Об орбитах аналитических функций относительно оператора типа Поммье Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 4 (2015). С. 75-79.

УДК 517.9

ОБ ОРБИТАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ОПЕРАТОРА ТИПА ПОММЬЕ

О.А. ИВАНОВА, С.Н. МЕЛИХОВ

Посвящается памяти профессора Игоря Федоровича Красичкова-Терновского

Аннотация. Пусть Q — односвязная область в комплексной плоскости, содержащая 0; A(Q) — пространство Фреше всех аналитических в Q функций. Фиксированная аналитическая в Q функция go такая, что go(0) = 1, задает оператор типа Поммье, линейно и непрерывно отображающий A(Q) в себя. В статье описываются циклические элементы оператора типа Поммье в A(Q). Результаты подобного рода были получены ранее для функций go, не имеющих нулей в Q.

Ключевые слова: оператор Поммье, циклический элемент, аналитическая функция.

Mathematics Subject Classification: 47A16, 47B38, 46E10

Пусть П — односвязная область в C, содержащая 0; A(n) — пространство Фреше всех функций, аналитических в П. Пусть функция g0 е А(П) такова, что g0(0) = 1. Введем оператор типа Поммье следующим образом. Для f е А(П) положим

( f(t)-go(t)f(0), t = о,

Do,g0(f)(t):= 1 f'(0) - go(0)f (0), t = о.

Оператор D0go линейно и непрерывно отображает А(П) в себя. При g0 = 1 положим D0 := D0go. Оператор D0 стали называть оператором Поммье после работ М. Поммье [10]—[13], в которых изучались последовательные остатки рядов Тейлора функций, аналитических в единичном круге.

В настоящей работе идет речь о циклических элементах оператора D0,go в А(П). При этом для локально выпуклого пространства E, линейного непрерывного оператора A : E ^ E элемент x е E называется циклическим элементом оператора A, если система (орбита x) {An(x) : n > 0} полна в E, т. е. замыкание ее линейной оболочки в E совпадает с E.

При g0 = 1 условия полноты системы {Dngo (f) : n > 0} в А(П) были получены М. Г. Ха-плановым [5], Н. И. Нагнибидой [4] (в случае, когда П является кругом). В работах Ю. А. Казьмина [2] и Н. Е. Линчук [3] (тоже для g0 = 1) получены критерии цикличности f е А(П) относительно оператора D0,go, соответственно, для произвольной односвязной области П и конечносвязной области G в C, содержащих 0. В работе [9] Ю. С. Линчук доказал необходимые и достаточные условия полноты в А(П) системы {An(f) : n > 0}, где

О.А. Ivanova, S.N. Melikhov, On the orbits of analytic functions with respect to a Pommiez type operator.

© Иванова О.А., Мелихов С.Н. 2015. Поступила 14 мая 2015 г.

76

О.А. ИВАНОВА, С.Н. МЕЛИХОВ

А(д)(г) = Д0(д)(г) + д(0)^(г), д € А(П), а ^ € А(П) — фиксированная функция [9, следствие, с. 387]. При этом в соответствующем критерии в [9] предполагается, что функция 1 — в П не обращается в 0. Легко видеть, что А = В0до, где д0(г) = 1 — ).

В этой статье доказан критерий цикличности функции f € А(П) относительно оператора Д0до уже для произвольной функции д0 € А(П) (такой, что д0 (0) = 1), не обязательно отличной от 0 во всей области П. Доказательство соответствующего критерия в [9] сводится (посредством [9, лемма], см. лемму 1 ниже) к случаю д0 = 1, исследованному в [3, теорема 2] с помощью теории характеристических функций линейных непрерывных операторов в А(П) [8]. Это сведение невозможно, если д0 имеет в П нули.

В данной работе применяются двойственность Кете-Силвы-Гротендика между А(П) и пространством А0(С \ П) ростков функций, аналитических на С \ П и равных 0 в то [8], а также результаты о предельных значениях интеграла типа Коши [1, Гл. I, § 4].

Зафиксируем функцию д0 € А(П) такую, что д0(0) = 1. Следуя [6], [7], для г € П введем оператор сдвига для О0до

( tf (Ь)до(г)-г!(г)до(Ь) , = „

Т{f)(£) ■= { — , 1 = ^

* 1/до(г— ^(г)д0(г) + f(г)до(г) I =

f € А(П). Для любого г € П оператор Т линейно и непрерывно отображает А(П) в себя.

Мы будем использовать абстрактный функциональный критерий цикличности [9, лемма]:

Лемма 1. Следующие утверждения равносильны:

(г) f — циклический элемент оператора D0,gо в А(П). (гг) Система {Т(f) : г € П} полна в А(П).

(Этот результат доказан в [9] без предположения о том, что д0 не имеет нули в П). Далее А(П)/ обозначает топологическое сопряженное к А(П) пространство.

Теорема 1. Пусть П — односвязная область в С, 0 € П. Следующие утверждения равносильны:

(г) f не является циклическим элементом оператора О0до в А(П).

(гг) Функции f и д0 имеют общие нули в П или существует рациональная функция К такая, что f = д0К.

□ (гг) ^ (г): Пусть f и д0 имеют общий нуль а € П. Тогда ^Пдо^)(а) = 0 для любого п > 0, и любая функция из Р := врап{ЦПдо(f) : п > 0|, а также из Р — замыкания Р в

А(П) — обращается в нуль в а. Так как в А(П) найдется функция, не обращающаяся в а в нуль, то f не является циклическим элементом Д0 до в А(П).

Пусть теперь f = д0К, где К — рациональная функция. Пусть К = Р/ф, где Р, Q — многочлены, ф ф 0. Построим функционал ^ € А(П)/ \ {0} такой, что ^(Т(f)) = 0 для любого г € П. Для этого построим функцию 7 ф 0, аналитическую в С \ {0} и такую, что 7(то) = 0, для которой

2" / 7№и)№ = 0, г € П (1)

| t|=r

(г > 0 такое, что круг {£ € С : |£| < г} содержится в П и многочлен ф на окружности

N

|£| = г не обращается в 0). Пусть 7(¿) := ^ ^кт+т (числа ск и N € N будут определены

к=о

далее).

Условие (1) равносильно тому, что

JL Г Y(t)g0(t) tP(t)Q(z) - zP(z)Q(t)

2ni J Q(t) t - z

|t|=r

dt = 0, z e П.

(Если |z| = r, то подынтегральная функция при t = z доопределяется естественным образом.) Так как P и Q многочлены, то найдутся M е N, многочлены bj, 0 < j < M, такие, что

tP(t)Q(z) - zP(z)Q(t) = Л b ( -

t - z ^ j ( ) .

j=0

Равенство (2) тогда перепишется в виде:

¿7 i Y(t)Q§ £ bj (z)tjdt = 0, z е П

2nW Q(t) j=0

|t|=r j=0

т. е.

M N „ m

£ (£ Ck2П7 / gKH(j-k-ldi)bj<z) = 0-z е П

j=0 k=0 ,.f y |t|=r

Последние равенства выполняются, если

N

J]cfcajfc = 0, 0 < j < M,

k=0

где

1 f g0(th j-k- 1

a,jk := --tj dt.

jk 2ni J Q(t)

|t|=r

Возьмем N > M. Тогда система (3) имеет нетривиальное решение Ck, 0 < k < M. Поэтому для ненулевого функционала ^ е A(n)' такого, что

¥>(f) :=2П7 / Y(t)f (t)dt, f е A(n), |t|=r

выполняются равенства

^(Tz(f )) = 0, z е П.

Значит, система {Tz(f) : z е П} не является полной в A^), и, вследствие леммы 1, f не является циклическим элементом оператора D0,go в A(П).

(i) ^ (ii): Пусть f не является циклическим элементом оператора D0,go в A^). Тогда, в силу [8], существуют функция y е A0(C \ П), y = 0, замкнутая спрямляемая жорданова кривая Г, лежащая в области аналитичности y ив П, такие, что

Г y (t)tf (t)g0(z) - zf (z )g0(t) dt = 0, z е int Г. (4)

2ni J t - z ' v y

г

Здесь A0(C\П) обозначает пространство аналитических на C\П функций, обращающихся в 0 в то; int Г — внутренность кривой Г.

Пусть f и g0 не имеют общих нулей в П. Положим

u(z) := ± f mm dt, v(z) :=± i dt, z е int Г.

2ni J t - z 2ni J t - z

гг

78

O.A. ИВАНОВА, С.Н. МЕЛИХОВ

Функции и и V аналитически продолжаются в П. Из (4) вытекает, что

д0(г)и(г) — ^= 0, г € П.

Так как у f и д0 нет общих нулей в П, то

V и

v0 := — € А(П) и и0 := - € А(П). до

При этом и0(г) = (г), г € П. По интегральной формуле Коши

1 [ ^(фо(£)

2ni J t — z г

-dt = f (z)uo(z), z G intr.

Кроме того,

Поэтому

Аналогично

1 ^tf(t)Y(t)dt = f(z)uo(z), z G intr.

2ni J t — z г

_L /tf(t)(Y(t) — v°(t))dt = 0,z g intr.

2пг I t — z

_L />M(Y(t) — vo(t))dt = 0,z g intr.

2ni J t — z

г

Положим для z G ext Г

a =J_ Г tf (t)(Y(t) — *(t))dt,

v ; t — z '

г

ß(z) := _L f go(t)(Y(t) — vo(t)) dt.

2niJ t — z

г

Здесь символ ext Г обозначает внешность Г. Из свойств интеграла типа Коши и его предельных значений (см. [1, Гл. I, § 4]) следует, что функции a и ß являются аналитическими в ext Г, аналитически продолжаются в некоторую область, содержащую Г, обращаются в 0 в то, и для t G Г

tf(t)(Y(t) — vo(t)) = a(t) и go(t)(Y(t) — vo(t)) = ß(t).

Заметим, что Y(t) — vo(t) ф 0 на Г. Действительно, в противном случае функция vo(t) аналитически продолжается во внешность Г, равна 0 в то, а значит, тождественно равна 0. Но y ф 0. Отсюда следует, что вне некоторого конечного множества на Г

f (t) = =• ОЙ

go(t) tß(t) • w(t).

Поэтому мероморфную вне Г функцию a/w можно продолжить до мероморфной в П функции f/go. При этом полученная мероморфная в C функция имеет конечное число полюсов, то для нее является либо нулем, либо полюсом. Отсюда следует, что R := a/w — рациональная функция. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 641 с.

2. Казьмин Ю.А. О последовательных остатках ряда Тейлора // Вестн. МГУ. Сер. 1, Математика, Механика. 1963. № 5. С. 35-46.

3. Линчук Н.Е. Представление коммутантов оператора Поммье и их приложения // Матем. заметки. 1988. Т. 44, № 6. С. 794-802.

4. Нагнибида Н.И. Об одном классе операторов обобщенного дифференцирования в пространстве аналитических в круге функций // Теория функций, функциональный анализ в их приложения. Харьков. 1975. Вып. 24. С. 98-106.

5. Хапланов М.Г. О полноте некоторых систем аналитических функций // Уч. зап. Ростовск. гос. пед. ин-та: Сб статей. Ростов-на-Дону. 1955. Вып. 3. С. 53-58.

6. Z. Binderman Functional shifts induced by right invertible operators // Math. Nachr. 1992. № 157. P. 211-224.

7. I.N. Dimovski, V.Z. Hristov Commutants of the Pommiez operator // Int. J. Math. and Math. Science. 2005. V. 8. P. 1239-1251.

8. G. Kothe Dualitat in der Funktionentheorie // J. Reine Angew. Math. 1953. № 191. P. 30-49.

9. Yu.S. Linchuk Cyclical elements of operators which are left-inverses to multiplication by an independent variable // Methods of Functional Analysis and Topology. 2006. V. 12, № 4. P. 384388.

10. M. Pommies Sur les zéros des reste successifs des séries de Taylor // Acad. Sci. Univ. Toulouse. 1960. V. 250, № 7. P. 1168-1170.

11. M. Pommies Sur les restes successifs des séries de Taylor // C. R. Acad. Sci. 1960. V. 250, № 15. P. 2669-2671.

12. M. Pommies Sur les restes et les dérivées des séries de Taylor // C. R. Acad. Sci. 1960. V. 251, № 17. P. 1707-1709.

13. M. Pommies Sur les différences divisées successives et les restes des séries de Newton généralisées // Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse. 1964. V. 28. P. 101-110.

Ольга Александровна Иванова, Южный федеральный университет, институт математики,

механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича,

ул. Мильчакова, 8а,

344090, г. Ростов-на-Дону, Россия

E-mail: ivo/ga@s/edu.ru

Сергей Николаевич Мелихов, Южный федеральный университет, институт математики,

механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича,

ул. Мильчакова, 8а,

344090, г. Ростов-на-Дону, Россия,

Южный математический институт ВНЦ РАН,

ул. Маркуса, 22,

362027, г. Владикавказ, Россия

E-mail: me/[email protected]