонических функций на римановых многообразиях, также как и для гармонических функций в областях Мга, справедливы такие свойства, как принцип максимума, принцип сравнения, гармоничность равномерного предела гармонических функций и др. При этом доказательства этих свойств для гармонических функций в областях римановых многообразий в точности повторяют доказательства аналогичных свойств для гармонических функций в областях Мга. Приведем наиболее важные из этих свойств, используемые нами в данной работе (доказательства можно найти, например, в [1]).

Предложение 1 (принцип максимума и минимума). Пусть Аи = 0 в П. Предположим,

что существует такая точка у е П, что и(у) = sup и (и(у) = inf и). Тогда функция

п п

и является постоянной в П.

Предложение 2. Предел равномерно сходящейся последовательности гармонических функций является гармонической функцией.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект № 13-01-97038-р_поволжье_а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, М. Трудингер. — М. : Наука, 1989. — 464 с.

2. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. — М. : Наука, 1981. — Т. 2. — 416 с.

3. Корольков, С. А. О множестве положительных решений уравнения Лапласа — Бельтрами на модельных многообразиях / С. А. Корольков, А. Г. Лосев // Вестник ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. — 2003-2004. — № 8. — C. 48-61.

4. Корольков, С. А. Гармонические функции на римановых многообразиях с концами / С. А. Корольков // Сиб. мат. журн. — 2008. — Т. 49, № 6. — C. 1319-1332.

5. Корольков, С. А. Решения эллиптических уравнений на римановых многообразиях с концами / С. А. Корольков, А. Г. Лосев // Вестник ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. — 2011. — № 1 (14). — C. 23-40.

6. Лосев, А. Г. Некоторые лиувиллевы теоремы на римановых многообразиях специального вида / А. Г. Лосев // Изв. вузов. Математика. — 1991. — № 12. — C. 15-24.

7. Лосев, А. Г. Об одном критерии гиперболичности некомпактных римановых многообразий специального вида / А. Г. Лосев // Мат. заметки. — 1996. — Т. 59, № 4. — C. 558-564.

8. Лосев, А. Г. Ограниченные решения уравнения Шредингера на римановых произведениях/ А. Г. Лосев, Е. А. Мазепа//Алгебра и анализ. — 2001. — Т. 13, № 1. — C. 84-110.

9. Мазепа, Е. А. Краевые задачи для стационарного уравнения Шредингера на римановых многообразиях / Е. А. Мазепа // Сиб. мат. журн. — 2002. — Т. 43, № 3. — C. 591-599.

10. Anderson, M. T. The Dirichlet problem at infinity for manifolds with negative curvature / M. T. Anderson // J. Diff. Geom. — 1983. — V. 18, № 4. — P. 701-721.

11. Grigor'yan, A. Analitic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds / A. Grigor'yan // Bull. Amer. Math. Soc. — 1999. — V. 36, № 2. — P. 135-249.

12. Korolkov, S. A. Generalized harmonic functions of Riemannian manifolds with ends / S.A. Korolkov, A. G. Losev // Mathematische Zeitschrift. — 2012. — V. 272, № 1-2. — P. 459-472.

13. Losev, A. G. Unbounded solutions of the Stationary Shrodinger equation on Riemannian manifolds / A. G. Losev, E. A. Mazepa, V. Y. Chebanenko // Computational Methods and Function Theory. — 2003. — V. 3, № 2. — P. 443-451.

14. Murata, M. Positive harmonic functions on rotationary symmetric Riemannian manifolds / M. Murata // Potential Theory. — 1992. — P. 251-259.

15. Sullivan, D. The Dirichlet problem at infinity for a negatively curved manifolds / D. Sullivan // J. Diff. Geom. — 1983. — V. 18, № 4. — P. 723-732.

REFERENCES

1. Gilbarg D., Trudinger M. Ellipti^s^ diffеrеntsial'nyе uravmniya s chastnymi proizvodnymi vtorogo poryadka [Elliptic partial differential equations of second order]. Moscow, Nauka Publ., 1989. 464 p.

2. Kobayashi Sh., Nomizu K. Osnovy diffеrеntsial'noy gеomеtrii [Foundations of Differential Geometry], vol. 2. Moscow, Nauka Publ., 1981. 416 p.

3. Korol'kov S.A., Losev A.G. O mnozhestve polozhitel'nykh resheniy uravneniya Laplasa — Bel'trami na model'nykh mnogoobraziyakh [On positive solutions set for the Laplace — Beltrami equation on model manifolds]. Vеstnik VolGU. Sеr. 1, Matеmatika. Fizika [Journal of Volgograd State University, series 1, Mathematics. Physics], 2003-2004, no. 8, pp. 48-61.

4. Korol'kov S.A. Garmonicheskie funktsii na rimanovykh mnogoobraziyakh s kontsami [Harmonic functions on Riemannian manifolds with ends]. Sib. mat. zhurn. [Siberian Mathematical Journal], 2008, vol. 49, no. 6, pp. 1319-1332.

5. Korol'kov S.A., Losev A.G. Resheniya ellipticheskikh uravneniy na rimanovykh mnogoobraziyakh s kontsami [Solutions for elliptic equations on Riemannian manifolds with ends]. Vеstnik VolGU. Sеr. 1, Matеmatika. Fizika [Journal of Volgograd State University, series 1, Mathematics. Physics], 2011, no. 1 (14), pp. 23-40.

6. Losev A.G. Nekotorye liuvillevy teoremy na rimanovykh mnogoobraziyakh spetsial'nogo vida [Some Liouville theorems on Riemannian manifolds of special type]. Izv. vuzov. Matеmatika [Russian Mathematics], 1991, no. 12, pp. 15-24.

7. Losev A.G. Ob odnom kriterii giperbolichnosti nekompaktnykh rimanovykh mnogoobraziy spetsial'nogo vida [On the hyperbolicity criterion for noncompact Riemannian manifolds of special type]. Mat. zamеtki [Mathematical Notes], 1996, vol. 59, no. 4, pp. 558564.

8. Losev A.G., Mazepa E.A. Ogranichennye resheniya uravneniya Shredingera na rimanovykh proizvedeniyakh [Bounded solutions for Schrodinder equation on Riemannian products]. A^bra i analiz [St. Petersburg Mathematical Journal], 2001, vol. 13, no. 1, pp. 84-110.

9. Mazepa E.A. Kraevye zadachi dlya statsionarnogo uravneniya Shredingera na rimanovykh mnogoobraziyakh [Boundary value problems for the stationary Schrödinger equation on Riemannian manifolds]. Sib. mat. zhurn. [Siberian Mathematical Journal], 2002, vol. 43, no. 3, pp. 591-599.

10. Anderson M.T. The Dirichlet problem at infinity for manifolds with negative curvature. J. Diff. Geom, 1983, vol. 18, no. 4, pp. 701-721.

11. Grigor'yan A. Analitic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds. Bull. Amer. Math. Soc., 1999, vol. 36, no. 2, pp. 135-249.

12. Korolkov S.A., Losev A.G. Generalized harmonic functions of Riemannian manifolds with ends. Mathematische zeitschrift, 2012, vol. 272, no. 1-2, pp. 459-472.

13. Losev A.G., Mazepa E.A., Chebanenko V.Y. Unbounded solutions of the Stationary Shrodinger equation on Riemannian manifolds. Computational Methods and Function Theory, 2003, vol. 3, no. 2, pp. 443-451.

14. Murata M. Positive harmonic functions on rotationary symmetric Riemannian manifolds. Potential Theory, 1992, pp. 251-259.

15. Sullivan D. The Dirichlet problem at infinity for a negatively curved manifolds. J. Diff. Geom., 1983, vol. 18, no. 4, pp. 723-732.

BOUNDARY PROBLEMS FOR HARMONIC FUNCTIONS ON UNBOUNDED OPEN SETS OF RIEMANNIAN MANIFOLDS

Korol'kova Etena Sеrgееvna

Engineer

OOO "Gazprom transgaz Volgograd" [email protected]

Ul. Raboche-Krest'yanskaya, 58, 400074 Volgograd, Russian Federation

Korol'kov Sеrgеy Alеksееvich

Candidate of Physical and Mathematical Sciences,

Associate Professor, Department of Mathematical Analysis and Function Theory

Volgograd State University

[email protected]

Prospekt Universitetskij, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Abstract. We study harmonic functions on unbounded open set of Riemannian manifold and establish some existence and uniqueness results.

Let M be a smooth connected noncompact Riemannian manifold without boundary and Q be a simply connected unbounded open set of M with C1 -smooth boundary dQ. Let {Bk}^=1 be a smooth exhaustion of M i.e. sequence of precompact open subsets of M with C 1-smooth boundaries dBk such that M = U™=1 Bk, Bk c Bk+1 for all k. In what follows we assume Bk n Q = 0, (M\ Bk) n Q = 0, sets Bk n Q are simply connected, dBk and dQ are transversal for all k.

Two continuous in M (in Q, in dQ, resp.) functions f1 and f2 are called

equivalent in M (in Q, in dQ, resp.) (f1 ~ f2, f1 ~ f2, f1 f2, resp.) if for some

smooth exhaustion {Bk}(j^=1 of M the following relation holds: lim sup |/1 —

M\Bk

— /2| =0 (lim sup |/1 — /2| = 0, lim sup |/1 — /2| = 0, resp.). It isn't hard

n\Bk dQ\Bk

to prove that is actually an equivalence relation and does not depend on the choice of a smooth exhaustion of M.

A continuous function f in Q (in M, resp.) is called admissible in Q (on

M, resp.) if there is an harmonic function u in Q (in M, resp.) such that u ~ f

/Mr ,

(u ~ f, resp.).

Let B be an compact (with C 1-smooth boundary) in M and {vkbe the solutions of the following Dirichlet problems:

Lvk = 0 in Bk \ B, vk = 1, in dB, vk = 0, in QBk.

By the maximum principle, the sequence {vkis point-wise increasing and converges to an harmonic in M \ B function vm = lim vk. It is easy to see that

0 < vd < 1. The function vm is called the capacity potential of the compact B relatively to M.

We say that M is strong if vd ~ 0. It's easy to verify that notion of strong manifold does not depend on choose the compact B.

We have the following result. Theorem. Let M be a strong manifold, Q C M be an unbounded open set with C^-smooth boundary dQ, f be an admissible continuous in Q function and p —

QQ

continuous in dQ function such that <p ~ f. Then there exists unique function u in Q such that

( Au = 0 на Q,

< U\9Q = P, l « ~ i-

Also we establish some existence and uniqueness results and prove solvability of the Dirichlet problem with continuous boundary data on a spherically symmetric manifolds with noncompact boundary.

Key words: boundary problems, harmonic functions, Riemannian manifolds, Dirichlet problem, model manifolds, manifolds with end.