CC BY
46
www.volsu.ru
001: http://dx.doi.Org/10.15688/jvolsu1.2015.5.2
УДК 517.95 ББК 22.161.6
АППРОКСИМАТИВНЫЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА НЕКОМПАКТНЫХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ1
Елена Алексеевна Мазепа
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и теории функций,
Волгоградский государственный университет lmazepa@rambler.ru, matf@volsu.ru
просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
Аннотация. Данная работа посвящена развитию аппроксимативного подхода к построению решения краевых задач для полулинейных уравнений эллиптического типа на произвольных некомпактных римановых многообразиях. Методика исследования, с одной стороны, существенным образом опирается на подход, основанный на введении классов эквивалентных на римановом многообразии функций и представленный, например, в ранних работах [5] и [6]. С другой стороны, она обобщает методику построения обобщенного решения задачи Дирихле для линейных эллиптических уравнений Лапласа — Бельтрами и Шредингера в ограниченных областях Яп и на произвольных некомпактных римановых многообразиях (см.: [2;3, с. 237-240]).
Ключевые слова: полулинейные эллиптические уравнения, краевая задача, аппроксимативный подход, обобщенные решения, некомпактные рима-новы многообразия, задача Дирихле.
Введение
К настоящему времени существует несколько подходов к введению понятия обобщенного решения краевых задач. Один из них основан на методе гильбертова простран-015ства и позволяет определить действие эллиптического оператора на значительно более ^ широком классе функций, нежели класс С2 (см., например, [10]).
Другой подход к построению обобщенного решения эллиптических уравнений бега рет свое начало в работах А. Пуанкаре конца XIX века. Созданный им метод разме-£ тания позволил рассматривать решения задачи Дирихле без каких-либо ограничений на области, в которых она решается, но оставаясь в классических предположениях от-@ носительно непрерывности граничных данных. Этот метод оказал сильное влияние на
дальнейшее развитие теории решений краевых задач для эллиптических уравнений, его идеи нашли свое воплощение в работах О. Перрона, Ш.Ж. Валле Пуссена, М.В. Келдыша, А.А. Григорьяна и др.
Введем следующие обозначения. Пусть М — произвольное полное гладкое связное некомпактное риманово многообразие, В С М — произвольное связное компактное подмножество с гладкой границей, {Вк— исчерпание многообразия М с гладкими границами дВк, то есть последовательность предкомпактных открытых подмножеств риманова многообразия М таких, что В к С Вк+1, М = У Вк.
Пусть f\(x) и f2(x) — произвольные непрерывные ограниченные на М функции.
Будем говорить, что функции f1(x) и f2(x) эквивалентны на М и обозначать f1(x) ~ f2(x), если для некоторого исчерпания {Вкмногообразия М выполнено
ИгП \\f1(X) - f2(X)\\c0(м\вк) = 0, где \\/{^)\\с0(G) = SUpG \f {х)\.
Обозначим класс эквивалентных f функций через [f]. Введенное отношение не зависит от выбора исчерпания многообразия М и характеризует поведение функций вне произвольного компактного подмножества В С М (см., например, [5; 6; 9]).
Доказательство основных результатов опирается на принцип максимума, теоремы сравнения и единственности для решений линейных эллиптических дифференциальных уравнений на предкомпактных подмножествах многообразия М. Их справедливость доказывается также как и для ограниченных областей в Мга (см., например, [1, с. 39-40]). Кроме того, в работе применяются аналогичные утверждения для решений квазилинейных эллиптических дифференциальных уравнений вида
Lu = g(x, и), (1)
где L — линейный эллиптический оператор второго порядка, а функция д(х, £) удовлетворяет следующим структурным требованиям:
1) д(х, £) Е С1 (П х R) для любого подмножества П СС М, 0 < у < 1;
2) д(х, 0) = 0;
3) д(х, £1) > д(х, £2) для всех £1 > £2.
Подробные доказательства приведенных ниже утверждений можно найти в [8]. Предложение 1. (Принцип сравнения 1). Пусть П С М — предкомпактное подмно-жеcтво и и, v Е С2(П) П С0(П) удовлетворяют в П неравенствам
Аи > g(x,u), Av < g(x,v)
и и\дП < Тогда и < v в П.
Предложение 2. (Принцип максимума). Пусть П С М — предкомпактное подмно-жеcтво и и Е С2(П) П С°(П) удовлетворяет в П неравенству Аи > д(х,и) (Аи < < д(х, и)). Тогда
sup и < sup и+ (inf и > inf и-).
П дП П 9П
Если же Аи = д(х,и) в П, то
sup \м\ = sup |и|.
П дП
Предложение 3. (Принцип сравнения 2). Пусть Av < g(x,v), Au > д(х,и) на M \ В, v\dB > u\dB, V ~ и. Тогда v > и на M \ В.
Пусть Av < g(x, v), Au > g(x, и) на M и v ~ и. Тогда v > и на M. Предложение 4. (Теорема единственности). Пусть Av — g(x,v) и Au — g(x,u) на M \ В
и ^\эв — и\эв, v ~ Тогда w — и на M \ В.
Пусть Av — g(x, v), Au — g(x, и) на M и v ~ и. Тогда v — и на M.
Одним из частных случаев уравнения (1) является полулинейное уравнение вида
Au — ф(\и\)и, (2)
где ф(^) — неотрицательная, монотонно неубывающая непрерывно дифференцируемая функция при ^ > 0.
Поведение ограниченных решений этого уравнения, вопросы взаимосвязи разрешимости краевых и внешних краевых задач, выполнение лиувиллева свойства, а также их устойчивость при вариациях правой части достаточно подробно изучены в работах [4; 6; 7].
В данной работе предполагается развить аппроксимативный подход к построению обобщенного решения краевых задач для полулинейного уравнения (2) на некомпактных римановых многообразиях, основанный на методе разметания. Кроме того, в работе достаточно активно будет использоваться подход к постановке краевых задач, основанный на понятии классов эквивалентных функций.
1. Обобщенное решение краевой задачи
Введем основные определения.
Будем говорить, что на М разрешима краевая задача для уравнения (2) с граничными условиями из класса ], если на М существует решение и(х) уравнения (2) такое, что и Е [£].
Класс ] в этом случае будем называть допустимым для уравнения (2).
Будем называть функцию / асимптотически неотрицательной, если на М существует непрерывная ограниченная функция т > 0 такая, что т ~ f.
Всюду в дальнейшем будем считать, что {Вк— исчерпание многообразия с гладкими границами дВк, а функция f является асимптотически неотрицательной на М.
Введем понятие обобщенного решения краевой задачи с граничными условиями из класса для уравнения (2) на многообразии М. Для этого рассмотрим последовательность решений краевых задач в Вк
{
Auk,f — ukj ф(\мk,f\) в Вк Uk,f \эвк — f \эвк.
(3)
По принципу максимума легко проверить, что последовательность равномерно ограничена на М.
Используя внутренние оценки градиентов в комбинации с внутренними оценками в пространстве Гельдера Су (П) производных для произвольного компактного подмножества О С М (см., например, [1, с. 294, 346]), получаем, что семейство функций 9к(х) = дк(х,ик,/(ж)) имеет равномерно ограниченные нормы в С7(О). Тогда с учетом внутренних оценок Шаудера [1, с. 91, 94-95] получаем компактность семейства
функций {ukj} в классе С2,Т(П) на произвольном компактном подмножестве П С M. Последнее влечет за собой существование подпоследовательности, сходящейся в классе С2,Т(П) к предельной функции и, которая является решением уравнения (2) на П таким, что |и| < sup If |.
M
Далее будем в качестве множества П брать последовательно множества Вк для к = 1, 2,... Тогда на множестве Si существует предельная функция
и\ = lim ик f —
решение уравнения (2), где {u\j} — сходящаяся подпоследовательность последовательности {ик j}. Кроме того, IuJ| < sup |/1.
J M
На следующем шаге рассмотрим подпоследовательность {ик j} как последовательность решений уравнения (2) на множестве В2. Тогда на этом множестве существует предельная функция
uj = lim ик f —
решение уравнения (2) такое, что |w21 < sup |/1. Здесь {и\ f} — сходящаяся подпоследо-
f M
вательность последовательности {и\ j}. Причем, в силу единственности существования
предела сходящейся подпоследовательности, функция и2 является продолжением функ-
121
ции uff, то есть |Бх = uj.
Продолжая процесс для любого п, имеем следующее. На
множестве Вп существует
предельная функция
иП = lim иП j —
решение уравнения (2) такое, что 1ипЛ < sup Ц|, где функция иП является продолжением
j M j
функции иП-1, то есть иП L = иП-1. Кроме того, для всех п выполнено |«П1 < sup |/1.
J J n 1 J j M
Рассмотрим функцию
Uj
uj на Bi, uj на B2 \ Bi,
и'П на Вп \ Вп-ъ
Выберем теперь диагональную последовательность и\f, u2j, ..., , ... Ясно,
что f| < sup If |, то есть диагональная последовательность равномерно ограничена
м
на М и сходится к функции Uf в каждой точке х G М. Как и выше доказывается компактность семейства функций [и^ f} в классе С2,у(П) на произвольном компактном подмножестве П С М. Последнее влечет за собой существование предельной функции у этой последовательности, которая является решением уравнения (2) на П. В силу единственности существования предельной функции, она совпадает с функцией Uf. Таким образом, функция Uf является решением уравнения (2) на произвольном компактном
подмножестве П С М. Причем \uf | < sup |/1.
м
В случае, когда на многообразии М не существует решений уравнения (2) с граничными условиями из класса [/], функцию Uf, полученную описанным выше процессом, назовем обобщенным решением уравнения (2) с граничными условиями из класса [/].
Замечание. Подобный аппроксимативный подход к определению обобщенного решения краевой задачи (в частности задачи Дирихле) для гармонических функций в областях Мга восходит к трудам Винера и Келдыша (см., например, [3, с. 237-296]), а аналогичные исследования для линейных эллиптических уравнений на многообразиях были проведены ранее в работе [2].
Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Пусть / — асимптотически неотрицательная непрерывная ограниченная на М функция, тогда
1) последовательность функций ,... ,..., являющихся решениями задачи (3), сходится равномерно на М к предельной функции Uf;
2) функция Uf не зависит от выбора исчерпания [Вкмногообразия М и представителя / из класса эквивалентности;
3) если класс [/] является допустимым для уравнения (2), то функция Uf является единственным решением уравнения (2) на М таким, что Uf Е [/], то есть и/ = и.
2. Доказательство теоремы
1) Пусть сначала f > 0. Для доказательства первого утверждения теоремы в этом случае достаточно показать монотонность функциональной последовательности [ukjрешений задач (3).
Рассмотрим функции ukj и uk+\j, которые на множестве Вк удовлетворяют следующим неравенствам
0 < ик+и < f, ukJ \дВк = f \дВк > uk+i \дВк.
Используя принцип сравнения в Вк для всех к, получаем f > ukj > uk+\j > 0.
Таким образом, на произвольном компактном подмножестве Q С М последовательность решений {uk,f задач (3) монотонна и равномерно ограничена, а значит, равномерно сходится. Кроме того, выше было доказано, что данная последовательность имеет подпоследовательность, которая равномерно сходится на произвольном компактном подмножестве Q С М к функции Uf, которая является решением уравнения (2). В силу единственности предела, последовательность решений {ukj}£=1 задач (3) также равномерно сходится на произвольном компактном подмножестве Q С М к функции Uf.
Пусть теперь f — асимптотически неотрицательная функция. Тогда найдется непрерывная ограниченная функция w ~ f и w > 0.
Выбираем произвольное е > 0. Для достаточно больших п,т Е N, п > т на произвольном компактном подмножестве Q С М получаем
sup \unj(х) - umJ(ж)| < sup \un,f (x) - um,f (ж)| < п Bm
< sup \unJ(x) - um,w(ж)\ + sup \um,w(x) - umJ(ж)\ + sup \un,w(x) - um,w(ж)\.
-Вт Вт Вт
Используя принцип максимума, оценим каждое слагаемое. Для последнего слагаемого выполнено условие sup lun,w(x) — um,w(ж)| < | по доказанному выше для неотри-
вт
цательной функции w. Заметим, что разность решений уравнения (2) um,w(ж) — umj(х) является решением стационарного уравнения Шредингера
A t \ I \ Ф( |^m,w (ж)|) — Ф(|Wm,f (ж)|). „ Аи = с(х)и, где с(х) = —— --> 0.
^m,w ) ^m, f )
Следовательно, к данной разности можем применить принцип максимума для решений уравнения Шредингера. Тогда для второго слагаемого имеем
SUp IUm,w (х) — Um,f (х) | < SUp |м m,w (Х) ^m, f (Х) 1 <
Вт дВт
£
< sup lw(x) — f (ж)| < sup lw(x) — f (ж)| < —.
дВт М\Вт 3
Аналогично, с учетом того, что п > т, оцениваем первое слагаемое
£
sup lu,n,w (х) — Un,f (ж)| < sup lu,n,w(x) — Unj (x) | < -. Вт дВп 3
Таким образом, последовательность решений {ukj}0=1 задач (3), где f — асимптотически неотрицательная функция, также равномерно сходится на произвольном компактном подмножестве Q С М к функции Uf в силу единственности предела.
2) Покажем теперь, что предельная функция Uf не зависит от выбора исчерпания многообразия М. Предположим противное. Пусть {Вк}0= и {В^}00=1 — два произвольных исчерпания многообразия М, {ukj}0= и {u*kj}0= — соответствующие им последовательности решений задач (3), сходящиеся к различным предельным функциям Uf и и*. Построим новое исчерпание {Ck}0= многообразия М. Пусть С1 = Б1. В качестве множества С2 возьмем множество В*, где к — наименьший номер, начиная с которого множество В1 С В**. Множество С3 будем искать в {Bk}0= так, чтобы С2 С Bk, где к — наименьший номер. Аналогично найдем все остальные множества С*, к = 4, 5,...,
__оо
где С* С Ck+1 для любого к. Ясно, что М = (J С*. Тогда соответствующая последо-
k=1
вательность решений задач (3) для нового исчерпания {Ck}0=1: ukl,f,u**2j,... является расходящейся, что противоречит доказанному выше утверждению. Следовательно, предельная функция Uf не зависит от выбора исчерпания {Bk}0=1 многообразия М.
Покажем, что построенное обобщенное решение Uf краевой задачи для уравнения (2) не зависит от выбора представителя из класса [f].
Предположим противное, возьмем f1 Е [f], f2 Е [f], f1 = f2, тогда для них соответствующие задачи (3) во множестве Bk перепишутся в виде
Г Aukji = uk,fiФ(К,Л|) в Вk, ( Auk,f2 = Uk,f2Ф(К, f21) в Вk,
\ Uk,fi 1дВк = . \ Uk,f2 1дВк = J
Согласно доказанному выше, на М существуют обобщенные решения и^ и . Тогда для любых е > 0, х Е М имеем
о < (Х) - Щ2 (ж)1 < (х) - ик,к (ж)1 + ^ (х) - ик,ь (ж)1 + К,Л (х) - ик,ь (ж)1 < е
для достаточно больших к.
Первые две оценки: \uf1 (х) - ukj1 (ж)\ < |, \uf2 (ж) - ukj2 (ж)\ < | имеют место в силу равномерной сходимости последовательностей функций {ukj1 }£=1 и {ukj2 }£=1 соответственно к функциям Uf1 и Uf2, доказанной выше.
Покажем, что \ukj1 (х) - ukj2 (ж)\ < |. Функция ukj1 (х) - ukj2 (х) является решением стационарного уравнения Шредингера
ДИ = ф)и, где фО = Ф(\^1 (f) - Ф(\ит,Ь(Х)\] > 0.
Um,f1 ) Um,f2 )
Следовательно, к данной разности можем применить принцип максимума для решений уравнения Шредингера, то есть для любого х Е Вк выполнено
е
К,Л(х) - uk,f2(ж)\ < sup \ukJ1 (х) - ukJ2(ж)\ =sup \h - j2\ <-
дВк дВк 3
для достаточно больших к (так как f1 Е [f], f2 Е [f]). В силу произвольности е > > 0 следует Uf1 = Uf2. Таким образом, предельная функция Uf не зависит от выбора представителя из класса [f].
3) Докажем последнее утверждение теоремы. Так как класс [f] является допустимым для уравнения (2), то на М существует решение и краевой задачи для этого уравнения с граничными условиями из класса [/]. Покажем, что данное решение и совпадает с функцией Uf.
Действительно, так как и Е [f] и обобщенное решение уравнения (2) не зависит от выбора представителя класса [f], то в качестве граничного значения f для задач (3) в Вк выберем функцию и, то есть
{
Auk,f = ukJ ф(|мkJ |) в Вк uk,f 1дВк = МдВк .
C другой стороны, и является решением уравнения (2) на М, и следовательно, является решением этого уравнения в каждом множестве Вк для любого к. В силу теоремы единственности для решений уравнения (2) получаем ukj = и в Вк для любого к. По доказанному выше Uf = lim ukj = lim и, следовательно, Uf = и на М.
Теорема полностью доказана.
ПРИМЕЧАНИЕ
1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект № 15-41-02479 р_поволжье_а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, М. Трудингер. — М. : Наука, 2007. — 464 с.
2. Гульманова, Е. А. Обобщенные решения задачи Дирихле для уравнения Шредингера на некомпактных римановых многообразиях / Е. А. Гульманова, А. А. Клячин, Е. А. Мазепа // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2010. — № 1 (13). — С. 36-40.
3. Келдыш, М. В. Избранные труды. Математика / М. В. Келдыш. — М. : Наука, 1985. — 448 с.
4. Мазепа, Е. А. К вопросу о разрешимости краевых задач для полулинейных эллиптических уравнений на некомпактных римановых многообразиях / Е. А. Мазепа // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2014. — № 4 (23). — C. 36-44.
5. Мазепа, Е. А. Краевые задачи для стационарного уравнения Шредингера на римановых многообразиях / Е. А. Мазепа // Сиб. мат. журн. — 2002. — Т. 43, № 3. — C. 591-599.
6. Мазепа, Е. А. Краевые задачи и лиувиллевы теоремы для полулинейных эллиптических уравнений на римановых многообразиях / Е. А. Мазепа // Изв. вузов. Математика. — 2005. — Т. 514, № 3(514). — C. 59-66.
7. Мазепа, Е. А. О существовании целых решений одного полулинейного эллиптического уравнения на некомпактных римановых многообразиях / Е. А. Мазепа // Мат. заметки. — 2007. — Т. 81, № 1. — C. 153-156.
8. Мазепа, Е. А. Об асимптотическом поведении решений некоторых полулинейных эллиптических уравнений на некомпактных римановых многообразиях / Е. А. Мазепа // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2011. — № 1 (14). — C. 41-59.
9. Корольков, С. А. О разрешимости краевых задач для стационарного уравнения Шредингера в неограниченных областях римановых многообразий / С. А. Корольков // Дифференциальные уравнения. — 2015. — Т. 51, № 6. — C. 726-732.
10. Korolkov, S. A. Generalized harmonic functions of Riemannian manifolds with ends / S. A. Korolkov, A. G. Losev // Mathematiche Zeitschrift. — 2012. — Vol. 272, № 1-2. — P. 459-472.
REFERENCES
1. Gilbarg D., Trudingеr M. Ellipticheskie differentsialnye uravneniya s chastnymi proizvodnymi vtorogo poryadka [Elliptic Partial Differential Equations of Second Order]. Moscow, Nauka Publ., 2007. 464 p.
2. Gulmanova E.A., Klyachin A.A., Mazеpa E.A. Obobshchеnnyе rеshеniya zadachi Dirikhlе dlya uravnеniya Shrеdingеra na nеkompaktnykh rimanovykh mnogoobraziyakh [Generalized Solutions of the Dirichlet Problem for the Stationary Schrodinger Equation on Riemannian Manifolds]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2010, no. 1 (13), pp. 36-40.
3. ^ldysh M.V. Izbrannye trudy. Matematika [Selectas. Mathematics]. Moscow, Nauka Publ., 1985. 448 p.
4. Mazеpa E.A. K voprosu o razreshimosti kraеvykh zadach dlya polul^ynykh elliptichеskikh uravnеniy na nеkompaktnykh rimanovykh mnogoobraziyakh [On the Solvability of Boundary Value Problems for Semilinear Elliptic Equations on Noncompact Riemannian Manifolds]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2014, no. 4 (23), pp. 36-44.
5. Mazеpa E.A. Kraеvyе zadachi dlya statsionarnogo uravnеniya Shrеdingеra na rimanovykh mnogoobraziyakh [Boundary Value Problems for the Stationary Schrodinger Equation on Riemannian Manifolds]. Sib. mat. zhurn. [Siberian Mathematical Journal], 2002, vol. 43, no. 3, pp. 591-599.
6. Mazеpa E.A. Kraеvyе zadachi i ^vil^y tеorеmy dlya pol^^yny^ elliptichеskikh uravnеniy na rimanovykh mnogoobraziyakh [Boundary Value Problems and Liouville Theorems for Semilinear Elliptic Equations on Riemannian Manifolds]. Izv. vuzov. Matematika [Russian Mathematics], 2005, vol. 514, no. 3(514), pp. 59-66.
7. Mazеpa E.A. O sushchеstvovanii tsеlykh rеshеniy odnogo polulinеynogo elliptichеskogo uravnеniya na nеkompaktnykh rimanovykh mnogoobraziyakh [On the Existence of Entire
Solutions of a Semilinear Elliptic Equation on Noncompact Riemannian Manifolds]. Mat. zamеtki [Mathematical Notes], 2007, vol. 81, no. 1, pp. 153-156.
8. Mazepa E.A. Ob asimptoticheskom povedenii resheniy nekotorykh polulineynykh ellipticheskikh uravneniy na nekompaktnykh rimanovykh mnogoobraziyakh [On the Asymptotic Behavior of Solutions of Some Semilinear Elliptic Equations on Noncompact Riemannian Manifolds]. Vеstnik Volgogradskogo gosudars^nnogo univеrsitеta. Sеriya 1, Matеmatika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2011, no. 1 (14), pp. 41-59.
9. Korolkov S.A. O razreshimosti kraevykh zadach dlya statsionarnogo uravneniya Shredingera v neogranichennykh oblastyakh rimanovykh mnogoobraziy [On the Solvability of Boundary Value Problems for the Stationary Schrodinger Equation in Unbounded Domains of Riemannian Manifolds]. Diffеrеntsialnyе uravmniya [Differential Equations], 2015, vol. 51, no. 6, pp. 726-732.
10. Korolkov S.A., Losev A.G. Generalized Harmonic Functions of Riemannian Manifolds with Ends. Mathematiche Zeitschrift, 2012, vol. 272, no. 1-2, pp. 459-472.
THE APPROXIMATION APPROACH TO CONSTRUCTION OF SOLUTIONS OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS ON NON-COMPACT RIEMANNIAN MANIFOLDS
Etena Alеksееvna Mazеpa
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Mathematical Analysis and Function Theory, Volgograd State University lmazepa@rambler.ru, matf@volsu.ru
Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation
Abstract. This paper is devoted to the development of approximation approach to the construction of solutions of boundary value problems for semilinear elliptic equations on arbitrary non-compact Riemannian manifolds. Methods of studies are essentially based on approach based on the introduction of equivalence classes of functions on Riemannian manifold [5; 6; 9]. Also it summarizes the methodology for constructing a generalized solution of the Dirichlet problem for linear elliptic equations in bounded domains of Rn and arbitrary noncompact Riemannian manifolds (see: [2;3, p. 237-240]).
To date, there are several approaches to the introduction of the generalized solution of boundary value problems. One of them is based on Hilbert space methods and allows you to define the action elliptic operator on a much wider class functions, rather than class C2.
Another approach to the construction of generalized solutions of elliptic equations originates in papers of Poincare late 19th century. He created a method allowing to consider solutions Dirichlet problem without any restrictions on the domains in which it can be solved, but remaining in the classical assumptions with respect to continuity of boundary data. Ideas of this method were embodied in papers of Perron, Vallee Poussin, M.V. Keldysh, A.A. Grigoryan.
In this paper we study bounded solutions of the semilinear equation (2)
Au =
where $(£,) — nonnegative nondecreasing continuously differentiate function in the £ > 0.
We introduce the following notation. Let M be an arbitrary smooth connected noncompact Riemannian manifold without boundary and let {Bkbe an exhaustion of M, i.e., a sequence of precompact open subsets of M such that Bk с С Bk+i and M = UBk. Throughout the sequel, we assume that boundaries dBk are С 1-smooth submanifolds.
Let f1 and f2 be arbitrary continuous functions on M. Say that f1 and f2 are equivalent on M and write f1 ~ f2 if for some exhaustion {Bk}£=1 of M we have
lim sup |/1 - /21 = 0.
M\Bk
It is easy to verify that the relation " ~ " is an equivalence which does not depend on the choice of the exhaustion of the manifold and so partitions the set of all continuous functions on M into equivalence classes. Denote the equivalence class of a function f by [f].
A function f is called asymptotically nonnegative whenever there exists a continuous function w > 0 on M with w ~ f.
Say that a boundary value problem for (2) is solvable on M with boundary conditions of class [f] whenever there exists a solution u(x) to (2) on M with U E [f].
We introduce the concept of a generalized solution of the boundary value problem with the boundary the conditions of the class [f] for the equation (2) on manifold M. To do this, we consider the sequence of decisions boundary value problems (3) in Bk
Auk,f = ukJ ф(|мkJ |) in Bk, Uk,f 1эвк = f 1эвк.
It is shown that the above sequence ukj of decisions has a convergent subsequence with limit function Uf, which is a solution of equation (2).
In the case when there are no solutions of equation (2) with the boundary conditions of the class [f] on the manifold M, the function Uf, described above, call a generalized solution of equation (2) with the boundary conditions of the class [f].
Remark. This approximate approach to the definition of a generalized solution of the boundary value problem (in particular, the Dirichlet problem) for harmonic functions in bounded domains of Mra goes back to the works of Wiener and Keldysh (see [3, p. 237-296]), and similar studies for linear elliptic equations on manifolds were held earlier in [2].
Proof of the main results is based on the principle of maximum, theorem of uniqueness for solutions of linear elliptic differential equations and similar results for solutions of quasilinear elliptic differential equations on precompact subset of M (see [5;6]).
The following theorem is the main result. Theorem 1. Let f — asymptotically non-negative continuous bounded on M function, then
1) the sequence of functions u1j,...,ukj,... is a solution of (3) converges
uniformly on M to the limit function Uf;
2) the function Uf does not depend on the exhaustion [Bkmanifold M and f representative of the equivalence class;
3) if a class [f] is valid for the equation (2), then the function Uf is the only solution of the equation (2) on M such that Uf G [f], those Uf = u.
Key words: semilinear elliptic equation, boundary value problem, approximation approach, generalized solutions, noncompact Riemannian manifolds, the Dirichlet problem.
